Tim so hang tong quat cua day so

) C¬ së lý luËn: B µi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña mét d•y sè cho bëi c«ng thøc truy håi lµ mét bµi to¸n khã ®èi víi häc sinh THPT nãi chung vµ häc sinh khèi 11 nãi riªng. Liªn quan ®Õn d¹ng to¸n nµy ®• cã nhiÒu cuèn s¸ch gi¸o khoa ®Ò cËp ®Õn, tuy nhiªn cã rÊt Ýt cuèn s¸ch ®Ò cËp kü vÒ c¬ së lý thuyÕt ®Ó dÉn ®Õn ph­¬ng ph¸p gi¶i mµ chØ ®­a ra mét c«ng thøc, mét quy tr×nh gi¶i mét c¸ch ¸p ®Æt, “thiÕu tù nhiªn”. Cã thÓ v× trong ph¹m vi cuèn s¸ch ®ã c¸c t¸c gi¶ kh«ng tiÖn ®Ò cËp ®Õn hoÆc viÖc chøng minh c¸c c«ng thøc ®ã kh«ng phï hîp víi kiÕn thøc häc sinh phæ th«ng. Do kh«ng cã ®ñ c¬ së lý thuyÕt nªn khi ¸p dông c¸c kÕt qu¶ ®ã häc sinh th­êng th¾c m¾c “t¹i sao l¹i cã ®­îc nh­ vËy?” hay “Sao l¹i cã kÕt qu¶ ®ã?”...; Còng chÝnh v× kh«ng cã ®ñ c¬ s¬ lý thuyÕt nªn c¸c em rÊt khã nhí c«ng thøc, kh«ng t×m ®­îc mèi liªn hÖ gi÷a c¸c bµi to¸n, kh«ng tù x©y dùng ®­îc mét líp c¸c bµi to¸n cïng d¹ng vµ quy tr×nh ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n ®ã; §iÒu nµy lµm ¶nh h­ëng ®Õn kh¶ n¨ng t×m tßi s¸ng t¹o to¸n cña häc sinh – mét yÕu tè rÊt quan träng ®èi víi ng­êi lµm to¸n. ViÖc n¾m v÷ng b¶n chÊt cña d•y sè vµ c¸c kiÕn thøc vÒ d•y sè sÏ gióp häc sinh ph¸t triÓn t­ duy hµm, t¹o nÒn cho viÖc häc tèt m«n gi¶i tÝch phæ th«ng. Trong ph¹m vi ®Ò tµi nµy t«i kh«ng cã tham väng ®­a ra mét hÖ thèng kiÕn thøc hoµn toµn míi, mét kÕt qu¶ míi vµ ®Ñp vÒ mÆt to¸n häc; ë ®©y t«i chØ tr×nh bµy nh÷ng kÕt qu¶ mµ trong qu¸ tr×nh d¹y häc vÒ d•y sè t«i ®• tÝch luü, t×m tßi ®Ó ®­a ra mét hÖ thèng c¸c bµi to¸n cïng víi quy tr×nh gi¶i c¸c bµi to¸n ®ã. XuÊt ph¸t tõ mét bµi to¸n ®¬n gi¶n, b»ng c¸c ho¹t ®éng to¸n to¸n häc, gi¸o viªn ®• gióp häc sinh kh¸i qu¸t hãa c¸c bµi to¸n vµ ®­a ra ph­¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n míi, qua ®ã gióp rÌn luyÖn, ph¸t triÓn t­ duy gi¶i to¸n cho häc sinh.

