Nón tiệm cận, Hàm tiệm cận và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành khóa luận Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Trần Thị Thu Hiền LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Nón tiệm cận, hàm tiệm cận ứng dụng” hoàn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựa nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Trần Thị Thu Hiền Mục lục Bảng kí hiệu Mở đầu Chương Tập lồi hàm lồi 1.1 Tập lồi tính chất 1.2 Hàm lồi 14 Chương Hàm tiệm cận nón tiệm cận 21 2.1 Định nghĩa nón tiệm cận 21 2.2 Tính đối ngẫu nón tiệm cận 29 2.3 Tiêu chuẩn tính đóng 30 2.4 Hàm tiệm cận 36 2.5 Phép tính vi phân vô cực 53 Chương Sự tồn nghiệm tính ổn định toán tối ưu 57 3.1 Các toán 57 3.2 Hàm yếu 62 3.3 Sự tồn nghiệm tối ưu 71 3.4 Tính ổn định cho toán có ràng buộc 75 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 BẢNG KÍ HIỆU R đường thẳng thực R đường thẳng thực mở rộng Rn x, y x conv C không gian Euclid n - chiều tích vô hướng x y chuẩn x bao lồi tập C aff C bao affine tập C pos C bao dương tập C intC phần tập C C ri C ext C extray C bao đóng tập C phần tương đối tập C tập điểm biên tập C tập tia cực biên tập C σC hàm giá tập C δC hàm tập C γC hàm cỡ tập C K∗ nón cực K M⊥ phần bù trực giao M f ∗ , f ∗∗ liên hợp, liên hợp bậc hai f lev(f, λ) tập mức hàm f inf f cận hàm f sup f cận hàm f f giá trị nhỏ hàm f max f giá trị lớn hàm f Ker f hạt nhân, hạch hàm f rge f ảnh hàm f dom f epi f ∂f ∂xi miền hữu hiệu hàm f đồ thị hàm f đạo hàm riêng hàm f theo biến xi ∇f (x) gradient f C∞ nón tiệm cận tập C f∞ hàm tiệm cận hàm f Cf không gian f Kf nón tiệm cận f Lf không gian tuyến tính f adc số theo phương tiệm cận als hàm ổn định mức tiệm cận MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết toán cực trị ngành toán học ứng dụng có sử dụng công cụ giải tích không gian tuyến tính Sự tách tập lồi biến đổi liên hợp Legendre-Fenchel khái niệm có tính sở dẫn tới thành công giải tích lồi Hai khái niệm khác góp phần làm cho giải tích lồi trở thành công cụ giải tích tuyệt vời khái niệm nón tiệm cận hàm tiệm cận Do đó, gợi ý thầy giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích với giúp đỡ thầy Nguyễn Năng Tâm, chọn đề tài “Nón tiệm cận, hàm tiệm cận ứng dụng” để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nắm khái niệm ứng dụng nón tiệm cận hàm tiệm cận để bổ sung kiến thức, củng cố hiểu biết sâu Toán giải tích ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu nón tiệm cận, hàm tiệm cận ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nón tiệm cận, hàm tiệm cận