Xây dựng một số quy trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình học không gian.

Hình học không gian là một mảng kiến thức khó với học sinh trung học phổ thông, khi đứng trước những khái niệm mới, những dạng toán mới các em khó có th ể tiếp thu một cách trọn vẹn khiến việc ghi nhớ cũng như làm bài tập gặp vô vàng những khó khăn. Môn toán là một môn học công cụ cung cấp những kiến thức, kỹ năng, phương pháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động mới làm chủ tập thể. Hơn n ữa, mỗi một môn học đều có một đặc thù riêng và chúng đòi hỏi người giáo viên cần nhận ra những đặc điểm đó để tìm ra phương pháp giảng dạy phù hợp. Trong đó, toán học là một môn học gắn liền với các quy trình, vì thế bên cạnh việc rèn luy ện tính tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo cho học sinh, chúng ta cần rèn luy ện cho học sinh các thao tác, cách thức giải quyết vấn đề theo một quy trình nhất định. Xây dựng một số quy trình tựa thuật toán là một điều kiện để thông qua việc dạy học các quy trình trên mà rèn luy ện cho học sinh một lo ại hình tư duy quan trọng : tư duy thuật toán, một yếu tố học vấn phổ thông của con người trong thời đại máy tính. Từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường trung học phổ thông, sau đó với tư cách là một giáo sinh kiến tập sư phạm, qua tìm hiểu em biết được việc giải bài toán hình học không gian đối với học sinh tương đối khó. Yêu cầu trước hết đòi hỏi học sinh phải hiểu sâu sắc nội dung định nghĩa, định lý từ đó làm cơ sở để xây dựng cho mình những thuật toán để giải bài tập. Là một giáo viên tương lai, em hiểu mình cần phải trao dồi và rèn luy ện trình độ chuyên môn sâu cũng như bồi dưỡng nâng cao lý luận dạy học, tím ra phương pháp học tốt phục vụ cho sự nghiệp trồng người sau này. Những lí do trên đã thúc đẩy em chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: Xây dựng một số quy trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình học không gian.

"Môn toán là một môn học "công cụ" cung cấp những kiến thức, kỹ năng, phương pháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động mới làm chủ tập thể" Hơn nữa, mỗi một môn học đều có một đặc thù riêng và chúng đòi hỏi người giáo viên cần nhận ra những đặc điểm đó để tìm ra phương pháp giảng dạy phù hợp Trong đó, toán học là một môn học gắn liền với các quy trình, vì thế bên cạnh việc rèn luyện tính tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo cho học sinh, chúng ta cần rèn luyện cho học sinh các thao tác, cách thức giải quyết vấn

Là một giáo viên tương lai, em hiểu mình cần phải trao dồi và rèn luyện trình độ chuyên môn sâu cũng như bồi dưỡng nâng cao lý luận dạy học, tím ra phương pháp học tốt phục vụ cho sự nghiệp trồng người sau này

Những lí do trên đã thúc đẩy em chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: "Xây dựng một số quy trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình học không gian"

2 Mục đích nghiên cứu

Nhằm hệ thống lại các một số phương pháp giải toán hình không gian cũng như các

thao tác thuật toán Từ đó rút ra cách phân tích và giải bài toán hình học không

gian

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nhắc lại các kiến thức về thuật toán và quy trình tựa thuật toán

- Nhắc lại mục đích, vai trò, ý nghĩa, vị trí và chức năng của bài tập toán

- Tìm hiểu về phương pháp dạy học tìm tòi lời giải bài toán

- Tóm tắt một số lí thuyết hình học không gian sách giáo khoa lớp 11 nâng cao

- Xây dựng một số quy trình tựa thuật toán cụ thể để giải các bài tập hình học không gian

- Hệ thống và một số bài tập điển hình theo chủ đề thể tích khối đa diện

- Đề xuất một số giáo án sử dụng việc xây dựng quy trình thuật toán trong dạy học

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận dạy học toán, đặc biệt là thuật toán và quy trình tựa thuật toán

- Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa, sách bài tập và một số sách tham khảo

- Phần thực nghiệm đã sử dụng phương pháp trực quan, điều tra và vận dụng lí thuyết vào dạy học cụ thể Tổng kết kinh nghiệm, đánh giá thống kê kết quả đạt được trong quá trình thực nghiệm

5 Đối tượng nghiên cứu

Hoạt động dạy và học của giáo viên và học sinh thông qua việc xây dựng một số quy trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình học không gian

6 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu về dạy học giải bài tập

Nghiên cứu sách giáo khoa lớp 11 và tham khảo các sách bài tập khác

7 Cấu trúc và nội dung luận văn (gồm 3 phần)

Phần mở đầu

Phần nội dung

Chương I: Thuật toán và quy trình tựa thuật toán

Chương II: Cơ sở lí luận của dạy học giải bài tập toán

Chương III: Tóm tắt lí thuyết hình học không gian sách giáo khoa lớp 11 nâng cao

Chương IV: Xây dựng quy trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình học không gian

Chương V: Một số bài tập hình học không gian chọn lọc

Chương VI: Thực nghiệm sư phạm

Phần kết luận

8 Một số từ ngữ được viết tắt trong đề tài

Kí hiệu Tên đầy đủ

SGK Sách giáo khoa THPT Trung học phổ thông

mp mặt phẳng

HS học sinh

GV Giáo viên MTĐT máy tính điện tử

B NỘI DUNGChương I: THUẬT TOÁN VÀ QUY TRÌNH TỰA THUẬT TOÁN

=================

1.1 Quy trình

Quy trình là một trình tự phải tuân theo để tiến hành một công việc nào đó

Ví dụ: Quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán, quy trình giải bài toán bằng cách lập phương trình,

Mỗi quy trình có thể chia thành các bước Mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích nhất định Mỗi hoạt động có thể có nhiều thao tác

Ví dụ: Hoạt động "Tìm hiểu nội dung bài toán" có các thao tác: Vẽ hình, chọn kí hiệu, phân tích giả thiết, kết luận của bài toán [12]

1.2 Thuật toán

1.2.1 Khái niệm về thuật toán

Hằng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định mô tả qúa trình giải Từ

đó người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật toán và khái niệm này đã được dùng

từ lâu, kéo dài suốt mấy nghìn năm trong Toán học [7,tr.401]

Thuật toán (algorithm) là một cơ sở của Toán học và Tin học được hiểu như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người hay máy thực hiện được một số hữu hạn thao tắc nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định Như vậy thuật toán là một phương pháp thể hiện lời giải vấn đề bài toán Đây chưa phải là một định nghĩa chính xác mà chỉ là một cách phát biểu giúp

ta hình dung khái niệm thuật toán một cách trực giác [8,tr.200]

Ở trường phổ thông học sinh được hoạt động với nhiều thuật toán như cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên và số hữu tỉ, thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai số, bội chung nhỏ nhất của hai số, thuật toán giải phương trình bậc hai dưới

dạng chuẩn…[8,tr.200]

1.2.2 Phương pháp thuật toán (Algôrít) trong dạy học

Phương pháp Algôrít được mang tên nhà toán học người Ảrập thời Trung cổ

là Algôríthm, người đầu tiên sáng chế ra một công trình thuật toán trên bàn tính trong đó phân đoạn sự tính toán thành từng khâu, từng bước hợp lí theo một hệ thống lôgic chặt chẽ mà sau này gọi là những quy trình vv

Công trình đó chìm lắng dần theo thời gian, mãi đến đầu thế kỉ XX khi khoa học - công nghệ có sự phát triển mạnh mẽ, Algôrít được coi là một phương pháp tư duy và đã thâm nhập vào mọi lĩnh vực khoa học, đặc biệt là công nghệ tin học (Algôrít là công cụ chủ yếu để phân đoạn, chia nhánh lập trình trong các phần mềm của máy vi tính)

Đến giữa thế kỉ XX, một số nhà giáo dục ở các nước tiên tiến đã vận dụng Algôrít như là một phương pháp có hiệu quả nhằm thu thập thông tin, xử lí thông tin để giải quyết các vấn đề phức tạp trong dạy học

Như vậy, phương pháp Algôrít trong dạy học là tổng hợp cách thức thiết kế

và thi công một hệ thống các thao tác hợp lí theo một trình tự lôgic chặt chẽ nhằm đạt kết quả tối ưu các nhiệm vụ dạy học

