Nón tiệm cận, Hàm tiệm cận và ứng dụng

LèI CÁM ƠN Trưóc trình bày n®i dung cna khóa lu¾n, tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói PGS.TS Nguyen Năng Tâm ngưòi đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình hưóng dan đe tơi có the hồn thành khóa lu¾n Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc, thay cô giáo giáng day chuyên ngành Tốn giái tích trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p làm lu¾n văn Cuoi cùng, tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bố, ong nghiắp ó đng viờn v tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thành bán lu¾n văn Hà N®i, tháng 11 năm 2011 Tran Th% Thu Hien LèI CAM ĐOAN Dưói sn hưóng dan cna PGS TS Nguyen Năng Tâm lu¾n văn Thac sĩ chuyên ngành Tốn giái tích vói đe tài “Nón ti¾m c¾n, hàm ti¾m c¾n úng dung” đưoc hồn thành bói sn nh¾n thúc cna bán thân, khơng trùng vói bat cú lu¾n văn khác Trong nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành tna cna nhà khoa hoc đong nghi¾p vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 11 năm 2011 Tran Th% Thu Hien Mnc lnc Báng kí hi¾u Má đau Chương T¾p loi hàm loi 1.1 T¾p loi tính chat 1.2 Hàm loi 14 Chương Hàm ti¾m c¾n nón ti¾m c¾n 21 2.1 Đ%nh nghĩa nón ti¾m c¾n .21 2.2 Tính đoi ngau cna nón ti¾m c¾n .29 2.3 Tiêu chuan ve tính đóng 30 2.4 Hàm ti¾m c¾n 36 2.5 Phép tính vi phân ó vơ cnc .53 Chương SN ton tai nghi¾m tính on đ%nh toán toi ưu 57 3.1 Các toán búc 57 3.2 Hàm búc yeu 62 3.3 Sn ton tai nghi¾m toi ưu 71 3.4 Tính on đ%nh cho tốn có ràng bu®c .75 Ket lu¾n .79 Tài li¾u tham kháo 80 BÁNG KÍ HIfiU R đưòng thang thnc R đưòng thang thnc mó r®ng Rn khơng gian Euclid n - chieu (x, y) tích vơ hưóng cna x y "x" chuan cna x conv C bao loi cna t¾p C af C bao affine cna t¾p C pos C bao dương cna t¾p C intC C phan cna t¾p C bao đóng cna t¾p C ri C phan tương đoi cna t¾p C ext C t¾p điem biên cna t¾p C extray Ct¾p tia cnc biên cna t¾p C σChàm giá cna t¾p C δC hàm chí cna t¾p C γChàm cõ cna t¾p C K∗ nón cnc cna K M⊥ phan bù trnc giao cna M f∗ , f ∗∗ liên hop, liên hop b¾c hai cna f lev(f, λ) t¾p múc cna hàm f inf f c¾n dưói cna hàm f sup f c¾n cna hàm f f giá tr% nhó nhat cna hàm f max f giá tr% lón nhat cna hàm f Ker fhat nhân, hach cna hàm f rge f ánh cna hàm f dom f mien huu hi¾u cna hàm f epi f đo th% cna hàm f ∂f đao hàm riêng cna hàm f theo bien xi ∂xi ∇f (x) gradient cna f C∞ nón ti¾m c¾n cna t¾p C f∞ hàm ti¾m c¾n cna hàm f Cf khơng gian hang cna f Kf nón ti¾m c¾n cna f Lf khơng gian tuyen tính cna f adc hang so theo phương ti¾m c¾n als hàm on đ%nh múc ti¾m c¾n Mé ĐAU Lí chon đe tài Giái tích loi đóng vai trò quan trong vi¾c nghiên cúu lý thuyet toán cnc tr% ngành toán hoc úng dung có sú dung cơng cu giái tích khơng gian tuyen tính Sn tách t¾p loi bien đoi liên hop Legendre-Fenchel nhung khái ni¾m bán có tính só dan tói sn thành cơng cna giái tích loi Hai khái ni¾m bán khác góp phan làm cho giái tích loi tró thành cơng cu giái tích tuy¾t vòi khái ni¾m cna nón ti¾m c¾n hàm ti¾m c¾n Do đó, đưoc sn goi ý cna thay giáng day chuyên ngành Toán giái tích vói sn giúp đõ cna thay Nguyen Năng Tâm, tơi chon đe tài “Nón ti¾m c¾n, hàm ti¾m c¾n úng dung” đe nghiên cúu Mnc đích nghiên cNu Nam đưoc khái ni¾m úng dung cna nón ti¾m c¾n hàm ti¾m c¾n đe bo sung kien thúc, cnng co hieu biet sâu ve Tốn giái tích úng dung cna Nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu ve nón ti¾m c¾n, hàm ti¾m c¾n úng dung Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nón