MC N= ACO ,CD CE
S AC H ADF BDCE MEN
S ABC ∆ ∆ ∆ = ∆
Theo như trên ta có : ∆MEN ~∆DEA => 2 2 2 cos S MEN ME DEC S AED DE ∆ = = ∆
Mà ·DEC= ·ABC (Tứ giác ABDE nội tiếp ) =>S MEN∆ = ∆S AED.cos2ABC
Xét tam giác ADE và tam giác ACH ta có :
·
DAC là góc chung , ·ADE=·ACH (Tứ giác DHEC nội tiếp ) =>∆AED ~∆ACH (g-g ) => 2 2 2 2 cos sin SAED AE CAD ACB S ACH = AH = = ∆ => 2 .sin
S AED S ACH∆ = ∆ ACB=> 2 2
.sin .cos
S MEN∆ = ∆S ACH ACB ABC
Xét tam giác CED và tam giác CBA ta có :
·
ACB là góc chung , DEC· =·ABC (cmt)
=>∆CED ~∆CBA (g-g )=> 2 2 2 cos S CED DC ACB S ABC AC ∆ = = ∆
=>1 cos2 ACB 1 S CED
S ABC
∆
− = −
∆ => 2
sin ACB S ABDE S ABC ∆ = ∆ Chứng minh tương tự ta có ta có : 2 cos ABC S BFD S ABC ∆ = ∆ Thế vào ta có : 2 . .
S ACH S ADF SBDCES MEN S MEN S ABC ∆ ∆ ∆ = ∆ 4/AI_|_DI
Do tứ giác ABDE nội tiếp =>·ABH =·ADE .Do tứ giác ANMD nội tiếp
· ·
ADE= AMN =>·ABH =·AMN
Do tứ giác ABDE nội tiếp =>BAH· =BED· .Ta lại có BE//DM ( cùng vuông góc với AC ) =>BED EDM· =· ( 2 góc ở vị trí sole trong ) mà do tứ giác ANMD nội tiếp
=>EDM· =NAM· .Từ đó suy ra ·BAH =NAM·
Xét tam giác ANM và tam giác AHB ta có :
· ·
ABH =AMN, BAH· =·NAM (cmt )
∆ANM ~∆AHB (g-g ) => AN AM
AH = AB
Ta có : ·ABH =·AMN=>·BAM =HAN·
Xét tam giác ANH và tam giác AMB
AN AM
AH = AB ,·BAM =HAN· ( cmt)
=>∆ANH ~∆AMB (c-g-c ) =>·ANH =·AMB =>Tứ giác ANMB nội tiếp ( 2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau ) .Theo như trên ta cũng có tứ giác ANMD nội tiếp => 5 điểm A,N,M,D,I cùng thuộc 1 đường tròn đường kính AD=>AI_|_DI
5/ JH_|_IF
Qua I dựng đường thẳng vuông góc với IH cắt AB tại G , HG cắt NC tại S .Vẽ đường kính HL của đường tròn ngoại tiếp tam giác NHC
Xét tam giác AHI và tam giác NHD ta có :
· ·
AHI =NHD ( 2 góc đối đỉnh ) ,IAH· =DNH· ( 5 điểm A,N,M,D,I cùng thuộc 1 đường tròn ) =>∆AHI~∆NHD (g-g ) => AH NH IH NH. AH DH.
IH = DH => =
Xét tam giác AHF và tam giác CHD ta có :
· ·
AHF CHD= ( 2 góc đối đỉnh )·AFH =HDC· =90 *
=>∆AHF ~∆CHD ( g-g ) =>AH HC AH DH. FH CH.