I- Đặt vấn đề

1) Cơ sở lý luận:

ài toán tìm số hạng tổng quát của một dãy số cho bởicông thức truy hồi là một bài toán khó đối với học sinhTHPT nói chung và học sinh khối 11 nói riêng Liên quan

đến dạng toán này đã có nhiều cuốn sách giáo khoa đềcập đến, tuy nhiên có rất ít cuốn sách đề cập kỹ về cơ sở

lý thuyết để dẫn đến phơng pháp giải mà chỉ đa ra mộtcông thức, một quy trình giải một cách áp đặt, “thiếu tựnhiên” Có thể vì trong phạm vi cuốn sách đó các tác giảkhông tiện đề cập đến hoặc việc chứng minh các côngthức đó không phù hợp với kiến thức học sinh phổ thông Dokhông có đủ cơ sở lý thuyết nên khi áp dụng các kết quả

đó học sinh thờng thắc mắc “tại sao lại có đợc nh vậy?”hay “Sao lại có kết quả đó?” ; Cũng chính vì không có

đủ cơ sơ lý thuyết nên các em rất khó nhớ công thức,không tìm đợc mối liên hệ giữa các bài toán, không tự xâydựng đợc một lớp các bài toán cùng dạng và quy trình đểgiải các bài toán đó; Điều này làm ảnh hởng đến khả năngtìm tòi sáng tạo toán của học sinh – một yếu tố rất quantrọng đối với ngời làm toán Việc nắm vững bản chất củadãy số và các kiến thức về dãy số sẽ giúp học sinh phát triển

t duy hàm, tạo nền cho việc học tốt môn giải tích phổthông Trong phạm vi đề tài này tôi không có tham vọng đa

ra một hệ thống kiến thức hoàn toàn mới, một kết quả mới

và đẹp về mặt toán học; ở đây tôi chỉ trình bày những

B

luỹ, tìm tòi để đa ra một hệ thống các bài toán cùng vớiquy trình giải các bài toán đó Xuất phát từ một bài toán

đơn giản, bằng các hoạt động toán toán học, giáo viên đãgiúp học sinh khái quát hóa các bài toán và đa ra phơngpháp giải các bài toán mới, qua đó giúp rèn luyện, phát triển

t duy giải toán cho học sinh

II- Giải quyết vấn đềA- Kiến thức áp dụng

1- Dãy số:

1.1) Định nghĩa:

Là một hàm số xác định trên M = 1,2,3, ,m - dãy số hữu hạn, (hoặc xác định trên N * - dãy số vô hạn)

Ngời ta thờng cho dãy số dới các dạng sau:

- Cho bằng phơng pháp truy hồi

- Cho bằng mệnh đề mô tả các số hạng của dãy

- Số hạng tổng quát của cấp số cộng:

- Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng:

3- Cấp số nhân

3.1) Định nghĩa:

q là số không đổi gọi là “công bội”

3.2) Tính chất:

- Số hạng tổng quát:

u n+1 = u n + d ( n N� *)

u n = u 1 + 1)d

(n-S=u 1 + u 2 + u 3 + + u n = n2u n 1d

u n+1 = u n q ( n N� *)

u n = u 1 q n-1

- Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

(Nếu q = 1 thì hiển nhiên S = n.u 1 )

1

2

1

N n u

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?

Nhận xét: Việc giải quyết bài toán trên không có gì khó khăn.

1 



q q

sinh một vấn đề mới : "Liệu có thể thể đề xuất bài toán tổng

quát hơn cùng với quy trình để giải bài toán đó"

(Thực chất, các bài toán tổng quát sẽ nêu sau đây đều đợc giải

quyết triệt để nhờ lý thuyết về phơng trình sai phân

tuyến tính, tuy nhiên đối với đại đa số học sinh THPT (trừ các

lớp chuyên) thì các kiến thức đó là quá tầm Hơn nữa, nh ởtrên đã nói: Trong phạm vi đề tài này tác giả không hy vọngtìm ra một kết quả mới về toán học mà chỉ đa ra các hoạt

động toán học nhằm phát triển t duy cho học sinh bằng cáchgiúp học sinh xây dựng các bài toán và cách giải các bài toán

1+(n-Xác định số hạng tổng quát của dãy số (u n ) xác định

nh sau :

Bài toán này có khái quát hơn Bài toán 1 nhng ta thấy nó

cha có gì “đặc sắc”, cách giải bài toán này không có gì mới

và khác với việc giải bài toán trên

Giáo viên có thể gợi ý để giúp học sinh phát triển bài toán theohai hớng:

H

ớng 1: Ta thấy hệ số của u n trong bài toán trên là 1 Nếu

ta thay hệ số đó bởi một số thực k thì việc giải quyết nó có gì thay đổi.