số ứng dụng Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu thông tin sách báo liên quan đến nội dung nghiên cứu - Sử dụng phương pháp giải tích đại số tuyến tính - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Những đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống kiến thức nón tiệm cận, hàm tiệm cận số tính chất Nghiên cứu số ứng dụng nón tiệm cận hàm tiệm cận giải tích biến phân tối ưu hóa Chương Tập lồi hàm lồi Tính lồi đóng vai trò toán tối ưu Chương trình bày số khái niệm kết tập lồi, hàm lồi 1.1 Tập lồi tính chất Định nghĩa 1.1.1 Tập C ⊂ Rn lồi ∀x, y ∈ C, ∀t ∈ [0, 1] tx + (1 − t)y ∈ C Định nghĩa 1.1.2 Giao tất tập lồi chứa tập C ⊂ Rn gọi bao lồi C, kí hiệu conv C Định nghĩa 1.1.3 Tập C ⊂ Rn gọi đa tạp affine ∀x, y ∈ C, ∀t ∈ R ⇒ tx + (1 − t)y ∈ C Từ định nghĩa ta có Rn , điểm, đường thẳng siêu phẳng Rn đa tạp affine Đa tạp affine đóng lồi Mệnh đề 1.1.1 (Xem [4]) Cho C tập khác rỗng Rn Các mệnh đề sau tương đương (a) C đa tạp affine (b) C = x + M = {y | y − x ∈ M }, M không gian (c) C = {x | Ax = b}, A ∈ Rm×n , b ∈ Rn Định nghĩa 1.1.4 Giao tất tập affine chứa tập C ⊂ Rn gọi bao affine C, kí hiệu aff A Nhận xét 1.1.1 aff A tập affine nhỏ chứa A Mệnh đề 1.1.2 (Xem [4]) Giả sử C ⊂ Rn đó, (a) conv C tổ hợp lồi phần tử thuộc C, tức là, m m conv C = { ti xi | xi ∈ C, ti ≥ 0, i=1 ti = 1} i=1 (b) aff C đa tạp affine conv C ⊂ aff C (c) aff C = aff(conv C) Mệnh đề 1.1.3 (Xem [4]) Cho {Ci | i ∈ I} họ tập lồi Ci ⊂ Rni ta có: (a) C1 × · · · × Cm lồi Rn1 × · · · × Rnm Ci lồi với ni = n, ∀i (b) i∈I m Ci lồi với ni = n, ∀i (c) i=1 (d) Ảnh tập lồi qua ánh xạ tuyến tính tập lồi Định lý 1.1.1 (Định lý Caratheodory) (Xem [2]) Cho C ⊂ Rn , ∀x ∈ conv C tổ hợp lồi không n + điểm khác C, tức ∃a0 , , am ∈ C λ0 , , λm ≥ với m ≤ n cho m m λi = x = i=1 λi i=1 n Định nghĩa 1.1.5 Cho C ⊂ R tập lồi, tập int C = {x ∈ Rn | ∃ε > 0, x + εB ⊂ C} C= (C + εB) ε>0 gọi phần bao đóng C Định nghĩa 1.1.6 Phần tương đối C ⊂ Rn phần C aff C, kí hiệu ri C ri C = {x ∈ aff C | ∃ε > 0, (x + εB) ∩ aff C ⊂ C} 10 Nhận xét 1.1.2 x ∈ ri A ⇔ tồn lân cận mở V x Rn cho V ∩ aff A ⊂ A Ví dụ 1.1.1 Trong R2 , A = [a, b], ri A = (a, b) Mệnh đề 1.1.4 (Xem [4]) Cho C tập lồi khác rỗng Rn Khi (a) ri C = ∅ aff C = C (b) Nếu x ∈ C y ∈ C tx + (1 − t)y ∈ ri C, ∀t ∈ [0, 1] ri C lồi (c) C = ri C, ri C = ri C Mệnh đề 1.1.5 (Xem [4]) Cho C, D hai tập lồi Rn Khi đó, với α, β ∈ R ri(αC + βD) = α ri C + β ri D Vì vậy, với α = −β = 1, ta có ∈ ri(C − D) ⇔ ri C ∩ ri D = ∅ Mệnh đề 1.1.6 (Xem [4]) Cho C tập lồi khác rỗng Rn Khi (a) ri C ⊂ C ⊂ C (b) C = C; ri(ri