SKKN TOÁN 9 _ PHƯƠNG PHÁP DẠY GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HOÀNG MAISÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP DẠY GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC Môn: Toán học \ Năm học 2014 – 2015... Trong qu

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HOÀNG MAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP DẠY GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA BIỂU THỨC

Môn: Toán học

\

Năm học 2014 – 2015

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1

Phần mở đầu: Những vấn đề chung 2

I Lí do chọn đề tài 2

II Mục đích của đề tài 2

III Nhiệm vụ của đề tài 3

IV Phương pháp nghiên cứu 3

V Thực trạng 4

Phần nội dung: Nội dung đề tài 5

I Cơ sở lí luận của đề tài 5

II Cơ sở thực tiễn 5

III Biện pháp giải quyết 5

1 Các giải pháp thực hiện 6

2 Các biện pháp tổ chức thực hiện 6

IV Kết quả bước đầu 18

V Bài học kinh nghiệm 18

Phần kết luận: Kết luận chung 20

Tài liệu tham khảo 21

Trong nhà trường THCS, dạy toán là hoạt động toán học Đối với họcsinh, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Mặtkhác, mỗi bài toán ta có thể xem là một định lý, có những bài toán là tiền đề củanhững kiến thức khác Giải toán là một hình thức rất tốt để rèn những kỹ năng:

Kĩ năng tính toán, kĩ năng biến đổi, kĩ năng suy luận, kĩ năng toán học hóa Giảitoán còn là một hình thức tốt nhất để kiểm tra về năng lực, mức độ tiếp thu vàvận dụng kiến thức Việc tìm kiếm kiến thức, lời giải cho một bài toán rèn luyệnphương pháp khoa học trong suy nghĩ, suy luận trong giải quyết các vấn đề vàqua đó rèn luyện trí thông minh sáng tạo, phát triển các năng lực trí tuệ Hìnhthành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, nhân sinh quan cách mạng.Các bài toán ở trường THCS là một phương tiện rất có hiệu quả và khôngthể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức phát triển năng lực

tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn

Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập có vai trò quyết định đốivới chất lượng dạy học toán

Trong quá trình dạy học giải toán, loại toán mà học sinh thường cảm thấykhó là tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.Tuy nhiên, đó mới lànhững bài tập rèn luyện được tư duy, trí tuệ nhiều nhất, học sinh cảm thấy rấthứng thú khi tìm ra được con đường đi nhanh nhất, thuận lợi nhất Đặc biệt, đây

là những bài toán để phát hiện được những học sinh thông minh có óc tư duy

trừu tượng tốt nhất Và trong đề tài này tôi sẽ đề cập đến vấn đề "Phương pháp dạy giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức".

II MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI

Tìm các cách dạy giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để từ đó ápdụng vào bài giảng nhằm góp phần tạo sự hứng thú học tập đối với việc giải cácbài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, qua đó rèn luyện trí thông minhsáng tạo, phát triển các năng lực trí tuệ cho học sinh

Qua việc dạy học sinh các phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất trực tiếp trên lớp giúp bản thân tôi đúc kết được một sốkinh nghiệm, trau dồi được chuyên môn, nghiệp vụ, góp phần nâng cao chấtlượng và hiệu quả cho công tác giảng dạy bộ môn Toán ở trường trung học cơsở.

III NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI

Nắm được mục đích cơ bản, đề tài cần phải giải quyết các nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu lí luận làm cơ sở cho đề tài, tìm hiểu vai trò quan trọng của việcdạy các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

- Tìm hiểu thực trạng về việc dạy và học các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất trong trường THCS:

+ Giáo viên sử dụng các phương pháp nào để dạy học sinh giải bài toán tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

+ Học sinh tiếp thu như thế nào đối với các phương pháp dạy học giải bàitoán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của giáo viên

+ Hiệu quả đạt được khi áp dụng việc sử dụng các phương pháp khác choviệc dạy giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (Thái độ và chấtlượng tiếp thu kiến thức của học sinh)

- Đưa ra một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

- Rút kinh nghiệm và bài học cho bản thân và đề xuất ý kiến

- Tiến hành thực nghiệm sử dụng các giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất tương ứng với từng khối lớp, áp dụng vào giảng dạy và đánh giá kếtquả thực nghiệm

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Về phương pháp nghiên cứu thì có nhiều phương pháp, trong đề tài nàytôi xin nêu ra một số phương pháp chủ yếu sau:

1 Chú trọng nghiên cứu cơ sở lí luận thông qua việc nghiên cứu nội dung sáchgiáo khoa, sách hướng dẫn giảng dạy, các loại sách tham khảo có liên quan

