TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán vềtìm số hạng tổng quát của một dãy số.. Ở đây ta chỉ xét một số bài toán đơn giản thuộc loại

Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán về

tìm số hạng tổng quát của một dãy số Ở đây ta chỉ xét một số bài toán đơn giản thuộc loại này

Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1; 2; 4; 7; 11 …

Giải:

Nếu kí hiệu các số hạng của dãy trên là: u u u1; ; ; 2 3 un thì ta có:

u2 − = u1 1; u3 − u2 = 2; u4 − = u3 3 un − un−1 = − ⇒ n 1 un − = + + + + − u1 1 2 3 n 1

= n n ( − 1) / 2 ⇒ un = n n ( − 1) / 2 1 +

Một số bài toán tương tự: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau:

1/ 1; 4; 10; 19; 31; … ; 2/ 1; 2; 6; 15; 31; …

Bài toán 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 *

1

1 ( ) :

n

u u

=





Giải:

Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta có dãy các hệ thức sau:

1

1

3 1

n

n

−

Cách 2: Đặt vn+1 = un+1 + α sao cho vn+1 = 3 vn

có công bội q =3 và v1 = + = ⇒ u1 1 2 vn = v13n−1 = 2.3n−1 ⇒ un = − = vn 1 2.3n−1 − 1

Từ cách giải 2 ta có lời giải của bài toán tổng quát sau:

Tìm số hạng tổng quát của dãy 1

1

( ) :

( 0;1)

n

u

=





Giải:

Đặt vn+1 = un+1+ α sao cho:

1

c

b

−

Như vậy ( ) vn là một cấp số nhân có

1 1 1

Bài toán 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 *

1

2 ( ) :

n

u u

=





Giải:

Cho n chạy từ 1 đến n-1 ở hệ thức truy hồi rồi cộng các hệ thức lại ta được:

n

Bài toán 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 *

1

2 ( ) :

n

u u

=







Giải:

- Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta suy ra:

2 3 1;2 2 2(3 4) 2n 2n 2n .5

u = u − + n − u − = u − + n − − u = − u + −

1 1

n

⇒ = + = + với S = 3 n − + 1 2(3 n − + 4) 2 (32 n − + + 7) 5.2n−1

1

n

−

Chú ý: trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của một cấp số cộng

và một cấp số nhân

- Cách 2: Đặt vn = un + an b + sao cho vn = 2 vn−1

Có v1 = + u1 3.1 5 10 + = ⇒ vn = un + 3 n + = 5 v1.2n−1 = 10.2n−1 = 5.2n

5.2n 3 5

n

Bài toán 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 1 *

1

1 ( ) :

u u

=







- Cách 1: Theo giả thiết ta có:

3 2 ;3n 3 2 3; 3n n 3n 2 3n

u = u − + u − = u − + − − u = − u + −

n

Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của hai cấp số nhân.

- Cách 2: Đặt vn = un + k 2n với

1

1

−

Bài toán 6: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 2 *

( ) :

n

u







Giải:

Từ giả thiết ta suy ra: un+2 − 2 un+1 = 3( un+1 − 2 ) un Đặt vn+1 = un+2 − 2 un+1

1 3.

⇒ = Vậy ( ) vn là cấp số nhân có công bội q = 3 và v1 = u2 − 2 u1 = − 5 2.1 3 =

v − u u − v − − u u − −

⇒ = − = = ⇒ = + Đặt xn = un + k 3n−1 sao cho:

⇒ + = ⇒ = − Do ( ) xn là cấp số nhân có công bội q = 2 và

1 1 .3 2 n 1.2n 2n n n .3n n 3n 3n 2n

Bây giờ ta giải bài toán tổng quát của bài toán trên:

Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 2 *

; ( ) :

n

u



 trong đó a,b,c,d là các

hằng số thực; a và b khác 0

Giải:

Giả sử un = rn với r là một số thực nào đó Khi đó từ (1) ta suy ra: rn+2 − c r n+1− d r n = 0

⇔ − − = (2) được gọi là phương trình đặc trưng ( PTĐT ) của dãy ( ) un

Có hai trường hợp:

1/ (2) có hai nghiệm phân biệt r1 và r2 Khi đó ta có: r1n+2 − c r 1n+1 − d r 1n = 0 và

2 1 2 2 1 1

2n . 2n . 2n 0 ( 1n . 2n ) ( 1n . 2n ) ( 1n ) 02n

r + − c r + − d r = ⇒ k r + + l r + − c k r + + l r + − d k r + l r =

Điều đó chứng tỏ un = k r 1n + l r 2n thỏa mãn (1) Trong đó k và l là các hằng số thỏa mãn hệ

phương trình sau: 12 22





2 2

1 2

0

r r

r r

= = − = − − ≠ nên hệ

phương trình trên có nghiệm duy nhất; điều đó cũng chứng tỏ dãy số đã cho được xác định một cách duy nhất

Áp dụng vào bài 6 ta có a = 1; b = 5; c = 5; d = -6 ⇒ = r1 2; r2 = ⇒ = − = 3 k 1; l 1

. n . n 2n 3n

n

u k r l r

Đối với dãy Fibônaxi ta có a = b = c = d = 1 nên PTĐT r2 − − = r 1 0 có hai nghiệm:

&

r = + r = − Từ đó ta có hệ phương trình:







Lấy (4) trừ (3) ta được: k+l = 0 Thay l = -k vào (3) ta được: 5 k = ⇒ = 1 k 1/ 5

Vậy 1 1 5 1 5

5

n

2/ (2) có nghiệm kép

2

r = = ⇒ − = r d r r = Đặt un = r v1n. n; thay vào (1) ta được:

1n . n 2 .1n . n 1 .1n n 2.1n . n 1 1n . n n 2 n 1 n 1 n

r + v + = c r + v + + d r v = r + v + − r + v ⇒ v + − v + = v + − v

Vậy ( ) vn là một cấp số cộng nên vn = k n l + với k và l là các số thỏa mãn hệ phương trình:

1

2 1



1

2 2

1 1

0 2.

r r

= = ≠ nên k và l được xác định một cách duy nhất; tức

là có duy nhất dãy ( ) un mà un = ( k n l r + ) 1n thỏa mãn điều kiện của bài toán

Áp dụng: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 2 *

( ) :

n

u







Ở đây ta có: a = 4; b = 20; c = 4; d = -4 nên PTĐT có nghiệm: r1 = = r2 2

Giải hệ phương trình ta tìm được: k = 3 và l = -1 Vậy un = (3 n − 1).2n

//