CMR: đường thẳng nối hai đường chéo và 2 cạnh bên thì bằng nhau.. Gọi M là 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng đó qua các trung điểm của AB và AC.. Gọi I, H là giao điểm của BC và đường thẳng
Trang 1Bài 1: Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy không bằng nhau CMR: đường
thẳng nối hai đường chéo và 2 cạnh bên thì bằng nhau.
+ AB // CD: = =
= (1)
+Mặt khác : = =
= (2)
Từ (1)(2) =
DN= NC
DN = NC
MA = MB
đpcm
M
O P
D
C
N
Bài 2: Các đường cao của tam giác nhọn ABC cắt nhau ở O Trên đoạn OB và OC lấy B, C sao cho = = 90 CMR AB = AC (bài 31)
vuông ABC có: AB = AC.AN
(1)
vuông ACB có: AC = AM.AB
Xét ANB và AMC có:
chung
= = 90
AMB ∽ AMC (g.g)
=
AN AC = AM.AB (2)
Từ (1) và (2) AB = AC
AB = AC
đpcm
O
M
N A
B
C
Bài 3: Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ox và Oy của góc tại A và B Từ A
vẽ tia //OB cắt đường tròn tại C, đoạn OC cắt đường tròn tại E Hai đường thẳng
AE và OB cắt nhau tại K CMR: OK = KB
Ta có AC// OB
= (so le trong)
= = (góc nt)
=
Xét KAO và KOE có
K chung
=
KAO ∽ KOE (g.g)
1 1
2 1
E
C
O
A
K
B
= KO = KA.KE (1)
Mà P k / = KB = KA.KE (2)
Trang 2Từ (1), (2) KO = KB KO = KB (đpcm)
Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB, tiếp tuyến Ax Từ M trên Ax kẻ tiếp
tuyến thứ 2 MC tới đường tròn, kẻ CH AB CMR: MB chia CH thành 2 phần bằng nhau.
Ta có : = 90 (góc nt chắn )
= 90
= + = 90
+ = 90
Mà MC = MA (tính chất tiếp tuyến)
CMN cân vì C = N(cùng cộng với
C= 90 )
MN = MC MN = MA
IC // MN : =
IM //AM : =
=
CI = IH
đpcm
1
2
1
I
N
A B
M
C
Bài 5: Cho hình vuông ABCD, đường tròn đường kính AB và đường tròn tâm D
bán kính AD cắt nhau tại điểm M (≠ D) CMR : đường thẳng MA đi qua trung điểm của cạnh BC.
Ta có :
OD MA (vì (O) (D) = )
Xét AOD và BNA có :
= = 90 (gt)
AD = AB (gt)
= (do + = 90 )
AOD = BNA (g.c.g)
AO = BN = OB (AB = BC)
BN = NC
đpcm
1
1
D
A
C I
Bài 6 : Từ 1 điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường
tròn (B và C là các tiếp điểm) Gọi M là 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng đó qua các trung điểm của AB và AC Kể tiếp tuyến MK của đường tròn (O) CMR MK = MA.
Trang 3Gọi I, H là giao điểm của BC và
đường thẳng đi qua trung điểm của
AB và AC với đường thẳng OA
+ vuông OBA có :
OB = OI.OA
= (OH - HA)(OH + HA)
= CH - HA
HA = CH - OB = CH - R
+ vuông AHM có :
MA = HA + MH
= OH - R + MH (1)
+ vuông OHM có :
OH + HM = OM (2)
Từ (1)(2) MA = OM - R (*)
+ vuông OKM có :
MK = OM - OK = OM - R (**)
Từ (*)(**) MA = MK
MA = MK
đpcm
O
K
A
M
B
C
Bài 7: Cho AB là đường kính của một đường tròn và dây CD không vuông góc với
nó Nếu từ hai đầu của đường kính ta hạ các đường vuông góc AE và BF xuống dây CD thì các đoạn thẳng CF và DE sẽ bằng nhau Hãy CM điều đó.
