bộ đề hình học nâng cao lớp 9

Bài 1 :Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và .Vẽ 3 đường cao AD ,BE ,CF của tam giác ABC chúng cắt nhau tại H 1Chúng tỏ : Tứ giác BFEC nội tiếp 2Lấy M thuộc EF sao cho DMEF .Chứng tỏ : tam giác BMH vuông 3 EG cắt DM tại I .Chứng minh rằng : 4 Tìm thêm 1 điều kiện của tam giác ABC để HI,DE,FG đồng quy tại 1 điểm

Bài 1 :Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và C 45* Vẽ 3 đường cao AD ,BE ,CF của tam giác ABC chúng cắt nhau tại H

1/Chúng tỏ : Tứ giác BFEC nội tiếp

2/Lấy M thuộc EF sao cho DM//EF Chứng tỏ : tam giác BMH vuông

3/ EG cắt DM tại I Chứng minh rằng : CBI ABE

4 / Tìm thêm 1 điều kiện của tam giác ABC để HI,DE,FG đồng quy tại 1 điểm

2/ Tam giác BMH vuông

Do DM//AC nên BDM ACB ( 2 góc đồng vị ) Do tứ giác BFEC nội tiếp nên ACB AFE Ta lại có

 

AFE MFB ( 2 góc đối đỉnh ) tứ đó suy ra MFB BDM => Tứ giác BDFM nội tiếp ( 2 góc bằng nhau cùng nhìn cạnh BM ) Ta lại có :

  90*

ADC BFC  => Tứ giác BFHD nội tiếp Từ đó dẫn đến 5 điểm B,M,F,H,D cùng thuộc 1 đường tròn đường kính BH -> BM vuông góc với MH vậy tam giác BMH vuông tại M

ADB AEB  => Tứ giác AEDB nội tiếp => EDG BAC => BAC EIB

Xét trong 2 tam giác vuông ABE và IBG ta có : BAC EIB => CBI ABE

4/ Tìm thêm 1 điều kiện của tam giác ABC

Dựng BJ_|_ HI Ta có : BJH AFB90* nên tứ giác BFHJ nội tiếp=> ABE HJF

Ta có : BJI BGI 90* => Tứ giác BJGI nội tiếp => CBI GJI Mà CBI ABE =>

 

HJF GJI Mâc khác ta có : FJG GJI FJI  HJF FJI HJI 180*=> 3 điểm

F,J,G thẳng hàng Nếu HI ,DE ,FG đồng quy tại 1 điểm => 3 điểm E,J,G thẳng hàng => HEJ HED , dễ thấy tứ giác DHEC nội tiếp nên HED HCD từ đó suy ra

HEJ HCD => BHC~JHE (g-g )=> HJ/HB=HE/HC mà

Cos BHJ =HJ/HB và cos EHC =HE/HC => BHJ EHC Dễ thấy BHJ BFJ ( 2 góc nội tiếp chắn cung BJ của đường tròn đường kính BH ) mà ta lại có GB =GF => Tam giác GBF cân => BFJ ABC Ta lại có : EHC BAC ( cùng phụ với góc ACF ) từ đó suy ra ABC BAC => tam giác ABC cân tại C ( đây là ĐK của bài toán )

Bài 2 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB<AC) Vẽ 3 đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC chúng cắt nhau tại H

1/Chứng tỏ : Tứ giác DHEC nội tiếp ,xác định tâm O

2/ Trên cung nhỏ EC của đường tròn (O) lấy 1 điểm I sao cho IC>IE ,DI cắt CE tại

1/ Tứ giác DHEC nội tiếp ,xác định tâm O

Ta có : HDCAEB90* nên tứ giác DHEC nội tiếp trong đường tròn đường kính

HC => tâm O là trung điểm của HC

KMN HCK ( cùng phụ với góc MHC ) mà ta lại có : HCK HGN ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung HN )=> TGN HGN => 2 tia GT và GH trùng nhau => 3 điểm H,T,G thẳng hàng

Bài 3 : Cho 3 điểm B,D,C thẳng hàng theo 1 thứ tự nào đó ( D nằm giửa B và C) và đặt DC=2DB=2x (x>0) Gọi (p) là đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC Trên (p) lấy 1 điểm A sao cho AD=3x Vẽ 2 đường cao BE và CF của tam giác ABC chúng cắt nhau tại H

1/ Hãy tính diện tích tam giác ABC theo x và chứng tỏ góc ACB =góc AFE

2/ Chứng minh rằng : DB.DC=DH.DA

.3/ Hãy tính :

HD và HA theo x ,tam giác AEF theo x

4/ Gỉa sử D,B,C cố định Tìm giá trị của đoạn thẳng AD theo x để

: tam giác ABC có 3 góc nhọn , BAC ≤ 60*

3/Tính HD,HA, diện tích tam giác AFE theo R

Ta có : BC 2 =BF 2 +CF 2 =(AB-AF) 2 +CF 2 =AB 2 -2.AB.AF+AF 2 +CF 2 =AB 2 2.AB.AC.cosA+

Xét tam giác AFE và tam giác ACB ta có :

BAC là góc chung , góc AFE=góc ACB ( cmt)

=>∆AFE~∆ACB (g-g)=>

2 2

thấy ở (*) muốn tồn tại thì ta phải có : 2y 2 -4x 2 ≥0 =>y 2 ≥2x 2 như vậy ở trường hợp số

