Giai tich Loi

GIẢI TÍCH LỒI Huỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế 20/10/2005 1 Mục lục Mục lục 1 Chương 1 Tập lồi 3 1.1. Tập lồi - Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Nón lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4. Định lý Carathéodory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Định lý tách tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Định lý Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii. . . . . . 7 1.2.3. Định lý tách tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1. Không gian tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2. Không gian tôpô tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3. Không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.4. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.5. Không gian tích - Phần bù tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Tập lồi trong không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1. Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn. . . . . . . 16 1.4.2. Các tính chất tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.3. Nón lùi xa của tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2 Không gian liên hợp - Tôpô yếu 21 2.1. Định lý tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2. Định lý Tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.3. Định lý Tách mạnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 2.2. Tôpô yếu - Tôpô yếu*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 2.2.1. Tôpô yếu trên X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2. Tôpô yếu* trên X ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3. Cặp đối ngẫu tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.4. Không gian Banach phản xạ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 3 Hàm lồi 28 3.1. Cấu trúc hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.1. Định nghĩa hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.2. Các phép toán trên hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2. Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.1. Hàm nửa liên tục dưới. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.2. Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3. Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3.1. Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine. . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3.2. Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4. Dưới vi phân hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4.2. Quan hệ với đạo hàm theo hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4.3. Các phép toán qua dưới vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4.4. Ứng dụng khảo sát bài toán Quy hoạch lồi. . . . . . . . . . . . 37 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Chương 1 TẬP LỒI 1.1. Tập lồi - Đa tạp affine. 1.1.1. Đa tạp affine. Cho X là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(x, y), [x, y], (x, y), [x, y) lần lượt là đường thẳng đi qua x, y, đoạn thẳng, khoảng mở và nửa khoảng nối hai điểm x và y. Tức là L(x, y) = {λx + (1 −λ)y | λ ∈ R}, [x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]}, (x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)}, [x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1]}. Một tập M ⊂ X được g ọi là đa tạp affine, hay đơn giản là tập affine, nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ M ta có L[x, y] ⊂ M. Từ định nghĩa này ta có ngay tính chất sau a) Giao của một họ bất kỳ các đa tạp affine là một đa tạp affine. Nếu A ⊂ X là một tập con bất kỳ của X ta gọi bao affine của A, ký hiệu Aff(A), là giao của tất cả các đa tạp affine chứa A. Từ tính chất a) Aff(A) là một đa tạp affine và là đa tạp affine bé nhất chứa A. Thật ra tập Aff(A) có thể được biểu diễn một cách tường minh hơn. Ta gọi véctơ có dạng x = m  i=1 λ i a i , với λ i ∈ R thoả mãn  λ i = 1 là một tổ hợp affine của các véctơ {a 1 , a 2 , ··· , a m }. Ta nhận được các tính chất sau b) Aff(A) = {x | x là tổ hợp affine của các vectơ thuộc A}. 