) C¬ së lý luËn: B µi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña mét d•y sè cho bëi c«ng thøc truy håi lµ mét bµi to¸n khã ®èi víi häc sinh THPT nãi chung vµ häc sinh khèi 11 nãi riªng. Liªn quan ®Õn d¹ng to¸n nµy ®• cã nhiÒu cuèn s¸ch gi¸o khoa ®Ò cËp ®Õn, tuy nhiªn cã rÊt Ýt cuèn s¸ch ®Ò cËp kü vÒ c¬ së lý thuyÕt ®Ó dÉn ®Õn ph¬ng ph¸p gi¶i mµ chØ ®a ra mét c«ng thøc, mét quy tr×nh gi¶i mét c¸ch ¸p ®Æt, “thiÕu tù nhiªn”. Cã thÓ v× trong ph¹m vi cuèn s¸ch ®ã c¸c t¸c gi¶ kh«ng tiÖn ®Ò cËp ®Õn hoÆc viÖc chøng minh c¸c c«ng thøc ®ã kh«ng phï hîp víi kiÕn thøc häc sinh phæ th«ng. Do kh«ng cã ®ñ c¬ së lý thuyÕt nªn khi ¸p dông c¸c kÕt qu¶ ®ã häc sinh thêng th¾c m¾c “t¹i sao l¹i cã ®îc nh vËy?” hay “Sao l¹i cã kÕt qu¶ ®ã?”...; Còng chÝnh v× kh«ng cã ®ñ c¬ s¬ lý thuyÕt nªn c¸c em rÊt khã nhí c«ng thøc, kh«ng t×m ®îc mèi liªn hÖ gi÷a c¸c bµi to¸n, kh«ng tù x©y dùng ®îc mét líp c¸c bµi to¸n cïng d¹ng vµ quy tr×nh ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n ®ã; §iÒu nµy lµm ¶nh hëng ®Õn kh¶ n¨ng t×m tßi s¸ng t¹o to¸n cña häc sinh – mét yÕu tè rÊt quan träng ®èi víi ngêi lµm to¸n. ViÖc n¾m v÷ng b¶n chÊt cña d•y sè vµ c¸c kiÕn thøc vÒ d•y sè sÏ gióp häc sinh ph¸t triÓn t duy hµm, t¹o nÒn cho viÖc häc tèt m«n gi¶i tÝch phæ th«ng. Trong ph¹m vi ®Ò tµi nµy t«i kh«ng cã tham väng ®a ra mét hÖ thèng kiÕn thøc hoµn toµn míi, mét kÕt qu¶ míi vµ ®Ñp vÒ mÆt to¸n häc; ë ®©y t«i chØ tr×nh bµy nh÷ng kÕt qu¶ mµ trong qu¸ tr×nh d¹y häc vÒ d•y sè t«i ®• tÝch luü, t×m tßi ®Ó ®a ra mét hÖ thèng c¸c bµi to¸n cïng víi quy tr×nh gi¶i c¸c bµi to¸n ®ã. XuÊt ph¸t tõ mét bµi to¸n ®¬n gi¶n, b»ng c¸c ho¹t ®éng to¸n to¸n häc, gi¸o viªn ®• gióp häc sinh kh¸i qu¸t hãa c¸c bµi to¸n vµ ®a ra ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n míi, qua ®ã gióp rÌn luyÖn, ph¸t triÓn t duy gi¶i to¸n cho häc sinh.
Ngun Huy Kh«i - RÌn lun t cho häc sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " I- Đặt vấn đề 1) Cơ sở lý luận: B ài toán tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi toán khó học sinh THPT nói chung học sinh khối 11 nói riêng Liên quan đến dạng toán có nhiều sách giáo khoa đề cập đến, nhiên có sách đề cập kỹ sở lý thuyết để dẫn đến phơng pháp giải mà đa công thức, quy trình giải cách áp đặt, thiếu tự nhiên Có thể phạm vi sách tác giả không tiện đề cập đến việc chứng minh công thức không phù hợp với kiến thức học sinh phổ thông Do đủ sở lý thuyết nên áp dụng kết học sinh thờng thắc mắc lại có đợc nh vậy? hay Sao lại có kết đó? ; Cũng đủ sơ lý thuyết nên em khó nhớ công thức, không tìm đợc mối liên hệ toán, không tự xây dựng đợc lớp toán dạng