2 không thỏa yêu cầu bài toán , chỉ nhận trường hợp 1

Vị trí của D dể góc BAC≤60* thì AD 2 ≥

2 2

21 2976

x x

=> AD≥ . 21 297

6

x 

Đây chính là giới hạn của điểm A

Bài 4 : Cho đường tròn tâm O ,đường kính AB Trên đường tròn (O) lấy 1 điểm C sao cho BC>AC Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D Vẽ CH vuông góc với AB tại

H Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AD tại M

1/Chứng minh rằng : MC là tiếp tuyến của (O) và CH 2 =AH.BH

2/Chứng tỏ : Tứ giác AMOC nội tiếp được

3/ BM cắt CH tại I Chứng minh : I là trung điểm của CH

4/ AI cắt (O) tại D Chứng tỏ : DN là tiếp tuyến của (O)

5/ MN cắt (O) tại P , DP cắt AN tại Q Chứng minh : AQ 2 =QP.QD

6/Đường thẳng qua Qsong song AB cắt MA và MB lần lượt tại J và K Gỉa sử QK=QJ Tính diện tích tam giác MIN theo R Gỉai

1/ MC là tiếp tuyến của (O) và CH 2 =AH.BH

Ta có : góc ACB =90* ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB ) => AC_| _BC mà OM//BC => OM//BC Ta có : OA=OC=R=> tam giác AOC cân trong tam giác này có OM là đường cao => OM cũng là đường phân giác => AOM COM

Xét tam giác AOM và tam giác COM ta có :

OA=OC=R , AOM COM ( cmt) , OD là cạnh chung )

=>∆AOM=∆BOM (c-g-c)=> OCM OAM 90* => CO_|_CM ta lại có C thuộc (O) nên MC là tiếp tuyến của (O) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta liền suy ra CH 2 =AH.BH

2/Tứ giác AOMC nội tiếp được

Ta có : OAM OCM 90* 90* 180*  => Tứ giác AOMC nội tiếp ( tổng 2 góc đối

=180* )

3/ I là trung điểm của CH

Trong tam giác ADB ta có OA=OB=R , OM//BD => MA=MD

CH//AD ( cùng vuông góc với AB ) Áp dụng định lý ta lét trong các tam giác ABM

và tam giác BMD ta có : IH BI CI

AM BM DM mà AM=DM => IH=IC hay I là trung

điểm của CH

4/ DN là tiếp tuyến của (O )

Xét tam giác ABD và tam giác HCA ta có :

  90*

AHCABD , ACH ABD ( cùng phụ với góc BCH )

=>∆ ABD~∆HCA (g-g)=> AB HC 2OA 2HI

BD CA  BD  CA (O,I là trung điểm của AB.CH)

Xét tam giác ACI và tam giác DBO ta có :

 

ACH ABD ( cmt) , OA HI

BD CA( suy ra từ trên )

=>∆ ACI~∆DBO (c-g-c) => ODB IAC

Gỉa sử gọi L là giao điểm của OD và AN ta có : ODB IAC => Tứ giác ADCL nội tiếp => ALD ACD 90* => OD vuông góc với AN

Ta có : OA=ON =R=> tam giác OAN cân mà có OD là đường cao => OD cũng là phân giác => AOD NOD Xét tam giác AOD và ta giác NOD ta có :

OA=ON , AOD NOD , OD là cạnh chung =>∆ AOD=∆NOD (C-G-C)

=> OND OAD 90* => ON_|_DN lại có n thuộc (O) => DN là tiếp tuyến của (O) 5/ QA 2 =QP.QD

Xét tam giác MAP và tam giác MNA ta có :

MAN là góc chung ,  MAP MNA ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung AP )=>∆MAP~∆MNA (g-g)=>MA MN

MPMA mà MA =MD =>

MD MN

MP MD Xét tam giác MDP và tam giác MND ta có : DMN là góc chung ,

MD MN

MP MD( cmt) =>∆ MDP~∆MNA (c-g-c) => MDP MND mà MND PAN ( góc

tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung NP )=> MDP PAN

Xét tam giác QAP và tam giác QDA ta có : AQD lá góc chung ,  MDP PAN (cmt)

=>∆QAP~∆QDA (g-g) => QA QD QA2 QP QD

QP QA   và suy ra APQ DAQ

6/ Diện tích tam giác MIN theo R

Gỉa sử tia DQ cắt (O) tại E Theo như trên ta có : APQ DAQ => AN AE ( 2 góc bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau ) => NE_|_AB ( quan hệ đường kính và dây cung ) Tia NE cắt (O) tại F Ta có : NE_|_AB => F là trung điểm của NE ( quan hệ đường kính và dây ) Gỉa sử tia MQ cắt NE tại T

Áp dụng định lý ta lét trong các tam giác DMQ và GTE ,tam giác AMQ và NQT

Ta có :MA AQ DM

NT NQ ET mà MA =DM => NT=ET => T là trung điểm của NE dẫn

đến 2 điểm G và T trùng nhau => 3 điểm M,Q,F thẳng hàng

Lại Áp dụng định lý ta lét trong các tam giác AMF và BMF ta có :

AN AF AB AF

BN BF AB BF Ta có : góc ANB=90* ( góc nội tiếp chắn nửa đường

tròn đường kính AB )=> AN_|_BN mà OD_|_AN=>OD//BN=> AOD ABN

Xét tam giác NAB và tam giác ABD ta có :

AD CA Lại Áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông

ABC có đường cao CH ta có :

