phương pháp giải toán Bất đẳng thức

Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai Phần thứ nhất. Mở đầu. I. Lý do chọn đề tài. Bất đẳng thức là một nội dung thờng gặp trong chơng trình toán THPT và có nhiều ứng dụng. Nội dung bất đẳng thức đợc đa vào lớp 10 ( Cả chơng trình Ban Cơ Bản và Ban KHTN ) trong " chơng IV - Bất Đẳng Thức, Bất phơng Trình " với số tiết không nhiều ( 03 tiết theo phân phối chơng trình và 03 tiết tự chọn đối với chơng trình Ban KHTN ). Tuy nhiên, học sinh lớp 10 đợc kế thừa kiến thức về bất đẳng thức từ ở chơng trình THCS ( từ lớp 7 ). Do yêu cầu chơng trình nên sách giáo khoa đại số 10 ( Cả chơng trình Ban Cơ Bản và Ban KHTN ) không đi sâu vào mô tả chính xác khái niệm về bất đẳng thức và chứng minh các bất đẳng thức phức tạp. Thực tế, khi gặp một bài toán chứng minh bất đẳng thức, không ít học sinh lúng túng, không biết xoay sở ra sao. Một điều đáng tiếc cho học sinh lớp 10, 11, thậm chí cả học sinh lớp 12 là các em rất vất vả trong việc giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Nhiều em học sinh đã rất khổ tâm và cảm thấy chán nản khi không làm đợc các bài toán chứng minh bất đẳng thức trong các kỳ thi kiểm tra, hoặc khi thi Đại Học .trong điều kiện thời gian hạn chế. Tự kiểm điểm, các em thấy rằng đã hết sức cố gắng học toán, tin tởng là mình nắm vững các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, đã hiểu các bài trong sách giáo khoa, đã tìm nhiều h- ớng giải nhng cuối cùng vẫn bế tắc, không tìm ra lời giải đúng. Về sau, xem lại lời giải những bài toán bế tắc ấy, thì thấy rằng ở không có gì khó khăn lắm vì chỉ toàn sử dụng những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, bài giải nhiều khi đơn giản nhng chỉ tại một chut thiếu sót hoặc không nghĩ đến cách ấy. Là giáo viên toán, ai cũng thấy rằng: học sinh thuộc bài, nắm đợc bài trong sách giáo khoa là hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức, biết hệ thống các phơng pháp giải từng dạng toán. Số các bài toán trong về chứng minh bất đẳng thức trong các sách bồi d- ỡng, tạp chí, báo toán tuổi trẻ, toán tuổi thơ .và cả trên th viện toán điện tử vv Mỗi bài mỗi vẽ, có nhiều hớng, nhiều cách của nhiều tác giả với nhiều phơng pháp giải cơ bản, đặc biệt và mới lạ. Song thời gian dạy và hớng dẫn học sinh học tập lại hạn chế, do đó đòi hỏi giáo viên phải biết tổng hợp phân loại các dạng toán thờng gặp, các phơng pháp giải toán chứng 1 Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai minh bất đẳng thức. Từ đó hớng dẫn học sinh rèn luyện các phơng pháp suy nghĩ đúng đắn, biết đúc rút kinh nghiệm. Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đă phân loại các dạng toán thờng gặp và tổng hợp các phơng pháp giải thích hợp. Thực tế giảng dạy - học toán lớp 10 ở trờng THPT Lê Lai, bản thân tôi đã đúc rút đợc một số kinh nghiệm trong công tác dạy học chứng minh bất đẳng thức, vừa cũng cố, hoàn thiện kiến thức về bất đảng thức cho học sinh ban cơ bản; nâng cao, bồi dỡng học sinh ban KHTN. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin đa ra một vài kinh nghiệm về " Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lợng học tập môn toán cho học sinh lớp 10 ". II. Nhiệm vụ của đề tài. Đề tài nêu và giải quyết một số vấn đề sau: 1). Cơ sở lý thuyết của chứng minh bất đẳng thức. 2). Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức. 3). Những bài toán chọn lọc về chứng minh bất đẳng thức. 4). ứng dụng của bất đẳng thức. 5). Những sai lầm thờng gặp của học sinh lớp 10 khi giải toán chứng minh bất đẳng thức. 6). Một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lợng học tập môn toán cho học sinh lớp 10 trờng THPT Lê Lai - Ngọc Lặc - Thanh Hoá. 7). Những kết quả đạt đợc. Kết luận. III. Đối tợng nghiên cứu. Một số kinh nghiệm " Dạy học chứng minh bất đẳng thức đại số nhằm nâng cao chất lợng học tập môn toán cho học sinh lớp 10 trờng THPT Lê Lai ". IV. Phơng pháp nghiên cứu. 1). Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến đề tài. 2). Phân tích và tổng hợp. 3). Tổng kết thực nghiệm. 4). Thống kê. phần thứ hai nội dung chơng I 2 Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai cơ sở lý thuyết của phơng pháp chứng minh bất đẳng thức I. Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các dấu > , < , , . Ta có: A B A - B 0. A > B A - B > 0. .Trong các bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B , A B, A B ), A gọi là vế trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức. .Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều, các bất đẳng thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều. Nếu ta có: A > B C > D , ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B. .Nếu ta có: A > B C > D, ta nói bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất đẳng thức tơng đơng. .A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A B ( hoặc A B ) là bất đẳng thức không ngặt. .A B là A > B hoặc A = B. .A B cũng là bất đẳng thức. .Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép. Ví dụ: A < B < C. *Chú ý: Nh bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Tuy nhiên, ngời ta quy ớc: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu đó là bất đẳng thức đúng. Do đó khi nói: " Chứng minh bất đẳng thức a > b " thì ta hiểu là " chứng minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng ". II. Các tính chất của bất đẳng thức. Tính chất 1: a > b và b > c a > c. Tính chất 2: a > b a + c > b +c. Hệ quả: a > b + c a - c > b. Tính chất 3: a > b và c > d a + c > b + d. Tính chất 4: a > b ac > bc ( nếu c > 0 ); hoặc ac < bc ( nếu c < 0 ). Tính chất 5: a > b > 0 bà c > d > 0 ac > bd. Tính chất 6: a > b > 0, n nguyên dơng n a > n b . Tính chất 7: a > b > 0, n nguyên dơng n a > n b . Hệ quả: a > b 0: aba 22 bab . 3 Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai Tính chất 8: a > b, ab > 0 a 1 < b 1 . Tính chất 9: a > 1, m và n nguyên dơng, m > n m a > n a . 0 < a < 1, m và n nguyên dơng, m > n m a < n a . III. Các hằng bất đẳng thức. 1) .0 2 a Dấu " = " xảy ra 0 = a . 2) 0 2 a . Dấu " = " xảy ra 0 = a . 3) Các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối. .0 a Dấu " = " xảy ra 0 = a . .aa Dấu " = " xảy ra .0 a baba ++ . Dấu " = " xảy ra 0 ab . .baba Dấu " = " xảy ra .0;00)( bababab 4) cũng cần nhớ thêm một số hằng bất đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng chúng nh một bổ đề, chẳng hạn: .2 22 abba + Dấu " = " xảy ra .ba = ba baba ,; 411 + + > 0. Dấu " = " xảy ra .ba = ( ) .4 2 2 2 abbaab ba + + Dấu " = " xảy ra .ba = ba a b b a ,;2 + > 0. Dấu " = " xảy ra .ba = ( )( ) ( ) . 2 2222 byaxyxba +++ Dấu " = " xảy ra .bxay = 5) Một số bất đẳng thức thờng áp dụng. . Bất đẳng thức côsi. Cho n số dơng ., ., 21 n aaa Ta có: . 21 21 n n n aaa n aaa +++ Dấu " = " xảy ra 21 n aaa == . Bất đẳng thức Bunhiacôpxki. Cho hai bộ số: .,,,, 21 n aaa và .,,,, 21 n bbb Ta có: ) )( .() .( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa +++++++ Dấu " = " xảy ra 2 2 1 1 n n b a b a b a === 4 Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai Chơng II. Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức. Khi giải một bài toán, ta cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phơng pháp giải thích hợp. Sau đây là một số phơng pháp mà tôi đã sử dụng hớng dẫn cho học sinh lớp 10 ( trong 03 tiết học theo phân phối chơng trình và 03 tiết học theo chủ đề tự chọn bám sát nâng cao, còn lại hớng dẫn thêm cho học sinh về nhà tìm hiểu thêm ) nắm vững để vận dụng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Mổi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể đợc giải bằng các phơng pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều phơng pháp. I. Phơng pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A B ta làm nh sau: . Lập hiệu số: A - B. . Chứng tỏ A - B 0. . Kết luận A B. B. Ví dụ. 1) Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức: a) ).