Có sự liên hệ giữa hàm giá của một tập và nón tiệm cận của nó. Định lý dưới đây sẽ chỉ ra rằng với tập lồi đóng C ⊂ Rn có thể đưa ra đặc tính đối ngẫu của nón tiệm cận theo nón chắn của C.
Định lý 2.2.1. Cho C ⊂ Rn, C 6= ∅ và C∞∗ là nón cực của C∞. Khi đó (a) domσC ⊂ C∞∗ .
(b) Nếu intC∞∗ 6= ∅ thì intC∞∗ ⊂ domσC. (c) Nếu C lồi thì (domσC)∗ = C∞.
Chứng minh. (a) Lấy bất kỳ y /∈ C∞∗ . Khi đó ∃0 6= d ∈ C∞ : hd, yi > 0 Vì d ∈ C∞∗ ,∃tk → ∞, xk ∈ C : t−k1 →d. Ta có
hd, yi > 0⇔ hxk, yi → +∞ ⇒ y /∈ domσC.
(b) Lấy bất kỳ y /∈ domσC. Khi đó ∃xk ∈ C :hxk, yi → +∞. Không mất tính chất tổng quát ta giả sử rằng
kxkk−1xk → d 6= 0, d ∈ C∞ ⇒ Dkxkk−1xk, yE ≤ 0.
Vì vậy ∀ε > 0 ta có
hd, y+εdi = hd, yi+kdk2 ≤εkdk> 0.
Suy ra y+ εd /∈ C∞∗ ⇒y /∈ intC∞∗ . Vậy intC∞∗ ⊂ domσC
(c) Theo giả thiết C lồi nên C∞ là nón lồi đóng và C∞∗∗ = C∞. Từ (a) ta có
domσC ⊂C∞∗ ⇒ C∞ = C∞∗∗ ⊂ (domσC)∗.
Ngược lại, lấy bất kỳ d ∈ (domσC)∗, t > 0, x ∈ C. Vì td ∈ (domσC)∗ nên với bất kỳ y ∈ domσC ta có
hx+td, yi = hx, yi+htd, yi
≤ hx, yi ≤ sup x∈C
Vì y /∈ domσC nên σC(y) = +∞, bất đẳng thức trên đúng với
∀y ∈ Rn
Sử dụng định lý 1.2.5 ta có ∀t > 0, x + td ∈ C và theo mệnh đề 2.1.5 suy ra d ∈ C∞.