2 2

QK  BF  BN  AD AD AC AH Theo như yêu cầu đề bài thì

QJ=QK => BH=4AH mà AH+BH=AB=2R dễ suy ra AH=2R/5

Bài 5 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) ,BE và

CF là 2 đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H

1/Chứng minh : Tứ giác BFEC nội tiếp và OA_|_EF

2/Đường thẳng qua E song song với OA cắt FC tại M và cắt BC tại N

1/Tứ giác BFEC nội tiếp và OA vuông góc với EF

Ta có : BFC BEC 90*=> Tứ giác BFEC nội tiếp trong đường tròn đường kính

BC Kẻ tia tiếp tuyến Ax của (O) như hình vẽ Theo như trên ta có : Tứ giác BFEC nội tiếp => ACB AFE mà ACB BAx ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) => AFE BAx => EF//Ax ( 2 góc ở vị trí solo trong ) mà

Ax vuông góc với OA=> OA_|_EF

2/ AH vuông góc với BC và NC 2 =NM.NE

Xét trong tam giác ABC có BE và CF là 2 đường cao cắt nhau tại H => H là trực tâm của tam giác ABC => AH_|_BC

Ta có : OA_|_EF mà EN//EF => EF_|_EN

Ta có : BEF CEN ( cùng phụ với góc BEN ) mà BEF BCF ( tứ giác BFEC nội tiếp ) => BCF CEN Xét tam giác NCM và tam giác NEC ta có :

NCE là góc chung , BCF CEN ( cmt )

=>∆NCM~∆NEC (g-g) => NC NE

MN NC => NC

2 =NM.NE 3/ BQ=NC và IQ.PQ=IE.MN

Gọi T và K lần lượt là trung điểm của BC và EF

Ta có : T là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC => TF=TE=> tam giác TEF cân ( trong tam giác này có TK là đường trung tuyến)=> TK cũng là đường cao

=> TK_|_EF ta thấy FQ//EN//TK ( cùng vuông góc với OA ) => Tứ giác QFEN là hình thang trong hình thang này ta có : KT//FQ//EN , K là trung điểm của EF=> T

là trung điểm của QN Ta có : TB=TC ,TQ=TN=>BQ=NC

Chứng minh tương tự như câu 2 ta có : BQ 2 =PQ.FQ

=>∆ABP~∆ACM (c-g-c)=> BAP CAM

Dựng đường kính AS của (O) ta có : AHFABC ( cùng phụ với góc BAH )

mà ABCASC ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC ) => AHF ASC

Ta có : góc ACS=90* ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AS )

Xét tam giác AFH và tam giác ACS ta có :

  90*

AFH ACS  , AHF ASC ( cmt)

=>∆AFH~∆ACS ( g-g )=> FAH CAO

Ta có PAH FAH BAP   , OAM CAO CAN  

  , 

FAH CAO BAP CAN ( cmt) => PAH OAM

Bài 6 : Từ 1 điểm A ngoài (O;R) ,Kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B và C là tiếp điểm Vẽ dây cung CD//AB , AD cắt (O) tại M

1/Chứng tỏ : Tứ giác ABOC nội tiếp và tam giác BDC cân

2/Chứng minh rằng : AB 2 =AM.AD

3/CM cắt AB tại I Chứng minh : I là trung điểm của AB

4/ Lấy H trên DM sao cho MA=MH Chứng minh :AH=2BH

5/Gọi L là điểm đới xứng B qua C.Chứng minh AD=AL

6/Gỉa sử DM=R 3 ,OA=R 5 Hãy tính khoảng cách từ B xuống HI

Bài giải

1/Tứ giác ABOC nội tiếp và tam giác BDC cân

Do AB và AC là tiếp tuyến của (O) => ABO ACO 90* 90* 180* 

=>Tứ giác ABOC nội tiếp ( tổng 2 góc đối 180*)

Ta có : DC//AB => DCB ABC ( 2 góc ở vị trí sole trong ) mà ABC BDC ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BC )

=> DCB BDC => tam giác BDC là tam giác cân

2/ AB 2 =AM.AD

Xét tam giác ABM và tam giác ADB ta có :

BAD là góc chung ,  ABM ADB ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BM ) =>∆ABM~∆ADB ( g-g) => AB AD

AM AB => AB

2 =AM.AD 3/I là trung điểm của AB

Xét tam giác IBM và tam giác ICB ta có :

BIC là góc chung ,  IBM ICB ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BM ) =>∆IBM~∆ICB (g-g)=> IB IC

IM IB => IB

2 =IM.IC

Do AB//CD => BAD ADC ( 2 góc sole trong ) mà ADC MCA ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung CM ) => BAD MCA

Xét tam giác IAM và tam giác ICA ta có :

AIC là góc chung ,  BAD MCA ( cmt )

Ta lại có : BMI BDC ( Tứ giác BMDC nội tiếp ) theo như trên ta lại có :

BD=DC=> BD BC ( quan hệ cung va dây ) => BDCAMC ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau ) => HBM AMC => tam giác BHM cân => HB=HM từ đó suy ra HA=2HB

Dựng BK_|_IH , IQ_|_AH , BP_|_AH Ta cần tính BK

Ta có : AB 2 =OA 2 -R 2 = 5R 2 -R 2 =4R 2 ,Ta có : AB 2 =AM.AD

=>AB 2 =AM ( AM+DM ) =>AM 2 +AM.R 3 -4R 2 =0

=

2( 57 3)2

2( 19 3)

 +R 19 R 3=

2[ 57 3 2( 19 3) ]2( 19 3)

8( 19 3)

R 

 =

2[8( 19 3) 82 6 57]

Bài 6 : Từ 1 điểm A ngoài (O;R), Kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B và C

là tiếp điểm Gọi I là trung điểm của AB ,CI cắt (O) tại E ,AE cắt (O) tại D ,OA cắt BC tại L OB cắt DC tại M Đường thẳng qua E vuông góc với CE cắt OA tại

F ,cắt OB tại P và cắt (O) tại Q

1/ Chứng minh : M là trung điểm của DC

2/DC cắt OA tại H ,Chứng tỏ : Tứ giác HIEM nội tiếp được

3/QE cắt OB tại P Chứng minh : P là trung điểm của OB

4/Chứng minh : CF//OB và tứ giác OBFC là hình thoi

Bài giải

.