Đặc điểm của phương pháp Algôrít là tiến trình bài học được chia nhỏ thành các giai đoạn, các bước, các công đoạn giúp người học có thể dễ dàng thực hiện các nhiệm vụ dạy học

Để giải quyết một nhiệm vụ học tập, người học phải thiết kế và thi công một quy trình hợp lí, nghĩa là phải "Algôrít hóa" nội dung và các thao tác hoạt động trí tuệ Nghệ thuật dạy học là phải thiết kế được các Algôrít tối ưu (không phức tạp, ít thao tác, có bước đi hợp lí, vừa sức nhưng phát triển tối đa trí tuệ của người học )

Trong quá trình giáo dục - đào tạo, phương pháp Algôrít được ứng dụng phổ biến trong các lĩnh vực nghiên cứu khoa học, trong dạy học, trong tự học và cả trong cuộc sống đời thường Trong dạy học, để phát triển ở mức độ cao năng lực và phẩm chất trí tuệ cho người học, vấn đề quan trọng là phải có phương pháp tư duy,

tư duy có sắc sảo, năng động, sáng tạo thì tài năng mới bộc lộ và phát triển Vì thế, nghệ thuật dạy học là phải biết cách dạy phương pháp tư duy, tư duy một cách thông minh, độc lập, sáng tạo Phương pháp Algôrít góp phần quan trọng nhằm thực hiện nhiệm vụ đó

Tuy nhiên, để thiết kế và thi công, để có thể "Algôrít hóa" một bài học theo

quy trình hợp lí, có hiệu quả, đòi hỏi giáo viên phải có trình độ chuyên môn và nghiệp vụ sư phạm cao để tổ chức và thiết kế Algôrít bài giảng hợp lí và học sinh phải học tập tích cực để có thể thi công nhanh, đúng như quy trình và ờ mức độ cao hơn là có thể tự thiết kế và thi công quy trình tự học, tự làm việc có hiệu quả của cá nhân

1.2.3 Những đặc trưng cơ bản của thuật toán

Các chỉ dẫn trong thuật toán phải có khả năng thực hiện được trong một thời gian hữu hạn Ví dụ sau đây không thể là mô tả một thuật toán: gán cho x giá trị 1 nếu bài toán tô màu giải được và cho giá trị 0 nếu bài toán tô màu không giải được (Bài toán tô màu khẳng định không cần dùng quá 4 màu để tô các nước trong bản

đồ đề hai nước có biên giới chung phải có màu khác nhau Người ta kiểm chứng trên thực tế thì đúng nhưng chưa tìm được chứng minh cho bài toán này)

Tính xác định, tính khả thi, tính dừng là những tính chất đặc trưng của thuật toán, bên cạnh đó thuật toán còn có một số tính chất sau:

 Tính phổ dụng

Thuật toán phải được áp dụng được cho mọi trường hợp của bài toán chứ không chỉ được áp dụng cho một số trường hợp của bài toán chứ không chỉ được áp dụng cho một số trường hợp riêng lẻ nào đó Tuy nhiên, không phải thuật toán nào cũng đảm bảo được yêu cầu đó Đôi khi người ta chỉ xây dựng thuật toán cho một dạng đặc trưng của bài toán mà thôi

Tính phổ dụng có nghĩa là một thuật toán có thể được áp dụng với một lớp các bài toán với input thay đổi chứ không chỉ áp dụng cho một trường hợp cụ thể Thuật toán Euclid nói trên có thể áp dụng cho bất kỳ cặp hai số tự nhiên

 Tính rõ ràng: Thuật toán phải được thể hiện bằng các câu lệnh minh bạch, các

câu lệch được sắp xếp theo thứ tự nhất định

 Tính khách quan: Một thuật toán dù được viết bởi nhiều người trên nhiều máy

tính vẫn phải cho kết quả giống nhau

 Tính có đại lượng vào và ra: Khi bắt đầu, một thuật toán bao giờ cũng nhận được

các đại lượng vào (Dữ liệu vào – Input), các dữ liệu vào thường lấy từ một tập xác định cho trước Sau khi kết thúc một thuật toán bao giờ cũng cho ta một số đại

lượng ra (Dữ liệu ra – Output)

 Tính hiệu quả của thuật toán: Được đánh giá dựa trên theo những tiêu chuẩn: Số

các phép tính, thời gian cần thực hiện, mức độ khó hiểu…Tùy vào yêu cầu sử dụng

mà người ta lựa chọn tiêu chuẩn để xây dựng thuật toán

 Tính đơn vị: Tính đơn vị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải

được mô tả một cách chính xác, chỉ có một cách hiểu duy nhất, nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng kết quả Vì thế khi thực hiện thuật toán, chúng ta không cần hiểu ý nghĩa của những thao tác Nhờ tính chất này mà chúng ta có thể sử dụng thiết bị tự động để thực hiện thuật toán

1.2.4 Tư duy thuật toán

Khái niệm thuật toán gắn liền chặt chẽ với tư duy thuật toán Vì thế người

thầy giáo cần có ý thức thông qua việc dạy học các quy tắc, phương pháp có tính chất thuật toán trên mà rèn luyện cho học sinh một loại hình tư duy quan trọng : tư duy thuật toán, một yếu tố học vấn phổ thông của con người trong thời đại máy tính [8,tr.201]

1.2.5 Sự cần thiết phát triển tư duy thuật toán

Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì những lý do sau đây:

Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa

trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa Nó giúp học sinh thấy được nền tảng tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần túy máy móc của quá trình thực hiện thuật toán, đó là cơ sở cho chuyển giao một số chức năng của con người cho máy thực hiện

Thứ hai, tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong

khi giải bài bằng máy tính điện tử (MTĐT) Thật vậy, thiết kế thuật toán là một khâu rất cơ bản của việc lập trình Tư duy thuật toán tạo điều kiện cho học sinh thực hiện tốt khâu đó

Thứ ba, tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà

trường phổ thông, rõ nét nhất là môn toán Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lãnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho các phép tính trên những tập hợp

số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai v.v

Thứ tư, tư duy thật toán cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ

chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa … và hình thành những phẩm chất của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỉ luật, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra [8,tr.201]

1.2.6 Phương hướng phát triển tư duy thuật toán

Tư duy thuật toán quan hệ chặc chẽ với khái niệm thuật toán đã trình bày ở trên

Do đó phương thức tư duy này thể hiện ở những khả năng sau đây:

(1) Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với thuật toán cho trước

(2) Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện theo một trình tự xác định

(3) Mô tả chính xác một quá trình tiến hành một hoạt động

(4) Khái quát hóa một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng

(5) So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát hiện thuật toán tối ưu

Thành phần đầu thể hiện khả năng thực hiện thuật toán Bốn thành phần sau thể hiện khả năng xây dựng thực toán

Việc phát triển tư duy thuật toán có thể thực hiện cả khi trực tiếp dạy những nội dung Tin học lẫn khi dạy học những nội dung lĩnh vực khác, kể cả những nội dung truyền thống của giáo dục phổ thông Mặt thứ nhất là rõ ràng và tường minh khi đã có chủ trương đưa tin học vào nhà trường Mặt thứ hai – mặt phát triển tư duy thuật toán trong dạy học những nội dung ngoài tin học – dễ bị lãng quên bỏ qua Vì vậy mục này chủ yếu hướng vào mặt thứ hai trong môn Toán để tránh điều đáng tiếc đó

Hiện nay, định nghĩa thuật toán, những tính chất và những hình thức biểu diễn thuật toán … đang được nghiên cứu để đưa vào dạy tường minh trong nhà trường phổ thông Điều đó sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển tư duy thuật toán, chuẩn bị cho việc học tập về MTĐT và làm việc với công cụ này Tuy nhiên, trong trường hợp khái niệm thuật toán chưa được đưa một cách tường minh vào trong chương trình, ta vẫn có thể phát triển ở học sinh tư duy thuật toán theo phương hướng rèn luyện cho họ những khả năng (1) – (5) đã liệt kê những thành tố của phương thức tư duy này [8,tr.201-202]

Chúng ta biết rằng, các nội dung dạy học cụ thể vừa là mục đích, vừa là phương tiện để phát triển tư duy cho học sinh, trong đó có tư duy thuật toán