- Kẻ AE cắt (O) H.Khi
đó = 90 (góc nt)
- MEFB là hcn vì:
= = = 90
- Ta có:
= (cùng nhìn cung )
F D
C
M
A
B E
= ( cùng nhìn cung )
Mà + = 90
Mặt khác + = 90
= 90 - (1)
Ta lại có + = 90
Từ (*) + = 90
= = (*)
Trang 4 = 90 - (2)
Từ (1)(2) =
Xét CEM và DFN có :
= = 90
ME = DF
= (cmt)
CEM = DFB (g.c.g) CE = DF CF = DE (đpcm)
Bài 8: Cho 2 đường tròn (C) và (O’) cắt nhau ở A và B Qua A kẻ 2 đường thẳng
CD và EF cắt (O) tại C và E, cắt (O’) tại D và F Biết rằng = CM CD = EF.
A
B
D F
C
E
ABDF nội tiếp = (cùng nhìn ) ; = =
= + = + = (góc ngoài tam giác ) = (gt)
Mà = = BFD cân tại B BF = BD
Xét BEF và BCD có:
= (cùng nhìn )
BF = BD (cmt)
EBF = CBD (vì =+ = + =+ = + = )
BEF = BCD
CD = EF đpcm
Bài 9 : Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau ở C Vẽ đường tròn
(O) đi qua C tiếp xúc với đường thẳng AB ở B và cắt (O) ở M CMR: đường thẳng
AM chia đoạn BC thành 2 phần bằng nhau.
1
1
1 I
B
M
O1
O1
A
C
Ta có : CA là tiếp tuyến của (O) tại A
= = (1)
AB là tiếp tuyến của (O 2) tại B
= = (2)
Trang 5Từ (1)(2) CIM và AIC có : =
chung
CIM ∽ AIC (g.g)
= IC = IA.IM (*)
Mà P I/ = IB = IM.IA (**)
Từ (*)(**) IC = IB IB = IC đpcm
Bài 10: Một đường tròn tiếp xúc với 2 cạnh và 2 đường trung tuyến của 1 tam
giác CMR tam giác đó cân.
Giả sử (O,R) tiếp xúc với 2 cạnh AB, AC của
ABC và trung tuyến CM và BN
Gọi I là giao của 2 trung tuyến
Xét 2 tam giác AMI và ANI có:
A = A (t/c giao của 2 tiếp tuyến)
I = I (t/c giao của 2 tiếp tuyến)
cạnh AI chung
AMI = ANI (g.c.g)
AM = AN
Mà M, N là trung điểm của AB và AC
AB = AC
Vậy ABC cân tại A đpcm
1 2
2 1
I
N M
A
Bài 12: Cho ABC, đường trung tuyến AM Qua F nằm giữ B và M, vẽ đường thẳng song song với AB Cắt AM, AC thứ tự ở D, E Qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB ở K CMR: DE = BK.
Ta có : BM = MC(gt)
Từ M kẻ MN //AC
AN = NB (*)
Mà KF//AC MN //KF
Từ D kẻ ID//MN
ID//AE (**)
Vì KF//MN
= (1) (ĐL ta - lét)
Vì ID//MN
K N
I
D E
A
F
Vì DF//AB = (3) ; Từ (1)(2)(3) = BK = AI (4)
Ta lại có : ID//AE; mà IA//DE AIDE là hbh AI = DE (5)
Từ (4)(5) BK = DE đpcm
Bài 18 : Một đường thẳng cắt các cạnh song song của một hình vuông có độ dại
a ; 1 đường thẳng thứ 2 với đường thẳng thứ nhất cắt cả 2 cạnh kia của hình vuông CMR các đoạn của các đường thẳng đó, giới hạn bởi các giao điểm với các cạnh của hình vuông bằng nhau.
Trang 6
Gọi : đường thẳng thứ 1 là d
d AB M ; d DC N
đường thẳng thứ 2 là d
d AD P ; d BC Q
Từ M kẻ MM’ DC
Từ P kẻ PP’ BC
Xét MNM’ và PQP’ có:
MM’ = PP’ = a
= (góc có cạnh tương ứng vuông
góc MN PQ(gt):
NM’ QP’)
d1
d2 Q
B A
M
M'
MNM’ = PQP’ (cạnh huyền - góc nhọn)
MN = PQ (đpcm)
Bài 13 : Cho tam giác ABC, trực tâm O Trên OB lấy B’, trên OC lấy C’ sao cho
= = 90 CMR AB’ = AC’,
Theo hệ thức lượng trong vuông
vuông AB’C có : AB’ = AN.AC (1)
vuông AC’B có : AC’ = AM.AB (2)
Xét ANB và AMC có :
chung
= = 90
ANB ∽ AMC (g.g)
= AN.AC = AM.AB (3)
O N
M
A
C'
B'
Từ (1)(2)(3) AB’ =AC’ AB’ = AC’
Bài 15 :
G
T
Q là giao của phân giác góc B
và phân giác góc C.