1/ M là trung điểm của DC

Xét tam giác IBE và tam giác ICB ta có :

BIC là góc chung ,  IBE BCE ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BE )

=>∆IAE~∆ICA ( c-g-c )=> BAE ICA mà ICA ADC => BAEADC => AB//

DC ( 2 góc ở vị trí sole trong ) => BCDABC ( 2 góc sole trong ) mà

 

ABC BDC ( gov1 tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung

BC ) => BCD BDC => tam giác BDC cân => BD=BC mà OD=OC =R => OB

là trung trực của DC => M là trung điểm của DC và OB_|_DC

2/ Tứ giác HIEM nội tiếp

Ta có : OB=OC=R ,AB=AC ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) => OA là trung trực của BC => LB=LC và OA _|_BC

Xét trong tam giác ABC có L và I lần lượt là trung điểm của BC và BA => LI là đường trung bình tam giác BAC => IL//AC=> LIC ICA ( 2 góc sole trong ) mà

 

ICA EBC ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung CE )=> LIC EBC => Tứ giác BIEL nội tiếp ( 2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau ) => ABC LEC Xét tam giác CEL và tam giác CBI ta có :

BCI là góc chung ,  ABC LEC ( cmt )

3/ P là trung điểm của OB

Xét trong tứ giác CMPE ta có : PMC PEC 90* 90* 180*  => Tứ giác CMPE nội tiếp ( tổng 2 góc đối =180* ) => MEC MPC Từ đó suy ra IHC MPC Đến đây dễ thấy BM_|_CH từ đó suy ra CP_|_IH

Ta có : CP_|_HI và BM_|_CH từ đó dễ dàng suy ra IHA PCB Ta có :

( cmt ) => BHA BCO OBC BAH   Xét tam giác BAH và tam giác OBC ta có :

 

OBC BAH, BHA BCO =>∆BAH~∆OBC (g-g)=> AB BO

AH BC

Từ đó ta suy ra BO AB 2AI 2BP

BC AH AH  BC =>BO=2BP => P là trung điểm của OB

4/ Tứ giác OB//CF và tứ giác OBFC là hình thoi

Qua C kẻ đường thẳng song song với OB cắt QP tại G và cắt QB tại N

Ta có : tam giác QEC vuông tại E nội tiếp trong (O) => QC là đường kính của (O) => 3 điểm Q,O,C thẳng hàng

OB//CN Áp dụng định lý ta lét trong các tam giác CQG và tam giác NQG

Ta có : OP QP BP

CG QG GN mà OP=BP => CG=GN

Xét trong tam giác BCN có L và G lần lượt là trung điểm của BC và CN => LG

là đường trung bình tam giác BCN => LG//BN => LG//BQ ta có : BC_|_OL ,

Xét trong tứ giác OBFC ta có :

LB=LC , OL =FL =>Tứ giác OBFC là hình bình hành lại có BC_|_OF => Tứ giác OBFC là hình thoi

Bài 7 :Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O;R) và AB<AC Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC và AC lần lượt tại M

1/Chứng tỏ : 5 điểm B,O,N,C,D cùng thuộc 1 đường tròn , tam giác OND vuông

và tam giác ANB cân

2/ Chứng minh : NB.NA=NM.ND

3/ AD cắt (O) tại I Chứng minh : Tứ giác ANMI nội tiếp 4/ BI cắt DM tại K Chứng minh : K là trung điểm của DM 5/Trên BD cắt P sao cho IP//DN ,AP cắt BC tại Q Gọi G

là trung điểm của DK Chứng minh : 3 điểm Q,I,G thẳng hàng

Bài giải

1/ 5 điểm B,O,N,C,D cùng thuộc

1 đường tròn ,tam giác OND vuông và tam giác ABN cân Xét tứ giác OBDC ta có :

  90* 90* 180*

DBO DCO    =>Tứ giác OBDC nội tiếp ( tổng 2 góc đối =180* )

Do DC//AB => CND BAC ( 2 góc đồng vị ) mà BAC CBD ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BC ) => CND CBD => Tứ giác CNBD nội tiếp ( 2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau ) => 5 điểm O,B,D,C,N cùng thuộc đường tròn đường kính OD => OND OCD 90* => tam giác OND vuông tại N

Do tứ giác CNOB nội tiêp nên ANO OBC do OB=OC=> tam giác OBC cân =>

 

OBC OCB mà dễ thấy OCB ONB

=> ANO BNO => OA là phân giác của góc ANB Ta lại có : AB//DC và ON_| _DN => ON_|_AB Trong tam giác ABC có ON đồng thời vừa là trung tuyến vừa

là đường cao => tam giác ABN cân tại N

2/ NB.NC=NM.ND

Trong đường tròn đường kính OD ta có : DB=DC ( Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau )=> DB DC ( liện hệ giữa cung và dây ) => BND CNM ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau ) Xét tam giác NBD và tam giác NCM ta có :

 

BND CNM (cmt), NCM BDN ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BN )

=>∆NBD~∆NCM ( g-g) => NB NC

ND NM => BC.NC=NM.ND

3/ Tứ giác ANMI nội tiếp

Xét tam giác DBM và tam giác DNB ta có :

