Trong phần này chúng ta sẽ phát triển một vài công thức hữu ích để tính toán hàm tiệm cận. Mệnh đề 2.5.1. Cho fi : Rn → R∪ {+∞}, i = 1, ..., p là họ các hàm chính thường, f = p P i=1 fi và giả sử rằng f chính thường, tức domf = p T i=1 domfi 6= ∅. Khi đó
(a) Nếu fi nửa liên tục dưới với ∀i = 1, .., p thì f cũng nửa liên tục dưới. (b) f∞(d) ≥
p P i=1
(fi)∞(d), ∀d thỏa mãn điều kiện sau:
Nếu ∃i : (fi)∞(d) = +∞(−∞) thì (fi)∞(d) > −∞(< +∞) với i 6= j; Nếu fi nửa liên tục dưới và lồi với ∀i = 1, ..., p thì dấu đẳng thức xảy ra.
Chứng minh. (a) Với bất kỳ hàm mở rộng giá trị thực gi, ta có vớiy ∈ Rn lim inf
x→y(g1(x) + · · ·+ gp(x)) ≥ lim inf
x→yg1(x) + · · ·+ lim inf
x→ygp(x) bất đẳng thức trên đúng nếu vế phải có nghĩa.
Và do đó (a) suy ra bằng cách sử dụng định nghĩa hàm nửa liên tục dưới.
bằng cách sử dụng định nghĩa của hàm nửa liên tục dưới.
Đẳng thức trong trường hợp hàm lồi, nửa liên tục dưới suy ra từ công thức (2.9). Mệnh đề 2.5.2. Cho fi : Rn → R∪ {+∞}, i ∈ I là họ các hàm chính thường có (sup i∈I fi)∞ ≥sup i∈I (fi)∞ và (inf i∈I)∞ ≤ inf i∈I(fi)∞. Mệnh đề 2.5.3. Cho g :Rn →R∪ {+∞} là hàm chính thường,
A :Rn →Rm là ánh xạ tuyến tính với A(Rn)∩domg 6= ∅.
Đặt f(x) =g(Ax) là hàm chính thường phức hợp. Khi đó, f có các tính chất sau:
(a) Nếu g lồi và ∃y : Ay ∈ ri domg thì với ∀x, f(x) =g(Ax). (b) Nếu g nửa liên tục dưới thì f cũng nửa liên tục dưới và
f∞(d) ≥ g∞(Ad),∀d.
Nếu thêm điều kiện g lồi thì đẳng thức xảy ra.
Chứng minh. (a) Vì domf = A−1domg, nên sử dụng mệnh đề 1.1.6(c) ta có ri domf = A−1(ri domg).
Điều này tương đương với y ∈ ri domf ⇔ Ay ∈ ridomg.
Lấy y : Ay ∈ ri domg. Khi đó, vì y ∈ ri domf nên từ mệnh đề 2.1.6 có
f(x) = lim
t→0+f(x+ t(y −x)) = lim
t→0+g(Ax+ t(Ay −Ax)).
Vậy f(x) = g(Ax).
(b) Nếu g nửa liên tục dưới thì rõ ràng f cũng nửa liên tục dưới. Ngoài ra, sử dụng định nghĩa của hàm tiệm cận ta có với mỗi d
f∞(d) = inf dk→d lim k→∞inft−k1g(tkAdk) ≥ lim d0→Ad inft−1g(td0) = g∞(Ad).
55 Nếu g lồi thì hiển nhiên f cũng lồi.
Lấy x0 ∈ domf. Khi đó, vì f nửa liên tục dưới, chính thường và lồi nên ta có
f∞(d) = lim λ→∞
g(Ax0 +λAd)−g(Ax0)
λ = g∞(Ad).
Mệnh đề 2.5.4. Cho f : Rn → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, chính thường và lồi, ψ : (−∞, b) → R với 0≤ b ≤+∞ là hàm lồi không giảm và ψ∞(1) > 0,domψ∩f(Rn). Xét hàm hợp g(x) = ψ(f(x)) nếu x∈ domf
+∞ nếu trái lại
Khi đó, g là hàm chính thường, nửa liên tục dưới, lồi và ta có
g∞(x) =
ψ∞(f∞(x)) nếu d ∈ domf∞
+∞ nếu trái lại
Chứng minh. Rõ ràng, hàm hợp g là hàm lồi nửa liên tục dưới. Lấy x ∈ domf, sao cho f(x) ∈ domψ.
Với mỗi s < f∞(d),∃τ, sao cho f(x+ td) ≥ f(x) +ts, ∀t≥ τ. Vì ψ là hàm không giảm nên ta có
g(x+td)−g(x)
t ≥ ψ(f(x) +ts)−ψ(f(x))
t .
Cho t→ ∞, ta có g∞(d) ≤ ψ∞(s).
- Nếu f∞(d) = +∞, vì ψ(1) > 0 nên cho s →+∞, ta có
g∞(d) = +∞.
