PP Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

đề tài : các phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau I- Đặt vấn đề Toán học là môn khoa học các em học sinh đã đợc làm quen ngay từ khi bắt đầu học từ trờng tiểu học.. Ngoài ra để

đề tài :

các phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

I- Đặt vấn đề Toán học là môn khoa học các em học sinh đã đợc làm quen ngay từ khi bắt đầu học từ trờng tiểu học Nó là bộ môn khoa học dễ gây hứng thú cho các em, gây sự tò mò khám phá kiến thức để phát triển trí tuệ của các

em Song bên cạnh đó cũng còn không ít học sinh học sinh bị ức chế khi học

bộ môn toán, thậm trí gây chán nản trong học tập, sợ hãi khi bớc vào học giờ Toán Đặc biệt môn hình học các em bắt đầu làm quen từ bậc trung học cơ

sở các em lại càng cảm thấy khó khăn khi phải làm bài tập chứng minh hình học, không biết bắt đầu bài chứng minh từ đâu, thậm trí gây hoang mang cho các em Là giáo viên dạy môn toán đã nhiều năm, đã tiếp xúc với nhiều thế hệ học trò, qua thực tế giảng dạy, qua chấm bài của học sinh và trao đổi với đồng nghiệp tôi đã đúc kết ra kinh nghiệm, muốn gây đợc sự hứng thú cho học sinh khi học bộ môn Toán nói chung và làm bài tập hình chứng minh nói riêng Ngời giáo viên dạy bộ môn Toán khi truyền thụ kiến thức cho các em phải để tự các em khám phá kiến thức trên cơ sở đ ợc sự dẫn dắt của giáo viên để các em hiểu ngay đợc kiến thức cần truyền thụ tại lớp Ngoài ra để nhớ kiến thức đợc lâu biết vận dụng kiến thức đã học vào giải quyết các bài tập ứng dụng thì ngời giáo viên phải biết trang bị cho trò của mình phơng pháp học bộ môn Toán nh thế nào để kiến thức Thầy trang bị

đến đâu các em chiếm lĩnh đến đó, biết tích luỹ vào kho kiến thức của mình

từ đó khi làm các bài tập biết lấy ra kiến thức cần sử dụng để giải quyết các yêu cầu của bài toán cho phù hợp và có hiệu quả nhất Có nh vậy mới gây

đ-ợc sự hứng thú cho các em mỗi khi học môn Toán cũng nh các bộ môn khác, gây cho các em sự phấn khởi khi bớc tới trờng và phát triển trí tuệ cho các

em Sau đây tôi trình bày cách dạy cho học sinh giải quyết các bài tập hình học chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

II- Giải quyết vấn đề : Khi học hình học nếu chúng ta chỉ học thuộc lòng các tiên đề, các

định nghĩa, các định lý mà Thầy cung cấp cho mà không biết vận dụng các tiên đề, các định nghĩa, các định lý vào giải quyết các bài tập thì việc học của chúng ta chỉ là học vẹt không mang lại hiệu quả gì thậm trí gây hoang mang cho bản thân Muốn vận dụng đợc các tiên đề, định nghĩa, định lý vào trong quá trình giải các bài tập chứng minh ta cần phải nghiên cứu các ph

-ơng pháp chứng minh ở đây ta phân loại các ph-ơng pháp chứng minh theo kết luận của định lý chứ không theo cách thức chứng minh ( trực tiếp, gián tiếp) Ta dựa vào tính chất của kết luận mà phân loại bài tập, nh loại bài tập chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai đờng thảng song song v.v., Chúng ta sẽ nghiên cứu phơng pháp chứng minh cho từng loại và những định lý cần dùng đến đem qui nạp và chỉnh lý, sau này khi làm bài tập, gặp phải những bài tập cùng loại ta có thể từ những ph ơng pháp

và những định lý đã nghiên cứu cho thấy những phơng pháp và định lý thích hợp để ứng dụng Cho nên việc nghiên cứu các ph ơng pháp chứng minh là một cơ hội tốt để chúng ta luyện tập và vận dụng các định lý đã học vào giải

quyết các bài tập khắc sâu trí nhớ cho học sinh, nó giúp ích nhiều cho việc học tập bộ môn hình học