H

ớng 2: Thay b bởi một biểu thức phụ thuộc n thì sao?

Từ đó ta có bài toán mới:

Bài toán 2

Cho dãy số (u n ) xác định nh sau :

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?

(Chú ý rằng: nếu k= 1 thì bài toán trên trở thành bài toán 1.1 đã xét)

Rõ ràng đây là bài toán tổng quát hơn, cách giải bài toánnày đòi hỏi sự t duy và sáng tạo mới của học sinh Qua thực tếgiảng dạy tôi thấy : Đối với bài toán mới này một số học sinh suy

* 1

b u u

a u

n n

* 1

u k u

a u

n n

nghĩ và giải đợc theo cách 1 (phơng pháp quy nạp) nhng các

em gặp khó khăn khi đoán tìm số hạng tổng quát u n Liệu có

thể giải quyết bài toán này theo cách 2 ?

Từ giả thiết bài toán ta có: u n+1 - u n = k(u n – u n-1 )

Đến đây nhiều học sinh có thể cha nhìn nhận ra vấn đề, giáo

viên có thể gợi ý cho học sinh : "Nếu ta đặt v n = (u n+1 - u n ) thì

ta có điều gì ?" - (v n ) lập thành một cấp số nhân với công bội

k, từ đó ta có cách giải quyết Bài toán 2 nh sau :

Từ giả thiết bài toán ta có: u n+1 - u n = k(u n – u n-1 )

= v n-1 + v n-2 + v n-3 + … + v 1 + u 1

= v 1

1

11

Thực tế giải toán cho thấy, có nhiều bài toán phức tạp hơn,nếu linh hoạt biến đổi theo cách trên ta vẫn giải quyết đợcmột cách dễ dàng Ví dụ sau cho thấy rõ điều đó.

Ví dụ: Cho dãy số (un) thỏa mãn: 1 2

H ớng dẫn giải

Theo giả thiết ta có: (u n+1 – u n ) = (u n – u n-1 ) +1

Bài toán 3: (Đợc đề xuất theo hớng 2)

Cho dãy số (u n ) xác định nh sau:

n

k k

 



Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?

+ Với bài toán mới này học sinh sẽ gặp khó khăn Lúc này giáoviên cần có các hoạt động để giúp học sinh t duy, tìm tòi cáchgiải

- Đặc biệt hóa Bài toán 3 với k =1, Hãy giải bài toán sau:

Bài toán 3a: Cho dãy số (u n ) xác định nh sau:

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?

Với bài toán này học sinh dễ tìm ra hớng giải quyết nh sau:

u n = (u n - u n-1 ) + (u n-1 – u n-2 ) + (u n-2 – u n-3 ) + …+ (u 2 – u 1 ) + u 1 = f(n-1) + f(n-2) + + f(1) + a Trong đó f(n-1) + f(n-2) + + f(1) biết đợc

Ví dụ 1: Cho dãy số (u n ) xác định nh sau:

= f(n-1) + k.f(n-2) + k 2 f(n-3) + +k n-2 f(1) + k n-1 u 1.

(Tổng này tính đợc tùy theo k và f(n) của bài toán cho)

Ví dụ 2: Cho dãy số (u n ) xác định nh sau:

= (n-1) + 2.(n-2) + 2 2 (n-3) + +2 n-2 (1) + 2 n-1 2

= n(2 0 + 2 1 + + 2 n-2 ) – (1.2 0 + 2.2 1 + 3.2 2 + +(n-1).2 n-2 ) + 2 n

= 2 n+1 – n – 1.

Đáp số: u n = 2 n+1 – n – 1.

Đến đây giáo viên đặt vấn đề:

- Liệu ta có thể phát triển bài toán trên ở mức độ tổngquát hơn và tìm ra cách giải bài toán mới đó?