- Nếu f∞(d) < +∞, cho s → f∞(d) và vì ψ∞ nửa liên tục dưới, ta có
Mặt khác, vì f(x+td) ≤ f(x) +tf∞(d) nên sử dụng tính đơn điệu của ψ ta cũng có g∞(d) = lim t→+∞ g(x+td)−g(x) t ≤ lim t→+∞ ψ(f(x) +tf∞(d))−ψ(f(x)) t = ψ∞(f∞(d)).
Sự tác động lẫn nhau giữa hình học và giải tích đã được thể hiện qua chương này. Dựa trên khái niệm nón tiệm cận của trên đồ thị của hàm, khái niệm hàm tiệm cận xuất hiện và phép tính vi phân ở vô cực được phát triển. Vai trò của nón tiệm cận, hàm tiệm cận trong các bài toán tối ưu tổng quát sẽ được miêu tả trong chương 3.
Chương 3
Sự tồn tại nghiệm và tính ổn định trong bài toán tối ưu
Một câu hỏi trung tâm trong tối ưu hóa là tìm điều kiện để đảm bảo sự tồn tại nghiệm tối ưu. Trong giải tích cổ điển đã tìm ra câu trả lời cho câu hỏi này đó là định lý Weierstrass phát biểu rằng “Hàm liên tục trên tập compact của Rn đạt giá trị cực đại (cực tiểu) của nó”.
Cả hai điều kiện đòi hỏi trong định lý là: tính compact và tính liên tục. Đây là hai tính rất ngặt và thường không được thể hiện trong các bài toán cực tiểu đã cho. Tuy nhiên, từ định lý Weierstrass chúng ta sẽ đưa ra các kết quả về sự tồn tại cực tiểu dưới các giả thiết yếu hơn của dữ kiện bài toán.
Chương này xây dựng một số khái niệm cơ bản và công cụ giải quyết quanh hàm tiệm cận để suy ra sự tồn tại nghiệm và tính ổn định cho các bài toán cực tiểu hóa lồi và tổng quát.
3.1 Các bài toán bức
Xét bài toán tối ưu
(P) inf{f(x)|x ∈ Rn}.
Bài toán này tương đương với bài toán
f(x) → min
Đầu tiên chúng ta sẽ giới thiệu các kết quả mà trong đó tính liên tục được thay thế bằng tính nửa liên tục dưới.
Mệnh đề 3.1.1. Cho f : Rn → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, chính thường và cho C là tập compact khác rỗng trong Rn. Khi đó tập nghiệm tối ưu của bài toán tối ưu
m = inf{f(x)|x ∈ C}
là tập compact khác rỗng.
Chứng minh. Rõ ràng nếu f(x) = ∞ với ∀x ∈ C thì bất kỳ x ∈ C đạt cực tiểu của f trên C.
Do vậy. chúng ta có thể giả sử rằng infCf < ∞. Lấy {xk} ∈ C là một dãy cực tiểu hóa, tức
lim
k→∞f(xk) = inf{f(x)|x ∈ C}.
Vì C compact nên tồn tại dãy con {xkl} hội tụ tới x ∈ C và vì f nửa liên tục dưới suy ra f(x) ≤ lim
l→∞inff(xkl) = m, và định lý được chứng minh vì f(x) ≥m.
Trở lại với bài toán tối ưu tổng quát (P), vì tập nghiệm tối ưu của bài toán (P) giống tập nghiệm tối ưu của bài toán tìm cực tiểu của f
trên tập mức của f nên ta có hệ quả của mệnh đề 3.1.1 như sau:
Hệ quả 3.1.1. Cho f : Rn → R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, chính thường và giả sử rằng lev(f, λ) bị chặn vớiλ > inff. Khi đó, tập nghiệm tối ưu của bài toán (P) là tập compact, khác rỗng.
Chứng minh. Vì f chính thường nên inff < ∞ và do f nửa liên tục dưới nên với ∀λ > inff thì lev(f, λ) 6= ∅ và đóng, suy ra lev(f, λ) là tập compact. Áp dụng mệnh đề 3.1.1 với C = lev(f, λ) ta có điều phải chứng minh.
59
Nhận xét 3.1.1. Từ mệnh đề 2.1.2 ta có với ∀λ > inff
lev(f, α) 6= ∅ và bị chặn ⇔ lev(f, α)∞ = 0.
Định nghĩa 3.1.1. Hàm f : Rn → R∪ {+∞} được gọi là
(a) Bị chặn mức nếu với mỗi λ >inff, tập mức lev(f, λ) bị chặn. (b) Bức nếu f∞(d) > 0, ∀d 6= 0.
Mệnh đề sau đưa ra tiêu chuẩn hữu ích để nhận biết một hàm bức. Mệnh đề 3.1.2. Cho f : Rn → R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới và chính thường, định nghĩa
α = lim
kxk→∞inf f(x)
kxk, β = inf{f∞(d)| kdk = 1}. (3.1)
Khi đó, cận dưới đúng β đạt được và α = β. Ngoài ra, f bức ⇔ ∃γ > 0, δ ∈ R :
f(x) ≥ γkxk+δ, ∀x. (3.2) Chứng minh. Vì với bất kỳ hàm chính thường f, hàm tiệm cận của nó
f∞ nửa liên tục dưới nên từ công thức (3.2) suy ra tồn tại x sao cho
kxk = 1, f∞(x) = β. (3.3) Khi đó từ biểu diễn giải tích của f∞ (định lý 2.4.1) suy ra tồn tại dãy dk →d và một dãy con tk →+∞, sao cho
lim
tk→∞t−k1f(tkdk) = β.