- Bài tập về chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau có nhiều, tr ớc tiên ta nghiên cứu phơng pháp chứng minh loại bài tập này Những định lý có thể dùng để chứng minh loại bài tập này có nhiều chúng ta đã đợc học trong sách giáo khoa chúng ta không thể nhắc lại hết đợc, các định lý tuy nhiều song thờng dùng nhiều nhất trong chứng minh vẫn không ngoài các định lý cơ bản sau:

1) Lợi dụng trờng hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau, ta ghép hai đoạn thẳng đó vào 2 tam giác bằng nhau.

của ABC làm cạnh dựng các hình vuông ABCF, ACGH ra phía ngoài tam giác Dựng

AD BC, kéo dài DA gặp FH tại M

-Suy xét: Trong bài ra có nhiều góc vuông, các cạnh của hình vuộng lại bằng nhau Vì 2 = 3 ( do đều phụ với 1) Những đại lợng bằng nhau đó ta phải lợi

HML là đợc

Chứng minh:

HL  DM

Từ 2 + 1 = 900

3+1 = 900

Có 2 = 3

Có FKA = ADB

FA = KS

=> FK =AD

Tơng tự HL = AD

=> HK = HL

Ta có FKM = HLM

4 = 3

Từ một điểm ở ngoài đoạn thẳng dựng đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng đó)

Vì hai góc nhọn của tam giác vuông Cùng phụ với góc 1

Hai cạnh của hình vuông Trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau Theo cách chứng minh trên

Cùng bằng AD

Góc đối đỉnh Trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông

5 4

1 2

H

G

C D

B E F

L

M

3

2- Dùng đoạn thẳng thứ 3 làm trung gian.(Để chứng minh 2 đoạn thẳng

bằng nhau ta dùng đoạn thẳng thứ ba làm trung gian)

VD2 : Nếu một tứ giác nội tiếp trong đờng tròn có hai đờng chéo vuông góc với nhau thì đờng thẳng đi qua giao điểm của đờng chéo và vuông góc với một cạnh của tứ giác sẽ chia đôi cạnh đối diện với cạnh đó

Suy xét: Tam giác ABC là tam giác vuông ta phải chứng minh AG = GB nghĩa là G là điểm giữa của cạnh huyền Ta phải biết rằng điểm giữa của cạnh huyền cách đều ba đỉnh của tam giác vuông Nên lấy GE làm trung gian Muốn chứng minh GE = AG cần phải : 4 = 5, từ đó 4= 1, 5 =2 và 1,2 đều phụ với 3 ta suy ra 1 = 2 nên 4

= 5 có thể chứng minh đợc:

1 + 3 = 900

2+ 3 = 900

Nên 1 = 2

Nhng 1 = 4, 2 = 3

 4= 5

 AG = GE

Tơng tự GB = GE

AB = GB

Hai góc nhọn tam giác vuông

Cùng phụ với 3

2 góc đối đỉnh, nội tiếp cùng chắn một cung

- Bắc cầu Hai cạnh của tam giác chắn 2 góc bằng nhau

Theo cách chứng minh trên

3-Lợi dụng tam giác cân (Để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau)

Ta ghép 2 đoạn thẳng đó vào 2 cạnh của một tam giác và chứng minh cho tam giác chứa hai đoạn thẳng đó là tam giác cân

A kẻ 1 cát tuyến bất kỳ cắt đờng tròn tại B và C, tiếp tuyến của đờng tròn tại

B và C cắt xy ở D và E Chứng minh: AD = AE

ở ngoài đờng tròn OA và

xy

BD, CE là tiếp tuyến tại

B, C

tiếp trong đờng tròn (0)