FH = HD => =
Từ đó suy ra IH.NH=FH.CH => IH CH
FH = NH
Xét tam giác HIF và tam giác HCN ta có :
· ·
FHI = NHC ( 2 góc đối đỉnh ) , IH CH
FH = NH
=>∆HIF ~∆HCN (c-g-c ) =>HCN· =HIF·
Ta có :GFH GIH· +· =90 * 90* 180 *+ = =>Tứ giác IHFG nội tiếp ( tổng 2 góc đối bằng 180* ) =>FGH· =·HIF=>FGH· =HCN·
Xét tam giác GHF và tam giác CHS ta có :
· ·
FGH =HCN (cmt),FHG SHC· = · ( 2 góc đối đỉnh )
=>∆GHF ~∆CHS (g-g ) =>CSH· =HFG· =90 * => HS_|_NC
Xét đường tròn (J) ta có :HCL· =90 * ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính HL)
Xét tam giác HSN và tam giác HCL ta có :
· · 90 *
NSH =HCL= ,·HNS =HLC· ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung HC ) =>∆HSN ~∆HCL (g-g )
Do tứ giac IHFG nội tiếp =>GFI· =GHI· , ta có GHI· =·NHS( 2 góc đối đỉnh ) Ta có : ·NHS =LHC· ( do∆HSN ~∆HCL) ta lại có : ·LHC=FHT· ( 2 góc đối đỉnh ) Từ đó suy ra GFI· =·FHT .Đến đây lại có GF_|_IF . dễ dàng chứng minh được HJ_| _IF
Bài 20 :Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) có AC>AB .Vẽ 3 đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H ,EF cắt AH tại J
1/Chứng tỏ : Tứ giác DHEC nội tiếp và AD.KD=BD.CD
2/Kẻ đường cao KI của tam giác AKC .Chứng minh :Tứ giác KDIC nội tiếp , tam giác EDI là tam giác cân và EF//DI
3/Dựng HG_|_KC tại G , EG cắt KI tại M , DM cắt BE tại N .Chứng tỏ :KN//HM 4/Dựng hình chữ nhật AEBS .Chứng tỏ : 3 điểm S,N,D thẳng hàng
Gỉai
1/Chứng tỏ : Tứ giác DHEC nội tiếp và AD.KD=BD.CD
Xét tứ giác DHEC ta có :·ADB BEC= · =90 * =>Tứ giác DHEC nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )
Xét tam giác ADB và tam giác CDK ta có :
· · 90 *
ADB CDK= = ,BAD BCK· =· ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BK ) =>∆ADB ~∆CDK (g-g ) => AD CD
BD = KD =>AD.KD=BD.CD
2/ Tứ giác KDIC nội tiếp , tam giác EDI là tam giác cân và EF//DI
Xét tứ giác KDIC ta có :KDC· =KIC· =90 * =>Tứ giác KDIC nội tiếp ( 2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới góc vuông )
Xét tứ giác AEDB ta có :·AEB=·ADB=90 * =>Tứ giác AEDB nội tiếp ( 2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới góc vuông ) =>DEC· = ·ABC .mà ·ABC=·AKC ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC ) , ·AKC=·AID( Tứ giác KDIC nội tiếp ) =>·DEC=·AID
tam giác DEI là tam giác cạn
Ta có :BFC· =BEC· =90 * =>Tứ giác BFEC nội tiếp ( 2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới góc vuông ) =>·AEF = ·ABC ta có : ABC· = ·AKC , ·AKC =·AID ( cmt )
=>·AEF =·AID => EF//DI ( 2 góc ở vị trí đồng vị ) 3/KN//HM
Ta có :HE_|_CE ,HD_|_CD , HG_|_CG => 5 điểm H,E,C,D,G cùng thuộc 1 đường tròn đường kính HC
Ta có : ·BAD BCF= · ( cùng phụ với góc ABC ) ,·BAD BCK= · ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BK ) =>·BCF =BCK· => CD là tia phân giác của góc HCK
Xét tam giác CHK có CD vừa là đường cao vừa là đường phân giác => tam giác HCK là tam giác cân => CD là đường trung tuyến => HD=KD
Xét tam giác KGH vuông tại G có đường trung tuyến DG =>HD=KD=DG
Ta có :HD_|_CD ,HE_|_CE , HG_|_CG =>5 điểm D,H,E,C,G cùng thuộc 1 đường tròn đường kính HC .Trong đường tròn này có HD=DG ( cmt ) =>HD DG¼ =¼ ( liên hệ giữa cung và dây ) =>HED DEG· =· ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau ) Ta co DEG HED· = · *cmt)ù :Do tứ giác ABDE nội tiếp =>HED BAD· =· ,ta có:
· ·
BAD BCK= (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BK ) mà ·BCK =·DIK ( tứ giác DICK nội tiếp ) =>·DEG DIK=· =>Tứ giác DEIM nội tiếp ( 2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau ) =>·NDE=·AIK =90 * =>DE_|_MN
Xét tam giác EMN có ED là đường cao đồng cao cũng là đường phân giác (do
· ·
HED DEG= ) => tam giác EMN là tam giác cân ) => ED là đường trung tuyến của tam giác EMN => DM=DN
Xét tứ giác HNKM có DH=DK ,DM=DN=>Tứ giác HNKM là hình bình hành => HM//NK
4/ 3 điểm S,N,D thẳng hàng
Gỉa sử qua A kẻ đường thẳng song song với BE cắt DN tại V .Ta chứng tỏ :S trùng với V
Do tứ giác NHKM là hình bình hành =>HN//KM :HND DMK· =· ( 2 góc sole trong) ,ta có : ·DMK =·DEI (Tứ giác EDMI nội tiếp ) ta lại có : ·DEI =·DHC(Tứ giác DHEC nội tiếp ) , ·DHC=·AHF ( 2 góc đối đỉnh ) =>HND· =·AHF=>
· ·
BND FHD= ( cùng bù với 2 góc bằng nhau )
Xét tứ giác BFHD ta có :BFH· =HDC· =90 * =>Tứ giác BFHD nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong ) =>HFD HBD· =·
Xét tam giác FHD và tam giác BND ta có :
· · BND FHD= ,HFD HBD· =· ( cmt ) =>∆FHD ~∆BND (g-g ) => FH NB DH = ND (1) Ta có :AV//BE (gt ) =>DH ND AH = NV (2) .Lấy (1).(2) =>FH NB AH = NV
Theo như trên ta có : HND· =·AHF mà HND BNV· =· ( 2 góc đối đỉnh )=>
· ·
AHF =BNV
Xét tam giác FHA và tam giác BNV ta có :
· ·
AHF =BNV,FH NB
AH = NV (cmt)
Ta có :AV//BE , AE_|_BE =>AV_|_AE
Xét tứ giác AEBV ta có : AV_|_AE ,AE_|_BE ,BV_|_BN =>Tứ giác AEBV là hình chữ nhật .Mà tứ giác AEBS cũng là hình chữ nhật => S trùng với V ( vì chỉ tồn tại duy nhất 1 điểm để tứ giác AEBS là hình chữ nhật ) => 3 điểm S,N,D thẳng hàng 5/ KP.BM=PD.BJ
Theo như trên ta đã có :DMK· =·DEI mà DEI· = ·ABC(Tứ giác ABDE nội tiếp ) =>DMK· = ·ABC.