Từ năm phương thức thể hiện tư duy thuật toán được trình bày vắn tắt như sau:

a) Thực hiện thuật toán

Để tập luyện cho học sinh thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với thuật toán cho trước, có thể phát biểu một số qui tắc toán học thành

những thuật toán dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc sơ đồ khối hoặc ngôn ngữ phỏng trình nếu học sinh đã học những ngôn ngữ này, rồi yêu cầu họ thực hiện những quy tắc ấy thông qua đó nhấn mạnh các bước và trình tự tiến hành các bước trong mỗi quy tắc

Ví dụ thuật toán giải phương trình bậc 2: 2

ax bx c 0

 Thuật toán

Bước 1: Xác định hệ số a b c, ,

Bước 2: Xét hệ số a:

+ Nếu a 0 chuyển sang bước 7

+ Nếu a 0 chuyển sang bước 3

Bước 3: Tính 2

4

+ Nếu   0 chuyển sang bước 4

+ Nếu  0 chuyển sang bước 5

+ Nếu   0 chuyển sang bước 6

Bước 4: Kết luận phương trình vô nghiệm Kết thúc

Bước 5: Kết luận phương trình có nghiệm kép

Ví dụ 1: Quy tắc trong xác định góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Bước 1: Xác định hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng

Bước 2: Xác định góc của đường thẳng với hình chiếu của nó

Quy tắc này tỏ ra rất hiệu quả, ví dụ như đối với bài toán : "Một hình chóp

SABC có hai mặt bên SAB và SAC vuông góc với đáy Đáy ABC là tam giac cân tại đỉnh A, trung tuyến ADa Cạnh SB tạo với đáy một góc  và tạo với mặt phẳng SAD góc  Xác định góc  và …"(trích Hướng dẫn ôn tập môn toán, Bộ giáo dục) Theo các bước trên thì việc xác định góc  không có gì khó khăn, còn với góc , chắc chắn xác định được hình chiếu của SB trên (SAD)chính là SD, do

đó góc SBD

Ví dụ 2: Quy tắc xác định góc giữa hai mặt phẳng theo các bước:

Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Bước 2: Tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao

tuyến tại một điểm

Bước 3 : Xác định góc giữa hai đường thẳng này, đó là góc cần tìm

Cần chú ý rằng, tùy theo dữ kiện của bài toán cụ thể mà bước này hoặc bước kia

đã quá rõ ràng, nhưng việc luyện tập cho học sinh ý thức được xác định góc theo trình tự trên là cần thiết và sẽ đạt được kết quả Hơn nữa cũng theo trình tự ấy, học sinh còn biết lập luận xác định góc một cách rõ ràng, ngắn gọn, góp phần khắc phục nhược điềm về cách diễn đạt vốn vẫn là một trong những khó khăn đáng kể của học sinh trong học tập môn toán

c) Mô tả tuật toán (tường minh hóa thuật toán)

Để rèn luyện cho học sinh hoạt động ngôn ngữ mô tả chính xác một quá trình, cần yêu cầu học sinh phát biểu những qui tắc đã học hoặc đã biết bằng lời lẽ của mình Giáo viên theo dõi tính chính xác, xác định của những phát biểu như vậy để tập cho học sinh hoạt động khái quát hóa một quá trình diễn ra trên những đối tượng riêng lẻ thành những hoạt động trên một lớp đối tượng, có thể hướng dẫn họ đi từ giải phương trình bậc hai cụ thể tới giải phương trình bậc hai tổng quát dạng 2

ax bx c 0

Cũng cần rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng so sánh những thuật toán

khác nhau ( thực hiện cùng một công việc ) và phát hiện thuật toán tối ưu, ít nhất về tiết kiệm thao tác Đó cũng là yếu tố tư duy thuật toán trong những nét đặc trưng của sự làm việc với máy tính điện tử [8,tr.202-204]

d) Khái quát hóa một hoạt động

Để tập cho học sinh hoạt động khái quát hóa một quá trình diễn ra trên những

đối tượng riêng lẻ thành những hoạt động trên một lớp đối tượng, có thể hướng dẫn các em đi từ việc giải những bài toán cụ thể sang giải những bài toán dạng tổng quát, từ việc giải phương trình bậc hai cụ thể sang giải phương trình bậc hai tổng quát dạng 2

5sin 2x -12(sin x - cos x) +12 = 0 sang giải phương trình tổng quát dạng

asin x cos x + b(sin x ± cos x) + c = 0; từ việc giải phương trình cụ thể như

25x5.15x6.9x 0 sang giải phương trình đẳng cấp bậc hai tổng quát dạng:

a( f (x)) 2 + bf (x)g(x) + c(g(x)) 2 = 0 ,…

e) Chọn thuật toán tối ưu

Để tập cho học sinh biết so sánh những thuật toán khác nhau (thực hiện cùng một công việc) và phát hiện thuật toán tối ưu, ta cần rèn luyện cho các em ý thức tiết kiệm thao tác khi xây dựng thuật toán, chẳng hạn để giải bất phương trình: 2

Thông qua việc dạy học toán ở trường phổ thông, trong mọi trường hợp có thể, giáo viên cần phát triển cho học sinh tư duy thuật toán theo năm phương hướng như đã trình bày trên

1.2.7 Vị trí và ý nghĩa của thuật toán

Trong thực tế cuộc sống khái niệm thuật toán dường như ít được đề cập và

có vẻ xa lạ Tuy nhiên, sự bắt trước hay học hỏi của con người từ thời xưa đến nay chính là thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một phương pháp tổng quát cho trước nhằm đem lại sự thành công trong công việc Người ta đã dạy nhau nấu một món ăn ngon hay cắm một lọ hoa đẹp bằng cách chỉ

cụ thể bước 1 làm gì, bước 2 phải làm như thế nào,…chính là thực hiện thuật toán,

sự thành thạo có được là do làm nhiều lần theo một công thức có sẵn Từ đó cho thấy sự cần thiết phải có thuật toán và rèn luyện việc thực hiện thuật toán trong đời sống

Trong quá trình toán học, thuật toán còn có một vị trí và ý nghĩa sâu sắc hơn, quan trọng hơn Nhờ có thuật toán mà học sinh có thể giải được những bài toán tương tự nhau, nhìn thấy sự tổng quát và ghi nhớ phương pháp một cách toàn diện, việc truyền thụ tri thức của giáo viên trở lên có hệ thống Học tập với thuật toán giúp người học rèn luyện cho mình những đức tính trật tự, kỷ cương, phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, hình thành những kỹ năng, kỹ xảo, linh hoạt, nhạy bén và giải quyết triệt để mọi tình huống sảy ra trong học tập môn toán và cả đời sống

1.3 Quy trình tựa thuật toán

1.3.1 Khái niệm về quy trình tựa thuật toán

Những quy tắc thể hiện phần nào nhưng không hoàn toàn đầy đủ yêu cầu chặt chẽ của khái niệm thuật toán trong toán học gọi là quy trình tựa thuật toán

Một quy trình tựa thuật toán không phải là một thuật toán mà quy trình đó chỉ tương tự như một thuật toán, Tương tự ở chỗ nó cũng nêu lên trình tự các bước

để giải quyết một vấn đề, nhưng với các bước đó thì thuật toán cho ta một kết quả duy nhất còn qui trình tựa thuật đòi hỏi tính mềm dẻo, linh hoạt trong tư duy thì vấn đề đặt ra được giải quyết Đối với một thuật toán thì cho dù người hay máy tính thực hiện đều mang lại một kết quả duy nhất Nhưng đối với một qui trình tựa thuật toán thì vấn đề có khác hơn, đó là máy không thực hiện được qui trình này Trong chương trình toán ở trường phổ thông, học sinh đã được học những quy trình tựa

thuật toán như giải bài toán bằng cách lập phương trình, quy trình xác định vectơ tổng của hai vectơ cho trước, quy trình khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số,…

Ví dụ 1: Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a

và b cho trước như sau:

Quy trình 1:

Bước 1: Xác định mặt phẳng ( )Q chứa b và song song với a

Bước 2: Xác định hình chiếu a' của a trên mp ( )Q

Bước 3: Xác định giao điểm N của a' với b

Bước 4: Xác định đường thẳng c qua N và c ( )Q

Quy trình gồm 4 bước trên tỏ ra khá hiệu lực giúp học sinh giải các bài toán

về xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước Tuy nhiên, khi vận dụng các quy trình tựa thuật toán đòi hỏi tính mềm dẻo, linh hoạt của

tư duy thì vần đề đặt ra mới được giải quyết tốt nhất

Quy trình trên sẽ không có ý nghĩa gì khi giải bài toán "Cho hình lập phương

Bước 1: Xác định mặt phẳng ( )P vuông góc với đường thẳng a

Bước 2: Xác định giao điểm O của a với mp( ).P

Bước 3: Xác định hình chiếu b' của b lên mp( ).P

Bước 4: Xác định hình chiếu H của O lên b

Bước 5: Xác định Nb sao cho NH//a

Bươc 6: Xác định Ma sao cho MN//OH.

Khi đó đường thẳng MN là đường vuông góc chung của a và b

Nếu sau bước 3 của quy trình 2, giáo viên đặt câu hỏi: Trong trường hợp nào thì b'//b? Khi đó có nhận xét gì về hai đường thẳng a và b? Thì ta có một quy trình khác gồm 3 bước để xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau a và b cho trước

Quy trình 3:

Bước 1: Xác định mp( )P chứa b và vuông góc với a

Bước 2: Xác định giao điểm M của a với mp( ).P

Bước 3: Xác định hình chiếu N của M lên b

Khi đó đường thẳng MN là đường vuông góc chung của a và b.

Từ quy trình trên có thể nói rằng các bước xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b là khá rõ ràng Tuy nhiên việc áp dụng vào các bài toán cụ thể vẫn xuất hiện nhiều khó khăn nên xác định mp( )P chứa b và song song với a hay chứa a và song song với b? Bằng cách nào để tìm hình chiếu của b trên mp( )P ? Trong những trường hợp đó cần sự giúp đỡ của giáo viên, đặc biệt là tính mềm dẻo, linh hoạt trong tư duy của người làm toán

Bài tập vận dụng: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d d1, 2 Trong đó d d1, 2 là hai đường thẳng chéo nhau lần lượt chứa hai cạnh của hình lập phương

Ví dụ 2: Đối với bài toán kết hợp phương pháp dự đoán và quy nạp toán học,

với quy trình thực hiện như sau:

Bước 1: Dự đoán kết quả qua xét một số trường hợp cụ thể

Bước 2: Dùng phương pháp quy luật toán học để khẳng định tính đúng đắn của kết quả đã dự đoán

Bài tập vận dụng:

1) Tính tổng S n   1 3 5 (2 n1)

2) Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y sinx

1.3.2 Các đặc điểm của một quy trình tựa thuật toán

Mỗi quy trình tựa thuật toán bao gồm một dãy hữu hạn các bước sắp xếp theo một trình tự xác định Mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích cụ thể,

có bước là một thao tác sơ cấp, có bước chỉ là một gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc

là hướng dẫn thực hiện thao tác được lựa chọn trong một số hữu hạn trường hợp Thực hiện xong tất cả các bước cùng với sự mềm dẻo, linh hoạt trong tư duy thì kết quả là vấn đề đặt ra chưa được giải quyết

Ví dụ 1: Quy trình giải bất phương trình phân thức

Giải bất phương trình phân thức dạng:

Xét dấu biểu thức ở vế trái (xét dấu tử, mẫu, kết hợp bằng một bảng xét dấu)

2) Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm của bất phương trình

Ví dụ 2: Quy trình chứng minh một mệnh đề toán học có chứa tham số n (n  )

bằng phương pháp quy nạp toán học cần hướng dẫn học sinh chứng minh hai phần:

cả đối với những dạng toán thuộc loại quy trình tựa thuật toán

Trong chương trình toán trung học phổ thông có nhiều loại toán có phương pháp giải nhất định, hoặc có thể nêu trình tự các bước giải Đối với những loại toán

đó giáo viên cần hướng dẫn để cho học sinh xây dựng phương pháp giải theo trình

tự từng bước có tính chất thuật toán Khi học sinh đã thành thạo phương pháp chung cần chú ý rèn luyện tính linh hoạt, sáng tạo khi vận dụng

1.4 Kết luận chương 1

Chương đầu tiên của luận văn đề cập khái niệm thuật toán và quy trình tựa thuật toán, vị trí và ý nghĩa của thuật toán giúp cho học sinh có thể giải được những bài toán tương tự nhau, nhìn thấy sự tổng quát và ghi nhớ phương pháp một cách toàn

diện, việc truyền thụ tri thức của giáo viên trở lên có hệ thống Học tập với thuật toán giúp người học rèn luyện cho mình những đức tính trật tự, kỷ cương; phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, hình thành những kỹ năng, kỹ xảo, linh hoạt , nhạy bén và giải quyết triệt để mọi tình huống sảy ra trong học tập môn toán và cả đời sống

Chương II: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN

=================

2.1 Bài toán là gì?

Ở trường trung học phổ thông bài toán vừa là mục đích, vừa là nội dung, vừa

là phương pháp hiệu nghiệm Nó không những cung cấp kiến thức cho học sinh và

cả con đường giành lấy kiến thức mà còn mang lại niềm vui sướng cho sự phát hiện Ngoài ra nó còn giữ vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu đào tạo, trong việc hình thành nhân cách của học sinh Vì vậy, bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt ngay

Đôi khi bài toán còn được nhìn nhận với một phương diện khác Chẳng hạn, bài toán là hệ thông tin xác định bao gồm những điều kiện và những yêu cầu luôn luôn không phù hợp, mâu thuẫn với nhau, dẫn đến nhu cầu phải khắc phục bằng cách biến đổi chúng

2.2 Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông

Polya cho rằng “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó là phải nắm vững môn học Vậy thế nào là muốn nắm vững môn toán? đó là biết giải toán” [25, tr.82]

2.2.1 Mục đích

Một trong những mục đích dạy toán ở trường trung học phổ thông là: Phát triển ở học sinh những phẩm chất và năng lực trí tuệ, giúp hoc sinh biến những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành công

cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và sau này Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kĩ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những kiến thức đó vào những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các

bộ môn khoa học khác

2.2.2 Vai trò

Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và trong công nghệ thhiện đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học học tốt các môn khoa học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Các-Mác nói “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của toán học” [5,tr.5]

Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ như: phân tích, tồng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa,…Rèn luyện những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, khoa học, sáng tạo…

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học

Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra,

Ở thời điểm cụ thể nào đó mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học

Tuy nhiên trên thực tế các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là có ý nói chức năng ấy được thực hiện một cách tường minh, công khai

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán Điều căn bản là bài tập có vai trò mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập toán học được thể hiện cả trên 3

bình diện này

Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán, cụ thể là:

+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn

+ Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành những phẩm chất trí tuệ

+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động

2.2.3 Ý nghĩa

Ở trường trung học phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng

cố, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học của học sinh

Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động

để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau

về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ

phát triển của học sinh,

Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên

2.3 Vị trí và chức năng của bài tập toán học

2.3.1 Vị trí của bài tập toán

Qúa trình giải bài tập toán giúp học sinh vận dụng thành thạo kiến thức đã học và phát huy tính tích cực, sáng tạo Do vậy, dạy học giải các bài tập toán có tầm quan trọng đặc biệt trong dạy học toán

“Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát huy tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy toán” [8,tr.206]

Trong thực tiễn dạy học bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát để tạo động cơ học tập,

để làm việc với nội dung mới, để củng cố để kiểm tra kiến thức,…Tất nhiên, việc dạy để giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một ý đơn thuần nào đó

mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu tập dược cho học sinh vận dụng kiến thức và kỹ năng toán học vào đời sống và lao động sản xuất Đồng thời việc giải bài tập giúp giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra mình về mức độ nắm vững kiến thức đã học, về khả năng vận dụng chúng vào giải quyết các vấn đề cụ thể Giải bài tập toán có tác dụng giáo dục cho học sinh đức tính của người lao động mới, bồi dưỡng các phương pháp suy luận, phương pháp suy nghĩ tìm tòi sáng tạo,…

2.3.2 Chức năng của bài tập toán

Dạy học toán là dạng hoạt động toán học, đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp

học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học ở trường phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc

dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau Một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm với nội dung mới, để củng cố ôn tập hoặc kiểm tra,… Tất nhiên, việc giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một nội dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao

hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu [8,tr.206]

Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay không tường minh những chức năng khác nhau Những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học

