Cho (X, τ) là một không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff và f :X −→[−∞,∞]
là một phiếm hàm trên X. Các tập hợp
domf :={x∈X |f(x)<∞}, epif :={(x, γ)∈X×R|f(x)≤γ}
lần lượt được gọi làmiền hữu hiệu và epi đồ thị của f. Ngoài ra, với mỗi α ∈R ta gọi tập hợp sau là tập mức dưới của hàm f tương ứng với mức α:
C(f;α) :={x∈X |f(x)≤α}. Hàmf được gọi là chính thường nếu
domf 6=∅ và f(x)>−∞, ∀x∈X,
và được gọi là lồi nếu epif là tập lồi trong không gian X×R. Nếu −f là hàm lồi thì f được gọi là hàm lõm.
Mệnh đề 3.1. Nếu f lồi thì domf lồi.
Mệnh đề 3.2. Nếu f lồi thì C(f;α) lồi với mọi α∈R.
Mệnh đề 3.3. Cho f :X →(−∞,+∞]. Lúc đó,
Mệnh đề 3.4 (Bất đẳng thức Jensen). Cho f :X →(−∞,+∞]. Lúc đó, f lồi ⇔f m X 1 λixi ! ≤ m X 1 λif(xi); ∀xi ∈X; ∀λi ≥0 : m X 1 λi = 1. Một ví dụ đơn giản của hàm lồi là hàm chỉ; Cho C là tập con của X, ta gọi hàm chỉ của C là hàm
δC(x) =
(
0, x∈C,
∞, x∈X\C.
Lúc đó, dễ kiểm tra được rằng δC là hàm lồi khi và chỉ khi C là tập lồi. Hàmf :X →Rđược gọi là thuần nhất dương nếu
f(λx) =λf(x); ∀x∈X, ∀λ >0.
Mệnh đề 3.5. Cho hàm thuần nhất dương f : X → (−∞,+∞]. Ba phát biểu sau là tương đương
a) f lồi,
b) f(x+y)≤f(x) +f(y); ∀x, y ∈Rn. c) epif là một nón lồi.
Hệ quả 3.1. Nếuf là hàm lồi, chính thường, thuần nhất dương thì
f m X 1 λixi ! ≤ m X 1 λif(xi); ∀xi ∈X; ∀λi >0. Hệ quả 3.2. Nếuf là hàm lồi, chính thường, thuần nhất dương thì
f(x) +f(−x)≥0; ∀x∈X.