a // BC.
a AC M
a AB N
Q a
N
A
K
L
MN = MC + NB
CM :
BQ là phân giác =
a//BC = (sole)
QN = NB (1)
CQ là phân giác =
a//BC = (sole)
MC = MQ (2)
Từ (1)(2) MC + NB = MQ + NQ = MN đpcm
Bài 16:
H.v ABDE, ACHK ở
QNB cân ở N
QMC cân ở M
Trang 7phía ngoài ABC.
= 90.
HM BC, DN BC
A
C
E
B H
K
M
D
N
KL BC = HM +DN
Cm:
- Kẻ đường cao AP
- Xét HMC và CPA ta có:
+ = 90
+ = 90
HC = AC (gt) (2)
Từ (1)(2) HMC = CPA (cạnh huyền góc nhọn)
MH = CP (*)
Tương tự ta có APB = BND (cạnh huyền góc nhọn)
PB = DN (**)
Từ (*)(**) BC = CP + PB = MH + DN
đpcm
Bài 19 : Trên các cạnh AB và CB của ABC và vẽ bên ngoài hai hình vuông ABDE và BCKF CMR DF = 2BP.
Kéo dài BP sao cho BP = PQ
AP = PC ABQC là h.b.h
AQ = BC
Ta có + = 180 (t/c h.b.h)
+ = 360 - ( + )
= 360 - ( 90 + 90)
= 180
=
Xét ABQ và BDF có :
D
A
B
C
Q E
AB = DB (gt)
AQ = BF = BC
= (cmt)
= (1)
Trang 8Vậy ABQ = BDF (c.g.c) DF = BQ hay DF = 2BP (đpcm)
Bài 33 : Cho 1 tứ giác nội tiếp 1 đường tròn có hai đường chéo vuông góc CMR đường thẳng vuông góc với một cạnh và đi qua giao điểm của hai đường chéo thì
đi qua trung điểm cạnh đối diện.
+ = 90
+ = 90
= (1)
ABCD nội tiếp : =
Từ (1)(2) suy ra : =
= (đđ)
N I A
C
D
B
Vậy = .Hay DIN cân tại N : ND = NC (1)
CMtt : INC cân tại N : NI = NC (2)
Từ (1)(2) NC = ND đpcm
Bài 23 : Cho ABC có góc = 20 ( , đều nhọn) kẻ đường cao AH Kéo dài AB
về hai phía B và trên đó lấy điểm E ; BE = BH Đường thẳng HE cắt AC tại D CMR :
a DA = DC = DH
b AE = HC
a Vì BH = BE (gt)
BHE cân =
Vì + = (t/c góc ngoài )
=2 =2 mà = 2 (gt)
Mặt khác :
= (đđ) =
HDC cân tại D
2
1 1
1 1
A
E
H
D
F
Trong vuông AHC có : = 90 -
Vì AH AC = 90 - mà =
= AHD cân ở D AD = HD (2)
Từ (1)(2) HD = DC = AD (đpcm)
c Lấy F HC sao cho : BH = HF
Trong ABF có : AH BF (gt)
BH = HF (cách dựng)
BAF vuông cân ở A AB = AF và =
Ta có : + = =
= (gt)
= AF = FC AB = FC
Trang 9Lại có AE = AB + BE = AB + BH = FC + HF = HC đpcm.