BDN là góc chung ,  BND MBD ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau )

=>∆DBM~∆DNB ( g-g ) => DB DN

DM DB => DB

2 =DM.DN Xét tam giác DIB và tam giác DBA ta có :

ADB là góc chung ,  DBI BAD ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BI )

4/ K là trung điểm của DM

Theo như trên ta có : Tứ giác ANMI nội tiếp => NAD IMD mà NAD CBI ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung CI )=> IMD CBI Xét tam giác KMI và tam giác

KBM ta lại có : KBM là góc chung ,  IMD CBI ( cmt )

=>∆KMI~∆KBM ( g-g) =>KM KB

KI KM => KM

2 =KI.KB

Do AB//DB cho nên KDI BAI ( 2 góc sole trong ) mà BAI DBI ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BI)=> KDI BDI

Xét tam giác KDI và tam giác KBD ta có :

BKD là góc chung ,  KDI BDI ( cmt )

Gỉa sử PI cắt BC tại L , IQ cắt AB tại S

Ta có : DL//MN Áp dụng định lý ta lét trong tam giác DBK và tam giác MBK

DT TI KT mà AS=BS => DT=KT => T là trung điểm của DK => G trùng

với K =>3 điểm Q,I,G thẳng hàng

Bài 8 : Từ 1 điểm A ngoài (O;R) ,Kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B và C

là tiếp điểm và 1 cát tuyến ADE đến (O) sao cho D và C nằm ở 2 mặt phẳng bờ

OA khác nhau , Gọi H là giao điểm của OA và BC ,kẻ đường kính BK và DM của (O)

1/Chứng minh : CK//OA và tứ giác ABOC nội tiếp được , tứ giác BDMK là hỉnh chữ nhật

2/Chứng tỏ : Tứ giác DEOH nội tiếp

3/ OA cắt EK tại N Chứng minh : 3 điểm M,N,B thẳng hàng

4/ MK cắt BC tại L , Gọi S là trung điểm của BL Chứng minh : NS//AB

là trung trực của BC => HB=HC và OA_|_BC => OA//CK

Xét tứ giác ta có : ABO ACO 90* 90* 180*  Tứ giác ABOC nội tiếp ( tổng 2 góc đối =180* ) Xét tứ giác BDKM ta có : OB=OK , OD=OM => Tứ giác BDKM

là hình bình hành ta lại có : BK=DM => Tứ giác BDKM là hình chữ nhật

2/ Tứ giác DHOE nội tiếp

Xét tam giác ABD và tam giác AEB ta có

EBA là góc chung ,  ABD AEB ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến va 2 dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BD )=>∆ABD~∆AEB (g-g)=> AB AE

AD AB => AB

2 =AD.AE

Xét tam giác OB vuông tại B có đường cao BH ta có : AB 2 =AH.AO ( hệ thức lượng trong tam giác vuông ) Từ đó suy ra AD.AE=AH.AO => AD AO

là trung trực của BC => HB=HC và OA_|_BC => OA//CK

Xét tứ giác ta có : ABO ACO 90* 90* 180*  Tứ giác ABOC nội tiếp ( tổng 2 góc đối =180* ) Xét tứ giác BDKM ta có : OB=OK , OD=OM => Tứ giác BDKM

là hình bình hành ta lại có : BK=DM => Tứ giác BDKM là hình chữ nhật

2/ Tứ giác DHOE nội tiếp

Xét tam giác ABD và tam giác AEB ta có

EBA là góc chung ,  ABD AEB ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến va 2 dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BD )=>∆ABD~∆AEB (g-g)=> AB AE

AD AB => AB

2 =AD.AE Xét tam giác OB vuông tại B có đường cao BH ta có : AB 2 =AH.AO ( hệ thức lượng trong tam giác vuông ) Từ đó suy ra AD.AE=AH.AO => AD AO

AH AE

Xét tam giác ADH và tam giác AOE ta có :

OAE là góc chung , AH AD AO AE ( cmt )

=>∆ADH~∆AOE (c-g-c) => AHD AEO => Tứ giác DHOE nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )

3/ 3 điểm B,M,N thẳng hàng

Gọi F là giao điểm của DK và OA

Theo như trên ta đã có : AHD AEO , Do tứ giác EOHD nội tiếp => AHD AEO ,

do OE=OD =R => Tam giác ODE cân => AEO AOE , ta lại có : AOE OHE Từ đó suy ra AHD OHE => BHD BHE => EHD2BHD ( cùng phụ với góc 2 bằng nhau ) Ta có : BDK 90* ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BK ) Xét

tứ giác BDFH ta có : BHF BDF 90* 90* 180*  => Tứ giác BDFH nội tiếp =>

 

BHD BFH Do tứ giác OEHD nội tiếp => BHD EOD ta lại có : EOD2EKD

( liện hệ góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung ) Từ tất cả trên suy ra

4/ NS//AB

Dựng NI_|_BK tại I ,Gỉa sử MK cắt BC tại L , Dựng LT_|_BK tại LTa có :

 90*

BMK  ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BK )

Xét trong 2 tam giác vuông BIN và BMK ta có :

Xét trong tam giác BTL có I và S lần lượt là trung điểm của BT và BL => IS là đường trung bình tam giác BTL => IS//TL mà BT_|_TL =>IS_|_BT mà NI_|_BT =>

3 điểm N,I,S thẳng hàng =>NS_|_BK mà AB_|_BK =>NS//AB

Bài 9 :Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) có AB<AC Vẽ 3 đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC chúng cắt nhau tại H , CF cắt (O) tại K