Trong môn toán, các bài tập mang các chức năng sau (Vũ Dương Thụy 1980):

a) Chức năng dạy học

Bài tập toán nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo

ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

d) Chức năng kiểm tra

Bài tập toán còn nhằm đánh giá mức độ về kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý nói việc thực hiện các chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh và công khai Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phải phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập mà

người viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải

có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm và trình độ nghệ thuật dạy học sư phạm của mình

Ta hãy minh họa điều vừa trình bày bằng một ví dụ Ở chương 1 sách Hình học 10 (Văn Như Cương 1990) có bài tập sau "Cho tam giác ABC có trọng tâm G Hãy dựng vectơ tổng GA GB 

Từ đó suy ra GA GB GC     0

"

Bài toán này trước hết nhằm củng cố kĩ năng dựng vectơ tổng theo theo quy tắc hình bình hành, củng cố các tri thức về tính chất trung tuyến tam giác, tính chất tâm của hình bình hành, tính chất trung điểm của đoạn thẳng Điều đó thể hiện tường minh chức năng dạy học của bài tập này

Khi dạy giải bài tập này, người giáo viên hướng dẫn học sinh liên tưởng đến kết quả một bài tập đã giải trước đó về tính chất trung điểm của đoạn thẳng (nếu O

là trung điểm của đoạn thẳng AB thì OA OB   0

), biết thay thế tổng GA GB 

ở đẳng thức phải chứng minh là GD

để đưa về đẳng thức mới phải chứng minh là

0

GD GC   

, tức là biết vận dụng kĩ thuật chứng minh, đồng thời thấy được sự thống nhất giữa tính chất trung điểm đoạn thẳng với tính chất trọng tâm tam giác Như vậy là khai thác được chức năng giáo dục của bài toán trên

Mặt khác từ sự thống nhất nêu trên giữa tính chất của một điểm và trung điểm của đoạn thẳng (hai điểm) với một điểm là trọng tâm tam giác (ba điểm) gợi lên một ý tưởng khái quát đối với một tứ diện ABCD (bốn điểm), một ngũ giác hay một đa giác nói chung có hay không một điểm O sao cho: OA OB OC  OD0

    

Rõ ràng nếu ABCD là hình bình hành thì O chính là tâm của nó Như thế chức năng phát triển của bài toán đã cho được thể hiện rõ ràng, luyện tập cho học sinh kĩ năng vận dụng tương tự hóa, khái quát hóa, phát triển ở học sinh tư duy biện chứng, khả năng dự đoán khoa học…

Ví dụ trên càng làm sáng tỏ thêm rằng các chức năng của mỗi bài tập toán phụ thuộc nội dung cũng như vào phương pháp khai thác hóa lời giải của nó Điều

đó định hướng việc lựa chọn bài toán của giáo viên, tránh tình trạng ra bài toán cho học sinh một cách tùy hứng hoặc chỉ chú trọng đến số lượng thuần túy

2.4 Cách tiếp cận một bài toán

Thông thường người giải toán hay có thói quen bắt tay vào giải ngay khi đứng trước một bài toán vì họ dựa vào một cách thức đơn giản Chúng ta có nhiều phương pháp tiếp cận bài toán

2.4.1 Nhận biết câu hỏi hay bài toán

 Bạn có hiểu ngôn từ dùng diễn đạt bài toán không? (có cái bẫy nào không?)

 Bài toán là một dạng đã biết?

 Cái gì đã cho?

2.4.2 Tìm những ý tưởng liên quan

 Bài toán thuộc dạng nào?

 Bài toán nào tương tự như bài toán nào?

2.4.3 Giới hạn bài toán

 Có thể đơn giản hóa bài toán bởi thực hiện một số phép toán không?

 Có chi tiết nào được cho là thừa không?

 Bài toán có thể biến đổi thành một phương trình hay mô tả hình học không?

2.4.4 Chiến lược giải

 Dữ liệu bài toán có thể tổ chức thành một mô hình không?

 Bài toán này khác với các bài toán đã giải trước đây ở những điểm nào?

 Có thể bổ xung những điều kiện nào để làm bài toán đơn giản hơn?

2.4.5 Dùng các tài liệu tham khảo

 Có bài toán nào tương tự trong sách giáo khoa không?

 Những công thức hay định lí nào sẽ được áp dụng vào bài toán loại này?

 Sau khi giải một bài toán, nhiều giáo viên và học sinh phát triển nó đến một mức cao hơn Như vậy, một bài toán sau khi được giải sẽ có giá trị đối với người giải hơn Sau đây là một số câu hỏi có thể áp dụng cho việc phát triển một bài toán

 Kết quả này có thể áp dụng vào một bài toán tương tự?

 Trong các điều kiện nào thì bài toán này giải được? Không giải được?

vô nghĩa?

 Có thể tổng kết hóa bài toán này không?

 Những lập luận nào đã được dùng?

2.5 Giải bài toán là gì?

Giải bài toán là quá trình tìm cách khắc phục sự không phù hợp hay mâu thuẫn giữa các điều kiện và các yêu cầu của bài toán biến đổi chúng để cuối cùng đi đến sự thống nhất Giải toán là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì bài toán là sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ toán học, cần có sự chọn lọc sáng tạo các phương pháp giải quyết vấn đề hay nói một cách khác có thể hiểu giải bài tập toán tức là tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích của bài toán Đó là quá trình tìm tòi sáng tạo huy động kiến thức, kĩ năng, thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết bài toán đã cho

Ngoài ra việc giải bài toán còn dựa trên mối quan hệ chủ yếu giữa người giải

và cấu trúc của bài toán trong đó phương tiện của người giải là chủ yếu

Theo Howard Gardner, G Polya, … thì tiến trình lao động của học sinh khi giải một bài toán có thể theo các hướng sau:

- Hướng tổng quát hóa: Hướng này dựa trên quan điểm tổng hợp, chuyển từ

một tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn hơn và chứa đựng tập hợp ban đầu

- Hướng cụ thể hóa: Hướng này dựa trên quan điểm phân tích, chuyển bài toán

ban đầu thành những bài toán thành phần có quan hệ logic với nhau Chuyển tập hợp các đối tượng trong bài toán ban đầu sang một tập hợp con của nó, rồi từ tập con đó tìm ra lời giải của bài toán hoặc một tình huống hữu ích cho việc giải bài toán đã cho

- Hướng chuyển bài toán về bài toán trung gian: Khi gặp bài toán phức tạp,

học sinh có thể đi giải các bài toán trung gian để đạt đến từng điểm một, rồi giải bài toán đã cho hoặc có thể giả định điều đối lập với bài toán đang tìm cách giải và xác định hệ quả của điều khẳng định kia hay đưa về bài toán liên quan dễ hơn, một bài toán tương tự hoặc một phần bài toán, từ đó rút ra những điều hữu ích để giải bài

toán đã cho

Theo G Polya, việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động: hiểu

rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình khảo sát lời giải

đã tìm được Theo ông điều quan trọng trong quá trình giải bài toán là qua đó học sinh nảy sinh lòng say mê, khát vọng giải toán, thu nhận và hình thành tri thức mới, đặc biệt là tiếp cận, phát hiện và sáng tạo

2.6 Yêu cầu đối với lời giải bài toán

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt Nói như vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng Để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hoá các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết

2.6.1 Lời giải không có sai lầm

Kết quả đúng, kể cả ở các bước chung gian Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ, thoã mãn các yêu cầu đề ra Kết quả các bước chung gian cũng phải đúng Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức,…

Yêu cầu này có ý nghĩa là lời giải không có sai sót về kiến thức toán học, về phương pháp suy luận, về kĩ năng tính toán, về kí hiệu, hình vẽ, kể cả không có sai lầm về ngôn ngữ diễn đạt Giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh thói quen xem xét kiểm tra lại kết quả giải bài toán và lời giải của mình, qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm đối với công việc, đồng thời phát triển óc phê phán Cần giúp học sinh biết kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu hỏi của đề bài, xét tính hợp lí của đáp số với đầu bài hoặc bằng cách tìm một phương pháp giải khác nếu có thể, rồi so sách các kết quả giải được theo các phương pháp khác nhau Cũng cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại bằng hình thức vận dụng linh hoạt nhưng kiến thức đã học chứ không chỉ đơn thuần bằng cách so sánh với đáp số cho sẵn như nhiều học sinh vẫn làm