2 Dùng phương pháp kiểm nghiệm thông qua việc giảng dạy trực tiếp trên lớp,

dự giờ thăm lớp đồng nghiệp, thông qua các buổi sinh hoạt tổ nhóm chuyênmôn

3 Phương pháp tổng hợp, khái quát hóa, thông qua việc rút ra bài học kinhnghiệm của giáo viên

4 Thông qua việc đúc kết các kinh nghiệm giảng dạy của bản thân

V THỰC TRẠNG

1 Thực trạng:

Chúng ta đã nhận thức rõ vai trò của việc học toán đặc biệt là việc giải toántrong hoạt động toán học Khi một học sinh tự tìm ra lời giải của một bài toánkhó, phương pháp giải mới, độc đáo của một bài toán gây nên sự hào hứng chohọc sinh đó Điều này có ý nghĩa to lớn trong việc vun đắp lòng say mê học toán

và ước mơ vươn tới vinh quang trong lĩnh vực nghiên cứu khám phá, phát minhnhững vấn đề mới

Tuy nhiên, trong quá trình dạy học bộ môn toán ở trường THCS trongnhững năm học qua, tôi nhận thấy học sinh thường xem loại toán tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là loại toán khó

Qua đó chúng ta thấy rằng việc định hướng cho học sinh về phươngpháp suy luận trong giải loại toán này là rất quan trọng

Nhưng để học sinh không cảm thấy nhàm chán và xem việc giải bài tậptoán là một gánh nặng, tôi xin mạnh dạn đưa ra một vài kinh nghiệm khi dạy họcgiải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Để giải các bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức thìngoài việc nắm vững kiến thức người giải toán còn phải có phương pháp suyluận khoa học và kinh nghiệm Phương pháp suy luận khoa học và kinh nghiệm

đó được hình thành qua quá trình học tập, rèn luyện và tích luỹ Nó phụ thuộcvào mỗi con người để đạt đến trình độ mà ta gọi là kĩ năng giải toán, chúng tacần học tập kinh nghiệm kết hợp với việc tự rèn luyện và vận dụng những điều

đó qua thực hành giải toán Với mục đích đó đề tài của tôi sẽ đề cập đến nội

dung: “Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”.

PHẦN NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

- Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực về

bộ môn Toán, từ đó xây dựng cho học sinh kĩ năng nhận dạng và giải toán

- Thúc đẩy việc tìm hiểu và mở rộng thêm kiến thức của giáo viên cũng như họcsinh

- Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng toán khó ở cấp THCS

- Với nội dung của đề tài, học sinh có thể tự học, tự nghiên cứu

II CƠ SỞ THỰC TIỄN

- Thực tế, chương trình bộ môn Toán THCS chưa xây dựng hoàn chỉnh về nộidung và phương pháp của một số dạng toán khó, thường chỉ mang tính chất giớithiệu, chưa sâu

- Nhiều học sinh muốn tìm hiểu nhưng còn lúng túng với việc chọn các tài liệunghiên cứu

- Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ hơn một số dạng toán để xây dựng chuyên

đề về Toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học tốt hơn

- Việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một định hướng của Ngành

III BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT

1 Các giải pháp thực hiện:

* Giải pháp 1:

Đề tài “Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” sẽ

khám phá hứng thú học tập bộ môn Đại Số của học sinh khi đưa ra những bàitoán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Đánh giá kết quả học tập,tiếp thu kiến thức mới và khả năng vận dụng vào bài tập của học sinh

Thông qua phương pháp giảng dạy này giúp học sinh định hình được trình

tự các bước giải một bài tập tìm cực trị

Giúp học sinh phát huy khả năng độc lập tư duy sáng tạo, biết so sánh, phântích, tổng hợp

Giúp giáo viên phân định được lực học của học sinh trong lớp mình dạy để

từ đó giúp giáo viên có phương pháp bồi dưỡng học sinh khá giỏi nhằm nângcao chất lượng mũi nhọn đồng thời bồi dưỡng học sinh yếu kém

+ Định nghĩa giá trị lớn nhất: Cho biểu thức f(x) xác định trên D Ta nói M

là giá trị lớn nhất của f(x) trên D, ký hiệu M = maxf(x) nếu hai điều kiện sauđược thoả mãn:

- Với mọi x thuộc D thì f(x) ≤ M, với M là hằng số

- Tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = M

+ Định nghĩa giá trị nhỏ nhất: Cho biểu thức f(x) xác định trên D Ta nói m

là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, ký hiệu m = minf(x) nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:

- Với mọi x thuộc D thì f(x0) ≥ m, với m là hằng số

- Tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = m

Ta cũng định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x,y, ) giá trị lớn nhất của biểu thức f(x,y, ) bằng cách tương tự

b) Sử dụng các tính chất:

