Định nghĩa 3.4.1. Cho Alà ma trận thực m×nvà f : Rn →R∪{+∞}
là hàm nửa liên tục dưới, chính thường. Xét hàm biên được định nghĩa bởi h(y) =Af(y) = inf{f(x)|x ∈ C(y)} (3.15) trong đó C(y) = {x ∈ Rn|Ax = y}. Nhận xét 3.4.1. Ta có h(y) = inf{f(x)|x ∈ Rn} (3.16) với Fy(x) = f(x) +δC(y)(x).
Fy là H0,, H1,[y] như sau: Giả thiết thứ nhất
H0, : f∞(d) ≥ 0, ∀d ∈ KerA, d 6= 0 (3.17)
Nếu f lồi thì H0, ≡H0.
Lấy {yk} là một dãy hội tụ tới y và định nghĩa Sf[{yk}, y] là tập các dãy {xk} thỏa mãn Axk = yk và
kxkk → ∞, {f(xk)} bị chặn trên , xkkxkk−1 → x ∈ Kerf∞ (3.18)
Khi đó H1,[y] thỏa mãn nếu với bất kỳ dãy {yk} → y
(a) S[{yk}, y] = ∅ hoặc
(b) Với mỗi dãy {xk} ∈ Sf[{yk}, y],∃zk, ρk ∈ (0,kxkk) sao cho với k đủ lớn
f(xk −ρkzk) ≤ f(xk), Azk = 0, zk → z với kx−zk < 1 (3.19) Định lý 3.4.1. Cho f : Rn → R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục, chính thường và H0,, H1, thỏa mãn. Khi đó h nửa liên tục dưới tại y và nếu
C(y)∩domf 6= ∅ thì tập nghiệm tối ưu S(y) 6= ∅.
Chứng minh. Giả sử C(y) ∩ domf 6= ∅ và đặt yk = y, ∀k. Khi đó vì
H1,[y] thỏa mãn nên Fy thỏa mãn điều kiện H1 ⇒ S(y) 6= ∅. Bây giờ, ta chứng minh h nửa liên tục dưới tại y, tức là
h(y) ≤ lim
k→∞infh(yk).
Không mất tính chất tổng quát ta giả sử rằng lim k→∞infh(yk) = lim k→∞h(yk) < ∞. (3.20) Khi đó C(yk)∩domf 6= ∅, ∀k. Cho εk →0+ và đặt mk = h(yk) +εk nếu h(yk) > −∞ −k nếu trái lại
77 và
Sk = {x|f(x) ≤ mk, Ax = yk} (3.21) Vì giả thiết H0, thỏa mãn nên f(.) +εkk.k2 + δSk(.) bức, và từ hệ quả 3.1.1, suy ra
∃xk ∈ argmin{f(x) +εkkxk2 |x ∈ Sk}
Ta chứng minh {xk} bị chặn. Thật vậy, trái lại chúng ta giả sử rằng
kxkk → ∞, x,k = xkkxkk → x 6= 0 (3.22) Vì f(xk) ≤ mk, nên từ (3.20), (3.21) suy ra tồn tại hằng số c:
f(xk) ≤c, ∀k Khi đó sử dụng (2.6) suy ra f∞(x) ≤ 0. Ngoài ra Ax= lim k→∞Axkkxkk−1 = lim k→∞ yk kxkk = 0. Do H0, thỏa mãn nên Ax = 0 = f∞(x).
Từ giả thiết H1,[y] suy ra ∃zk, ρk ∈ (0,kxkk] sao cho với k đủ lớn thì
f(xk −ρkzk) ≤ f(xk), Azk = 0, zk → z với kx−zk < 1 Do đó, xk −ρkzk ∈ Sk và do định nghĩa của xk nên
kxkk ≤ kxk −ρkzkk
Khi đó, sử dụng lý luận như trong chứng minh của định lý 3.3.1 suy ra điều mâu thuẫn. Vậy {xk} bị chặn.
Vì {xk} bị chặn nên tồn tại dãy con {xnk} hội tụ tới x∗.
Từ (3.23) và vì f nửa liên tục dưới nên chuyển qua giới hạn ta có
Ax∗ = y và
f(x∗) ≤ lim (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
k→∞infh(yk)
Hệ quả 3.4.1. Giả sử f nửa liên tục dưới và
f∞(d) ≥ 0, ∀d∈ KerA, d 6= 0.
và cũng giả sử rằng h(y) > −∞. Khi đó h nửa liên tục dưới tại y và nếu
C(y)∩domf 6= ∅ thì tập nghiệm tối ưu S(y) 6= ∅.
Chứng minh. Lấy một dãy {xk} ∈ Sf[{yk}, y] với yk → y và đặt
zk = x, ∀k. Khi đó, vì Axk = yk nên ∀ε > 0, k đủ lớn ta có
f(xk) > h(y)−ε
suy ra {f(xk)} bị chặn. Và vì f als nên giả thiết H1,[y] thỏa mãn.
Chương này đã đưa ra một số khái niệm và kết quả về các bài toán bức, hàm bức yếu.Và từ những kết quả đó suy ra điều kiện cần và đủ tổng quát cho sự tồn tại nghiệm tối ưu và tính ổn định cho các bài toán có rằng buộc.
79
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày các kiến thức cơ bản về nón tiệm cận, hàm tiệm cận cùng một số ứng dụng của chúng. Cụ thể
Chương 1: Giới thiệu một số khái niệm và kết quả quan trọng về tập lồi và hàm lồi sẽ được sử dụng trong luận văn.
Chương 2: Với mục tiêu trọng tâm là nghiên cứu về nón tiệm cận, hàm tiệm cận, chương này trình bày một cách có hệ thống các kết quả về nón tiệm cận, hàm tiệm cận. Từ đó đưa ra mối liên hệ giữa hàm giá của một tập và nón tiệm cận của nó, mối liên hệ giữa nón tiệm cận của dưới vi phân của hàm lồi và nón pháp tuyến của miền xác định, các tiêu chuẩn về tính đóng và cuối cùng là phép tính vi phân ở vô cực.
Chương 3: Trên cơ sở xây dựng các khái niệm và các tính chất của nón tiệm cận, hàm tiệm cận, chương này nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và tính ổn định cho các bài toán cực tiểu hóa lồi và tổng quát.
Với phạm vi luận văn và thời gian cũng như khả năng còn hạn chế, việc nghiên cưú các ứng dụng của nón tiệm cận và hàm tiệm cận còn cần được nghiên cứu sâu hơn để tìm được nhiều hơn các kết quả ứng dụng trong giải tích biến phân và tối ưu hóa.
Tài liệu tham khảo
[1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học và Kĩ thuật Hà Nội.
[2] Huỳnh Thế Phùng (2005), Giải tích lồi, Giáo trình trường Đại học Khoa học Huế.
[3] Hoàng Tụy (2006), Lý thuyết tối ưu, Viện Toán học, Hà Nội. [4] A. Auslender, M. Teboull (2003), Asymptotic Cones and
Functions in Optimization and Variational Inequalities, Springer- Verlag, New York, Inc.
[5] R. T. Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
[6] R. T. Rockafellar and R. J. B. Wets (1998), Variational Analysis, Springer-Verlag, New York.