4 c) A là đa tạp affine khi và chỉ khi A = Aff(A), tức là A =  m  1 λ i a i | m ∈ N ∗ ; a i ∈ A; λ i ∈ R :  λ i = 1  d) M là đa tạp affine khi và chỉ khi với mọi m ∈ M ta có M −m ≤ X, tức là M = m + V, với V là một không gian con của X. Lúc đó, ta gọi chiều và đối chiều của M chính là chiều và đối chiều của V : dim M := dim V ; codim M := codim V. Nếu codim M = 1 ta nói M là một siêu phẳng. Bây giờ nếu Y cũng là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(X, Y ) là không gian các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . Đặc biệt nếu Y = R, ta đặt X # := L(X, R), là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X. e) M ⊂ X là siêu phẳng khi và chỉ khi tồn tại f ∈ X # \ {0} và α ∈ R sao cho M = f −1 (α) = {x ∈ X | f(x) = α}. f) Nếu codim M = k ∈ N thì tồn tại các siêu phẳng M 1 , M 2 , ··· , M k sao cho M = k  1 M i . 1.1.2. Tập lồi. Tập hợp C ⊂ X được gọi là lồi nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ C ta có (x, y) ⊂ C. a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là lồi. Tương tự bao affine, ta gọi bao lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu co A, là giao của tất cả các tập lồi chứa A. Từ tính chất trên co A cũng là một tập lồi và là tập lồi bé nhất chứa A. Một tổ hợp affine x =  m i=1 λ i a i với các λ i ≥ 0 sẽ được gọi là một tổ hợp lồi của các véctơ {a 1 , ··· , a m }. b) co A = {x | x là tổ hợp lồi của các vectơ thuộc A}. c) C là tập lồi khi và chỉ khi C = co C, tức là C =  m  1 λ i a i | m ∈ N ∗ ; a i ∈ C; λ i ≥ 0 : m  1 λ i = 1  . Nếu C là tập lồi, ta định nghĩa số chiều của C chính là số chiều của Aff(C): dim C := dim Aff(C). d) Nếu A và B là các tập lồi và α ∈ R, thì các tập A + B, αA cũng lồi. 5 1.1.3. Nón lồi. Một tập K ⊂ X được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0 ta có λk ∈ K. Nếu hơn nữa, K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lồi. Một tổ hợp tuyến tính  m i=1 λ i a i sẽ được gọi là một tổ hợp dương nếu λ i ≥ 0 với mọi i, là tổ hợp dương không tầm thường nếu tồn tại ít nhất một hệ số λ i dương chặt. a) Giao của một họ bất kỳ các nón lồi là một nón lồi. Ta gọi bao nón lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu con co A, là nón lồi bé nhất chứa A. Lúc đó, b) con co A = {x | x là tổ hợp dương không tầm thường các vectơ thuộ c A}. c) K là nón lồi khi và chỉ khi K = con co K, tức là K =  m  1 λ i k i | m ∈ N; k i ∈ K; λ i ≥ 0 : m  1 λ i > 0}. d) Nếu K 1 , K 2 là các nón lồi chứa gốc thì K 1 + K 2 = co(K 1 ∪ K 2 ). 1.1.4. Định lý Carathéodory. Định lý 1.1. Cho A ⊂ X. Lúc đó, với mọi k ∈ con co A \ {0}, tồn tại hệ độc lập tuyến tính {a 1 , a 2 , ··· , a m } ⊂ A và các số dương λ 1 , ··· , λ m sao cho k = m  1 λ i a i . Chứng minh. Giả sử k ∈ con co A \ {0}, lúc đó k được biểu diễn dưới dạng tổ hợp dương của các vectơ thuộc A: k =  m 1 λ i a i với λ i > 0 với mọi i. Nếu hệ {a 1 , a 2 , ··· , a m } phụ thuộc tuyến tính, thì tồn tại bộ hệ số (µ 1 , ··· , µ m ), với ít nhất một µ j > 0, sao cho  m 1 µ i a i = 0. Bây giờ nếu đặt t 0 = min  λ j µ j    µ j > 0  = λ s µ s , ta được λ i := λ i − t 0 µ i ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m, và k =  i=s λ i a i ;  i=s λ i = 1. Định lý được chứng minh. Định lý 1.2 (Carathéodory). Giả sử dim X = n < ∞ và A ⊂ X. Lúc đó, với mọi x ∈ co A, x là tổ hợp lồi của một họ không quá n + 1 vectơ thuộc A. Tức là, tồn tại hệ {a 0 , a 1 , ··· , a m } ⊂ A và các số λ 0 , ··· , λ m ≥ 0, với m ≤ n, sao cho m  0 λ i = 1 và x = m  0 λ i a i . 