C) = ri C (c) A(C) ⊂ A(C) ri A(C) = A(ri C) A : Rn → Rn ánh xạ tuyến tính Hơn nữa, A−1 (S) = {x ∈ Rn | A(x) ∈ S} nghịch ảnh A với S ⊂ Rn Khi đó, A−1 (ri C) = ∅ ri(A−1 C) = A−1 (ri C); A−1 (C) = A−1 (C) 66 nên f∞ (d) = f∞ (d1 + d2 ) = sup { u, d1 + u, d2 } u∈dom f ∗ = sup u∈dom f ∗ u, d2 } = f∞ (d2 ) Vậy f∞ (d) = f∞ (d2 ) > 0, ∀d ∈ / Cf , d2 = tức ∈ ri dom f ∗ (b ⇒ (c) Hiển nhiên (d ⇒ (c) Suy từ mệnh đề 2.4.8(b) từ kết f∞ (d) = f∞ (d2 ) Định nghĩa 3.2.2 Cho Cho f : Rn → R ∪ {+∞}, định nghĩa Sf tập dãy {xk } thỏa mãn xk → +∞, {f (xk )} bị chặn xk xk −1 → x ∈ Ker f∞ (3.7) Khi đó, f gọi thỏa mãn giả thiết (A) hai điều kiện sau thỏa mãn: (a)Sf = ∅, (b) Với dãy {xk } ∈ Sf , ∃ε ∈ (0, ), ρk ∈ ((1 + ε) xk , (2 − ε) xk ) cho với k đủ lớn, ta có f (xk − ρk x) ≤ f (xk ) (3.8) Mệnh đề 3.2.2 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục dưới, thường lồi thỏa mãn f∞ (d) ≥ 0, ∀d = Khi đó, f yếu f thỏa mãn giả thiết (A) Chứng minh Giả sử f yếu, từ tương đương (a) (b) định lý 3.2.1 ta có f (xk − ρk ) = f (xk ), với ρk 67 (3.8) thỏa mãn Ngược lại, giả sử f thỏa mãn giả thiết (A) lấy x cho x = f∞ (x) = Chúng ta phải chứng minh f∞ (−x) = Lấy x ∈ dom f đặt xk = x + kx Vì k −1 (f (xk ) − f (x)) ≤ f∞ (x) = nên {f (xk )} bị chặn f (x) từ giả thiết (A) suy ∃ρk ∈ ((1 + ε) xk , (2 − ε) xk ) thỏa mãn (3.8) với k đủ lớn Ngoài ra, từ giả thiết f∞ (x) ≥ suy lim xk −1 k→∞ f (xk ) = Không tính chất tổng quát ta giả sử −1 ρk xk Đặt yk = xk −1 → α > (xk − ρk x), yk → (1 − α)x Sử dụng (3.8), ta f ( xk )yk f (xk ) ≥ lim inf k→∞ xk k→∞ xk = lim ≥ f∞ ((α − 1)(−x)) = (α − 1)f∞ (−x) ≥ Do f∞ (x) = Mệnh đề 3.2.3 Cho h : Rn → R ∪ {+∞} hàm lồi, thường, ∈ dom f E = aff(dom h) Hàm hE xác định hE (x) = (h.PE )(x) = h(PE (x)) PE kí hiệu toán tử chiếu từ Rn vào E Khi (a) dom hE = dom h + E ⊥ (b) int dom hE = ri dom h + E ⊥ (c) ∂hE (x) ⊂ E ∂hE (x) = ∂hE (y) y − x ∈ E ⊥ d) h∗ (y) = h∗E (PE (y)) 68   ∂hE (x) + E ⊥ x ∈ E (e) ∂h(x) = ∅ trái lại (f) ∂hE (x) = ∂h(PE (x)) ∩ E Chứng minh (a) Suy từ định nghĩa hE (b) Từ mệnh đề 1.1.5 ta có ri(dom hE ) = ri(dom h + E ⊥ ) = ri dom h + ri E ⊥ Vì ∈ dom h nên E không gian véc tơ Rn ⇒ ri E ⊥ = E ⊥ Và ri dom hE = int dom hE Vậy ta có int dom hE = ri dom h + E ⊥ (c) Lấy ω ∈ ∂hE (x) lấy v ∈ E ⊥ Do (a), x + λv ∈ dom hE với λ ∈ R ta có hE (x) = hE (x + λv) ≥ hE (x) + λ ω, v suy ω ∈ E Ngoài ra, từ định nghĩa hE ta có hE (x) = hE (y) x−y ∈ E ⊥ Khi ω ∈ ∂hE (x) ⇔ với z ∈ R có hE (z) ≥ hE (x) + ω, z − x = hE (y) + ω, z − y + ω, y − x Vì ω ∈ E nên ω, y − x = Suy hE (z) ≥ hE (y) + ω, z − y ⇔ ω ∈ ∂hE (y) d) Sử dụng định nghĩa hàm liên