(23 222 cbacba +++++ b) cba cba cba ,,;9) 111 )(( ++++ > 0. Giải: a) Ta có: .0)1()1()1( )12()12()12( 222)(2)3( 222 222 222222 ++= +++++= ++=+++++ cba ccbbaa cbacbacbacba Do đó: ).(23 222 cbacba +++++ b) Ta có: 9) 111 )(( ++++ cba cba . = 9111 ++++++++ b c a c c b a b c a b a . = ).2()2()2( +++++ a c c a b c c b a b b a 5 Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai = ).0,,(;0 )()()( 222 + + cba ca ac bc cb ab ba Do đó: 9) 111 )(( ++++ cba cba . Với a, b, c > 0. 2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - 1. Gi ải: Xét hiệu: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - ( - 1 ) = 1)65)(45( 22 +++ xxxx . Dặt 55 2 += xxy , biểu thức trên bằng: ( y - 1 )( y + 1 ) + 1 = y 2 0. Vậy ( x - 1)( x - 2 )( x - 3)( x - 4 ) - 1. II. Phơng pháp dùng các phép biến đổi tơng đơng. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A B, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tơng đơng bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng. A B A 1 B 1 . ( * ). Mà ( * ) đúng thì A B. B. Ví dụ 1. Ví dụ 1. Chứng minh các Bất đẳng thức: a) baba ++ . b) yx yxyx ,; 411 + + > 0. Giải: a) 22 )()( babababa ++++ 2222 22 bababbbaa ++++ abababba .( bất đẳng thức đúng ). Vậy .baba ++ b) Vì x, y > 0, nên xy( x + y ) > 0. Do đó: .04)(4)( 4411 22 ++ + + + + xyyxxyyx yxxy yx yxyx 0)( 2 yx , ( bất đẳng thức đúng ). Vậy . 411 yxyx + + Với x, y > 0. 2. Ví dụ 2. Cho các số dơng a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1. 6 Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai Chứng minh rằng: .9) 1 1)( 1 1( ++ ba Giải: Ta có: 9) 1 1)( 1 1( ++ ba . ( 1 ). abbaab b b a a 919 1 . 1 +++ ++ . Vì ab > 0. ababba 8281 ++ . ( Vì a + b = 1 ). .4)(41 2 abbaab + ( Vì a + b = 1 ). .0)( 2 ba ( 2 ). Bất đẳng thức ( 2 ) đúng, mà các phép biến đổi trên tơng đơng. Vậy bất đẳng thức ( 1 ) đợc chứng minh. C. Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng cần lu ý các biến đổi tơng đơng có điều kiện, chẳng hạn: . 22 baba Với a, b > 0. m > n m a > n a . Với m, n nguyên dơng, a > 1. Cần chỉ rỏ các điều kiệ ấy khi biến đổi tơng đơng. III. phơng pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh bất đẳng thức A B ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức ( xem phần II. Chơng I ). B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho a + b > 1. Chứng minh rằng: 44 ba + > 8 1 . Giải: Do ba + > 1 ( 1 ). Bình phơng hai vế: 2 )( ba + > 1 22 2 baba ++ > 1 ( 2 ). Mặt khác: 020)( 222 + bababa . ( 3 ). Cộng từng vế của ( 2 ) và ( 3 ) đợc: )(2 22 ba + > 1. Suy ra: 22 ba + > 2 1 ( 4 ). Bình phơng hai vế của ( 4 ): 4224 2 bbaa ++ > 4 1 . ( 5 ). Mặt khác: 020)( 4224222 + bbaaba . ( 6 ). 7 Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai Cộng từng vế ( 5 ) và ( 6 ) đợc: )(2 44 ba + > 4 1 . Suy ra: 44 ba + > 8 1 . 2. Ví dụ 2. Chứng minh bất đẳng thức: . 2 2 2 2 2 2 c a a b b c a c c b b a ++++ Giải: Ta có: .20)( 222 xyyxyx + Dấu " = " xảy ra .yx = áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: .2 2 2 2 2 2 c a c b b a c b b a =+ ( 1 ). Tơng tự : .2 2 2 2 2 a b a c c b + ( 2 ). .2 2 2 2 2 b c b a a c + ( 3 ). Cộng từng vế của các bất đẳng thức ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ). Đợc: . )(2)(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a b c a a c c b b a b c a b c a a c c b b a ++++ ++++ IV. Phơng pháp làm trội A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A B nhiều khi ta phải chứng minh A C với C là biểu thức lớn hơn hoặc bằng B, từ đó ta có A B; Hoặc chứng minh D B Với D là biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng A, từ đó ta có A B. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: nnn 2 1 . 2 1 1 1 ++ + + + > . 2 1 ( Với nNn , > 1 ). Giải: Ta có: 1 1 + n > . 2 11 nnn = + Tơng tự: 2 1 + n > . 2 1 n . 2 1 2 1 nn 8 Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai Cộng tất cả các bất đẳng thức trên theo từng vế ( lu ý từ số hạng n + 1 đến số hạng thứ n + n = 2n, có tất cả là n số ), ta đợc đpcm. 2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: 222 1 . 3 1 2 1 1 n ++++ > ).1,(; 1 + nNn n n Giải: Ta có: 222 1 . 3 1 2 1 1 n ++++ > )1( 1 . 4.3 1 3.2 1 2.1 1 + ++++ nn = 1 11 . 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 + ++++ nn = . 11 1 1 + = + n n n Suy ra đpcm. V. Phơng pháp phản chứng. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A B, ta gỉ sử A < B, từ đó lập luận để dẩn đến điều vô lí. Nh vậy, ta đã dùng phơng pháp phản chứng. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho .2 22 + ba Chứng minh rằng: .2 + ba Giải: Giả sử ba + > 2, bình phơng hai vế ( hai vế dơng ), ta đợc: 22 2 baba ++ > 4. ( 1 ) Mặt khác ta có: Mà: 2 4)( 22 + ba ( giả thiết ), do đó .42 22 ++ baba ( 2 ) mâu thuẫn với ( 1 ). Vậy phải có .2 + ba 2. Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng: .02;02;02 222 +++ abcacbbca Giải: Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai. Thế thì ta có: bca 2 2 + < 0; acb 2 2 + < 0; abc 2 2 + < 0. abcacbbca 222 222 +++++ < 0 2 )( cba ++ < 0, vô lí ! Do vậy điều giả sử là sai. Vậy phải có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là đúng. ( đpcm ) VI. Phơng pháp vận dụng các bất đẳng thức cơ bản về phân số. A. Kiến thức cơ bản. Một số bài toán bất đẳng thức có có dạng phân thức thờng vận dụng các bài toán cơ bản về phân số. Ta có hai bài toán cơ bản sau đây: Bài toán 1. Với cba ,, > 0. Chứng minh rằng: 9 Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai a) Nếu a < b thì: b a < cb ca + + . b) Nếu ba thì: . cb ca b a + + Bài toán 2. Với zyx ,, > 0. Chứng minh rằng: a) . )( 41 2 yx xy + b) . 411 yxyx + + c) . 9111 zyxzyx ++ ++ * Chú ý: Hai bài toán trên chứng minh rất đơn giản ( có nhiều cách chứng minh ). Khi dùng đến các bài toán này ta cần chứng minh rồi mới vận dụng. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho cba ,, là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ba c ac b cb a + + + + + < 2. Giải: Vì cba ,, là ba cạnh của một tam giác nên a < cb + , theo bài toán 1a) ta có: cb a + < . 2 cba a cba aa ++ = ++ + ( 1 ). tơng tự: ac b + < . 2 cba b ++ ( 2 ). ba c + < . 2 cba c ++ ( 3 ). Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta có: ba c ac b cb a + + + + + < .2 )(2 = ++ ++ cba cba 2. Ví dụ 2. Cho ba, > 0. Chứng minh rằng: . )( 1 8 1 44 1 222 ba ab ba + + + Giải: Vì ba, > 0 22 44 ba + > 0 và ab8 > 0. Theo bài toán 2b) ta có: . )( 1 )(4 4 844 4 8 1 44 1 222222 babaabba ab ba + = + = ++ + + đpcm. 10 [...]... đợc đpcm XIII Phơng pháp quy nạp toán học A Kiến thức cần nhớ Một số bài toán bất đẳng thức cần chứng minh đúng với mọi n 1( n N ) ta có thể vận dụng phơng pháp quy nạp toán học Các bớc chứng minh theo phơng pháp quy nạp toán học: 1) Kiểm tra bất đẳng thức đúng khi n = 1 2) Giả sử bất đẳng thức đúng khi n = k Chứng minh bất đẳng thức đúng khi n = k + 1 3) Kết luận bất dẳng thức đúng với mọi n... tính chất của bất đẳng thức, các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức, kinh nghiệm giải toán chứng minh bất đẳng thức còn ít 3) Học sinh cha đọc kỹ đề bài, cha hiểu rõ bài toán đã vội lao ngay vào giải 4) Hệ thống bài tập tự làm , tự tích luỹ cha nhiều, hầu nh không hệ thống