1. Giả sử 0, 0a b≥ ≥ , a + b = 1.Chứng minh rằng: a. 2 2 1 2 a b+ ≥ b. 3 3 1 4 a b+ ≥ Giải Cho a≥ 0, b≤ 0, a + b = 1. a) Chứng minh: 2 2 1 2 a b+ ≥ Ta có: ( ) 2 2 2 2 1 1 2. 2 a b a b a b= + ≥ + ⇔ + ≥ b) Chứng minh: 3 3 1 4 a b+ ≥ Ta có: ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 42 a b a b a b a ab b a b ab a b a b + + = + − + = + − ≥ + − ≥ ≥ ÷ ÷ + 2. Cho 3 số dương a ,b ,c sao cho 1 1 1 3 a b c + + = .Chứng minh rằng : (1 )(1 )(1 ) 8a b c+ + + ≥ Giải : Cho a, b, c > 0 và 1 1 1 3 a b c + + = Ta có: 1 1 1 3 2 2 2 3 3 3 1abc ab bc ca a b c abc a b c + + = ⇔ = + + ≥ ⇒ ≥ Chia 2 vế bất đẳng thức cần chứng minh cho abc ta được: 1 1 1 8 1 1 1 0 a b c abc + + + − ≥ Ta có: VT= 1 1 1 1 1 1 7 1 a b c ab bc ca abc + + + + + + − 1 1 1 7 1 1 1 4 ( 3)do ab bc ca abc a b c = + + + − + + = 1 7 4 3 3 2 2 2 abc a b c ≥ + − (bất đẳng thức Cauchy). 3 7 4 ( 1)do abc abc abc ≥ + − ≥ 4 4 0 ( 1)do abc abc ≥ − ≥ ≥ (đpcm) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. 3. Tìm giá trò nhỏ nhất của : 4 4 2 2 4 4 2 2 ( , ) 2 x y x y x y f x y y x y x y x = + − + + + ÷ với , 0x y ≠ Giải Tìm giá trò nhỏ nhất của: Đặt x y t y x = + Điều kiện: 2t ≥ Suy ra: • 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y t t y x y x = + + ⇒ + = − • ( ) 4 4 4 4 2 2 4 2 2 2 4 2 4 4 4 4 x y x y t t t y x y x − = + + ⇒ + = − + Do đó f(x) trở thành : ( ) 4 2 2 4 2 2 2 4 2 6 6 3 ' 4 12 1 z t t t t z t t t z t t = − + − − + ⇔ = − + + = − + Bảng biến thiên: Suy ra: ( , ) 4f x y ≥ − và khi x=-y thì f(x,y)= -4 Vậy: Min f(x, y) = -4 4. Giả sử x và y thì các số thay đổi thoả mãn :x > 0 , y > 0 và x+ y =1 .Hãy tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : 1 1 x y P x y = + − − Giải x > 0, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trò nhỏ nhất. 1 1 = + − − x y P x y Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 ' 3 3 1 2 1 2 3 3 3 2 ' 0 2 2 1 2 1 8 12 6 1 0 1 1 2 8 8 2 0 2 2 x x x x P P x x x x P x x x x x x x x x x x − − + = + ⇒ = − − − = ⇔ − = + − ⇔ − + − = ⇔ − − + = ⇔ = ÷ Bảng biến thiên: Vaäy 2 min p = khi 1 2 x y= = 5. Cho x ,y ,z >0 .Chöùng minh raèng : 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 y x z x y y z z x x y z + + ≤ + + + + + Giải Chöùng minh: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 y 2 x 2 z 1 1 1 (x, y,z 0) x y y z z x x y z + + ≤ + + > + + + Ta coù: 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y 2 y 2 x 2 z 2 x 2 z x y y z z x 2 x y 2 y z 2 z x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . x y y z z x 2 2 2 x y y z z x x y z . . . . . + + ≤ + + + + + = + + ≤ + + + + + = + + ÷ ÷ ÷ 6. Chứng minh rằng với mọi x > 0, y > 0 ta luôn có ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1x y xy+ + ≥ + Giải 14. Giải 15. 16. Giải 17. Giải 18. Giải . 6. Chứng minh rằng với mọi x > 0, y > 0 ta luôn có ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1x y xy+ + ≥ + Giải 14. Giải 15. 16. Giải 17. Giải 18. Giải . )(1 )(1 ) 8a b c+ + + ≥ Giải : Cho a, b, c > 0 và 1 1 1 3 a b c + + = Ta có: 1 1 1 3 2 2 2 3 3 3 1abc ab bc ca a b c abc a b c + + = ⇔ = + + ≥ ⇒ ≥ Chia 2 vế bất đẳng thức cần chứng minh cho. Ta có: VT= 1 1 1 1 1 1 7 1 a b c ab bc ca abc + + + + + + − 1 1 1 7 1 1 1 4 ( 3)do ab bc ca abc a b c = + + + − + + = 1 7 4 3 3 2 2 2 abc a b c ≥ + − (bất đẳng thức Cauchy).