ti¾m c¾n, hàm ti¾m cắn v mđt so ỳng dung Phng phỏp nghiờn cNu - Tìm hieu thơng tin sách báo liên quan đen n®i dung nghiên cúu - Sú dung phương pháp cna giái tích đai so tuyen tính - Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu NhĐng đóng góp mái cỳa e ti Trỡnh by oc mđt cỏch cú hắ thong kien thúc bán ve nón ti¾m c¾n, hm tiắm cắn v mđt so tớnh chat Nghiờn cỳu oc mđt so ỳng dung cna nún tiắm cắn v hàm ti¾m c¾n giái tích bien phân toi ưu hóa Chương T¾p loi hàm loi Tính loi đóng m®t vai trò bán tốn toi ưu Chương trình bày m®t so khái ni¾m ket bán ve t¾p loi, hàm loi 1.1 T¾p loi tính chat Đ%nh nghĩa 1.1.1 T¾p C ⊂ Rn loi neu ∀x, y ∈ C, ∀t ∈ [0, 1] tx + (1 − t)y ∈ C Đ%nh nghĩa 1.1.2 Giao cna tat cá t¾p loi chúa t¾p C ⊂ Rn đưoc goi bao loi cna C, kí hi¾u conv C Đ%nh nghĩa 1.1.3 T¾p C ⊂ Rn đưoc goi đa tap affine neu ∀x, y ∈ C, ∀t ∈ R ⇒ tx + (1 − t)y ∈ C Tù đ%nh nghĩa ta có Rn, điem, đưòng thang siêu phang Rn đa tap affine Đa tap affine đóng loi M¾nh đe 1.1.1 (Xem [4]) Cho C t¾p khác rong Rn Các m¾nh đe sau tương đương (a) C đa tap affine (b) C = x + M = {y | y − x ∈ M}, M không gian (c) C = {x | Ax = b}, A ∈ Rm×n, b ∈ Rn Đ%nh nghĩa 1.1.4 Giao cna tat cá t¾p affine chúa t¾p C ⊂ Rn đưoc goi bao affine cna C, kí hi¾u af A Nh¾n xét 1.1.1 af A t¾p affine nhó nhat chúa A M¾nh đe 1.1.2 (Xem [4]) Giá sú C ⊂ Rn đó, (a) conv C to hop loi cúa phan tú thu®c C, túc là, m m ti = 1} conv C = { tixi | xi ∈ C, ti ≥ i=1 0, i=1 (b) af C m®t đa tap affine conv C ⊂ af C (c) af C = af(conv C) M¾nh đe 1.1.3 (Xem [4]) Cho {Ci | i ∈ I} ho t¾p loi Ci ⊂ Rni ta có: (a) C1 × · · · × Cm loi Rn1 × · · · × Rnm T (b) Ci loi vói ni = n, ∀i i∈I m (c Ci loi vói ni = n, ∀i ) i=1 (d) Ánh cúa t¾p loi qua ỏnh xa tuyen tớnh l mđt loi %nh lý 1.1.1 (Đ%nh lý Caratheodory) (Xem [2]) Cho C ⊂ Rn, ∀x ∈ conv C to hop loi cúa không n + điem khác cúa C, túc ∃a0, , am ∈ C λ0, , λm ≥ vói m ≤ n cho m i=1 m λi = x = λ ia i i=1 Đ%nh nghĩa 1.1.5 Cho C ⊂ Rn t¾p loi, t¾p int C = {x ∈ Rn | ∃ε > 0, x + εB ⊂ \ C} C = (C + εB) ε>0 lan lưot đưoc goi phan bao đóng cna C Đ%nh nghĩa 1.1.6 Phan tương đoi cna C ⊂ Rn phan cna C af C, kí hi¾u ri C ri C = {x ∈ af C | ∃ε > 0, (x + εB) ∩ af C ⊂ C} Nh¾n xét 1.1.2 x ∈ ri A ⇔ ton tai lân c¾n mó V cúa x Rn cho V ∩ af A ⊂ A Ví dn 1.1.1 Trong R2, A = [a, b], ri A = (a, b) M¾nh đe 1.1.4 (Xem [4]) Cho C t¾p loi khác rong Rn Khi (a) ri C ƒ= ∅ af C = C (b) Neu x ∈ C y ∈ C tx + (1 − t)y ∈ ri C, ∀t ∈ [0, 1] ri C loi (c) C = ri C, ri C = ri C M¾nh đe 1.1.5 (Xem [4]) Cho C, D hai t¾p loi Rn Khi đó, vói α, β ∈ R ri(αC + βD) = α ri C + β ri D Vì v¾y, vói α = −β = 1, ta có ∈ ri(C − D) ⇔ ri C ∩ ri D ƒ= ∅ M¾nh đe 1.1.6 (Xem [4]) Cho C t¾p loi khác rong Rn Khi (a) ri C ⊂ C ⊂ C (b) C = C; ri(ri C) = ri C (c) A(C) ⊂ A(C) ri A(C) = A(ri C) A : Rn → Rn ánh xa tuyen tính Hơn nua, A−1(S) = {x ∈ Rn | A(x) ∈ S} ngh%ch ánh cúa A vói S ⊂ Rn Khi đó, neu A−1(ri C) ƒ= ∅ ri(A−1C) = A−1(ri C); A−1(C) = A−1(C) ... cna hàm f sup f c¾n cna hàm f f giá tr% nhó nhat cna hàm f max f giá tr% lón nhat cna hàm f Ker fhat nhân, hach cna hàm f rge f ánh cna hàm f dom f mien huu hi¾u cna hàm f epi f đo th% cna hàm. .. Chương T¾p loi hàm loi 1.1 T¾p loi tính chat 1.2 Hàm loi 14 Chương Hàm ti¾m c¾n nón ti¾m c¾n 21 2.1 Đ%nh nghĩa nón ti¾m c¾n .21 2.2 Tính đoi ngau cna nón ti¾m c¾n... f đo th% cna hàm f ∂f đao hàm riêng cna hàm f theo bien xi ∂xi ∇f (x) gradient cna f C∞ nón ti¾m c¾n cna t¾p C f∞ hàm ti¾m c¾n cna hàm f Cf không gian hang cna f Kf nón ti¾m c¾n cna f Lf khơng