hợp ta có h∗ (y) = sup{ x, y − h(x)} = sup{ y, PE (x) − h(PE (x))} x∈E x∈R = sup{ x, PE (y) − hE (x)} = h∗E (PE (y)) x∈R 69 (e) Lấy y = u + v với u ∈ ∂hE (x), v ∈ E ⊥ , ta chứng minh y ∈ ∂hE (x), tức h(z) − h(x) ≥ y, z − x , ∀z ∈ dom h Vì h(z) = hE (z), h(x) = hE (x) u ∈ ∂hE (x) nên ta có h(z) − h(x) = hE (z) − hE (x) ≥ u, z − x = u + v, z − x = y, z − x Ngược lại, giả sử y ∈ ∂h(x), ta phải chứng minh PE (y) ∈ ∂hE (x) Thật vậy, với ∀z ∈ R ta có h(z) ≥ hE (x) + y, z − x Do h(PE (z)) = hE (z) ≥ hE (x) + y, PE (z) − x = hE (x) + PE (y), PE (z) − x = hE (x) + PE (y), z − x (f) Từ (c) (e) ta có ∂hE (x) = [∂hE (x) + E ⊥ ] ∩ E = [∂hE (PE (x)) + E ⊥ ] ∩ E = ∂h(PE (x)) ∩ E Hệ 3.2.1 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục dưới, thường lồi với inf f > −∞ Khi f (x) = (f ∗ PE )∗ (PE (x)), với E = aff(dom f ∗ ) f yếu ⇔ (f ∗ PE )∗ (3.9) 70 Chứng minh Vì f ∗ (0) = inf f , ∈ dom f ∗ áp dụng mệnh đề 3.2.3 với h = f ∗ Từ định lý 3.2.1(d) ta có f yếu ⇔ ∈ ri dom f ∗ ⇔ ∈ int dom(f ∗ PE ) ⇔ (f ∗ PE )∗ Mệnh đề 3.2.4 Cho f, g : Rn → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục dưới, thường lồi, g yếu cho h(x) = (f.g)(x) = inf {f (u) + g(x − u)} u tổng chập infimal f g Khi (a) Nếu f yếu h yếu (b) Ngược lại, dom g ∗ = Rn h yếu f yếu (c) Không gian h thỏa mãn Cf + Cg ⊂ Ch Hệ 3.2.2 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục dưới, thường lồi, đặt E = aff(dom f ∗ ) Khi toán tối ưu inf{f (x) | x ∈ Rn } có tập nghiệm tối ưu S = ∅ có dạng S = K + E ⊥ ⇔ f yếu Với K = ∂(f ∗ )E (0) tập compact lồi khác rỗng Chứng minh Ta có ∈ dom f ∗ S = ∂f ∗ (0) nên từ mệnh đề 3.2.3(e) có ∂f ∗ (0) = ∂(f ∗ )E (0) + E ⊥ mệnh đề 3.1.3 ta có ∂(f ∗ )E (0) = ∅ compact ⇔ ∈ int dom(f ∗ ) ⇔ ∈ ri dom f ∗ ⇔ f yếu Mệnh đề 3.2.5 Cho fi : Rn → R ∪ {+∞}, i = 0, 1, 2, , m hàm nửa liên tục dưới, thường lồi C = {x | fi (x) ≤ 0, i = 1, 2, , m}, f = f0 + δC (.), 71 xét toán tối ưu ràng buộc (P ) inf{f0 (x) | x ∈ C} với dom f0 ∩ C = ∅ Khi f yếu (f0 )∞ (d) > 0, ∀d = thỏa mãn (fi )∞ (d) ≤ 0, ∀i = 1, , m, d ∈ L⊥ , với L = {d | (fi )∞ (d) = (fi )∞ (−d) = 0, i = 1, , m} Ngoài ra, L = Cf Chứng minh Ta có   (f0 )∞ (d) d ∈ C∞ f∞ (d) =  +∞ trái lại Khi f∞ (d) = (f0 )∞ (−d) −d ∈ C∞ Vì n n (Kfi ∩ −Kfi ) = d ∈ Cf ⇔ d ∈ Cf0 d ∈ C∞ ∩ −C∞ = i=1 Cfi i=1 Ta lại có C∞ = {d | (fi )∞ (d) ≤ 0, i = 1, , m} sử dụng định lý 3.2.1(c) ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 3.2.6 Cho dãy hàm không giảm, nửa liên tục dưới, thường lồi fk Rn với f = sup fk Khi (a) Dãy {fk∗ } ∗ không giảm f = k ∗ sup fk k Hơn nữa, đa tạp tuyến tính Ek = aff(dom fk∗ ) trùng với