quy trình để giải toán đó; Điều làm ảnh hởng đến khả tìm tòi sáng tạo toán học sinh – mét u tè rÊt quan träng ®èi víi ngời làm toán Việc nắm vững chất dãy số kiến thức dãy số giúp học sinh phát triển t hàm, tạo cho việc học tốt môn giải tích phổ thông Trong phạm vi đề tài tham vọng đa mét hƯ thèng kiÕn thøc hoµn toµn míi, mét kết đẹp mặt toán học; trình bày kết mà trình dạy học dãy số tích Ngun Huy Kh«i - RÌn lun t cho học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " luỹ, tìm tòi để đa hệ thống toán với quy trình giải toán Xuất phát từ toán đơn giản, hoạt động toán toán học, giáo viên giúp học sinh khái quát hóa toán đ a phơng pháp giải toán mới, qua giúp rèn luyện, phát triển t giải toán cho học sinh II- Giải vấn đề A- Kiến thức áp dụng 1- Dãy số: 1.1) Định nghĩa: Là hàm số xác định trªn M = 1 , , 3, , m - dãy số hữu hạn, (hoặc xác định N * - dãy số vô hạn) Kí hiệu: (u n ) không sợ nhầm lẫn ta kí hiệu dãy số u u n Dãy số thờng đợc viÕt díi d¹ng khai triĨn: u , u , , u n , u : gäi số hạng đầu hay số hạng thứ u : gọi số hạng thứ hai u n : gọi số hạng thứ n hay số hạng tổng quát dãy số u 1.2) Cách cho d·y sè: Ngêi ta thêng cho d·y sè díi c¸c dạng sau: - Cho số hạng tổng quát u n dãy số công thức - Cho phơng pháp truy hồi - Cho mệnh đề mô tả số hạng dãy Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t cho học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " 2- Cấp số cộng 2.1) Định nghĩa: Là dãy số (hữu hạn vô hạn) thoả mãn: un+1 = un + d ( n �N * ) d lµ sè thực không đổi gọi công sai 2.2) Tính chất: - Số hạng tổng quát cấp số cộng: un = u1 + (n1)d - Tổng n số hạng đầu cña mét cÊp sè céng: S=u1+ u2+ u3+ + un = n 2u1 n 1 d = 3- Cấp số nhân 3.1) Định nghĩa: Là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: un+1 = un q ( n �N * ) q số không đổi gọi công bội 3.2) Tính chất: - Số hạng tổng quát: un = u1 qn-1 Ngun Huy Kh«i - RÌn lun t cho học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " - Tổng n số hạng đầu cấp số nhân S=u1+ u2+ u3+ + un = u1 qn , q (NÕu q = hiển nhiên S = n.u1) B- Nội dung Chúng ta toán đơn giản đợc trình bày nhiều sách tập nh sau: Bài toán u1 u n 1 u n 1: Cho d·y sè (un) xác định nh sau : n N * Hãy xác định số hạng tổng quát dãy ? Nhận xét: Việc giải toán khó khăn HS giải theo cách nh sau : Cách 1: (Tạm gọi phơng pháp quy nạp) Từ giả thiết ta có : u1 = = 1+ 0.2 = 1+(1-1).2 u2 = = 1+2 =1+(2-1).2 u3 =5 = 1+2+2 =1+(3-1).2 Dự đoán un = 1+(n-1).2 Ta dễ dàng chứng minh kết qủa phơng pháp quy nạp toán học Nguyễn Huy Kh«i - RÌn lun t cho häc sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " Cách 2:(Tạm gọi phơng