Chẳng hạn khi giải phương trình x2  11x 60m2  0 (m là tham số) nếu học sinh tìm được hai nghiệm là 4m và 15m thì bằng cách áp dụng định lí Vi-et, phải

thấy ngay là sai, vì ở phương trình này các hệ số a = 1 và c = - 60m2 trái dấu nên hai

nghiệm phải trái dấu

Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết , song điều quan

trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó, bởi vì "con

người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình" (Pôlya 1975)

Nguyên nhân chủ yếu về mặt kiến thức dẫn đến sai lầm là học sinh nắm không vững

chắc các định nghĩa, định lí, quy tắc… Vận dụng chúng một cách máy móc, không

chú ý đến điều kiện ấy hạn chế phạm vi tắc dụng của chúng

Ví dụ, với bài toán "Giải phương trình tan 3 0

sin

x

x  " thì lời giải sau đây của học sinh

là có sai lầm: tan 3 0 tan 3 0

Ở đây học sinh đã quên đặt điệu kiện sinx 0 cho phương trình nên không loại

được những giá trị không thích hợp khi k = 3

Một ví dụ khác, khi giải bất phương trình 2

3

x  thì ngay một số học sinh lớp 10 trung bình thường đi đến kết quả x   3 Họ đã áp dụng "nguyên văn" cách giải

phương trình bậc hai vào giải bất phương trình bậc hai nên dẫn đến sai lầm

Những sai lầm về mặt suy luận học sinh thường khó thấy hơn Chẳng hạn trong Đại

số lớp 10 (Ngô Thúc Lanh…1990) có bài toán "Chứng minh rằng với mỗi số thực

không âm bất kì a, b, c ta có bất dẳng thức a 2 + b 2 + c 2  ab + bc + ca" mà có học

sinh đã giải như sau:

"Từ a2 + b 2 + c 2  ab + bc + ca  2(a 2 + b 2 + c 2 ) - 2(ab + bc + ca)  0

Hay (a-b) 2 + (b-c) 2 + (c-a) 2  0

Bất đẳng thức sau cùng này đúng, do bất đẳng thức phải chứng minh cũng đúng"

Lời giải này sai vì đã coi phép suy ngược tiến (phép phân tích đi xuống) là một

phép chứng minh

Trong giải toán, học sinh còn có thể mắc sai lầm do hấp tấp, cẩu thả, sơ suất trong

tính toán, không ghi chép đúng và không xem xét kĩ đầu bài…

2.6.2 Lập luận phải có căn cứ chính xác

Lập luận chặt chẽ, đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:

+ Luận đề phải nhất quán, luận cứ phải đúng, luận chứng phải hợp logic

Yêu cầu này đòi hỏi từng bước biến đổi trong lời giải phải có cơ sở lí luận, phải dựa vào các định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức…đã học, đặc biệt phải chú ý đảm bảo thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết của định lí Chẳng hạn khi giải bất phương trình sau trong đại số lớp 10 (Ngô Thúc Lanh 1990) 1 1 2

(x1)(x2) (x3)

Một số học sinh mắc sai lầm khi lập luận rằng theo quy tắc so sánh hai phân số có

cùng tử số, từ bất phương trình đã cho suy ra (x-1)(x-2) < (x+3)2 Nguyên nhân sai lầm là do học sinh không biết rằng quy tắc so sánh hai phân số thực hiện với các phân số mà tử số và mẫu số đều là số tự nhiên và mẫu số đương nhiên phải khác không

+ Một sai lầm loại khác là đánh tráo luận đề, tức thực chất đã thay đổi mục tiêu của lời giải

Ví dụ, với bài toán "Tìm các giá trị của m để phương trình sin2 x + msinx - m +1=0

có nghiệm", có học sinh giải như sau: Đặt t = sinx, bài toán đưa về tìm các giá trị của m để phương trình t 2 + mt - m + 1 = 0 có nghiệm Đó là các giá trị của m làm

Thật ra, bài toán tương đương với bài toán đã cho phải là:

Tìm các giá trị của m để phương trình 2

t mtm  có ít nhất một nghiệm thỏa mãn điều kiện   1 t 1 Học sinh trên đã phạm sai lầm đánh tráo luận đề khi không nói gì đến điều kiện của t

2.6.3 Lời giải phải đầy đủ

Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp, một khả năng, một chi tiết cần thiết nào Cụ thể là giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào

Muốn vậy, cần chú ý tập cho học sinh trong quá trình giải toán phải luôn suy xét và tự trả các câu hỏi như: Ta đang phải xem xét cái gì? Như vậy đã đủ chưa? Còn trường hợp nào nữa không? Đã đủ các trường hợp đặc biệt chưa?

Học sinh thường bộc lộ thiếu sót là không xét được đầy đủ các trường hợp, các khả năng xảy ra ở một tình huống, nhất là các bài toán có tham biến, những bài toán đòi hỏi phải biện luận…

Ví dụ, với bài toán sau trong sách Hình học lớp 10 (Văn Như Cương 1990):

Một ví dụ khác là bài toán “Các số 10, 11, 12 có thể là các số hạng của một

cấp số nhân được không? “ Có học sinh giải như sau:

"Nếu 10, 11, 12 tạo thành một cấp số nhân thì công bội phải bằng 11

Lời giải này không đầy đủ vì chỉ mới xét đến khả năng ba số 10, 11,12 là ba

số hạng liên tiếp của một cấp số nhân Đúng ra ta phải xét trường hợp ba số này là

ba số hạng nào đó của cùng một cấp số nhân có công bội q tức là 11=10.q k và

12=10.q m (k, m tự nhiên) rồi từ đó mới tiếp tục lập luận

Ngoài ba yêu cầu cơ bản nói trên, người giáo viên còn cần yêu cầu:

 Ngôn ngữ chính xác Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra

cho tất cả các bộ môn Việc dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này

 Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn,

chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, hình, ký hiệu ) trong lời giải

 Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất

 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Tìm được một lời giải hay của một bài toán tức là đã khai thác được những đặc

điểm riêng của bài toán, điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến rũ

của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” (Pôlya – 1975)

Nói chung dạy học giải bài tập bao gồm nhiêu vấn đề phong phú, ở đây sẽ đề cập ba

học tìm tòi lời giải bài toán)

 Bồi dưỡng cho học sinh một số phương pháp tìm tòi sáng tạo qua việc giải toán

2.7 Dạy học phương pháp tìm tòi lời giải bài toán

Trong môn toán ở trường trung học phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải Đối với những bài toán ấy, hãy cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải Đây là cơ hội rất tốt để giáo viên trang bị cho mình một số tri thức phương pháp - phương pháp giải toán, phương pháp toán học hóa – nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực tư duy khoa học Biết đề ra cho học sinh, đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong chuẩn mực nào đó sử dụng khéo léo và linh hoạt bảng gợi ý của J.Pôlya là thể hiện kinh nghiệm và năng lực sư phạm của người giáo viên trong quá trình học giải bài tập toán Đó là những lời khuyên của người có kinh nghiệm giải toán chứ không không phải là những bản chỉ dẫn có tính chất thuật toán Tiếp thu những lời khuyên này, mỗi người có thể thực hiện khác nhau, cả về cách thức lẫn thời gian, để đi đến kết quả, và có thể có người không đi đến kết quả Điều đó nói lên tính chất khó khăn phức tạp của việc truyền đạt phương pháp và kinh nghiệm giải toán chứ không hề phủ nhận vai trò quan trọng của việc này Không có một thuật toán tổng hợp nào để giải mọi bài toán Chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán [8,tr.211-212]

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán gồm 4 bước như sau:

 Tìm hiểu đề nội dung của bài toán

 Xây dựng chương trình giải

 Thực hiện chương trình giải

 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

2.7.1 Tìm hiểu nội dung bài toán

Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài và ham thích giải bài toán đó Vì thế, người giáo viên cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò, hứng thú của học sinh và giúp các em hiểu bài toán phải giải Phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể để bước đầu hiểu toàn bộ bài toán, tránh vội vàng đi vào ngay các chi tiết

Tiếp theo phải phân tích bài toán: Cái gì đã cho? Cái gì chưa biết? có mối quan hệ nào giữa cái phải tìm với cái đã cho?