Bài 24 : Ở nửa ngoài của ABC vẽ các hình vuông ABDE và ACFG Gọi H, K,
L là các trung điểm của BE, BC, CF CMR :
b Có nhận xét gì về điểm thứ tư của hình vuông có 3 điểm là H, K, L.
a Thực hiện phép quay tâm A với góc
quay 90 ta có :
Q : C G
E B
Q : CE GB
CE = GB
K
H
F
G
E
D
A
P
Ta có : HK // CE , HK = CE; KL // BG, KL = BG
Mà CE = GB HK = KL , HK KL
Vậy HKL vuông cân
b Giả sử P là đỉnh thứ 4 của hình vuông có 3 đỉnh là H, K, L
HKLP là hình vuông HD = HK = KL ; HP // KL (1)
Mà KL//BG, KL = BG (2)
Từ (1)(2) HP // BG ; HP = BG
Mà HE = HB (gt)
AP là đường trung bình của EBG PE = PG
Vậy P là trung điểm của EG
Bài 25 : Cho ABC, M là trung điểm của BC Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho
BD = 2 AD Các đoạn thẳng AM và CD cắt nhau tại điểm I CMR :
a I là trung điểm của đoạn thẳng AM.
b CI = 3DI
a Áp dụng định lý Melelaus cho
AMB:
= 1
= 1
IM = IA (đpcm)
b Áp dụng định lý Menelaus cho ACDB: I
M
A
B
C D
= 1
= 1
3ID = IC (đpcm)
Bài 21: Cho 2 điểm P và Q ở trên cạnh bên của một tam giác cân Qua trung điểm
I của PQ ta kẻ 1 đường thẳng song song với đáy tam giác và cắt 2 cạnh bên tại M,
CM: MN = P’Q’
Gọi H, K lần lượt là giao điểm của PP’, QQ’,
MN
Do MN // BC (gt)
HKP’Q’ là hình chữ nhật
Trang 10 HK = P’Q’ (1)
= = 90
Xét vuông PHI và vuông QKI có:
IP = IQ (gt)
= (đđ)
PHI = QKI (cạnh huyền - góc nhọn)
K
Q' P'
A
P
Q
PH = QK
Ta có : = (so le trong)
= (đồng vị)
= ( ABC cân tại A)
= =
Xét HPM và NQK có : = = 90
HP = QK (cmt)
=
HPM = NQK (g.c.g) HM = NK
Ta có : HK = HM + MK
MN = KN + MK
HK = MN (2)
Từ (1)(2) MN = P’Q’ đpcm
Bài 22 : Cho ABC (AB < AC) đường phân giác trong của góc và đường trung trực của cạnh BC cắt nhau tại điểm D Kẻ DE AB, DF AC Đường phân giác ngoài của góc cắt đường trung trực của cạnh BC tại D’ Kẻ D’E’ AB, D’F’ AC CMR : AC = EE’, AB = FF’
Bài 28 : Trên các cạnh của tam giác bất lỳ ABC và ở miền ngoài của tam giác vẽ
các tam giác đều ABC; ABC và ABC CMR:
a AA= BB = CC
b Các đường cao AA,BB, CC đồng quy tại O.
OA= OB + OC.
a Thực hiện phép quay tâm A và B với góc quay 60
ta có :
Q : C B
C B
Q : CC BB
CC = BB (1)
(CC , BB) = 60
Q : A C
A C
Q: AA CC
AA = CC (2)
Từ (1)(2) AA= BB = CC đpcm
5 4 3 2
1 O A
B1
C1
A1
b Giả sử BB CC mà (BB ,CC) = 60 =
Ta có : - = 60 và chắn AOBC nội tiếp
= = 60 (chắn ) (3)
Trang 11Ta có = + = + 60.
= + = 60 +
= và chắn OBAC nội tiếp
= = 60 (4)
Từ (3)(4) = = 60 và đối đỉnh
A, O, A thẳng hàng
Các đường cao AA,BB, CC đồng quy tại O
c Lấy C OC sao cho OC = OA mà = 60
OAC đều = 60
Q : C O
C B
Q : CC OB CC = OB
OA = OC = OC + CC = OC + OB đpcm
Bài 32: Cho 2 đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A, B Qua A vẽ 2 cát tuyến CAD
Từ B kẻ BH EF;
BK CD
= (gt)
+ = +
=
K H
B
A C
E
F
D
+ vuông AHB và vuông AKB có:
=
AB chung HAB = KAB (g.c.g)
= HB = KB
+ vuông EBH và vuông CBK có :
= (vì +=+ =90, = = )
BH = BK (cmt)
= = 90
HBE = KBC (g.c.g)
EH = CK (*)
Tương tự : KBD = HBF KD = HF (**)
Mà EF = EH + HF
CD = CK + KD
EF = CD (đpcm)
Bài 34
=
Trang 12GT ABCD ngoại tiếp (O)
J, K, H, I lần lượt là tiếp
điểm của cạnh AB, BC,
CD, DA với (O).