1/Chứng tỏ : F là trung điểm của KF

2/Chứng tỏ : Các tứ giác AFDC , DHEC nội tiếp

3/Tiếp tuyến tại A của (O) cắt DK tại M Chứng tỏ : Tam giác MAF là tam giác cân

4/ MD cắt AK tại P và MC cắt (O) tại Q Chứng tỏ : 3 điểm B,P,Q thẳng hàng 5/PH cắt AB tại T Chứng minh : KT và QE cắt nhau tại 1 điểm thuộc (O)

Bài giải

1/F là trung điểm của KF

Ta có : BCK BAD ( cùng phụ với góc ABC ) mà BCKAKD ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BK ) => BAD BCK =>AB là phân giác của góc AKD mà AF_|_HK=> tam giác AHK cân => F là trung điểm của HK

2/Các tứ giác AFDC ,DHEC nội tiếp

Xét tứ giác AFDC ta có : AFCADC90* =>Tứ giác AFDC nội tiếp ( 2 góc vuông cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau ) Xét tứ giác DHEC ta có :

ACB MAB ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

=> AFM MAB =>Tam giác AMF cân

4/ 3 điểm Q,P,B thẳng hàng

Xét tam giác MAQ và tam giác MCA ta có :

AMC là góc chung ,  MAQACM ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung AQ )

AQB AQP => 2 tia QP và QB trùng nhau => 3 điểm Q,P,B thẳng hàng

5/ KT và QE cắt nhau tại 1 điểm thuộc (O)

Gỉa sử QE cắt (O) tại J Ta chứng minh : 3 điểm K,T,J thẳng hàng

Gọi G là giao điểm của BE và AJ

Xét tam giác BPF và tam giác BAQ ta có :

QBA là góc chung ,  BPF BAQ ( Tứ giác AQPF nội tiếp )

Ta có : BAG THG 180* ( Tứ giác ATHG nội tiếp )

=> BAC CAJ KHE KHP    180* Mà Xét trong tứ giác AFHE ta có :

  90* 90* 180*

AFH AEJ    =>Tứ giác AFHE nội tiếp ( tổng 2 góc đối = 180* )

=> BAC KHE 180* Từ trên ta suy ra 180* + CAJ KHP  =180* => CAJ KHP

Ta có : T nằm trên trung trực của HK =>TK=TH => tam giác KTH cân =>

 

KHP TKH mà CAJ CKJ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung CJ ) Từ đó suy

Ra TKH CAJ => 2 tia KJ và KH trùng nhau => 3 điểm K,T,J thẳng hàng => KE

và GE cắt nhau tại 1 điểm thuộc (O)

Bài 10 :Cho đường tròn tâm O ,đường kính AB Tr6en (O) lấy 1 điểm C sao cho BC>AC Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D Qua D dựng đường thẳng song song với AB cắt AC tại E

1/Chứng minh : DC.DB=AC.EA

2/Tia OE cắt (O) lần lượt tại M và N ( M thuộc cung nhỏ BC ) Chứng minh rằng : EM.EN=EC.EA

3/DN cắt (O) tại I , AI cắt DE tại K.Chứng minh : K,M,B thẳng hàng

4/Chứng minh :DE,AM,IC đồng quy tại 1 điểm J

AB ) ta có : DE//AB mà AD_|_BD=>AD_|_DE

Áp dụng hệ thức lương trong các tam giác ADB

và ADE ta có : DC.DB

=AD 2 =AC.AE 2/EM.EN=EC.EA Xét tam giác ECM và tam giácENA ta có

:Theo như trên ta đã có :EC.EA=EM.EN mà trong tam giác vuông ADE ta có hệ thức : DE 2 =EC.EA ( hệ thức lượng ) từ đó suy ra DE 2 =EM.EN=>DE NE

ME DE

Xét tam giác EDM và tam giác END ta có : DEM lá góc chung , ME DE DE NE ( cmt )

=>∆EDM~∆END ( c-g-c ) => DNM EDM mà DNM KAM ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung IM ) => EDM KAM =>Tứ giác ADKM nội tiếp ( 2 góc cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau ) => 90*= ADK AMK => KM_|_AM mà ta lại có :

 90*

AMB  ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB ) => AM_|_BM => 3 điểm K,M,B thẳng hàng ( cùng vuông góc với AM )

4/DE,AM,IC đồng quy tại 1 điểm

Gỉa sử DK cắt AM tại J Ta chứng tỏ : 3 điểm I,C,J thẳng hàng

Gỉa sử IJ cắt (O) tại S Ta đi chứng tỏ : S trùng với C

Xét tam giác JKM và tam giác JAD ta có :

AJD là góc chung ,  JKM JAD ( Tứ giác ADKM nội tiếp )

=>∆JKM~∆JAD ( g-g )=> JK JA

JM JD =>JM.JA=JK.JD

Xét tam giác JMS và tam giác JIA ta có :

AJS lá góc chung ,  JSM JAS ( Tứ giác AISM nội tiếp )

và tam giác DIK mà K củng thuộc ( tứ giác DISK nội tiếp ) => S trùng với K => 3 điểm I,C,J thẳng hàng=> DE,IJ,AM đồng quy

5/ DK DJ.