Chẳng hạn cho bài toán: Biết tan(a b )  5 và tan(a b )  3, tính tan 2a và tan 2b

Hãy chú ý xem xét bài toán, chưa nên vội vàng khai triển tan(a b ) và

tan(a b )(mặc dù cũng sẽ đi đến kết quả nhưng dài và phức tạp) Ta đã biết tan của tổng a b và của hiệu a b , bây giờ phải tính tan của 2a và 2b Thế thì, góc 2a

này có liên hệ gì với các góc đã cho ab và ab Điểm mấu chốt đó được khám phá: 2a (a b )  (a b ) Do đó việc tính tan của góc 2a được đưa lên khai triển

tan[(ab) (  a b )] rồi dựa vào giả thiết mà đi đến kết quả phải tìm

Đối với bài toán hình học nói chung phải vẽ hình Cần phải đọc kĩ toàn bộ bài toán, từ đó tưởng tượng một cách khái quát và sơ bộ hình phát thảo có chứa đựng những dữ liệu trong đề bài (nhất là đối với các bài toán hình học không gian), sau đó vẫn trong tưởng tượng hãy chọn điểm quan sát thích hợp để biểu diễn hình một cách trực quan nhất…Thường sau khi vẽ hình, học sinh sẽ hiểu rõ bài toán hơn Hình vẽ cần mang tính tổng quát, ta không nên vẽ hình trong trường hợp đặc biệt nào Hình vẽ phải rõ ràng, tránh có những nét chập vào nhau, các nét thấy, nét khuất phải vẽ đúng quy ước Hình vẽ biểu diễn các hình không gian còn phải đảm bảo chính xác theo đúng lí thuyết biểu diễn hình qua qua phép chiếu song song, chẳng hạn trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác…phải được bảo toàn trên hình biểu diễn…Như vậy, để biểu diễn một hình không gian trên máy móc ở một cách vẽ cố định mà lên linh hoạt, tùy theo nội dung đang xem xét mà tìm hình vẽ nào đó có tính trực quan hơn, dễ tưởng tượng hơn Chẳng hạn, hình vẽ biểu diễn một tứ diện vuông, có thể như trên hình 2.1 hoặc hình 2.2 dưới đây:

O

Việc chọn kí hiệu cũng cần phải được lưu ý: “Thời gian giành để chọn kí hiệu sẽ được trả công rất hậu bởi thời gian tiết kiệm được nhờ tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn” (Pôlya 1975) Một kí hiệu phải thuận tiện, dễ nhớ, tránh hiểu nước đôi và không nên cầu kì Cần lưu ý đến thứ tự và mối tương quan giữa các kí hiệu để chúng ta dể dàng liên tưởng đến các trường hợp tương tự

Chẳng hạn, với hình biểu diển tứ diên vuông nói trên, ta kí hiệu đỉnh của tam diện O

là vuông, chữ không phải là A hay B để dể dàng nhận thức được một vài tính chất

và cách chứng minh tương tự như tính chất liên quan đến hình chiếu H của O trên mặt phẳng (ABC)

2

.

OAB ABC HAB

S S S

Sau khi chứng minh được đẳng thức này đối với các trường hợp còn lại chỉ cần viết

tương tự (chú ý thay O ở vế trái bằng H ở vế phải) cụ thể là:

2

2

.

2.7.2 Xây dựng chương trình giải

Người giải tìm mối liên hệ của bài toán với các ý tưởng quen thuộc hoặc các bài toán đã giải trước đây Phải tìm trong trí nhớ những dữ kiện, định lí, công thức,

kinh nghiệm mà liên quan đến bài toán Phải tự hỏi xem có giải bài toán nào tương

tự chưa Biến đổi bài toán để đưa về những bài toán đơn giản hơn, hay những bài toán có liên quan đơn giản hơn Xem điều gì sẽ xảy ra khi điều kiện đã cho thay đổi,

dự đoán kết quả

Người giải tìm ra chiến lược giải nhờ nhận ra cấu trúc của bài toán Phải xác định dữ kiện đã biết, điều kiện, biến số chọn một mô hình biểu diễn yếu tố của bài toán bằng kí hiệu và dùng mô hình này để tìm lời giải của bài toán

Ở bước này, phải chú ý phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn, phải huy động kiến thức (định nghĩa, định lí, quy tắc…) có liên quan đến những khái niệm, những quan hệ trong đề toán, rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán, mò mẫm, dự đoán, thử xem một vài khả năng, kể cả trường hợp đặc biệt, xét một bài toán tương tự hoặc bài toán khái quát hóa của bài toán đã cho…

Ví dụ cho bài toán: Chứng minh rằng ba cạnh a, b,c của một tam giác bất kì thỏa mãn bất đẳng thức 2 2 2

a b c  ab bc ca  Bài toán đề cập mối quan hệ giữa ba cạnh của tam giác Hãy huy động những định

lí, tính chất đã biết về quan hệ giữa các cạnh của tam giác:

.

OD CD HD

Cộng theo từng vế và giản ước ta sẽ đi đến điều ta phải chứng minh

Hãy tiếp tục thử với (2), vì nếu được thì ta sẽ có thêm một cách giải khác, bằng không thì cũng là một bước tập luyện Nếu bình phương hai vế của (2) và xét tương

tự hai cạnh còn lại rồi ước lượng thì lại được một đẳng thức hiển nhiên (nhưng không phải là điều kiện cần chứng minh): 2 2 2

Thế là lại đi đến điều phải chứng minh bằng cách khác Trong quá trình giải toán,

có khi ta phải biến đổi bài toán, thay thế điều phải chứng minh hay cái phải tìm bằng cách tương đương, phát biểu bài toán dưới một dạng khác…

Chẳng hạn, ta phải chứng minh công thức S2OABSABC.SHAB

Đối với tứ diện vuông OABC hình 2.1 ở trên…

Hãy tìm cách biến đổi tương đương công thức này: Ba tam giác OAB ABC, và HAB

cùng có chung một cạnh là AB nên để tìm sự liên hệ giữa diện tích của chúng ta xem AB là cạnh đáy chung của ba tam giác Kéo dài CH cắt AB ở D, ta nhận thấy

Đẳng thức này chính là một hệ thức lượng đã biết trong tam giác vuông COD

Việc tìm tòi lời giải bài toán nhiều khi đạt được bằng cách xét một bài toán tương

tự, đặc biệt là khi giải một bài toán hình học không gian Ví dụ, cần phải chứng

minh công thức thể tích của một tứ diện: 1 .

3 tp

V  S r

Trong đó S tp là diện tích toàn phần và r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện

Khối tứ diện trong không gian được xem tương tự như hình tam giác trong hình học

2 2 2

phẳng và công thức trên gợi cho ta một công thức tương tự đối với diện tích tam giác là S  p r. , trong đó p là nửa chu vi và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Chính việc chứng minh công thức đối với tam giác bằng cách phân tích hình (chia tam giác thành ba tam giác có chung đỉnh là tâm đường tròn nội tiếp, đáy là các cạnh của một tam giác và ba đường cao đều bằng r) gợi ý cho việc tìm tòi cách chứng minh công thức đối với tứ diện cũng bằng cách tương tự: chia khối tứ diện thành bốn khối có chung đỉnh là tâm mặt cầu nội tiếp, đáy là các mặt của tứ diện và

ba đường cao đều bằng r

2.7.3 Thực hiện chương trình giải

Trong một bài toán thì khó khăn chủ yếu là xây dựng chương trình giải, còn việc thực hiện chương trình chỉ là sắp xếp trình bày thành lời giải bài toán Tuy khâu này không khó khăn lắm đối với học sinh nhưng giáo viên cũng cần chú ý làm cho học sinh biết cách trình bày lời giải một bài toán đảm bảo được những yêu cầu nhất định Yêu cầu chủ yếu của lời giải một bài toán là đầy đủ, không phạm sai lầm

và có cơ sở lý luận chặt chẽ Về thực hiện yêu cầu này học sinh thường có thiếu sót

là hay kết luận không có căn cứ, lập luận thiếu chặt chẽ

Tùy từng trường hợp giáo viên cần phân tích rõ nguyên nhân và uốn nắn kịp thời những sai sót của học sinh, thỉnh thoảng cần cho học sinh ghi những lời giải mẫu mực để dần dần các em biết cách trình bày lời giải các bài toán đảm bảo được yêu cầu nói trên

Ngoài ra lời giải các bài toán cần được trình bày một cách ngắn gọn, nếu hay và độc đáo càng tốt

