1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Hệ thức lượng trong tam giác

16 10K 157
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 16
Dung lượng 422,67 KB

Nội dung

Hệ thức lượng trong tam giác

Trang 1

CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

I ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN

Cho ΔABC có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của A, B, C, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC, S là diện tích ΔABC thì

A C

Bài 184 Cho ΔABC Chứng minh:

2 2

A 2B= ⇔a = b +bc

Ta có: a2 = b2 +bc ⇔ 4R sin A 4R sin B 4R sin B.sinC2 2 = 2 2 + 2

sin A sin B sin B sin C

1 1 cos 2A 1 1 cos 2B sin B sin C

cos 2B cos 2A 2 sin B sin C

2 sin B A sin B A 2 sin B sin C sin B A sin A B sin B sin C sin A B sin B do sin A B sin C 0

A 2B

Cách khác:

sin A sin B sin B sin C

(s in A sin B) (s in A sin B) sin B sin C

A 2B

Trang 2

Bài 185: Cho ΔABC Chứng minh: ( ) 2 2

2

=

Ta có a2 −2b2 = 4R sin A 4R sin B2 2 2 − 2 2 2

+ = >

2

1 1 cos 2A 1 1 cos 2B

2 sin A B sin B A cos 2B cos 2A

sin A B sin A B sin A B

sin C sin C

do sin A B sin C 0

Bài 186: Cho ΔABC biết rằng tgA tgB 1

2 ⋅ 2 = ⋅3

Ta có : tgA ⋅tgB 1= ⇔3sin sinA B =cos cosA B

do cos 0,cos 0

( )

2sin sin cos cos sin sin

B

Mặt khác: a b 2R sin A sin B+ = ( + )

( )

=

=

4R sin cos

4R sin A B 4R sin C 2c

Cách khác:

+ =

a b 2c

Trang 3

+ −

C 2

cos cos sin sin 2 cos cos 2 sin sin

3sin sin cos cos

B 2

⇔ tgA ⋅tgB 1=

Bài 187: Cho ΔABC, chứng minh nếu cotgA,cotgB,cotgCtạo một cấp số cộng thì

2 2 2

a , b ,c cũng là cấp số cộng

Ta có: cot gA, cot gB, cot gC là cấp số cộng⇔ cot gA cot gC 2 cot gB *+ = ( )

Cách 1:

( )

2

2

sin A sin C sin B

1

2 1

2 2sin B sin A sin C

+

2 2 2

2 2 2

a , b ,c là câùp số cộng

Cách 2:

( )

=

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

Ta có: a b c 2ab cos A

1

a b c 4 bc sin A cotgA

2

a b c 4S cot gA

Do đó cotgA

4S

Tương tự cotgB , cotgC

Trang 4

Bài 188: Cho ΔABC có sin B sin C 2sin A2 + 2 = 2

( )

2 2 2

Ta có: sin B sin C 2sin A

A

Do định lý hàm cosin nên ta có

2 2 2

a = b +c −2bc cos

+

2 2 2 2

2 2 2

2 2

0

Vạây : BAC 60

Cách khác:

định lý hàm cosin cho

Do đó

(*) a bc cos A a

a b c cos A ( do Cauchy)

bc bc

+

1

Bài 189: Cho ΔABC Chứng minh :

( 2 2 2)

cotgA+cotgB+cotgC

abc

=

=

=

2 2 2

2 2 2

4S

4R

R abc

2

Bài 190: Cho ΔABC có 3 góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 2 Giả sử A < B < C

Chứng minh: =1 1 1+

Trang 5

Do A, B, C là cấp số nhân có q = 2 nên B = 2A, C = 2B = 4A

Cách 1:

=

π

=

Ta có:

b c 2R sin B 2R sin C

2R sin sin

sin sin

2R sin sin

3

2 sin cos

1 2 7 37 dosin4 sin3

cos

R 2 sin cos 2R sin A

1 a

Cách 2:

+

a b c sin A sin B sin C

sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A

1 2 sin 3A.cos A 2 cos A 2 cos A

sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A

do : sin 3A sin sin sin 4A

Bài 191: Tính các góc của ΔABCnếu

sin A = sin B = sin C =

Trang 6

a b c

a

2

⎧ =

=

⎪⎩

( )

( )

2

2 2

2 2 2

0

0

Vạây ABC vuông tạiC

Thay sin C 1 vào * ta được

1 sin A

2 3 sin B

2

A 30

B 60

Δ

=

⎪⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

⎧ =

⇔ ⎨

=

⎪⎩

2

Ghi chú:

