Phương pháp giải toán bất đẳng thức

Gia Sư Dạy Kèm Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Phương pháp giải toán bất đẳng thức NỘI DUNG Phần I: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1) Dùng phép biến đổi thích hợp 2) Tam thức bậc 3) Phương pháp đạo hàm, cực trị hàm số 4) Quy nạp 5) Lượng giác hóa 6) Phương pháp hình học 7) Các BĐT thơng dụng 8) Một số phương pháp khác I Sử dụng phép biến đổi Ví dụ 1: CM với a,b,c số dương 1 a b c   2 ab bc ca Giải: Vì a,b,c số dương nên ta có a a  ab abc b b  bc abc Cộng vế theo vế ta  c c  ca abc a b c   ab bc ca Mặt khác ta có a ac  ab abc b ab  bc abc Cộng vế theo vế ta c bc  ca abc a b c   2 ab bc ca Ví dụ 2: CM x  R ta ln có x8  x5  x  x  Giải: Gia Sư Dạy Kèm Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Phương pháp giải toán bất đẳng thức x8  x5  x  x  x x 3x 1  x8  2x    x   4 3 2  1  x       x  R  x    x 2  3   Do x  x  x  x  (đpcm) Ví dụ 3: CMR 1    1 n N 1.2 2.3 n(n  1) Giải: Ta có k (k  1)  k  k 1 (k  N * ) Cho k=1, 2, .n cộng đẳng thức theo vế ta có 1 1 1 1            1 1 1.2 2.3 n(n  1) 2 n n 1 n 1 Vậy ta có đpcm II Phƣơng pháp Tam thức bậc Ví dụ 1: CMR 13  59 5x  13  59   11 11 3x  x  Giải: TXĐ: x  R Gọi P  5x  3x  x  (3P  5) x  2Px  4P   (*) Để (*) có nghiệm x '   P  (4 P  2)(3P  5)   11P  26 P  10   Vậy 13  59 13  59 P 11 11 13  59 5x  13  59   11 11 3x  x  Dấu đt bên trái xảy Gia Sư Dạy Kèm Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Phương pháp giải toán bất đẳng thức x 13(13  59 ) 121 Dấu đt bên phải xảy x 13(13  59 ) 121 III Phƣơng pháp hàm số, dùng đạo hàm Ví dụ : CMR x  sin x  x Giải : Xét hàm số f ( x)  x  sin x f '( x)   cos x   f (x) đồng biến Mặt khác f(0)=0 Vậy f(x)>0 với x>0 hay với x>0 sin x  x Ví dụ 2: CMR 00 CMR với n  ta có ex  1 x  x2 x3 xn    2! 3! n! Giải: +Với n=1 ta có e y  y  0, x x x Vậy  e dy   dy  e x   x  e x   x x  x 0 Vậy BĐT với n=1 + Giả sử BĐT với n=k (k  1) x  tức ex  1 x  x2 x3 xk    2! 3! k! Ta c/m BĐT với n=k+1 tức : ex  1 x  x2 x3 x k 1    2! 3! (k  1)! Thật theo giả thiết quy nạp ta có: ex  1 x  x x3 xk    2! 3! k! x  Như ta có y2 y3 yk e  1 y     2! 3! k! y y  0, x Do ta có: x x y2 yk 0 e dy  0 (1  y  2!   k ! )dy y x x3 x k 1  e   x     2! 3! (k  1)! x Gia Sư Dạy Kèm Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Phương pháp giải toán bất đẳng thức x x3 x k 1  e   x     2! 3! (k  1)! x +Vậy theo ngun lí quy nạp ta có BĐT với n  V Sử dụng phƣơng pháp lƣợng giác hóa Để sử dụng phương pháp lượng giác hóa, trước hết học sinh phải nắm vững tính chất, cơng thức phép biến đổi lượng giác Trên sở đó, số tốn đặt giá trị ẩn thích hợp qua hàm số lượng giác thuận tiện Ví dụ 1: CMR x, y ta có:  ( x  y )(1  x y )   4 (1  x ) (1  y 2)   Giải: Đặt x  tg y  tg     ,     2 Ta có: A ( x  y )(1  x y ) (1  x ) (1  y 2) (tg 2  tg  )(1  tg 2 tg  )  (1  tg 2 ) (1  tg  )  (sin  cos   sin  cos  )(cos  cos   sin  sin  )  sin(   ) sin(  b) cos(   ) cos(   )  sin( 2   ) sin( 2   )  A   dpcm *) Một số tập: CMR x, y  R  ( x  y )(1  xy )   ( x  1)( y  1) 2 Cho số thực a, b, c, d thõa mãn a  b   c  d  CMR   ac  bd  VI Phƣơng pháp hình học Gia Sư Dạy Kèm Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Phương pháp giải toán bất đẳng thức a) Sử dụng BĐT vectơ u  v  u  v Dấu “=” xảy  u, v chiều u.v  u v  u v  u v Ví dụ 1: Cho a, b, c số thực CM (a  b)  c  (a  b)  c  a  c Giải: Đặt u  (a  b; c) v  (a  b; c) u  v  (2a;2c) Ta có u  v  u  v suy đpcm Ví dụ 2: CM x, y  R x  y  x   x  y  x  12 y  10  Giải: Đặt u  ( x  3;2 y) v  (1  x;3  y) u  v  (4;3) Lại áp dụng u  v  u  v suy đpcm Ví dụ 3: CM a, b, c abc(a  b  c)  a  b  c Chú ý: Phương pháp vectơ áp dụng trường hợp ta biểu diễn thành phần bđt thành đồ dài vectơ nhiên áp dụng thường thi khơng có ràng buộc biên có ràng buộc ta thường dùng phương pháp tọa độ b) Phương pháp tọa độ: Ví dụ 4: Cho a,b thõa mãn a – 2b + = CMR (a  3)  (b  5)  (a  5)  (b  7)  Giải: Chọn A(3; 5) B(5; 7) M(a; b) thõa mãn a – 2b + = nên nằm đường thẳng x- 2y + 2=0 ’ ’ () Lấy A đối xứng A qua () ta có A (5; 1) Ta có MA+MB=MA’+MB  A’B Hay (a  3)  (b  5)  (a  5)  (b  7)  Dấu “=” xảy  a   b  A x M A P y Gia Sư Dạy Kèm Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Phương pháp giải tốn bất đẳng thức c) Các phương pháp khác: Ví dụ 5: Cho 0