Cho f :X →R. f được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại x0 nếu
lim inf
x→x0
f(x)≥f(x0).
Nếuf(x0) hữu hạn thì điều kiện này có thể viết lại một cách tương đương rằng, với mọi >0tồn tại lân cận gốc V sao cho
f(x)> f(x0)−, ∀x∈x0+V.
Mệnh đề 3.12. Cho f :X →R, ba phát biểu sau là tương đương a) f l.s.c.
b) C(f;α) đóng, với mọi α ∈R, c) epif là tập đóng trong X×R.
Từ kết quả này mà một hàm nửa liên tục dưới còn được gọi là hàm đóng. Hệ quả 3.4. Một hàm lồi, l.s.c. thì cũng l.s.c. theo tôpô yếu.
Cho f :X →R. Ta gọi bao đóng của f là hàmf¯:=fepif. Tức là:
¯
f(x) := inf{γ ∈R|(x, γ)∈epif}; x∈X và bao lồi đóng củaf là hàmcof := cof.
Mệnh đề 3.13. f¯(cof) là hàm đóng (lồi đóng) lớn nhất trong số các hàm đóng (lồi đóng) non hơn f. Hơn nửa,
epi ¯f = epif; epi(cof) = co(epif).
Chú ý: co ¯f không nhất thiết là hàm đóng và do đó, nói chung co ¯f 6= cof.
Mệnh đề 3.14. Một hàm lồi, đóng, không chính thường thì không nhận giá trị hữu hạn nào.
Mệnh đề 3.15.
a) f đóng khi và chỉ khi f = ¯f.
b) Nếu f lồi thì f¯lồi và do đó cof = ¯f. c) Nếu f1, f2 đóng thì f1+f2 đóng.
d) Nếu fα đóng với mọi α∈I, thì ∨fα đóng.
e) Nếu fα lồi, đóng với mọi α∈I, thì ∨fα lồi, đóng.
3.2.2. Sự liên tục của hàm lồi.
Một hàmf được gọi là Lipschitz địa phương tạix0 nếu tồn tại một lân cận gốc lồi, cân đốiV và hằng số K >0sao cho
|f(x)−f(x0)| ≤KpV(x−x0); ∀x, x0 ∈x0+V.
f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập mởU ⊂X nếu nó Lipschitz địa phương tại mọi điểm thuộc U. Dễ thấy các định nghĩa này không phụ thuộc vào lân cận V được chọn và, khi X là không gian định chuẩn, ta nhận được định nghĩa hàm Lipschitz thông thường bằng cách chọn V là hình cầu đơn vị.
Định lý 3.16. Cho f lồi chính thường, các phát biểu sau là tương đương. a) f liên tục tại một điểm x¯∈X.
b) f bị chặn trên trong một tập lồi mở khác rỗng nào đó. c) Int(epif)6=∅.
d) Int(domf)6=∅ và f Lipschitz địa phương trênInt(domf). e) Int(domf)6=∅ và f liên tục tại mọi điểm thuộc Int(domf).
Hệ quả 3.5. Nếuf là hàm lồi chính thường trên Rn thì f liên tục trong tôpô tương đối của Aff(domf) tại mọi điểm x∈ri(domf).