pháp đơn giản số hạng) Từ giả thiết ta có : un+1 – un = n N* Nªn theo định nghĩa cấp số cộng (un) lập thành cấp sè céng víi u1=1, c«ng sai d=2 suy : Vậy : un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2 un = 1+(n1).2 Việc định hớng để học sinh tìm cách giải không khó Tuy nhiên từ cách giải giáo viên đặt cho học sinh vấn ®Ị míi : "LiƯu cã thĨ thĨ ®Ị xt bµi toán tổng quát với quy trình để giải toán đó" (Thực chất, toán tổng quát nêu sau đợc giải triệt để nhờ lý thuyết phơng trình sai phân tuyến tính, nhiên đại đa số học sinh THPT (trừ lớp chuyên) kiến thức tầm Hơn nữa, nh nói: Trong phạm vi đề tài tác giả không hy vọng tìm kết toán học mà đa hoạt động toán học nhằm phát triĨn t cho häc sinh b»ng c¸ch gióp häc sinh xây dựng toán cách giải toán kiến thức phổ thông) Từ cách đặt vấn đề GV, học sinh đa toán nh sau : Bài toán 1.1: Ngun Huy Kh«i - RÌn lun t cho học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " Xác định số hạng tổng quát dãy số (un) xác định nh sau : u1 a u n 1 u n b n N * Bài toán có khái quát Bài toán nhng ta thấy cha có đặc sắc, cách giải toán khác với việc giải toán Giáo viên gợi ý để giúp học sinh phát triển toán theo hai hớng: Hớng 1: Ta thấy hệ số un toán Nếu ta thay hệ số số thực k việc giải có thay đổi Hớng 2: Thay b biểu thức phụ thuộc n sao? Từ ta có toán mới: Bài toán Cho dãy số (un) xác định nh sau : u1 a n N * , k 1 u n 1 k u n b Hãy xác định số hạng tỉng qu¸t cđa d·y ? (Chó ý r»ng: nÕu k= toán trở thành toán 1.1 xét) Rõ ràng toán tổng quát hơn, cách giải toán đòi hỏi t sáng tạo học sinh Qua thực tế giảng dạy thấy : Đối với toán míi nµy mét sè häc sinh suy Ngun Huy Kh«i - RÌn lun t cho häc sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " nghĩ giải đợc theo cách (phơng pháp quy nạp) nhng em gặp khó khăn đoán tìm số hạng tổng quát un Liệu giải toán theo cách ? Từ giả thiết toán ta có: un+1 - un = k(un un-1) Đến nhiều học sinh cha nhìn nhận vấn đề, giáo viên gợi ý cho học sinh : "Nếu ta đặt = (un+1 - un) ta có điều ?" - (vn) lập thành cấp số nhân với công bội k, từ ta có cách giải Bài toán nh sau : Từ giả thiết to¸n ta cã: un+1 - un = k(un – un-1) §Ỉt = un+1 - un n N* lóc ®ã : vn+1 = k.vn , n N* suy dãy (vn) lập thành cấp số nhân với công bội k, v1 = (k-1)a + b Theo công thức số hạng tổng quát cấp số nhân : = v1.kn-1 Mặt khác ta có : un = (un - un-1 ) + (un-1 – un-2) + (un-2 – un-3) + …+ (u2 – u1) + u1 = = vn-1 + vn-2 + k n v1 + u1 k1 vn-3 + … + v1 + u1 (áp dụng công thức tính tổng n-1 số hạng đầu cấp số nhân (vn), k 1) VËy ta k n un = ((k-1)a + b) +a k1 cã: Ngun Huy Kh«i - RÌn lun t cho häc sinh qua bµi toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " Hay: un =a.kn-1 + b k n1 k Thực tế giải toán cho thấy, có nhiều toán phức tạp hơn, linh hoạt biến đổi theo cách ta giải đợc cách dễ dàng Ví dụ sau cho thấy rõ điều u1 1; u2 � VÝ dô: Cho d·y sè (un) tháa m·n: � víi n �N , n u u u n n n Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số đó? Hớng dẫn giải Theo gi¶ thiÕt ta cã: (un+1 – un) = (un – un-1) +1 Đặt = (un+1 un) ta có vn+1 - =1 nên dãy (vn) lập thành cÊp sè céng cã: v1 = u2 – u1 =0 công sai d = 1, đó: Sn-1 = v1 + v2 + + vn-1 = (n 1) v1 1 (n 1)(2v1 n 2) (n 1)(n 2) = = 2 Mặt khác ta có: un = (un un-1) + (un-1 – un-2) + + (u2 – u1) + u1 = vn-1 + vn-1 + + v1 + u1 = Sn-1 + u1 = VËy un = (n 1)( n 2) n 3n +1= 2 n(n 3) Bài toán 3: (Đợc đề xuất theo hớng 2) Cho dãy số (un) xác định nh sau: u1 a n N * , k N * Trong f(n) mét biÓu thøc � un 1 k un f (n) � phơ thc n Ngun Huy Kh«i - RÌn lun t cho häc sinh qua bµi toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " Hãy xác định số hạng tổng quát dãy ? + Với toán học sinh gặp khó khăn Lúc giáo viên cần có hoạt động để giúp học sinh t duy, tìm tòi cách giải - Đặc biệt hóa Bài toán với k =1, Hãy giải toán sau: Bài toán 3a: Cho dãy số (un) xác định nh sau: u1 a � n �N * � un 1 un f (n) Trong f(n) biểu thức phụ thuộc n Hãy xác định số hạng tổng quát dãy ? Với toán học sinh dễ tìm hớng giải nh sau: un = (un - un-1 ) + (un-1 – un-2) + (un-2 – un-3) + …+ (u2 – u1) + u1 = f(n-1) + f(n-2) + + f(1) + a Trong ®ã f(n-1) + f(n-2) + + f(1) biÕt ®ỵc VÝ dô u 1 � �1 � un 1 un ( ) n � � 1: Cho dãy số (un) xác định nh sau: n * Hãy xác định số hạng tổng quát dãy ? Gi¶i: Ta cã: un = (un - un-1 ) + (un-1 – un-2) + (un-2 – un-3) + …+ (u2 – u1) + u1 =(1/2)n-1 + (1/2)n-2 + + 1/2 + = (1/ 2) n = – 2(1/2)n 1/ 10 NguyÔn Huy Kh«i - RÌn lun t cho häc sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy sè " VËy: un = – 2(1/2)n Trë l¹i với Bài toán 3, giáo viên đặt vấn đề: "Có thể giải nh Bài toán 3a Giáo viên tiếp tục gợi ý: "Theo cách cho dãy số ta có: un+1 – kun = f(n), tõ ®ã h·y biĨu diƠn un tơng tự nh cách làm trên" Ta có: un = (un - kun-1 ) +k (un-1 – kun-2) +k2 (un-2 – kun-3) + …+kn-2 (u2 – ku1) +kn-1 u1 = f(n-1) + k.f(n-2) + k2f(n-3) + +kn-2f(1) + kn-1u1 (Tổng tính đợc tùy theo k f(n) toán cho) Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định nh sau: u1 n �N * � u u n n n Hãy xác định số hạng tổng quát dãy ? Giải: áp dụng kết với f(n) = n, k = ta đợc un = (un - 2un-1 ) +2 (un-1 – 2un-2) +22 (un-2 – 2un-3) + …+2n-2 (u2 – 2u1) +2n-1 u1 = (n-1) + 2.