6 Chứng minh. Đặt B = {(x, 1) | x ∈ A} ⊆ Y = X ×R. Dễ thấy co B = co A ×{1}. Do đó, với mọi x ∈ co A ta có y = (x, 1) ∈ co B ⊆ con co B. Theo Định lý 1.1 tồn tại m vectơ độc lập tuyến tính {(a 0 , 1), (a 1 , 1), ··· , (a m , 1)} ⊆ B và các số dương λ i sao cho (x, 1) = m  0 λ i (a i , 1), tức là x = m  0 λ i a i ; m  0 λ i = 1. Cuối cùng, chú ý rằng dim Y = n+1 nên m ≤ n và định lý đã được chứng minh. 1.2. Định lý tách tập lồi. 1.2.1. Định lý Hahn-Banach. Cho X là một không gian vectơ. Một ánh xạ ϕ : X → R được gọi là một phiếm hàm dưới tuyến tính nếu a) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với mọi x, y ∈ X; b) ϕ(λx) = λϕ(x) với mọi λ > 0, x ∈ X. Định lý 1.3 (Hahn-Banach). Cho ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên X, M là một không gian con của X và f ∈ M # thoả mãn f(m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M. Lúc đó, tồn tại F ∈ X # sao cho a) F | M = f; b) F (x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ X. Chứng minh. Ta xét tập hợp U mà mỗi phần tử của nó là một cặp (Y, g) trong đó M ≤ Y ≤ X, g ∈ Y # , g| M = f và g(y) ≤ ϕ(y) với mọi y ∈ Y . Trên U ta định nghĩa quan hệ hai ngôi α xác định bởi (Y, g) α(Z, h) ⇔ Y ≤ Z; h| Y = g. Có thể kiểm chứng được (U, α) là một không gian thứ tự, trong đó mọi tậ p con sắp thẳng đều tồn tại phần tử chận trên. Theo Bổ đề Zorn, trong U tồn tại phần tử tối đại (Y, g). Ta sẽ chỉ ra Y = X và điều đó kết thúc chứng minh. Giả sử ngược lại rằng tồn tại v ∈ X \ Y . Với mọi cặp y 1 , y 2 ∈ Y ta có g(y 1 ) −g(y 2 ) = g(y 1 − y 2 ) ≤ ϕ(y 1 − y 2 ) ≤ ϕ(y 1 + v) + ϕ(−y 2 − v) 7 ⇒ λ = sup{g(y 1 ) −ϕ(y 1 + v) | y 1 ∈ Y } ≤ µ = inf{g(y 2 ) + ϕ(−y 2 − v) | y 2 ∈ Y }. Với mỗi y ∈ Y và t ∈ R ta đặt h(y + tv) = g(y) −tλ. Dễ kiểm chứng được rằng h ∈ Z # , với Z là không gian con sinh bởi Y và v, thỏa mãn h| Y = g. Mặt khác, h(y + tv) ≤ ϕ (y + tv) với mọi y + tv ∈ Z. Vậy (Y, g) = (Z, h) ∈ U và (Y, g) α(Z, h), mâu thuẫn vì (Y, g) là phần tử tối đại. Định lý đã được chứng minh. Hệ quả 1.1. Cho X là không gian định chuẩn và M là không gian con của X. Lúc đó, với mọi f ∈ M ∗ , tồn tại F ∈ X ∗ sao cho F | M = f và F  = f. Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.3 với ϕ(x) = fx. Hệ quả 1.2. Cho X là không gian định chuẩn và x 0 ∈ X \ {0}. Lúc đó, tồn tại f ∈ X ∗ sao cho f = 1 và f(x 0 ) = x 0 . Chứng minh. Sử dụng Hệ quả 1.1 với M = span{x 0 } và f(λx 0 ) = λx 0 . 1.2.2. Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii. Một tập con A của không gian vectơ X được gọi là hấp thụ nếu ∀v ∈ X, ∃ > 0, (−v, v) ⊂ A hay, một cách tương đương, ∀v ∈ X, ∃δ > 0, ∀|t| ≥ δ, v ∈ tA. Một điểm x 0 được gọi là điểm bọc của A nếu A −x 0 là hấp thụ. Tập tất cả các điểm bọc của A, ký hiệu core A, được gọi là lõi của A. Như vậy, x 0 ∈ core A ⇔ ∀v ∈ X, ∃ > 0, ∀λ ∈ (−, ) : x 0 + λv ∈ A. Rõ ràng, khái niệm điểm bọc là một mở rộng của khái niệm điểm trong của không gian định chuẩn. Hơn nữa, ta có kết quả sau Mệnh đề 1.4. Nếu X là một không gian định chuẩn và A ⊂ X, thì a) Int A ⊂ core A. b) Nếu dim X < ∞ và A lồi, thì Int A = core A. 8 Chứng minh. Khẳng định a) suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Để chứng minh b) ta giả thiết {e 1 , e 2 , ··· , e n } là một cơ sở của X. Vì mọi chuẩn trên X đều tương đương nên không mất