Trong tam giác ABC ta có

a b = ⇔ = ⇔ A B sin A sin B = ⇔ cos A cos B =

II ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

Cho UABC có trung tuyến AM thì:

2

2

a

a

2

Bài 192: Cho UABC có AM trung tuyến, AMB = α, AC = b, AB = c, S là diện tích UABC Với 0 < < α 90 0

a/ Chứng minh: cotg b2 −c2

4S

α = b/ Giả sử α =450, chứng minh: cotgC – cotgB = 2

( )

2AH AH

Trang 7

Mặt khác: b2 c2 (a2 c2 2ac cosB) c

Đặt BC = a

2 2

Từ (1) và (2) ta được : cotg b2 c2

4S

α = Cách khác:

Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH

Aùp dụng định lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có:

1

2

cotg

2

2

cotg

Lấy (3) – (4) ta có :

α = b2 c2

cotg

4S ( vì S1=S2 =

S

2)

AH

= 2MH 2cotg= α = 2 cotg 450 =2 AH

Cách khác:

Aùp dụng định lý hàm cos trong tam giác ABM và ACM ta có:

1

cotg B

4S

2

(5)

2

cotg C

4S

2

(6) Lấy (6) – (5) ta có :

2S α=2 ( vì S1=S2 =

S

2 và câu a )

Trang 8

Bài 193 Cho UABC có trung tuyến phát xuất từ B và C là m ,mb c thỏa

b

c

m

b = m ≠ Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC

Ta có: 2 2b

2 2 c

m

c

( )

)

2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 4 4

2 2 2

c

1

2 1

2

c

b

Thay b2 +c2 = a2 +2bc cos A vào (1), ta có (1) thành

a2 =2bc cos A

+

cos A

2bc 2 2R sin B 2R sin C

sin B C

2

sin A sin B sin C sin B sin C

+

⇔2 cotgA = sinBcosC sinCcosB = cotgC cotgB+

sin B sin C

Bài 194: Chứng minh nếu UABC có trung tuyến AA’ vuông góc với trung tuyến

BB’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB)

UGAB vuông tại G có GC’ trung tuyến nên AB = 2GC’

Vậy AB 2C

c

2

2 2 2

c

2

2 2

2

2

2c ab cosC

2 2R sin C 2R sin A 2R sin B cosC

Trang 9

⇔ =

2

2 sin C sin A sin B cos C

sin A sin B sin C

( + )

cotgC sin A sin B

+

2 sin A cos B sin B cos A

cotgC sin A sin B

III DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Gọi S: diện tích UABC

R: bán kính đường tròn ngoại tiếp UABC r: bán kính đường tròn nội tiếp UABC p: nửa chu vi của UABC

thì

abc S

4R

S pr

=

=

Bài 195: Cho UABC chứng minh: sin 2A sin 2B sin 2C 2S2

R

Ta có:

sin2A+ sin2B + sin2C

= sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C)

= 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C)

= 2sinA[cosA + cos(B - C)]

= 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)]

= 2sinA.[2sinB.sinC]

Bài 196 Cho UABC Chứng minh :

S = Diện tích (UABC) = 1 a sin2B b sin2A( 2 2 )

Trang 10

Ta có : S = dt ABC( ) 1absin C

2

= ab sin A B1 ( + )

2 = ab sin A cos B sinB cos A1 [ + ]

2

+

= ab sin B cos B sin A cos A (do đl hàm sin)

1

= a sin B cos B+ b sin A cos A

2

1

= a sin 2B b sin 2A

4

Bài 197: Cho ΔABC có trọng tâm G vàGAB = α,GBC = β,GCA = γ

cotg + cotg +cotg =

4S

Gọi M là trung điểm BC, vẽ MH ⊥ AB

AH

AM

Ta có: AB = HA + HB

( )

a

c AM cos cos B

2

cos c cos B 1

Mặt khác do áp dụng định lý hàm sin vào ΔAMB ta có :

Lấy (1) chia cho (2) ta được :

a

2 cotg =

2

R 4c 2a cos B

4S R

Trang 11

Chứng minh tương tự :

2 2

2 2

cotg

4S

cotg

4S

β =

γ =

2

2

Do đó:

2 2 2

=

4S

2

Cách khác : Ta có 2 2 2 ( 2 2 2)

3

4

Δ

2

2 2

a

a ABM

a

4

Tương tự cotg 4a2 4m2b b2(b),cotg 4b2 4m2c c2 (c)

