Hệ thưc lượng trong tam giác 3

Kiểm tra bài cũ Câu hỏi 1 : Em hãy phát biểu định lí cosin trong tam giác a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosA b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cosB c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC Câu hỏi 2 : Em hãy phát biểu định lí sin trong tam giác Trả lời : Trong tam giác ABC , với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp , ta có : R Csin c Bsin b Asin a 2=== Trả lời : Với mọi tam giác ABC ta có : §4. C¸c hÖ thøc l­îng trong tam gi¸c PhÇn 4 C«ng thøc ®é dµi ®­êng trung tuyÕn H h a A C B c a b M A C B b c a m a PhÇn 3 C¸c c«ng thøc vÒ diÖn tÝch tam gi¸c (TiÕp theo ) 3. Các công thức về diện tích tam giác cbaABC chbhahs 2 1 2 1 2 1 === CsinabBsinacAsinbcs ABC 2 1 2 1 2 1 === )cp)(bp)(ap(ps ABC = R abc s ABC 4 = prs ABC = ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ) 2 cba p( ++ = , r là BK đường tròn nội tiếp ) ( h a , h b , h c lần lượt là các đường cao kẻ từ các đỉnh A,B,C ) (CT Hê rông) (1) (5) (4) (3) (2) Chứng minh : CsinabS ABC 2 1 = 2) H h a b A C B c a Ta đã biết aABC ahS 2 1 = A CB a c b Do đó ta có : CsinabS ABC 2 1 = Nếu C = 90 0 thì h a = b và sinC = 1 nên ta vẫn có công thức trên mà h a = AC sinACH 3) Thay R c Csin 2 = vào công thức CsinabS ABC 2 1 = ta được R abc S ABC 4 = nếu góc C tù thì ACH = 180 0 - C nếu góc C nhọn thì ACH = C sin ACH = sin C = b sinACH C H h a A B c a b C VÝ dô 1 : TÝnh diÖn tÝch , b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp , ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC cã ba c¹nh lµ a = 13 , b = 14 , c = 15 Gi¶i : Ta cã : 21 2 151413 = ++ =p ¸p dông c«ng thøc Hª r«ng )cp)(bp)(ap(ps ABC −−−= 8415211421132121 =−−−= ))()((s ABC V× prs ABC = 4 21 84 ===⇒ p S r ABC R abc s ABC 4 = 8 65 336 2730 4 ===⇒ ABC S abc R 4. Công thức độ dài đường trung tuyến Định lý : Trong mọi tam giác ABC , ta đều có : 2 2 2 222 a mcb a +=+ 2 2 2 222 b mac b +=+ 2 2 2 222 c mba c +=+ 42 222 2 acb m a + = 42 222 2 bca m b + = 42 222 2 cba m c + = Trong đó m a , m b , m c là độ dài các đường trung tuyến lần lư ợt kẻ từ các đỉnh A , B , C của ABC Gọi AM là đường trung tuyến vẽ từ A , AM = m a . Ta có : A C B b c a M m a Các đẳng thức khác chứng minh tương tự 42 222 2 acb m a + = 4 1 AB AC 2 1 + ( ) AM = AM 2 = AC 2 AB 2 4 1 + AB AC2 + ( ) m a 2 = 4 1 ( c 2 + b 2 + 2bc cosA ) m a 2 = ( c 2 + b 2 + b 2 + c 2 - a 2 ) 42 222 2 acb m a + = Chứng minh : Ví dụ 2 : Cho hai điểm A , B cố định . Tìm quỹ tích những điểm M thoả mãn điều kiện : MA 2 + MB 2 = k 2 ( k là một số cho trước ) Giải: O Giả sử có điểm M thoả mãn : MA 2 + MB 2 = k 2 42 222 2 ABMBMA OM + = )ABk( ABk 22 22 2 4 1 42 == Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB , thì OM là đường trung tuyến trong MAB nên : Ta xét các trường hợp : * Nếu 2k 2 > AB 2 * Nếu 2k 2 < AB 2 thì quỹ tích là tập rỗng * Nếu 2k 2 = AB 2 = R Khi đó quĩ tích M là đường tròn tâm O , bán kính R thì OM = 0 hay M trùng O A B M 22 2 2 1 ABkOM = thì b) Chứng minh rằng trong một hình bình hành tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương hai đường chéo Giải: A J I D C B a) áp dụng định lí đường trung tuyến vào BAC và DAC , ta có : BA 2 + BC 2 = DA 2 + DC 2 = Ví dụ 3 : Cho tứ giác ABCD ; I , J là trung điểm của AC và BD a)CM hệ thức : AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 + 4IJ 2 AC 2 2 2DI 2 + AC 2 2 2BI 2 + Cộng hai ĐT trên theo từng vế , ta có : AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = áp dụng định lí đường trung tuyến vào IBD , ta có : BI 2 + DI 2 = 2IJ 2 + BD 2 2 Thay vào (*) , ta được : AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = 2( BI 2 + DI 2 ) +AC 2 (*) AC 2 + BD 2 + 4IJ 2 [...]...Ví dụ 3 : Cho tứ giác ABCD ; I , J là trung điểm của AC và BD a)CM hệ thức : AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4IJ2 b) Chứng minh rằng trong một hình bình hành tổng bình phư ơng các cạnh bằng tổng bình phương hai đường chéo Giải: b) Nếu ABCD là hình bình hành thì A I và J trùng nhau nên IJ = 0 và ta có: I J AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 Vậy :Trong một hình bình hành tổng . cosin trong tam giác a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosA b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cosB c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC Câu hỏi 2 : Em hãy phát biểu định lí sin trong tam giác. p S r ABC R abc s ABC 4 = 8 65 33 6 2 730 4 ===⇒ ABC S abc R 4. Công thức độ dài đường trung tuyến Định lý : Trong mọi tam giác ABC , ta đều có : 2 2 2 222