AC BD Qua E dựng

A

D

C

G B

B

B G

E

F

2 1 3

4 5

A

O

E

B D

C

Suy xét : Ta có OA  DE, nếu OD = OE thì DA = AE Muốn chứng minh

OB = OE ta có thể lợi dụng góc vuông giữa tiếp tuyến và bán kính OBD = OCE, bán kính OB = OC và dùng trờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông Nhng giữa OBD và OCE ngoài hai cặp đại lợng bằng nhau ở trên còn

có cặp đại lợng thứ 3 nào bằng nhau nữa không? Đó chính là mấu chốt của bài này Đây cũng là điều khó nhất Sau khi nghiên cứu ta thấy tứ giác ODAB và tứ giác ODEA nội tiếp đợc nên suy ra đợc ODB = OAB = OFC

Nối CD, OE,OB,OC

Tứ giác ODAB nội tiếp

=> ODB = OAB = OEC

Ta có : OB = OC

=> OD = OE

OA = AE

Cho hai điểm kẻ đợc một đờng thẳng

- Hai góc vuông ( Tính chất tiếp tuyến) Hai góc vuông

Bài toán quĩ tích

Góc nội tiếp cùng chắn một cung

- Bán kính

- Trờng hợp bằng nhau (GCG) Hai cạnh tơng ứng của 2 tam giác bằng nhau

Tính chất đờng cao của tam giác cân

4- Lợi dụng Hình bình hành ( để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau) ta có thể ghép hai đoạn thẳng đó vào hai cạnh đối diện của hình bình

hành hoặc 2 đoạn tạo nên đờng chéo hình bình hành để kết luận chúng bằng nhau

điểm E sao cho BD = CE, nối A với E cắt BC tại F Chứng minh rằng BF = FE

BD = CE

DE cắt BC tại F

S`uy xét: Dựng DG // AE, nếu chứng minh đợc tứ giác DGEC là hình bình hành thì DE và BC nhất định cắt nhau tại F là trung điểm của DE Muốn chứng minh cho DGEC là hình bình hành chỉ cần có DG = CE là đủ Vì

DG //CE mà giả thiết cho DB = CE trớc tiên phải chứng minh DGB = B Ta

đã biết DGB = ACB, Chứng minh đợc B = ACB, nên B = DGB có thể thành lập đợc

song vớiđờng thẳng đã cho

C A

B

D

F

E

- DBB = B

Mà CE = DB

DG = CE

Vì DG //CE

=>Tứ giác DGEC là hình bình

hành

 Vậy DF = FE

-Tính chất bắc cầu

-2 cạnh đối diện của 2 góc bằng nhau trong tam giác

-Theo giả thiết

Theo cách dựng

Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau

Tính chất đờng chéo hình bình hành

5- Lợi dụng đờng thẳng đi qua điểm giữa của 1 cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thi đi qua điểm giữa cạnh thứ ba ( Định lí

đ-ờng trung bình của tam giác )

VD: Cho tam giác ABC có AB = AC , trên AB lấy D trên AC lấy E sao cho

BD = CE Nối AE cắt BC tại F Chứng minh DF = FE

DE cắt BC tại F

Dựng DG //BC

Ta có : A = 2 = 3 = 4

Nên AG = AD

mà AC = AB

nên GC = DB

Mà CE = DB

Suy ra GC = CE

DF = FE

Dựa vào phép dựng hình Tính chất tam giác cân và góc đồng vị của hai đờng thẳng song song

- Tính chất 2 cạnh đối diện của với hai góc bằng nhau của một tam giác

- Hiện hai cặp đoạn thẳng bằng nhau

- Tính chất trong tam giác đờng thẳng đi qua

điểm giữa một cạnh song song với cạnh thứ hai thì đi qua điểm giữa cạnh thứ ba

6) Lợi dụng đoạn thẳng bằng nhau cho trớc rồi biến đổi :

Ta dựa vào tính chất 1(gấp hai đoạn thẳng bằng nhau lên cùng một số lần, hoặc cùng chia hai đoạn thẳng bằng nhau ra cùng một số lần thì đ ợc các

đoạn thẳng mới bằng nhau.( hoặc tổng hay hiệu hai cặp đoạn thẳng bằng nhau tơng đối một bằng nhau) từng đôi một thì bằng nhau

Biến đổi các đoạn thẳng bằng nhau cho trớc ta sẽ chứng minh đợc định lí

7) Lợi dụng đại lợng bằng nhau trong đờng tròn.