JH = KI
j O
A
B
D
C
J
I
K
H
+ = + (chắn hai cung bằng nhau)
Mà = (cùng chắn )
=
Xét IJH và IJK có : JI chung
IJH = JIK (cmt)
JH = JK
IJH = IJK (c.g.c) IH = JK hay =
= ( + + - ) = ( + )
= ( + - ) = ( + )
Vậy = đpcm
Bài 38: Trên cạnh AB của hình vuông ABCD lấy 1 điểm E tùy ý Đường phân
giác của góc cắt cạnh BC tại điểm K CMR AE + CK = DE.
M
N
C
B A
D
E
Trên DE lấy điểm M sao cho AE =EM ( EAM cân)
Và AM DK N
Ta có + 2 = 180
Mà = (so le trong)
+ 2 = 180 2 + 2 = 180 + = 90
Hay + = 90 hay = 90 AN = DK
Xét AND và DCK có = = 90
= (so le trong)
AND ∽ DCK
= (1)
Tương tự DMN ∽ DKC (vì = = 90 ) (vì D = D )
= (2) mà = (3)
Từ (1)(2)(3) DM = CK hay DE = AE + CK đpcm
Bài 37 : Trên đường thẳng AB lấy 1 điểm C và qua điểm đó kẻ đường thẳng CD
tạovới AB một góc tùy ý Trên các đường phân giác của góc và lấy các điểm M
và N CMR MN//AB thì CD chia đoạn MN thành hai phần bằng nhau.
Trang 13
4
3 2
1 1
1 C
M
D
() MN //AB OM = ON
+ MN//AB = (sole trong)
= (CM là phân giác góc ACD)
OMC cân tại O hay OM = ON (1)
+ MN // AB = (sole trong)
= (CN là phân giác )
= hay OCN cân ON = OC (2)
Từ (1)(2) OC = ON (*)
() OM = ON MN//AB
Xét MCN có = 90
OM = ON CO là đường trung tuyến
CO = MN = MO = NC (trong đường trung tuyến = cạnh huyền.)
Xét MOC có MO = CO MOC cân tại O
=
Mà = = (2 góc ở vị trí so le)
MO // AB (3)
Xét NOC có NO = CO NOC cân tại O
= = ( , ở vị trí so le trong )
ON // AB (4)
Từ (3)(4) MN // AB (**)
Từ (*)(**) MN//AB thì MO = ON (đpcm)
Bài 43: Vẽ ra ngoài tam giác ABC (góc , < 90 O ) các tam giác vuông cân
ADB, ACE ( góc = = 90 ) Gọi I và K là chân các đường vuông góc kẻ từ D và
E đến BC CMR : BI = CK.
2
1
D
E
I
K H
Từ A kẻ AH BC
Ta có + = 90 ; + = 90
=
Xét vuông AHC và vuông CKE có:
AC = CE (gt)
= (cmt)
Trang 14 AHC = CKE (cạnh huyền - góc nhọn)
AH = CK (1)
Ta lại có + = 90 ; + = 90
=
Xét vuông IDB và vuông HBA có :
DB = BA (gt)
= (cmt)
IDB = HBA (cạnh huyền - góc nhọn)
IB = AH (2)
Từ (1)(2) có IB = CK đpcm
Bài 44: Cho ABC từ trung điểm D của BC kẻ 1 đường vuồn góc với phần giác góc , đường phân giác đó cắt cạnh AM tại M và cạnh AC tại N CMR BM =CN
M
N
H
I
D
A
C B
Xét AHN có AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác
AMN cân
Từ B kẻ BI//MN BM = IN (1)
+) Xét BCI có DN //BI ; BD = DC
DN là đường trung bình
IN = NC (2)
Từ (1)(2) BM = NC đpcm
Bài 45: Cho ABC đều và một điểm D trên đoạn BC đường thẳng đi qua D và song song với AC cắt cạnh AB tại E Đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại F Gọi P là trung điểm của BF, Q là trung điểm của CE CMR PQD là tam giác đều.
Q
P E
F A
B
C D
Vì ED //DC EBD đều Tương tự ta có DFC đều
Q E B
C F
Q EC BF