EK có giá trị không đổi

Gọi P là giao điẻm của AE và BK.Dựng PQ_|_AB tại Q

Xét trong tam giác APB ta có : ACB AMB 90* ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB ) Dẫn đến PQ,AM,BC là 3 đường cao tam giác APB =>

PQ ,AM,BC đồng quy tại 1 điểm T

Ta có : MOB OMA OAM  2OAM ( Do tam giác AOM cân OA=OM =R)

Ta có : PQA PCB 90* =>Tứ giác ACTQ nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )

=> OAM BCQ Ta lại có : OAM MCB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM ) =>

 

MCB BCQ => MCQ2BCQ2OAM Theo như trên từ đó suy ra MCQ MOB

ta lại có : MOB DEM (2 góc sole trong ) => MCQ DEM

Ta lại có : BAE DEA ( 2 góc sole trong ) mà BAE CMK ( Tứ giác ACMB nội tiếp ) => DEA CMK => Tứ giác KEMC nội tiếp (2 góc cùng nhín cạnh dưới 2 góc bằng nhau ) => DEM KCM 180*

=>∆ADE ~ ∆BAD ( g-g ) => AD AB

ED AD => AD

2 =DE.AB Thế bào biểu thức trên ta có :DE.AB.EK=DK.DJ.DE=>DK DJ.

EK  AB=2R ( có giá

trị không đổi )

Bài 11 : Cho dường tròn tâm O ,đường kính AB Trên đường tròn lấy 1 điểm C sao cho BC >AC Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D , OD cắt AC tại I Dựng IM_| _AB tại M , IM cắt (O) tại N ( N thuộc cung nhỏ AC )

1/Chứng tỏ : Tứ giác CIMB nội tiếp được ,xác định tâm của nó

2/Chứng minh rằng : AN 2 =AI.AC

3/ BN cắt (O) tại H Chứng tỏ : Tứ giác DHNC nội tiếp được

4/Gọi G là trung điểm của BC Chứng tỏ : 3 điểm D,G,M thẳng hàng

5/ Vẽ MQ_|_MC tại Q Chứng tỏ : tam giác MNQ cân và DN đi qua trung điểm HC 6/Chứng tỏ : 3 điểm AQ,OG,MN đồng quy tại 1 điểm

Lời giải

1/Tứ giác CMIB nội tiếp và xác định tâm

Ta có : ACB 90*( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính

2/AN 2 =AI.AC

Ta có : ANB 90*( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính

AB ) => ANM ABN

( cùng phụ với góc BNM ) mà ABN ACN ( 2 góc nội tiếp cùng chắncung AN)=>

Ta có : CAB ADB ( cùng phụ với góc BAC ) mà CAB CNB ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC )=> ADB CNB => Tứ giác DHNC nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )

4/ 3 điểm D,G,M thẳng hàng

Ta có : GA=GC=> OG_|_AC ( quan hệ đường kính và dây cung )

Xét tứ giác IGMC ta có : IGO IMO 90* => Tứ giác IGMC nội tiếp ( 2 góc vuông cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau ) => AOD AGM

Xét trong 2 tam giác vuông ABC và ADB ta có : AD tanABD tanDAC DC

( do góc ABD =góc DAC ) =>

2 2

AD DC AD DC

OA GC  OA GC ( G và O là trung điểm của

AC và AB ) Trong 2 tam giác vuông DGC và AOD ta có :

tanAOD AD DC tanDGC

AO GC

   => AOD DGC => AGM DGC

Ta có : DGM DGC CGM AGM CGM AGC180* => 3 điểm D,G,M thẳng hàng

5/ Tam giác MNQ cân và DN đi qua trung điểm của CH

Tia MQ cắt AD tại P, NQ cắt AD tại T

Ta có : AC//MQ (cùng vuông góc với BC ) Áp dụng định lý ta lét ta có :

NQ DN NT mà NT=NQ=> KN=KH=>DN đi qua trung điểm của HC

6/Chứng tỏ : 3 điểm AQ,OG,MN đồng quy tại 1 điểm

Xét trong tứ giác PAIM ta cĩ : AI//PQ và IM//DA => Tứ giác PAIM là hình bình hành => AI=PM mà PM=MQ => AI=MQ

Xét trong tứ giác AIMQ ta cĩ : AC//MQ và AI=MQ => Tứ giác AIMQ là hình bình hành => AQ đi qua trung điểm của MI

Gỉa sử tia OG cắt IM tại E và cắt AD tại E

Xét trong tam giác ABD cĩ OA=OB , OJ//BD => JA=JD

Ta cĩ : AD//IM ,Áp dụng định lý ta lét ta cĩ :

ME OE IE

AJ OJ DJ mà JA=JD => ME=IE => OG đi qua trung điểm của IM

=>OG,AQ cùng đi qua trung điểm của IM=> AQ,MI,OG đồng quy tại 1 điểm Bài 12 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AC>AB) ,Đường tròn đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại F và E ,BE cắt CF tại H ,AH cắt BC tại D , DE cắt đường tròn đường kính BC tại I , AI cắt BC tại K

1/Chứng minh : Tứ giác DHEC nội tiếp và IF//AD

2/Đường cao KG của tam giác AKC cắt AD tại J Dựng

EP_|_HC tại P , CQ_|_EF tại Q Chứng tỏ : Các tứ giác AKDG ,CQEP nội tiếp và AB.IK= AK.BF

3/ Qua P kẻ đường thẳng song song với AD cắt EF tại M và cắt BC tại N Chứng minh :QCA~PCB và MC luôn đi qua 1 điểm cố định

4/ JC cắt MN tại L Lấy S thuộc MC sao cho GS//EF Chứng minh rằng

DSC  ELC

Bài giải

1/Tứ giác DHEC nội tiếp và IF//AD

1/Tứ giác DHEC nội tiếp vàIF//AD

E và F cùng thuộc đường tròn đường kính BC

=>BFC BEC 90* => BE_|_AC và CF_|_AB

Xét tam giác ABC có BE và CF là 2 đường cao chúng cắt nhau tại H => H là trực tâm tam giác ABC => AD_|_BC