(n-2) + 22(n-3) + +2n-2(1) + 2n-1 = n(20 + 21 + + 2n-2) – (1.20 + 2.21 + 3.22+ +(n-1).2n-2) + 2n = 2n+1 – n Đáp số: un= 2n+1 n Đến giáo viên đặt vấn đề: 11 Nguyễn Huy Kh«i - RÌn lun t cho häc sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " Bây GV định hớng để HS tìm cách giải toán Giáo viên định hớng cho học sinh giải toán theo hớng giải Bài toán 3, muốn ta cần tìm số cho: un+1 - un = (un - un-1) Do un+1 = pun – qun-1 nªn ta cã : p (**) q (ta giả thiết 0, = q = 0, toán trở thành Bài toán xét) = un+1 - un ta cã = vn-1 dãy số (vn) lập Đặt thành cấp số nhân với công bội v1 = u – u = b – a vµ = n-1v1 hay un+1 - un = n-1(u2 – u1) (1) Còng tõ un+1 - un = (un - un-1) � un+1 - un = (un - un) Nên tơng tự ta có un+1 - un = n-1(u2 – u1) (2) TH1: NÕu � th× lÊy (2) trõ (1) vÕ theo vÕ ta cã ( - )un = n-1(u2 – u1) - n-1(u2 – u1) � un u2 u1 n1 u1 u2 n1 TH2: Nếu = (ứng với trờng hợp phơng trình ®Ỉc trng cã nghiƯm kÐp) ta cã: un = (un - un-1 ) + (un-1 – un-2) + 2(un-2 – un-3) + …+ n-2 (u2 – u1) + 14 Ngun Huy Kh«i - Rèn luyện t cho học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " + n-1u1 = vn-1 + vn-2 + 2vn-3 + …+ n-2v1 + n-1u1 = n-2v1 + n-3v1 + n-4v1 + …+ n-2v1 + n-1u1 = ( n-2 + n-2 + …+ n-2)v1 + n-1u1 (n-1) sè h¹ng = (n – 1) n-2 (b – a ) + n-1u1 = (n – 1) n-2 (b – a ) + n-1.a = (n – 1)b n-1 + (n – 2)a n-1 Nh vËy ta ®· híng dÉn HS tìm đợc kết sau: u1 a , u b, n N , n 2 Sè hạng tổng quát dãy số (un) u pu qu n 1 n n x¸c định là: un u2 u1 n1 u1 u2 n1 (nÕu � ) un = (n – 1)b n-1 + (n – 2)a n-1 (nÕu = ) với , đợc xác ®Þnh p � bëi: � q Bài toán đợc giải Trở lại với toán tìm số hạng tổng quát dãy Fibonaci : Cho dãy số (un) xác định c«ng thøc : u1 u 1 n N , n 2 u u u n 1 n n 15 ) NguyÔn Huy Kh«i - RÌn lun t cho häc sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " Tìm số hạng tổng quát dãy số ? Giải : áp ụng kết với a=b=1; p = ; q = -1 Ta cần tìm số , tho¶ m·n: � 1 � Gi¶i đợc: Suy : un = = 1 1 ; 1 1 1 n 1 n 1 1� � � � 2 � � � � 5 � � � � n n � � 1 � � �� � � � � �� 2 5� � � � �� � � Vậy số hạng tổng quát dãy Fibonaci : n n � � 1 � � �� � un = � � � �� 2 5� � � � �� � � Nh vậy, với cách làm ta hớng dẫn học sinh tự xây dựng toán quy trình giải toán cách tự nhiên, sử dụng đến kiến thức vợt chơng trình nh lý thuyết phơng trình sai phân tuyến tính, phơng trình đặc trng hay phơng trình hàm sinh Điều việc giúp học sinh nhớ giải đợc toán mà điều quan trọng giúp học sinh tự học, tự sáng tạo phẩm chất quý ngời làm toán 16 Nguyễn Huy Kh«i - RÌn lun t cho häc sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " Thực tế có nhiều sách nâng cao đa toán thuộc dạng trên, theo dõi đề thi HSG tỉnh nhiều năm qua thấy có số toán tơng tự Sau số ví dụ áp dụng tập ®Ị xt VÝ dơ 1: u 1; u2 Cho dãy số (un) xác định nh sau: � víi n �N , n 1 u ( u u ) n 1 n n Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số (Nhận xét, Dạng toán giống Ví dụ 1, nhiên chất dãy số khác) Hớng dẫn giải Ví dụ có dạng Bài toán xét với a =1; b = 2; p = q � � � = 1/2 nhng ë ta có hệ: vô nghiệm Do ta � � kh«ng thĨ dïng kết Bài toán để giải Lúc GV cần có định hớng để học sinh tìm tòi cách giải theo hớng giải Bài toán Tõ gi¶ thiÕt ta cã: 2un+1 = un + un-1 � 2(un+1 – un) = – ( un – un-1) Đặt = (un+1 un) ta có 2vn = – vn-1 hay 1 dãy (vn) lập thành cấp số nhân với v1 = 1, công bội q = số hạng đầu dãy số (vn) là: 17 tổng n-1 Ngun Huy Kh«i - RÌn lun t cho học sinh qua toán : "Tìm số hạng tỉng qu¸t cđa d·y sè " Sn-1 = v1 + v2 + + vn-1 = v1 n1 � �1 � � q n 1 1 = � �� � � 2� q 1 � �2 Mặt khác ta có: un = (un un-1) + (un-1 – un-2) + + (u2 – u1) + u1 = vn-1 + vn-1 + + v1 + u1 � �1 � 1 � � = � 2� � �2 � n1 = Sn-1 + u1 � �1 � 1 � � = � 2� � �2 � n1 VËy ta cã: un � � �+ � � � �+ � VÝ dô 2: u1 2; u2 � Cho dãy số (un) xác định nh sau: với un 1 3un 2un 1 � n �N , n Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số Hớng dẫn giải: Ví dụ có dạng Bài toán xét với a =2; b = 3; p = 3, q = 3 2 � � � � ®ã ta cã � � vµ ta cã � un u2 u1 n1 u1 u2 n1 = 1.2 (2) n1 2.2 (1)n 1 = (2)n-1 + 2 Đáp số: (un) = (2)n-1 + VÝ dơ 3: 18 Ngun Huy Kh«i - RÌn luyện t cho học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " u1 2; u2 � Cho d·y sè (un) xác định nh sau: với un 5un 6un 1 � n �N , n Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số Hớng dẫn giải: Giải tơng tự với a =2; b = 5; p = 6, q = -2 vµ ta cã 5 3 � � � � ®ã ta cã � � � un u2 u1 n1 u1 u2 n1 2.2 n1 3.2 n 1 = (3) (2) = (3)n-1 + 32 32 (2)n-1 Đáp số: (un) = (3)n-1 + (2)n-1 VÝ dô 4: u1 � � Cho d·y số (un) xác định nh sau: với un 3un 8un2 � n �N * Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số Híng dÉn gi¶i: Tõ gi¶ thiÕt ta cã: un+1 – 3un = 8un2 � (un+1 – 3un)2 = 8un � un21 un2 6un un 1 (1) Do ®ã ta còng cã un2 un21 6un 1.un (2) Trõ (1) cho (2) vế theo vế ta đợc: un21 un21 6un (un 1 un 1 ) � un+1 + un-1 = 6un 19 Ngun Huy Kh«i - Rèn luyện t cho học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " (v× un 1 3un 9un 1 8un 1 un 1 suy un+1 - un-1 >0) Do toán cho trở thµnh: u1 1; u2 � Cho d·y số (un) xác định nh sau: với n N , n u u u n n n Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số đó? áp dụng kết Bài toán ta cã: � � un nªn u2 u1 n1 u1 u2 n1 = (3 8) (3 8) (3 8) n1 (3 8) n1 8 (3 8) n (3 8) n = = 8 (3 8) n (3 8) n (3 8) n (3 8) n Đáp số: un VÝ dô 5: � u1 � Cho dãy số xác định nh sau: un � un 1 � ( 2)un � T×m u2010 Híng dÉn gi¶i: 20 víi n �N , n Ngun Huy Kh«i - RÌn lun t cho häc sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát cña d·y sè " , viÕt l¹i biĨu thøc u ta cã tan n+1 díi d¹ng sau: 12 2 cos un tan 12 (1) un đặt un tan từ (1) suy : un tan 12 un 1 tan( ) (2) 12 Vì u1 nên từ (2) theo nguyên lý quy n¹p suy tan (n 1) un tan( (n 1) ) tan 12 12 cos VËy: u2010 5 tan 2009 5 5 12 tan( ) tan( 167 ) tan( ) 12 12 12 5 1 tan 12 (3) 1 5 Do tan cot 12 12 cos 1 cos Thay (4) vào (3) ta đợc u2010 (4) 2 2 (2 3) VÝ dô 6: a1 Cho d·y sè a n xác định nh sau: a a a n n 1 n n Víi mäi n tự nhiên lớn 1.Chứng minh dãy số a n hội tụ tìm giới hạn dãy số Hớng dẫn giải: Bằng quy nạp ta chøng minh r»ng a n ThËt vËy: 21 cot n 1 (1) n 1,2,3, n 2 Ngun Huy Kh«i - RÌn lun t cho học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng qu¸t cđa d·y sè " Víi n 1 ta cã: a1 cot vËy (1) ®óng víi n Giả sử (1) với số tự nhiên n k nghĩa là: ak cot k 1 k 2 Ta phải chứng minh (1) với n k Từ giả thiết quy nạp công thức xác định dãy có: 1 a k a k a k2 k 2 a k 1 1 k 2 cot k 1 sin k 1 a k cot tức (1) víi K 1 k 2 n k (1) đợc chứng minh Ta cã: n 1 2 lim a n lim n cot n 1 lim cos n 1 lim 2 sin n 1 2 VËy d·y a n héi tơ vµ lim a n VÝ dô 7: u1 3; u2 17 Cho dãy số (un) xác định nh sau: víi un 1 6un un1 � n �N , n Chøng minh r»ng víi mäi n �N * ta lu«n cã un2 chia hÕt cho thơng số phơng Hớng dẫn giải 22 Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t cho học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " áp dụng kết Bài toán xét với a =3; b = 17; p = � 6 3 � � � � ®ã ta cã � � 6, q = vµ ta cã � un u2 u1 n1 u1 u2 n1 = = 17 (3 8)3 (3 8)3 17 (3 8) n1 (3 8)n 1 8 83 8 8 (3 8) n1 (3 8) n1 8 n n 3 8 3 8 � VËy un � � � � 2� Mặt khác ta có: = � � � � � � � � n � �3 Do ®ã: (un 1) � 2 � � n n n n 2 3 � � � � � n ¸p dơng công thức nhị thức Newton ta có: (3 8) n = M N , M, N số nguyên dơng Từ suy (un2 1) N suy điều phải chứng minh tập đề xuất Bài 1: (Trích sách tập ĐS & GT 11 năm 2000) 23 Nguyễn Huy Kh«i - RÌn lun t cho häc sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " Cho dãy số (un) xác định nh sau : u1 2 u n 1 2un n N * H·y x¸c định số hạng tổng quát dãy ? Bài 2: Cho dãy số (un) xác định nh sau : u1 1 , u2 2, n N , n 2 u u u n n n Hãy xác định số hạng tổng quát dãy ? Bài 3: (Đề thi HSG tỉnh năm 1999) Cho dãy số (un) đợc xác ®Þnh nh sau: u a , u b, � �1 n N , n � un 1 (un un 1 ) � Hãy tìm: limun Bài 4: (Trích sách: chuyên đề số học dãy số tác giả Phan Huy Kh¶i) u1 � � Cho d·y sè (un) đợc xác định nh sau: 3 un 1 (1 )un � n n � n �N * Chøng minh r»ng mäi sè hạng dãy