Cộng (a), (b), (c) và kết hợp (*) ta có:

2 2 2

cotg cotg cotg

4S

IV BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN

Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC

và r bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC thì

=

R

2 sin A 4S S

r p

Bài 198: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

Trang 12

a/ r 4R sin sin sin

b/ IA.IB.IC 4Rr

=

=

2

B

BH rcotg

2

Tương tự HC r cotg= C

2

Mà : BH + CH = BC

nên

+

⇔ =

B C

r sin

sin sin

r 4R sin sin sin (do cos >0)

IA

Α

2

r

sin 2

B sin 2

; IC= r

C sin 2

sin sin sin

=

2

r3 4Rr (do kết quả câu a)2

r 4R

Bài 199: Cho ΔABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh ΔABC tại A’, B’, C’ ΔA 'B'C'có các cạnh là a’, b’, c’ và diện tích S’ Chứng minh:

Trang 13

⎛ ⎞

=

b/ 2 sin sin sin

a/ Ta có : C'A 'B' 1C'IB' 1( A) 1(B C)

Áp dụng định lý hình sin vào ΔA 'B'C'

sin A ' = (r: bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC)

a ' 2r sin A ' 2r sin (1)

2

+

ABC

Δ có : a BC BA ' A 'C= = +

a r cot g r cot g

B C sin 2

a r B C (2) sin sin

+

⇒ =

Lấy (1)

(2) ta được a

B 2sin sin

2

Tương tự b' 2sin sinA C

b/ Ta có: A 'C'B' 1.B'IA ' 1( C) 1(A B)

Trang 14

Vậy sin C' sinA B cosC

+

1 a'b'sinC'

dt A 'B'C'

1

2

Δ

Δ

⇒ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

S ' a ' b ' sin C '

C cos

= 2 sin sin sin

Bài 200: Cho ΔABC có trọng tâm G và tâm đường tròn nội tiếp I Biết GI vuông góc với đường phân giác trong của BCA Chứng minh:

+ Vẽ GH AC,GK⊥ ⊥ BC,ID AC⊥

IG cắt AC tại L và cắt BC tại N

Ta có: Dt( CLN) 2Dt( LIC)Δ = Δ

=ID.LC = r.LC (1) Mặt khác:

Dt( CLN) Dt( GLC) Dt( GCN)

1 GH.LC GK.CN (2)

2

Do ΔCLN cân nên LC = CN

Từ (1) và (2) ta được:

1

2 2r GH GK

Gọi h , ha b là hai đường cao ΔABC phát xuất từ A, B

Ta có:

a

h = MA = 3 và b

GH 1

h = 3

1 2r h h (3) 3

Trang 15

Mà: ( ) a b

a

b

=

Từ (3) ta có: 2r 2pr 1 1

+

+ +

+

a b c a b 3

b

Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)

Trang 16

BÀI TẬP

1 Cho ΔABC có ba cạnh là a, b, c R và r lần lượt là bán kính đừơng tròn ngoại tiếp và nội tiếp ΔABC Chứng minh:

a/ (a b cotg) C (b c cotg) A (c a cotg) B 0

R

c/ Nếu Acotg ,cotg ,cotgB

C

2 là cấp số cộng thì a, b, c cũng là cấp số cộng d/ Diện tích ΔABC R r sin A sin B sin C= ( + + )

e/ Nếu : a4 = b4 +c4 thì ΔABC có 3 góc nhọn và 2sin A tgB.tgC2 =

2 Nếu diện tích (ΔABC) = (c + a -b)(c + b -a) thì tgC 8

15

=

3 Cho ΔABC có ba góc nhọn Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao vẽ từ A, B,

C Gọi S, R, r lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ABC

Δ Gọi S’, R’, r’ lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của ΔA 'B'C' Chứng minh:

a/ S’ = 2ScosA.cosB.cosC

2

=

c/ r’ = 2RcosA.cosB.cosC

4 ΔABC có ba cạnh a, b, c tạo một cấp số cộng Với a < b < c

Chứng minh :

a/ ac = 6Rr

c/ Công sai d 3r tgC tgA

5 Cho ΔABC có ba góc A, B, C theo thứ tự tạo 1 cấp số nhân có công bội q = 2 Chứng minh:

a = b c+

b/ cos A cos B cos C2 2 2 5

4

Ngày đăng: 21/09/2012, 09:58

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

Áp dụng định lý hình sin vào ΔA 'B'C' - Hệ thức lượng trong tam giác
p dụng định lý hình sin vào ΔA 'B'C' (Trang 13)

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w