C

A

B

F

E

G

D 1

2

3 4

- Từ định lí “ Khoảng cách từ tâm đến hai dây cung bằng nhau thì bằng nhau” “ Hai dây cung bằng nhau, tạo góc ở tâm bằng nhau, hay hai góc nội tiếp bằng nhau thì hai dây cung tơng ứng bằng nhau vv ”

Cuối cùng xin đa ra một số bài tập quan trọng để các em học sinh vận dụng các phơng pháp chứng minh trên vào giải quyết bài tập.

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, E và F là trung điểm của BC và AD.

Chứng minh rằng AF và DE chia AC thành ba phần bằng nhau

Bài 2: Đờng kính AB của một đờng tròn tâm O và dây cung AC hợp thành

Bài 3: Trên một đờng tròn tâm O lấy một điểm B, dựng tiếp tuyến BC, dựng

Bài 4: Cho ABC vuông Lấy một cạnh tam giác vuông làm đ ờng kính dựng đờng tròn cắt cạnh huyền tại 1 điểm Chứng minh rằng tiếp tuyến tại

điểm đó chia đôi cạnh góc vuông kia

Bài 5: Cho ABC , dựng ASD, ACE ra phía ngoài tam giác ABC Lấy

Bài 6: Cho ABC đờng cao BD và CE, gọi F là trung điểm BC, từ F dựng

Bài 7: Cho ABC, đờng cao AD và BE cắt nhau tại H Đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp là AF Chứng minh rằng nếu HF cắt BC tại G thì HG = GF

II- Kết luận Trên đây là một số phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Là ngời giáo viên đã dạy toán nhiều năm và qua sự trao đổi với đồng nghiệp

để các em học sinh say mê với môn học Toán và có hiệu quả cao thì ng ời giáo viên dạy học lĩnh hội kiến thức trên cơ sở học sinh khám phá xây dựng

đồng thời phải làm cho học sinh hiểu biết, vận dụng thành thạo Có nh vậy kiến thức của thầy truyền thụ mới đọng lại trong học sinh nếu không “ Chữ thầy lại trả thầy” có nh vậy thì chất lợng giờ dạy toán mới cao và mới phát triển trí tuệ cho các em, giúp cho các em niềm đam mê khi học toán

Trên đây là một phần nhỏ kinh nghiệm dạy Toán nói chung và dạy bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau nói riêng của bản thân đã qua thực tiễn nhiều năm và đã đạt hiệu quả cao Rất mong đ ợc sự tham gia góp ý của đồng nghiệp để sáng kiến có chất lợng, hiệu quả cao./

Cộng Hiền, ngày 2 tháng 1 năm 2009

Ngời viết

Ng« C«ng V¨n

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 SGK Toán 7,8,9

2 SGV Toán 7, 8, 9

3 STK Toán 8

Mục lục:

Đặt vấn đề: Trang 1 Giải quyết vấn đề Trang 1

Kết luận Trang 8

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

BẢN CAM KẾT

I TÁC GIẢ:

Họ và tên : Ng« C«ng V¨n

Ngày, tháng, năm sinh: 1960

Đơn vị : Trêng THCS Céng HiÒn

Điện thoại: .Di động

E-mail:

II SẢN PHẨM:

Tªn s¶n phÈm: S¸ng kiÕn kinh nghiÖm :

c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau

III CAM KẾT

Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là sản phẩm của cá nhân tôi Nếu có xảy ra tranh chấp về quyền sở hữu đối với một phần hay toàn bộ sản phẩm sáng kiến kinh nghiệm, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD&ĐT về tính trung thực của bản Cam kết này

Céng HiÒn, ngày 08 tháng 2 năm 2009

Người cam kết

(Ký, ghi rõ họ tên)