theo dạng Nên việc sử dụng dạng toán không thành thạo và gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải Chơng VI Một số giải pháp dạy học... môn toán Hiện nay, tài liệu tham khảo môn toán chuyên đề bất đẳng thức đợc đa ra rất nhiều ( Phơng pháp giải toán Đại Số - Lê Hồng Đức, Chuyên đề bất đẳng thức, Báo toán tuổi trẻ, th viện toán học trên mạng ) Với tấm lòng say mê nghề nghiệp, thầy giáo phải bỏ ra nhiều tiền của, công sức để xây dựng các t liệu riêng dành cho bồi dỡng, phụ đạo học sinh Chuyên đề bất đẳng thức, cũng nh các chuyên dề toán. .. Huế ) Giải phơng trình: x +1 3 + =2 x +1 3 Hớng dẫn: ( Xem chơng IV - ứng dụng của bất đẳng thức ) Sử dụng BĐT cosi để đánh giá hai vế của phơng trình Chơng IV ứng dụng của bất đẳng thức Bất đẳng thức có rất nhiều ứng dụng trong đại số, nhất là trong giải toán cực trị đại số, giải phơng trình, Đi sâu vào các loaị này đòi hỏi ngời thầy và học sinh phải biết phân dạng bài toán, nắm vững các phơng pháp, ... buổi bồi dỡng, phụ đạo toán cho các em Số buổi bồi dỡng chuyên đề chứng minh bất đẳng thức phải tập trung ít nhất là 03 buổi Và trong quá trình dạy học các chuyên đề khác hoặc ôn tập, giáo viên luôn có ý thức xen kẽ thời gian, đua ra các dạng toán, các bài chứng minh bất đẳng thức để học sinh luyện tập, rèn luyện kỹ năng giải toán, nắm vững các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 28 Lê Đức Trung Tr... sinh lớp 10 khi giải toán chứng minh bất đẳng thức I Những sai lầm thờng gặp 1) Trừ hai vế bất đẳng thức cùng chiều: a > b và c > d a - c > b - d 2) Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà không có giả thiết các vế không âm: a > b và c > d ac > bd 3) Bình phơng hai vế của bất đẳng thức mà không có giả thiết hai vế không âm: a > b a2 > b2 4) Khử mẫu khi cha biết dấu của biểu thức dới mẫu: a... năng lực giải toán, học sinh có nhiều tiến bộ, thể hiện rõ nhất ở một số mặt sau đây: - Biết phân tích một cách chu đáo để xây dựng đợc đờng lối giải một bài toán chứng minh bất đẳng thức 30 Lê Đức Trung Tr ờng THPT Lê Lai - Nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức, tránh đợc những sai lầm thờng gặp trong chứng minh bất đẳng thức - Nhiều em biết vận dụng một cách linh hoạt các phơng pháp trong... = b = c = 4 3 1 3 II Giải phơng trình, bất phơng trình và hệ đại số A Kiến thức cần nhớ Trong việc giải phơng trình, bất phơng trình và hệ đại số, một số bài toán đòi hỏi các kỹ năng sử dụng bất đẳng thức sẽ cho lời giải ngắn gọn Các bài toán này rất độc đáo đòi hỏi học sinh phải có óc phán đoán và suy luận thật hợp lý Bớc đầu làm quen với phơng pháp đánh giá giải phơng trình, bất phơng trình và hệ... của bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng: 2k + 1 1 1 = 2 2 k (k + 1) k (k + 1) 2 2 Ta có: 3 5 7 2n + 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + 2 = 2 2 + 2 2 + + 2 = 1 2 2 4 36 144 n (n + 1) 1 2 2 3 n (n + 1) (n + 1) 2 < 1 Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh XV Phơng pháp véc tơ và hình học A Kiến thức cần nhớ Một số bài toán bất đẳng thức mấcc biến là các số dơng, ta dễ dàng tìm ra lời giải nếu sử dụng phơng pháp. .. minh rằng: Giải: Vì a , b, c > 0 2a + b > 0; 2b + c > 0; 2c + a > 0 Theo bài toán 2c) ta có: 1 1 1 9 9 3 + + = = 2a + b 2b + c 2c + a 2a + b + 2b + c + 2c + a 3(a + b + c) a + b + c đpcm VII Phơng pháp vận dung các bài toán cơ bản về giá trị tuyệt đối A.Kiến thức cần nhớ Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa . minh bất đẳng thức. 2). Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức. 3). Những bài toán chọn lọc về chứng minh bất đẳng thức. 4). ứng dụng của bất đẳng thức. . bất đẳng thức cùng chiều, các bất đẳng thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều. Nếu ta có: A > B C > D , ta nói bất đẳng thức