tính tổng quát ta có thể xét chuẩn ·  1 xác định bởi  n  i=1 x i e i  1 := n  i=1 |x i |. Với mọi x 0 ∈ core A, tồn tại  > 0 sao cho x 0 ± e i ∈ A với mọi i = 1 n. Do A lồi nên B := co{x 0 ± e i | 1 ≤ i ≤ n} ⊂ A. Để kết thúc chứng minh ta chú ý rằng B chính là hình cầu tâm x 0 , bán kính  trong (X,  · 1 ). Mệnh đề 1.5. Nếu C ⊂ X là tập lồi, thì core C và tập hợp dưới đây cũng lồi lin C := {y ∈ X | ∃c ∈ C, [c, y) ⊂ C}. Chứng minh. Giả sử c 1 , c 2 ∈ core C và t ∈ (0, 1). Lúc đó, với mọi v ∈ X tồn tại  > 0 sao cho c i + λv ∈ C với mọi λ ∈ (−, ). Vì C lồi nên ta cũng có tc 1 + (1 − t)c 2 + λv = t(c 1 + λv) + (1 − t)(c 2 + λv) ∈ C với mọi λ ∈ (−, ). Vậy tc 1 + (1 − t)c 2 ∈ core C, hay core C lồi. Để chứng minh lin C lồi ta cũng lấy y 1 , y 2 ∈ lin C và t ∈ (0, 1). Theo định nghĩa, tồn tại c 1 , c 2 ∈ C sao cho [c 1 , y 1 ) ⊆ C và [c 2 , y 2 ) ⊆ C. Dễ kiểm chứng được rằng [c t , ty 1 + (1 −t)y 2 ) ⊆ C với c t := tc 1 + (1 −t)c 2 ∈ C. Vì vậy ty 1 + (1 −t)y 2 ∈ lin C, hay lin C lồi. Bây giờ, cho C là một tập lồi hấp thụ trong X. Ta định nghĩa phiếm hàm Minkowskii của C là hàm được xác định bởi p C (x) := inf{λ > 0 | x ∈ λC}; x ∈ X. Rõ ràng, 0 ≤ p C (x) < ∞ với mọi x ∈ X. Định lý 1.6. p C là phiếm hàm dưới tuyến tính và {x ∈ X | p C (x) < 1} ⊂ C ⊂ {x ∈ X | p C (x) ≤ 1}. Cụ thể hơn, ta có {x ∈ X | p C (x) < 1} = core C và {x ∈ X | p C (x) ≤ 1} = lin C. 1.2.3. Định lý tách tập lồi. Cho A và B là hai tập con của không gian vectơ X. Một phiếm hàm tuyến tính f ∈ X # \ {0} được gọi là tách A và B nếu f(a) ≤ f(b) (hoặc f(a) ≥ f(b)); ∀a ∈ A, b ∈ B. Điều này tương đương với nói rằng, tồn tại một số α ∈ R sao cho f(a) ≤ α ≤ f(b); ∀a ∈ A, b ∈ B. 9 Lúc đó, ta nói siêu phẳng H(f; α) := f −1 (α) = {x ∈ X | f(x) = α} tách A và B. Trường hợp B là tập một điểm: B = {x 0 }, ta nói đơn g iản siêu phẳng H(f; α) tách A và x 0 . Rõ ràng, siêu phẳng tách hai tập, nếu có, là không duy nhất. Định lý 1.7 (Định lý tách cơ bản). Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng, core A = ∅ và A ∩B = ∅. Lúc đó, tồn tại siêu phẳng tách A và B. Bổ đề 1.1. Nếu C là tập lồi hấp thụ và x 0 ∈ C thì tồn tại siêu phẳng tách C và x 0 . Chứng minh. Đặt M := span{x 0 } và g : M → R xác định bởi g(λx 0 ) := λ với mọi λ ∈ R. Lúc đó g ∈ M # , hơn nữa, do p C (x 0 ) ≥ 1 nên g(m) ≤ p C (m) với mọi m ∈ M . Áp dụng Định lý Hahn-Banach tồn tại f ∈ X # sao cho f| M = g và f(x) ≤ p C (x) với mọi x ∈ X. Rõ ràng f(x 0 ) = 1. Mặt khác, với mọi c ∈ C ta có f(c) ≤ p C (c) ≤ 1. Nên f tách C và x 0 . Chứng minh Định lý 1.7. Giả sử a 0 ∈ core A và b 0 ∈ B. Đặt x 0 := a 0 − b 0 và C := A −B −(a 0 −b 0 ). Lúc đó, C lồi, hấp thụ và không chứa x 0 . Từ Bổ đề trên tồn tại f ∈ X # \ {0} tách C và x 0 . Dễ kiểm chứng được rằng f cũng tách A và B. 1.3. Không gian tôpô lồi địa phương. 1.3.1. Không gian tôpô. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một họ τ ⊂ P(X) được gọi là một tôpô trên X nếu nó thoả mãn các tính chất sau: i) ∅, X ∈ τ, ii) Giao của một số hữu hạn phần tử thuộc τ thì thuộc τ, iii) Hợp của một họ tuỳ ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ. Lúc đó, X được gọi là một không gian tôpô và mỗi phần tử U ∈ τ được gọi là mộ t tập mở trong X. Bây giờ cho A ⊂ X, x 0 ∈ X, ta nói x 0 - là một điểm trong của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U ⊂ A, - là một điểm ngoài của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U và U ∩ A = ∅, - là một điểm biên của A nếu hai mệnh đề trên đều sai. Ta nói phần trong (phần ngoài, biên) của A là tập hợp gồm tất cả các điểm trong (điểm ngoài, điểm biên tương ứng) của A và ký hiệu là Int A (Ext A, ∂A).