+ Biểu thức An(x) ³ 0 với mọi x Î R (với n là số tự nhiên chẵn) Dấu bằng xảy

ra khi và chỉ khi A(x) = 0

+ Biểu thức |A(x)| ³ 0 với mọi x Î R Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A(x) = 0

c) Thành thạo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ Đặc biệt là hằng đẳng thức

(A ± B)2; A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B)

d) Cực trị của đa thức bậc hai với điều kiện ràng buộc của biến:

Xét đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với a ≠ 0

x = – b

2a Nhưng có những bài toán yêu cầu tìm cực trị tại những giá trị của biến

x không phải nhận giá trị – b

2a

e) Bất đẳng thức Côsi:

Cho 2 số không âm a, b ta có: a + b ≥ 2 Dấu bằng xảy ra khi a = b

2 Các biện pháp tổ chức thực hiện:

a) Phương pháp nghiên cứu lý thuyết:

+ Nghiên cứu sách giáo khoa Đại số lớp 8 tập I, sách bài tập Toán 7

+ Toán nâng cao và phát triển Toán 9 tập I, tập II

+ Phương pháp dạy học toán

b) Phương pháp tự nghiên cứu.

c) Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Nghiên cứu hứng thú học tập, đánh giá

mức độ hiểu biết của học sinh, nắm kiến thức và vận dụng lý thuyết vào thựctiễn

Đánh giá thực tế chung học sinh qua các tiết luyện tập, ôn tập, sử dụngcác hình thức so sánh, phân tích, tổng hợp Kiểm tra trắc nghiệm sau các tiết dạyrồi sử dụng bảng thống kê để tổng hợp kết quả sau tiết dạy Từ các hình thứcgiảng dạy rồi đúc kết đưa ra hình thức giảng dạy tối ưu nhất, hiệu quả nhất, họcsinh hiểu bài nhất

Sưu tầm các đề thi vào lớp 10 THPT, đề thi học sinh giỏi hàng năm đểnắm bắt các dạng toán và rút ra kinh nghiệm chung khi giải toán cực trị

Cụ thể tôi sẽ trình bày cách hướng dẫn HS giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giáo viên đưa ra tính chất: biểu thức A n (x)³ 0 với mọi xÎ R với n là số

tự nhiên chẵn, dấu bằng xảy ra ⇔ A(x) = 0; |A(x)| ³ 0 với mọi xÎ R; A(x) ³ 0 với mọi x thỏa mãn A(x) ³ 0.

(?) Các em có nhận xét gì về các số hạng trong mỗi biểu thức ở VD1?

(?) Hãy chỉ ra giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức đó? Dấu bằng ở mỗi biểu thức xảy ra khi nào?

Lời giải ví dụ 1

a) Có (x – 3)2 ≥ 0 với mọi x

(y – 1)2 ≥ 0 với mọi y

⇒ (x – 3)2 + (y – 1)2 ≥ 0 với mọi x,y

⇒ (x – 3)2 + (y – 1)2 + 5 ≥ 0 với mọi x,y

Dấu “=” xảy ra ⇔ (x – 3)2 = 0 và (y – 1)2 = 0

⇔ x = 3 và y = 1b) Không tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x – 3| + x2 + y2 + 1 vì không

có giá trị của biến để biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất (|x – 3| = 0 ⇔ x = 3 và x2 =

0 ⇔ x = 0 ⇒ x ∈∅)

c) Lập luận tương tự câu a tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x – 100| + (x – y)2 + 100 là 100 khi x = y = 100

Lời giải ví dụ 2

a) Vì (y2 – 25)4 ³ 0 với mọi y Î R nên 10 – (y2 – 25)4≤ 10

Dấu “=” xảy ra ⇔ y2– 25 = 0 ⇔ y = 5 hoặc y = –5

b) Tương tự câu a ta có:

–125 – (x – 4)2 – (y –5)2 = –125 – [(x – 4)2 + (y –5)2]£–125 với mọi x, y

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức là –125 khi x = 4 và y = 5

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

A= 2 1

x - 6x + 17Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận xét tử và mẫu của A là biểu thức luôn dương nên A > 0, do đó A lớn nhất ⇔ A1 nhỏ nhất

Từ (1) và (2) suy ra 2 x +yæçç 2 2ö÷÷ 16 x + y2 2 8

÷

minA = 8 khi và chỉ khi x = y = 2

Ví dụ 5: Cho x, y là các số thực không âm thay đổi thoả mãn x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= x + y3 3

Nhận xét: Khi x = y = 12 thì A = 14, khi xy = 0 thì A = 1 Từ đó dự đoán A sẽ đạtgiá trị nhỏ nhất khi x = y = 12

Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được A = x3 + y3≥ 34(x + y) – =

* Nhận xét 1: Từ bài toán trên ta có thể mở rộng theo một số hướng sau đây.