Một điểm nữa là cần tập cho học sinh thói quen kiểm tra lại từng bước khi trình bày lời giải để tránh được những sai sót đáng tiếc, nhất là trong làm bài kiểm tra và thi

cử

2.7.4 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Phần sau cùng khi giải một bài toán cần tiến hành những việc sau đây:

Xem xét lại toàn bộ lời giải và thử nghiệm kết quả nếu có thể được, xét các trường hợp đặc biệt, tổng quát, giới hạn, vẽ hình thật chính xác,…) cần chú ý kiểm tra cả

kết quả và suy luận trong từng bước

Tìm lời giải khác của bài toán Yêu cầu về mặt sư phạm là lời giải bài toán càng đơn giản, càng ngắn gọn càng tốt Vì vậy cần tập cho học sinh có thói quen suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau của bài toán để có thể tìm được lời giải hay nhất Khi ra bài tập cần chọn những bài có thể giải được bằng nhiều cách khác nhau

Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp khi giải từng bài toán là rất cần thiết để học sinh học được kinh nghiệm và phương pháp suy luận trong giải toán

Chẳng hạn xét bài toán sau trong Hình Học 11 (Văn Như Cương, Phan Văn Viện

1991): “Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau, một đường thẳng c cắt cả a và b Có thể kết luận rằng cả ba đường thẳng a,b,c cùng nằm trong một mặt phẳng không? “

Trong quá trình giải bài tập, cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bài toán Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của các dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau Tìm được nhiều cách giải thì sẽ chọn được cách giải hay nhất, đẹp nhất

2.8 Những điểm cần chú ý trong việc dạy học giải bài tập toán

2.8.1 Tạo không khí hứng thú trong giờ học giải bài tập

 Học sinh có thời gian suy nghĩ, phân tích thử nghiệm

 Học sinh có thể tiếp nhận được bài toán

 Hạn chế sự sợ sệt của học sinh

 Hãy kiên nhẫn với những học sinh không giải được

2.8.2 Xây dựng và duy trì động cơ của học sinh

a

b

c

Hình 2.4 Hình 2.3

 Nhấn mạnh đến tầm quan trọng của việc dạy học giải bài tập toán học

 Cho một vài bài toán mà mỗi em có thể làm được

 Cho các bài tập hợp lý và có đủ thời gian cần thiết

 Tập trung vào một vài bài tập và giải chúng một cách thông thả và triệt để

2.8.3 Giúp cho học sinh cách thức làm tăng sự hiểu biết về các tình huống của

bài toán

 Yêu cầu các em đọc đề toán nhiều lần

 Giúp học sinh phát biểu lại đề toán sao cho các điều kiện được rõ ràng hơn

 Giúp học sinh nhận ra các ý chính và chia bài toán thành những bài toán con

đơn giản hơn

2.8.4 Chú ý tính linh hoạt trong giải toán

Đề nghị học sinh thay đổi quan niệm khi gặp khó khăn

 Cho học sinh một số bài toán thiếu dữ kiện, và một số lại dư dữ kiện

 Khuyến khích giải toán bằng nhiều cách khác nhau

 Chỉ cho học sinh tự đặt ra những câu hỏi như:

 Điều gì đã cho?

 Điều gì phải tìm? Phải chứng minh?

 Những kiến thức nào đã cho có liên quan đến bài toán này?

 Những bài toán đã biết nào tương tự với bài này?

2.8.5 Nhấn mạnh đến phương pháp giải hơn là đáp số

 Phải dành thời gian luyện tập giải toán thích đáng

 Phát triển kỹ năng phân tích, tổ chức, và diễn đạt bằng cách cho học sinh viết và

nói về các cách giải của họ

 Dùng các tình huống của bài toán để khám phá ra những khái niệm, quy tắc toán

học mới

2.9 Kết luận chương 2

Chương thứ hai của luận văn đề cập đến cơ sở lí luận của việc dạy học Nhấn mạnh cho ta biết mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông, đặc biệt là vị trí và chức năng và cách tiếp cận một bài toán Đồng thời chương 2 giới

thiệu việc dạy học theo phương pháp tìm tòi lời giải và những điểm cần chú ý trong việc dạy học môn toán

Chương III: TÓM TẮT LÍ THUYẾT HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Tập "cơ bản" của Ơ-clit gồm 13 cuốn, trong đó có 8 cuốn nói về Hình học Toàn bộ nội dung môn hình học sơ cấp của bậc Phổ thông ngày nay là một phần trong tác phẩm đó Công lao to lớn của Ơ-clit là đã tập hợp những kết quả của nhiều tác giả trước, sắp xếp lại và chứng minh chặt chẽ Để xây dựng môn Hình học, Ơ-clit đã xuất phát từ 10 tiên đề và định đề được thừa nhận là đúng mà không chứng minh Từ đó dựa vào suy luận lôgic, ông đã chứng minh các định lí khác

Như vậy có thể nói Ơ-clit là người đặt nền móng cho phương pháp xây dựng Hình học mà ngày nay ta gọi là phương pháp tiên đề

Để trình bày môn Hình học theo phương pháp tiên đề, người ta làm như sau:

1) Không định nghĩa một số khái niệm như: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, điểm nằm giữa hai điểm, độ dà đoạn thẳng, độ lớn của góc,…Các khái niệm như vậy gọi

là các khái niệm cơ bản Các khái niệm khác sẽ được định nghĩa dựa vào những khái niệm cơ bản Chẳng hạn sự bằng nhau của các tam giác được định nghĩa dựa vào sự bằng nhau của các đoạn thẳng và sự bằng nhau của các góc

2) Nêu ra một số mệnh đề được thừa nhận là đúng mà không chứng minh Các

mệnh như thế gọi là tiên đề Chẳng hạn ta thừa nhận tiên đề: "có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước" hoặc tiên đề: "có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước"

Mọi mệnh đề khác đều phải được chứng minh dựa vào các tiên đề và các mệnh đề

đã được chứng minh trước đó

Chúng ta cần chú ý rằng tuy điểm, đường thẳng, mặt phẳng không được định nghĩa, nhưng chúng buộc phải thỏa mãn các tiên đề Cho nên có thể nói chúng được định nghĩa một cách gián tiếp qua các tiên đề

Trong hệ thống các tiên đề hình học có một tiên đề gọi là tiên đề Ơ-clit (nó tương dương với tiên đề V trong tác phẩm Cơ bản của Ơ-clit) Tiên đề đó được phát

biểu như sau: "Cho điểm A không nằm trong đường thẳng b thì trong mặt phẳng (A,b) chỉ có một đường thẳng đi qua A và không cắt b"

Trong lịch sử khi nghiên cứu các tiên đề của Ơ-clit, nhất là định đề V nói trên, các nhà toán học đã nghi ngờ rằng có thể chứng minh được nó dựa vào các tiên

đề khác và nếu quả thật như vậy thì cần phải loại nó ra khỏi danh sách các tiên đề Nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Xác-kê-ri (Saccheri, 1667-1733), Lăm-be (Lambert, 1728-1777), Lơ-giăng-đơ-rơ (Legendre 1752-1833),…đã tốn nhiều sức lực và trí tuệ để tìm cách chứng minh định đề V Nhưng không thành công Vào đầu thế kỉ XIX, các nhà toán học: Gau-xơ (Gauss, 1777-1855), Bô-li-ai (Bolyai, 1802-1860), đặc biệt là nhà toán học Nga Lô-ba-sép-xki (Lobachevsky), trong quá trình chứng minh định đề V của Ơ-clit, đã xây dựng một Hình học mới trong đó không

thừa nhận định đề V mà thừa nhận tiên đề phủ định định đề V: "Cho điểm A không nằm trên đường thẳng b thì trong mặt phẳng (A,b) có ít nhất hai đường thẳng đi qua A và không cắt b"

Ngày nay, người ta gọi hình học đó là Hình học Lô-ba-sép-xki (một loại

hình học phi Ơ-clit)

Năm mươi năm sau khi Lô-ba-sép-xki công bố tác phẩm nói trên, người ta chứng minh được rằng Hình học Lô-ba-sép-xki không hề có mâu thuẫn và như vậy, tiên đề Ơ-clit đúng là một tiên đề

Ngày nay, phương pháp tiên đề đã thâm nhập vào nhiều ngành toán học khác