Xét tứ giác DHEC ta có :ADB BEC 90* => Tứ giác DHEC nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )

Tứ giác DHEC nội tiếp =>HDE HCE

mà HCEFIE ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EF )

=>HDE FIE =>AD//IE ( 2 góc ở vị trí đồng vị )

2/Các tứ giác AKDG ,CQEP nội tiếp và AB.IK=AK.BF

Xét tứ giác AKDG ta có :

=>Tứ giác PEQC nội tiếp ( tổng 2 góc đối bằng 180*)

Ta có : AD//IF và AD_|_BC=> BC_|_IF

Xét trong đường tròn đường kính BC có dây cung IF vuông góc với BC tại T ( BC cắt IF tại T ) =>TF=TI

AD//IF ,Aùp dụng định lý ta lét liên tiếp ta có :

AK AD AD BA => AB.IK=AK.BF

3/QCA~PCB và MN đi qua 1 điểm cố định

Theo như trên ta có tứ giác PEQC nội tiếp

=>PQC PEC  mà AF//EP ( cùng vuông góc với FC)

=> PEC   BAC  =>PQCBAC

Tứ giác PEQC nội tiếp nên CPQ CEQ  mà CEQ AEF  ( 2 góc đối đỉnh ) mà

Ta có :∆ABC~∆QPC => ACP QCP   => ACQ BCP  

Xét tam giác QCA và tam giác PCB ta có :

Ta có MN//AD và AD_|_BC =>MN_|_BC

Xét tứ giác BFPN ta có :

=>Tứ giác BFPN nội tiếp ( tổng 2 góc đối bằng 180*)

=>CFN CBP  Mà ∆QCA ~∆PCB =>CPB CAQ  => CFN CAQ Xét tam giác CAQ và tam giác CFN ta có :

CMN CQN  Mà ta có :∆CAI ~∆CQN => CQN CAI

.Theo như trên ta đã có tứ giác AKDG nội tiếp

CX ( 2 góc sole trong ) mà CX_|_CV => CV_|_DG

Ta có : DG_|_MC và DG_|_CV => 3 điểm C,M,V thẳng hàng => CM đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC là 1 điểm cố định )

4/ DSCELC

JC cắt AK tại CO , CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

=> ACO MCN   => ACM   NCO

Xét tam giác CAM và tam giác CON ta có :

Xét tứ giác KOLN ta có :

COK LNK     =>Tứ giác KOLN nội tiếp ( tổng 2 góc đối bằng 180* ) =>CON CKL    =>CKL CAM   

Xét tam giác CAM và tam giác CKL ta có :

ACM NCO CAM , NKL (cmt )

=>∆CAM ~∆CKL ( g-g ) => CA CM

CK CL

Xét 2 tam giác vuông CDA và CGK ta có :

ACB là góc chung ,CDA CGK  90 *

=>∆CDA ~∆CGK (g-g ) => CA CD

CK CG Từ đó suy ra CM CD CM CL

CL CG  CD CG

Xét tam giác CME và tam giác CAR ta có :

ACRlà góc chung ,CME CAR  ( do tứ giác EMAR nội tiếp)

=>∆CME ~∆CAR (g-g)=>CM CA CM CR CA CE

Xét tam giác CEB và tam giác CDA ta có :

ACB là góc chung , BEC   ADC  90 *

Ta có tứ giác ARME nội tiếp => ARM   AEM  180 *

Mà  AEM   AGS ( 2 góc ở vị trí đồng vị do EF//GS )

=> ARM   AGS  180 *=>Tứ giác ARGS nội tiếp ( tổng 2 góc đối bằng 180* )

=>CAS CRG 

Mà ∆CLB ~∆CGR =>CBL CRG    =>CAS CBL   

Xét tam giác CAS và tam giác CBL ta có :

Bài 13:Từ 1 điểm A ngoài (O;R) ,Kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B và C là tiếp điểm và 1 cát tuyến ADE đến (O) ( AD<AE ,D và C nằm ở 2 mặt phẳng bờ

OA khác nhau ) ,OA cắt BC tại H Dựng BK vuông góc với DE tại K

1/Chứng tỏ :Các tứ giác OBAC , BKHA nội tiếp được

2/Chứng tỏ :Tứ giác EOHD nội tiếp và BD,CE=BE.CD

3/Đường thẳng qua A song song với CD cắt HK tại M , BD cắt AM tại N Chứng minh : BD.KM=AK.CD và tam giác CND là tam giác cân

4/Gọi G là trực tâm của tam giác AHM.Chứng minh :DG//HM

5/HK cắt AB tại L Dựng AS vuông góc với LD tại S Chứng minh :GS_|_MS Bài giải

1/Các tứ giác OBAC , BKHA nội tiếp

Do AB và AC là tiếp tuyến của (O)

=> OBA OCA 90 * 90* 180 *  =>Tứ giác OBAC nội tiếp ( tổng 2 góc đối bằng 180* ) Ta có : OB=OC=R ,AB=AC ( AB và AC là tiếp tuyến của (O) =>OA là trung trực của BC => BH_|_OA

Xét tứ giác BKHA ta có : BKA BHA 90 * =>Tứ giác BKHA nội tiếp ( hai góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc vuông )

2/Tứ giác EOHD nội tiếp và BD.CE=BE.CD

Xét tam giác ABD và tam giác AEB ta có :

BAE là góc chung ,  ABDAEB ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BD )

AH AE

Xét tam giác AHD vả tam giác AEO ta có :

OAE là góc chung , AH AD AO AE (cmt)