Do vậy ta có α ≤ β.
Bây giờ ta chứng minh α ≥ β.
Từ định nghĩa của α suy ra tồn tại dãy {xk} sao cho
kxk → ∞, xkkxk → x,¯ kxk¯ = 1, lim k→∞
f(xkkxkk−1kxkk)
Sử dụng biểu diễn giải tích (2.7) của f∞ và chuyển qua giới hạn
f∞(¯x) ≤ α ⇒ α ≥ β.
Vì vậy α = β.
Bây giờ, giả sử công thức (3.3) đúng. Khi đó hiển nhiên α ≥ γ > 0. Vì α = β và vì f∞(.) là hàm thuần nhất dương nên f bức.
Ngược lại, giả sử f bức. Khi đó α = β, và giả sử (3.3) không đúng. Khi đó với bất kỳ δ ∈ R, δ > 0,∃x sao cho
f(x) < γkxk+δ.
Lấy δ = −k, γ = k−1, k ∈ N. Khi đó
∃xk : f(xk) < k−1kxkk −k.
- Nếu xk bị chặn thì f(xk) → −∞, điều này không thể.
- Nếu xk không bị chặn, khi đó từ bất đẳng thức cuối cùng suy ra lim
kxkk→+∞ f(x)
kxk ≤k→lim+∞inf f(xk)
kxkk ≤ 0.
Điều này mâu thuẫn với giả sử về tính bị chặn của f.
Định nghĩa 3.1.2. Cho hàm f : Rn → R∪ {+∞}, phương d ∈ Rn sao cho f∞(d) ≤ 0 được gọi là phương tiệm cận hay phương suy thoái trong trường hợp f lồi.
Mệnh đề 3.1.3. Cho f : Rn → R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới và chính thường. Nếu f bức thì tập mức của nó bị chặn.
Ngoài ra, nếu thêm giả thiết f lồi thì các mệnh đề sau tương đương: (a) f bức;
(b) f bị chặn mức;
(c) Tập nghiệm {x ∈ Rn|f(x) = inff} 6= ∅ và compact. (d) 0∈ int domf∗.
61
Chứng minh. (a) ⇔(b). Từ mệnh đề 2.4.3, ta có lev(f, λ) ⊂ {d|f∞(d) ≤ 0}.
Khi đó f bức tức f∞(d) > 0, ∀d 6= 0. Do đó f bị chặn mức.
Ngược lại, giả sửf bức. Vìf là hàm nửa liên tục dưới, chính thường và lồi nên
{d|f∞(d) ≤ 0}= {0}.
Vì vậy f bức.
(a) ⇔(d). Từ định lý 1.2.5(c), ta có
0∈ int domf∗ ⇔ σdomf∗(d) > 0, ∀d 6= 0 và từ định lý 2.4.4(a), σdomf∗ = f∞ suy ra
0∈ int domf∗ ⇔ f∞(d) > 0, ∀d 6= 0 hay 0∈ int domf∗ ⇔ f bức.
(c) ⇔(d). Vì tập nghiệm tối ưu có thể được viết ở dạng
{x ∈ Rn|f(x) = inff} = ∂f∗(0).
Khi đó từ mệnh đề 1.2.3 suy ra (c) ⇔(d).
Hệ quả 3.1.2. Cho fi : Rn → R∪ {+∞}, i = 0,1, ..., m là hàm nửa liên tục dưới, chính thường.
C = {x|fi(x) ≤ 0, i = 0,1, ..., m} f = f0 +δC(.)
và xét bài toán tối ưu có rằng buộc
với domf0 ∩C 6= ∅.
Giả sử (f0)∞(d) > −∞ ∀d 6= 0. Nếu các hàm fi không có chung phương tiệm cận khác không, tức là
(fi)∞(d) ≤ 0, ∀i = 0,1, ..., m ⇒d = 0.
Khi đó hàm mục tiêu f bức.
Nếu các hàm fi, i = 0,1, ..., m lồi thì mệnh đề ngược lại cũng đúng.
Chứng minh. Bằng các công thức tính toán tiệm cận ta có
f∞(d) ≥ (f0)∞(d) +δC∞(d) suy ra f∞(d) ≥ (f0)∞(d), ∀d ∈ C∞. Vì C∞ ⊂ n T i=1
Kfi và do giả thiết tiệm cận nên f bức.
Ngược lại, nếu f bức. Vì các hàm fi, i = 0,1, ..., m lồi, khi đó từ mệnh đề 2.1.9(a) và mệnh đề 2.4.1 các bất đẳng thức ở trên và các bao hàm thức ở trên trở thành đẳng thức.Và f bức nên các hàm fi
i = 0,1, ..., m không có chung phương tiệm cận khác không.