E = aff(dom f ∗ ), với k đủ lớn (b) Nếu f yếu fk yếu với k đủ lớn 3.3 Sự tồn nghiệm tối ưu Phần sử dụng kết nêu phần trước để suy điều kiện cần đủ tổng quát cho tồn nghiệm tối ưu 72 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục dưới, thường xét toán toán tối ưu (P ) inf{f (x) | x ∈ Rn } Kí hiệu Sf tập dãy {xk } thỏa mãn xk → ∞, {f (xk )} bị chặn xk xk −1 → x ∈ Ker f∞ (3.10) Chúng ta đưa vào hai giả thiết +) Giả thiết đầu tiên, kí hiệu H0 f∞ (d) ≥ 0, ∀d = ∈ Rn +) Giả thiết thứ 2, kí hiệu H1 (a) Sf = ∅ (b) Với dãy {xk } ∈ Sf , ∃zk , ρk ∈ (0, xk ) cho với k đủ lớn có f (xk − ρk zk ) ≤ f (xk ), zk → z với x − z < (3.11) Nhận xét 3.3.1 - Nếu inf f > −∞ biểu diễn giải tích f∞ H0 thỏa mãn - Một hàm hiển nhiên thỏa mãn H0 H1 Sf = ∅ Thật vậy, giả sử ngược lại Sf = ∅ Khi tồn {xk } x cho lim xk = +∞, lim xk xk k→∞ k→∞ −1 = x, f∞ (x) = x = = ⇒ f∞ (x) = 0, điều mâu thuẫn Vậy Sf = ∅ Định lý 3.3.1 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục dưới, thường Khi tập nghiệm tối ưu S = ∅ ⇔ H0 , H1 thỏa mãn Chứng minh Giả sử H0 , H1 thỏa mãn lấy {εk } dãy không tăng số thực dương hội tụ tới Với k ∈ N, đặt fk (x) = f (x) + εk g(x), g(x) = x 73 xét toán tối ưu (Pk ) inf{fk (x) | x ∈ Rn } Vì (fk )∞ (d) ≥ f∞ (d) + εk g∞ (d) H0 thỏa mãn nên (fk )∞ (d) > 0, ∀d = tức fk từ hệ 3.1.1 suy tồn xk ∈ (Pk ) Bây ta chứng minh {xk } bị chặn Giả sử ngược lại, không tính chất tổng quát ta giả xk xk −1 → x Ta có f (xk ) ≤ f (x) + ε0 x , x ∈ dom f Chia hai vế cho x ta f∞ (x) ≤ Vì H0 thỏa mãn nên f∞ (x) = ⇒ x ∈ Ker f∞ H1 thỏa mãn nên tồn zk , ρk ∈ (0, xk ) thỏa mãn (3.11) với k đủ lớn Do đó, xk ∈ argmin{fk (x) | x ∈ Rn } nên f (xk ) + εk xk ≤ f (xk − ρk zk ) + εk xk − ρk zk ≤ f (xk ) + εk xk − ρk zk 2 εk > nên xk − ρk zk ≥ xk Đặt x,k = xk xk −1 , ta có xk − ρk zk = (1 − ρk xk −1 )xk + ρk (x,k − zk ) ≤ xk (1 − ρk xk −1 ) + ρk x,k − zk ≤ xk + ρk ( x,k − zk − 1) suy x,k − zk ≥ Chuyển qua giới hạn ta x − z ≥ 1, điều mâu thuẫn với 74 ∼ giả thiết H1 , {xk } bị chặn Giả sử lim xk = x Vì f (xk ) + εk xk ≤ f (x) + εk xk k→∞ , ∀x ∈ Rn ∼ Chuyển qua giới hạn ta x ∈ S hay S = ∅ ∼ ∼ ∼ Ngược lại, lấy x ∈ S, x = xk − xk (xk − x) xk ∼ giả thiết H1 với ρk = xk , zk = (xk − x) xk −1 −1 suy Tiêu chuẩn hữu ích để chọn zk (3.11) lấy cho số zk = αx với α ∈ (0, 2) Khi với cách chọn đặc trưng giả thiết H1 viết sau, kí hiệu H1, , (a) Sf = ∅ (b) Với dãy {xk } ∈ Sf , ∃ε ∈ (0, 2) cho với k đủ lớn, ∃ρk ∈ R thỏa mãn ρk ∈ (0, (2 − ε) xk ) f (xk − ρk x) ≤ f (xk ) (3.12) Từ đó, ta có hệ sau Hệ 3.3.1 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục dưới, thường