số nguyên 24 Nguyễn Huy Kh«i - RÌn lun t cho häc sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " Bài 5: (Trích sách: chuyên đề số học dãy số tác giả Phan Huy Khải) Cho dãy số (un) đợc xác định nh sau: u1 7; u2 50 � � un 1 4un 5un 1 1975 � n �N , n Chøng minh u1996 chia hÕt cho 1997 Bµi 6: (Trích sách: chuyên đề số học dãy số tác giả Phan Huy Khải) u0 3; u1 17 � un 6un 1 un Cho dãy số (un) đợc xác định nh sau: � n �N , n Chøng minh với số tự nhiên n un2 chia hết cho thơng số phơng Bài 7: Cho dãy số u1, u2, , un, thoả mãn đẳng thức : un+1 = aun + b, (n 1) a) H·y biĨu diƠn sè h¹ng tỉng quát un qua u1 a, b n ? b) Tính tổng n số hạng dãy số (Trích sách Tuyển tập 200 vô địch toán) Bài 8: (Trích sách Tuyển tập 200 vô địch toán) Cho dãy số u1, u2, , un, thoả mãn đẳng thức : un-2 = a1un+1 + a2un , (n 1) a , a2 hai số dơng cho trớc 25 Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t cho học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " Hãy biểu diễn số hạng tổng quát un qua a1 , a2, u1 , u2 vµ n ? Bµi 9: Cho dãy số u1, u2, , un, đợc xác định nh sau : u1= 2, un = nun-1 + , (n 2) Chứng minh số hạng tổng quát dãy số : 1 1 u n n!e , (n 1) (Sè e =1 ) 1! 2! 3! n! (TrÝch s¸ch “ Tun tËp 200 vô địch toán) Bài 10: Cho dãy số (un) xác định nh sau: u1 1; u2 � víi n �N ; n � un 1 (n 2)u n (n 1)u n Tìm tất giá trị n để un số phơng (Trích sách Tuyển tập 200 vô địch toán) 26 Nguyễn Huy Kh«i - RÌn lun t cho häc sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " V Kết Quả Với cách xây dựng phát triển toán, xây dựng quy trình giải toán cách "tự nhiên nh vậy, trình giảng dạy toán thấy em nắm đợc vấn đề, em biết vận dụng kết vào giải toán cách linh hoạt, sáng tạo Với hình thức nh giúp cho em yêu thích môn toán hơn, học toán đợc em chờ đón thực học cách nghiêm túc, tự giác, chất lợng học đợc nâng cao rõ rệt Bài tập nhà đợc em tự giác nghiên cứu trao đổi kết với nhau, em đọc nghiên cứu trao đổi thêm tập sách tham khảo VI - Kết luận Trên số kinh nghiệm tích luỹ đợc trình giảng dạy môn toán Tôi có dịp trao đổi suy nghĩ với nhiều bạn bè đồng nghiệp đợc đồng tình hởng ứng, thực tế trực tiếp vận dụng vào giảng dạy thấy có kết rõ rệt Do mạnh dạn viết không mục đích trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với thầy giáo, cô giáo Vì thời gian nghiên cứu hạn chế, kinh nghiệm giảng dạy cha nhiều nên đề tài chắn không tránh khỏi thiếu sót, mong đợc góp ý nhiệt thành quý thầy cô để sáng kiến đợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Đô Lơng, tháng năm 2009 27 Nguyễn Huy Khôi - Rèn luyện t cho học sinh qua toán : "Tìm số hạng tổng quát dãy số " 28