Bài toán 5.1: Cho trước a là một số thực dương, x và y là các số thực không âm

thay đổi thoả mãn x + y = a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x3 + y3.Lời giải: Tương tự cách giải 1 của bài toán trên ta chứng minh được:

2

axy

Bài toán 5.2 : Cho số tự nhiên n > 1; x1; x2; , xn là các số thực không âm thay đổi thoả mãn x1 + x2 + x3 + + xn = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

* Nhận xét 2: Bằng cách giải tương tự bài toán 1.2 ta có thể giải bài toán sau:

Bài toán 5.3: Cho trước a là một số thực dương; n là một số tự nhiên, n > 1; x1,

x2, x3, , xn là các số thực không âm thay đổi thoả mãn: x1+ x2 + x3 + + xn = a.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = x13 + x23 + + x3

n

* Nhận xét 3: Từ các bài toán trên, ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán tổng quát: Cho trước a là một số thực dương; m, n, t là các số tự nhiên;

m, n, t > 0; x1, x2, x3, , xn là các số thực không âm thay đổi thoả mãn:

x1t + x2t + + xt

n = aTìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = x1m + x2m + + xm

+ Với x ≥ 3 thì 2x – 3 ≥ 2.3 – 3 = 3 ⇒ (2x – 3)2 ≥ 9 ⇒ A = (2x – 3)2 – 7 ≥ 2.+ Với x ≤ –1 thì 2x – 3£ 2.( –1) – 3 = –5 ⇒ (2x – 3)2 ≥ 25

⇒ A = (2x – 3)2 – 7 ≥ 18

So sánh hai trường hợp trên, ta thấy minA = 2 khi và chỉ khi x = 3

* Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – 7 ≥ –7, xảy ra dẳng thức khi và chỉ khi x = 3

2, nhưng giá trị này không thoả mãn x ≥ 3; x ≤ –1 Do đó không thể kết luận được giá trị nhỏ nhất của A bằng –7

DẠNG 3: ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI, BẤT ĐẲNG THỨC

BUNHIA CHO BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC

* Ví dụ 7 (trích sách ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán năm học 2015 – 2016):

 

Mà a + b > 0 ⇒ 1 1 4

a b+ ≥ a b

+

Dấu bằng xảy ra khi a = b

* Nhận xét: Vận dụng kết quả của bài toán trên để giải các bài toán sau:

Bài toán 7.1: Cho a > 0, b > 0; a + b = 1 Tìm min M = 2 1 2 1

Ví dụ 8 (trích sách ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán năm học 2015 – 2016):

Cho x ≥ -1; y ≥ -1; x + y = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x + 1 + y + 1

Lời giải

+ Chứng minh bất đẳng thức Bunhia:

Với a, b, x, y ta có: (a2 + b2)(x2 + y2) – (ax + by)2 = (ay – bx)2 ≥ 0

⇒ (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 hay (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) (*)

Dấu “=” xảy ra ay = bx

+ Với x ≥ -1; y ≥ -1 ⇒ M ≥ 0 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia (*) ta có:

M2 = ( x +1 + y +1 )2 ≤ (12 + 12)(x + 1 + y + 1) = 2.8 = 16

Suy ra M ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi x +1= y +1 và x + y = 6 ⇔ x = y = 3

Vậy max M = 4 khi x = y = 3

Trên đây là một số các ví dụ điển hình và tổng quát mà chúng ta thường gặp.Các bài toán về cực trị thường được sử dụng trong các để thi học sinh giỏi vàđặc biệt là đề thi vào lớp 10 THPT các năm gần đây

Sau đây tôi xin trích một số bài toán về cực trị có trong các đề thi để giúp họcsinh đang ôn thi lớp 9 và chuẩn bị bước vào kỳ thi vào lớp 10 THPT tham khảo.

* VD1 (Đề thi HSG lớp 7 – Quận Hoàng Mai năm học 2006 - 2007):

Cho x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + xy + y 2

Dấu “=” xảy ra khi y = 1 và x + y = 2 ⇔ x = y = 1

Vậy min A = 3 khi x = y = 1

* VD2 (Đề thi HSG lớp 7 – Quận Hoàng Mai năm học 2007 - 2008):

Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất A = x - 2 7

Vậy min A = 6 khi x = ± 1

* VD3 (Đề thi HSG lớp 7 – Quận Hoàng Mai năm học 2009 - 2010):

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x -1 + x - 4 2010

Dấu “=” xảy ra khi (x – 1)(x – 4) ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 hoặc x ≥ 4

Vậy max A = 670 khi x ≤ 1 hoặc x ≥ 4

* VD4 (Đề thi vào lớp 10 chuyên – Toán – Lam Sơn – Thanh Hoá năm học