cho H0 , H1, Khi tập nghiệm tối ưu S (P ) khác rỗng Ví dụ 3.3.1 Cho g : [0, 5; 1] → R liên tục thỏa mãn g(0, 5) = e−0,5 ; g(1) = e−1 , min{g(x) | x ∈ [0, 5; 1]} < Xét hàm liên tục   e−x2 x ∈ / [0, 5; 1] f (x) =  g(x) trái lại Khi đó, ta có f∞ (−1) = f∞ (1) = 0, H0 H1, hiển nhiên thỏa mãn Nhận xét 3.3.2 Nếu thêm điều kiện giả thiết H1 H1, hàm f lồi (3.12) giả sử ε ∈ (0, 21 ) ρk ≥ (1 + ε) xk Khi không tập nghiệm tối ưu S = ∅ mà mệnh đề 3.2.2, f yếu S tổng tập compact không gian tuyến tính 75 Định nghĩa 3.3.1 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục dưới, thường Khi f gọi ổn định mức tiệm cận (als) với ρ > 0, dãy bị chặn thực {λk }, dãy {xk } ∈ Rn thỏa mãn xk ∈ lev(f, λk ), xk → +∞, xk xk −1 → x ∈ Ker f∞ ∃ k0 cho xk − ρx ∈ lev(f, λk ), ∀k ≥ k0 (3.13) (3.14) Hệ 3.3.2 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} hàm ổn định mức tiệm cận với inf f > −∞ Khi tập nghiệm tối ưu (P ) khác rỗng Chứng minh Vì inf f > −∞ nên H0 thỏa mãn Ngoài ra, lấy {xk } ∈ Sf Do định nghĩa Sf dãy {λk = f (xk )} bị chặn ρ > 0, định nghĩa hàm ổn định mức tiệm cận suy với k đủ lớn f (xk − ρx) ≤ f (xk ) H1, thỏa mãn Vậy từ định lý 3.3.1 suy S = ∅ 3.4 Tính ổn định cho toán có ràng buộc Định nghĩa 3.4.1 Cho A ma trận thực m×n f : Rn → R∪{+∞} hàm nửa liên tục dưới, thường Xét hàm biên định nghĩa h(y) = Af (y) = inf{f (x) | x ∈ C(y)} (3.15) C(y) = {x ∈ Rn | Ax = y} Nhận xét 3.4.1 Ta có h(y) = inf{f (x) | x ∈ Rn } (3.16) với Fy (x) = f (x) + δC(y) (x) Khi C(y)∞ = {d | Ad = 0} nên giả thiết H0 , H1 cho hàm 76 Fy H0, , H1, [y] sau: Giả thiết thứ H0, : f∞ (d) ≥ 0, ∀d ∈ Ker A, d = (3.17) Nếu f lồi H0, ≡ H0 Lấy {yk } dãy hội tụ tới y định nghĩa Sf [{yk }, y] tập dãy {xk } thỏa mãn Axk = yk xk → ∞, {f (xk )} bị chặn , xk xk −1 → x ∈ Ker f∞ (3.18) Khi H1, [y] thỏa mãn với dãy {yk } → y (a) S[{yk }, y] = ∅ (b) Với dãy {xk } ∈ Sf [{yk }, y], ∃zk , ρk ∈ (0, xk ) cho với k đủ lớn f (xk − ρk zk ) ≤ f (xk ), Azk = 0, zk → z với x − z < (3.19) Định lý 3.4.1 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục, thường H0, , H1, thỏa mãn Khi h nửa liên tục y C(y) ∩ dom f = ∅ tập nghiệm tối ưu S(y) = ∅ Chứng minh Giả sử C(y) ∩ dom f = ∅ đặt yk = y, ∀k Khi H1, [y] thỏa mãn nên Fy thỏa mãn điều kiện H1 ⇒ S(y) = ∅ Bây giờ, ta chứng minh h nửa liên tục y, tức h(y) ≤ lim inf h(yk ) k→∞ Không tính chất tổng quát ta giả sử lim inf h(yk ) = lim h(yk ) < ∞ k→∞ k→∞ Khi C(yk ) ∩ dom f = ∅, ∀k Cho εk → 0+ đặt   h(yk ) + εk h(yk ) > −∞ mk =  −k trái lại (3.20) 77 Sk = {x | f (x) ≤ mk , Ax = yk } Vì giả thiết H0, thỏa mãn nên f (.) + εk (3.21) + δSk (.) bức, từ hệ 3.1.1, suy ∃xk ∈ argmin{f (x) + εk x | x ∈ Sk } Ta chứng minh {xk } bị chặn Thật vậy, trái lại giả sử xk → ∞, x,k = xk xk → x = (3.22) Vì f (xk ) ≤ mk , nên từ (3.20), (3.21) suy tồn số c: f (xk ) ≤ c, ∀k Khi sử dụng (2.6) suy f∞ (x) ≤ Ngoài Ax = lim Axk xk −1 k→∞ = lim k→∞ yk = xk Do H0, thỏa mãn nên Ax = = f∞ (x) Từ giả thiết H1, [y] suy ∃zk , ρk ∈ (0, xk ] cho với k đủ lớn f (xk − ρk zk ) ≤ f (xk ), Azk = 0, zk → z với x − z < Do đó, xk − ρk zk ∈ Sk định nghĩa xk nên xk ≤ xk − ρk zk Khi đó, sử dụng lý luận chứng minh định lý 3.3.1 suy điều mâu thuẫn Vậy {xk } bị chặn Vì {xk } bị chặn nên tồn dãy {xnk } hội tụ tới x∗ Từ (3.23) f nửa liên tục nên chuyển qua giới hạn ta có Ax∗ = y f (x∗ ) ≤ lim inf h(yk ) ∗ k→∞ ∗ Vì x ∈ C(y) nên h(y) ≤ f (x ) Do h nửa liên tục y 78 Hệ 3.4.1 Giả sử f nửa liên tục f∞ (d) ≥ 0, ∀d ∈ Ker A, d = giả sử h(y) > −∞ Khi h nửa liên tục y C(y) ∩ domf = ∅ tập nghiệm tối ưu S(y) = ∅ Chứng minh Lấy dãy {xk } ∈ Sf [{yk }, y] với yk → y đặt zk = x, ∀k Khi đó, Axk = yk nên ∀ε > 0, k đủ lớn ta có f (xk ) > h(y) − ε suy {f (xk )} bị chặn Và f als nên giả thiết H1, [y] thỏa mãn Chương đưa số khái niệm kết toán bức, hàm yếu.Và từ kết suy điều kiện cần đủ tổng quát cho tồn nghiệm tối ưu tính ổn định cho toán có buộc 79 KẾT LUẬN Luận văn trình bày kiến thức nón tiệm cận, hàm tiệm cận số ứng dụng chúng Cụ thể Chương 1: Giới thiệu số khái niệm kết quan trọng tập lồi hàm lồi sử dụng luận văn Chương 2: Với mục tiêu trọng tâm nghiên cứu nón tiệm cận, hàm tiệm cận, chương trình bày cách có hệ thống kết nón tiệm cận, hàm tiệm cận Từ đưa mối liên hệ hàm giá tập nón tiệm cận nó, mối liên hệ nón tiệm cận vi phân hàm lồi nón pháp tuyến miền xác định, tiêu chuẩn tính đóng cuối phép tính vi phân vô cực Chương 3: Trên sở xây dựng khái niệm tính chất nón tiệm cận, hàm tiệm cận, chương nghiên cứu tồn nghiệm tính ổn định cho toán cực tiểu hóa lồi tổng quát Với phạm vi luận văn thời gian khả hạn chế, việc nghiên cưú ứng dụng nón tiệm cận hàm tiệm cận cần nghiên cứu sâu để tìm nhiều kết ứng dụng giải tích biến phân tối ưu hóa 80 Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [2] Huỳnh Thế Phùng (2005), Giải tích lồi, Giáo trình trường Đại học Khoa học Huế [3] Hoàng Tụy (2006), Lý thuyết tối ưu, Viện Toán học, Hà Nội [4] A Auslender, M Teboull (2003), Asymptotic Cones and Functions in Optimization and Variational Inequalities, SpringerVerlag, New York, Inc [5] R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [6] R T Rockafellar and R J B Wets (1998), Variational Analysis, Springer-Verlag, New York