Ta có :DKM· = ·ACD ( cùng phụ với góc CAK ) , Xét tứ giác AFDC ta có :
· · 90 *
AFC= ADC= =>Tứ giác AFDC nội tiếp ( 2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới góc vuông ) =>·ACD BFD=· từ đó suy ra ·DKM =BFD·
Xét tam giác MKD và tam giác BFD ta có :
· ·
DMK = ABC,·DKM =·BFD ( cmt )
=>∆MKD ~∆BFD (g-g ) =>DM DK
DB = DF
Ta có : MKD ~∆BFD =>MDK· =BDF· =>·BDM =·FDK
Xét tam giác DMB và tam giác DKF ta có :
DM DK
DB = DF , ·BDM =FDK· ( cmt ) =>∆DMB ~∆DKF ( c-g-c )=>MB DM
KF = DK
Ta có :DMK· =·DEI ,DEI· =EID· , EID· =·AEF (cmt) =>DMK· = ·AEF
Ta có :DKM· = ·ACD ,ACD· =·AFE ( tứ giác BFEC nội tiếp ) =>DKM· =·AFE
Xét tam giác MKD và tam giác EFA ta có :
· · DMK = AEF,DKM· = ·AFE ( cmt ) =>∆MKD ~∆EFA (g-g ) =>DM AE DK = AF .Từ đó suy ra MB AE KF = AF =>MB KF AE = AF
Ta có :·AKB=·ACB ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) mà ·ACB=·AFE ( tứ giác BFEC nội tiếp ) =>·AKB= ·AFE=>Tứ giác KBFJ nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong ) =>·ABJ =·AKF
Xét tam giác ABJ và tam giác AKF ta có :
·
BAK là góc chung , ·ABJ =·AKF ( cmt ) =>∆ABJ ~∆AKF (g-g ) =>KF BJ AF = AJ .Từ đó suy ra MB BJ AE = AJ =>MB AE BJ = AJ Do EF//DI => AE AD AJ = AI ( định lý ta lét ) =>MB AD BJ = AI
Ta có :BPK· =·ADB=90 * =>Tứ giác PBDK nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )
=>PDK· =PBK· mà PBK· = ·ACK( góc ngoài bằng góc đối trong do tứ giác ABKC nội tiếp ) , ·ACK =·ADI(Tứ giác KDIC nội tiếp ) =>·PDK =·ADI
Ta có :180*= ·ADK =ADP PDK· +· =·ADP ADI+· =PDI· => 3 điểm P,D,I thẳng hàng Do tứ giác KPBD nội tiếp =>KPD KBD· =· mà ·KBD IAD= · ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung CK ) =>KPD IAD· = ·
Xét tam giác ADI và tam giác PDK ta có :
· ·
ADI =PDK ( 2 góc đối đỉnh ) , KPD IAD· = · (cmt) =>∆ADI ~∆PDK (g-g ) =>AD PD
AI = PK
=>MB AD PD
BJ = AI = PK =>KP.BM=PD.BJ
Bài 21 :Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC ) nội tiếp (O;R ) ,Vẽ 3 đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H .Vẽ đường kính AK của (O) 1/Chứng tỏ :Tứ giác BFEC nội tiếp ,xác định tâm I và KC.AD=BD.AC 2/Chứng tỏ : 3 điểm H,I,K thẳng hàng
3/Dựng EM_|_BC tại M , CN_|_EF tại N , MN cắt AC tại G .Chứng tỏ : MN//AB và DG//BE
4/EM cắt DG tại L .Chứng tỏ : EN.CH=EL.CE