- ở bài toán trên nếu ta thay f(n) bởi một biểu thức chứa

u n-1 thì sao ? Cụ thể hơn, nếu hệ thức truy hồi ở bài toán 2

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó

(Bài ra ở sách nâng cao ĐS&GT 11, NXBGD năm 1993 của Phan Huy Khải)

Với bài này, Sách giáo khoa đã trình bày bài giải nh sau:

1 1

pu u

b u a

u

n n

n

2,2

6

,6,

2

1 1

u u

u u

n n

n

áp dụng cho bài toán trên với p = 6 ; q = 2 ta có phơng trình

x 2 - 6x + 2 = 0 Phơng trình này có hai nghiệm là x 1 = 3  11,

x 2 = 3  11

Chú ý rằng: x 1 0 + x 2 0 = 2 ; x 1 1 + x 2 1 = 6

Vậy u n = S n = (3  11) n + (3  11) n

Bài toán đã đợc giải quyết Tuy nhiên khi tham khảo cách giải

này học sinh sẽ thắc mắc: “Tại sao lại có phơng trình (*) ?,

Nếu (*) vô nghiệm thì sao?,… ” ở bài toán trên chúng ta thấy

“rất may” là phơng trình x 2 -px+q = 0 có nghiệm và hơn nữa:

2 = u 1 = x 1 0 + x 2 0

Từ đó ta đặt ra câu hỏi: “Nếu ta thay 2 bởi một số thực bất

kỳ thì bài toán trên có giải quyết đợc không?” Chẳng hạn bài

toán tìm số hạng tổng quát của dãy Fibonaci

(Dãy số Fibonaci là dãy u n đợc cho bởi công thức:

Tổng quát hơn ta đề xuất bài toán sau :

Bài toán 4: Cho dãy số (u n ) xác định nh sau:

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó?

(Rõ ràng đây là bài toán tổng quát của cả Bài toán 1, 2 và

Bài toán 3 )

)2,1

1 1

u u

u u

n n n

2,,

,

1 1

pu u

b u a u

n n

n

Bây giờ GV định hớng để HS tìm cách giải bài toán này Giáoviên có thể định hớng cho học sinh giải quyết bài toán trên theo

hớng giải Bài toán 3, muốn vậy ta cần tìm 2 số  và  sao

cho: u n+1 -  u n =  (u n -  u n-1 )

Do u n+1 = pu n – qu n-1 nên ta có :

(ta luôn có thể giả thiết rằng  0, vì nếu  = 0 thì q = 0,

bài toán trên trở thành Bài toán 2 đã xét)

(**)

+  n-1 u 1

Nh vậy ta đã hớng dẫn HS tìm đợc kết quả sau:

Số hạng tổng quát của dãy số (u n )

Bài toán đã đợc giải quyết

Trở lại với bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy Fibonaci :

Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức :

(n-1) số hạng

2,,

,

1 1

2 1

pu u

b u a u

n n

n

p q

Tìm số hạng tổng quát của dãy số đó ?

trình nh lý thuyết về phơng trình sai phân tuyến tính,

phơng trình đặc trng hay phơng trình hàm sinh

Điều đó ngoài việc giúp học sinh nhớ và giải đợc toán mà điềuquan trọng hơn là đã giúp học sinh tự học, tự sáng tạo – mộtphẩm chất quý của ngời làm toán

Thực tế có nhiều sách nâng cao đã đa ra các bài toán thuộcdạng trên, theo dõi các đề thi HSG tỉnh nhiều năm qua cũngthấy có một số bài toán tơng tự.

Sau đây là một số ví dụ áp dụng và bài tập đề xuất

(Nhận xét, Dạng của bài toán này giống Ví dụ 1, tuy nhiên bản chất của dãy số là khác)

Hớng dẫn giải.

Ví dụ này có dạng của Bài toán 4 đã xét với a =1; b = 2; p = q

= 1/2 nhng ở đây ta có hệ:

1 2 1 2

không thể dùng kết quả của Bài toán 4 để giải Lúc này GV cần

có các định hớng để học sinh tìm tòi cách giải theo hớng giải

quyết Bài toán 2.

