Cho X và Y là hai không gian vectơ và h·,·i : X ×Y → R là một dạng song tuyến tính tách được theo từng biến. Nghĩa là
hx, λy1+µy2i=λhx, y1i+µhx, y2i; ∀x∈X, y1, y2 ∈Y, λ, µ∈R,
hλx1+µx2, yi=λhx1, yi+µhx2, yi; ∀x1, x2 ∈X, y ∈Y, λ, µ∈R.
∀x0 ∈X\ {0},∃y ∈Y :hx0, yi 6= 0,
∀y0 ∈Y \ {0},∃x∈X :hx, y0i 6= 0.
Lúc đó, mỗiy ∈Y cố định sẽ xác định một phiếm hàm tuyến tính trên X theo quy tắc
x∈X −→ hx, yi ∈R,
và mỗi x∈X cũng xác định một phiếm hàm tuyến tính trên Y bởi y∈Y −→ hx, yi ∈R.
Như vậy có thể xem X là một không gian vectơ những phiếm hàm tuyến tính trên Y, hay X ≤Y#. Tương tự, Y ≤ X#. Ta sẽ ký hiệu tôpô tuyến tính yếu nhất trên X bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm y ∈ Y bởi σ(X, Y) và tôpô tuyến tính yếu nhất trên Y bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm x∈X bởiσ(Y, X).
Định lý 2.11. σ(X, Y) là tôpô lồi địa phương Hausdorff trên X. Hơn nữa, không gian liên hợp của (X, σ(X, Y)) cũng chính là Y.
Dĩ nhiên, một kết quả tương tự cũng đúng đối với tôpô σ(Y, X) và ta cũng có
(Y, σ(Y, X))∗ =X. Để chứng minh các kết quả này ta cần đến bổ đề sau
Bổ đề 2.2. Nếu f1, f2,· · · , fm và g là các phiếm hàm tuyến tính trên không gian vectơ X sao cho
m
\
i=1
Kerfi ⊂Kerg,
thì g là một tổ hợp tuyến tính của họ {f1, f2,· · · , fm}.
Hệ quả 2.8. Giả sử (X, τ) là một không gian lồi địa phương Hausdorff với không gian liên hợp X∗. Lúc đó với dạng song tuyến tính hx, fi=f(x) trên X×X∗ ta có
σ(X, X∗) = τw, σ(X∗, X) = τw∗. Đặc biệt, (X, τw)∗ =X∗ và (X∗, τw∗)∗ =X.
Do tính đối xứng giữa các không gian X vàX∗, được thể hiện qua hệ quả trên, ta thường ký hiệu các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian lồi địa phương X làx∗ ∈X∗ và viết hx, x∗i thay cho x∗(x).