Từ giả thiết ta có: 2u n+1 = u n + u n-1 �2(u n+1 – u n ) = – ( u n – u n-1 )

Đặt v n = (u n+1 – u n ) ta có 2v n = – v n-1 hay 1

1 2

Sn-1 = v 1 + v 2 + + v n-1 = 1 1

1 1

n q v q

Cho dãy số (u n ) xác định nh sau: 1 2

(vì u n1  3u n  9u n1  3 8u n1   1 u n1 suy ra u n+1 - u n-1 >0)

Do đó bài toán đã cho trở thành:

Cho dãy số (u n ) xác định nh sau: 1 2

1; 66

áp dụng kết quả của Bài toán 4 ta có: 3 8

1 ( 3 2)

n n

n

u

u u

1 2 1

2 1

Víi n 1ta cã:

4

cot 2

2

1 sin

1 2

cot 2

1 2

1

k

k k

k

2

cot 2

2 lim 2 cos lim 2

cot 2

n n n

áp dụng kết quả Bài toán 4 đã xét ở trên với a =3; b = 17; p =

Cho dãy số (u n ) xác định nh sau :

* 1

1

12

2

N n u

u

u

n n

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?

Bài 2: Cho dãy số (u n ) xác định nh sau :

5

,2,

1

1 1

u u

u u

n n

n

Bài 5: (Trích sách: chuyên đề số học và dãy số của tác giả Phan

Chứng minh u 1996 chia hết cho 1997

Bài 6: (Trích sách: chuyên đề số học và dãy số của tác giả Phan

Bài 7: Cho dãy số u 1 , u 2 , …, u n , …thoả mãn đẳng thức :

u n+1 = au n + b, (n  1)

a) Hãy biểu diễn số hạng tổng quát u n qua u 1 và a, b và n ?

b) Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy số

(Trích sách Tuyển tập 200 bài vô địch toán)

Bài 8: (Trích sách “ Tuyển tập 200 bài vô địch toán”)

Cho dãy số u 1 , u 2 , …, u n , …thoả mãn đẳng thức :

u n-2 = a 1 u n+1 + a 2 u n , (n  1) trong đó a , a 2 là hai số dơng

cho trớc

Hãy biểu diễn số hạng tổng quát u n qua a 1 , a 2 , u 1 , u 2

!3

1

!2

1

!1

1

1     

(Trích sách “ Tuyển tập 200 bài vô địch toán”)

Bài 10: Cho dãy số (u n ) xác định nh sau:

Tìm tất cả các giá trị của n để un là số chính phơng

(Trích sách “ Tuyển tập 200 bài vô địch toán”)

V – Kết Quả

Với cách xây dựng và phát triển các bài toán, xây dựngquy trình giải quyết các bài toán một cách "tự nhiên” nh vậy,trong quá trình giảng dạy toán tôi thấy các em đã nắm đợc vấn

đề, các em đã biết vận dụng các kết quả trên vào giải quyếtcác bài toán một cách linh hoạt, sáng tạo Với hình thức nh vậytôi đã giúp cho các em yêu thích môn toán hơn, giờ học toáncủa tôi luôn đợc các em chờ đón và thực hiện giờ học một cáchnghiêm túc, tự giác, chất lợng giờ học đã đợc nâng cao rõ rệt.Bài tập về nhà đợc các em tự giác nghiên cứu và trao đổi kếtquả với nhau, ngoài ra các em còn đọc và nghiên cứu trao đổithêm các bài tập ở các sách tham khảo

VI - Kết luận

Trên đây là một số kinh nghiệm tôi tích luỹ đợc trong quátrình giảng dạy bộ môn toán Tôi đã có dịp trao đổi nhữngsuy nghĩ trên với nhiều bạn bè đồng nghiệp và đều đợc sự

đồng tình hởng ứng, thực tế tôi đã trực tiếp vận dụng vàogiảng dạy và thấy có kết quả rõ rệt Do vậy tôi mạnh dạn viết ra

đây không ngoài mục đích trao đổi kinh nghiệm giảng dạyvới các thầy giáo, cô giáo

Vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế, kinh nghiệm giảng dạycủa tôi cha nhiều nên đề tài chắc chắn không tránh khỏi thiếusót, rất mong đợc sự góp ý nhiệt thành của quý thầy cô đểsáng kiến của tôi đợc hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Đô Lơng, tháng 5 năm 2009