Tõ ®ã dÇn dÇn häc sinh lÜnh héi kiÕn thøc mét c¸ch cã hÖ thèng vµ vËn dông hîp lý trong c¸c d¹ng bµi tËp.. NÕu lµm ®îc nh vËy.[r]
(1)Phần I : mở đầu ********** I - Lý chọn đề tài:
Toán học tảng mơn khoa học tự nhiên Nó chiếm vai trò quan trọng tr ờng học lĩnh vực khoa học Đất nớc ta bớc vào kỷ nguyên khoa học thơng tin địi hỏi phải đầu t suy nghĩ để tìm giải pháp tốt giúp tài tơng lai đất nớc mang lại ánh sáng trí tuệ để xây dựng đất n ớc phồn vinh theo kịp tốc độ phát triển nh vũ bảo cuả thời đại
Toán học mơn khoa học có từ lâu đời, nghiên cứu nhiều thể loại, đa dạng phong phú Trong Hình học phận quan trọng tốn học
Hình học phân mơn tơng đối khó phần lớn học sinh Thực tế cho thấy: Đứng trớc toán chứng minh quan hệ hình học, nhiều học sinh khơng giải vấn đề nh Theo nh lời nhiều học sinh: Hình học thật "Xơng"
Trong năm đầu vào nghề, cha có kinh nghiệm nên cố gắng dạy đúng, đủ sách giáo khoa mà cha biết thông qua tập khác Nhng rồi, phần cố gắng thân, phần học hỏi đồng nghiệp nên tơi có kinh nghiệm hơn, mạnh dạn hệ thống số cách chứng minh quan hệ hình học (Trong phần) để giúp học sinh thuận lợi việc giải tốn chứng minh hình học
Sau trình bày Một số phơng pháp chứng minh đoạn thẳng
Vic chứng minh đoạn thẳng vô cần thiết Bởi chứng minh đoạn thẳng không đơn để đoạn thẳng mà có đợc đoạn thẳng giúp ta suy nhiều quan hệ khác Ví dụ cân, đều, hình thoi, hình vng ngợc lại chứng minh đoạn thẳng có quan hệ chặt chẽ với quan hệ hình học khác Nghĩa thơng qua
1 tập chứng minh đoạn thẳng ngời giáo viên giúp học sinh hiểu sau, nhớ lâu, nắm kiến thức học Đó lý khiến chọn đề tài
II - Phạm vi nghiên cứu:
1 i tợng: Học sinh đại trà khối 7- - 9. 2 Giới hạn kiến thức: Chơng trình hình học THCS. Tài liệu sử dụng tham khảo:
1 SGK - SBT, sách ôn tập
2 Hỡnh hc cho tuổi trẻ (Tập 1,2, 3,4) Một số vấn đề phát triển hình học khối
- Tốn nâng cao chuyên đề hình học khối - Tốn bồi dỡng hình học khối
4 Tuyển chọn toán hay khó hình học (Các khối) 235 Bài toán hình học chọn lọc
6 Báo toán học tuổi trẻ số
PhÇn II: Néi dung ******* A Mét sè ph ơng pháp chứng minh đoạn thẳng nhau
1 Hai đoạn thẳng có số đo:
- Hai đoạn thẳng đoạn thứ
- Hai đoạn thẳng tổng (hiệu) đoạn thẳng đôi 2 Hai cạnh tơng ng ca bng nhau.
3 Các cạnh bªn cđa:
- Tam giác cân ( Cạnh đều) - Hình thang cân
- Hai cạnh đối của: hình bình hành, chữ nhật, thoi, vng - Hai đờng chéo hình thang cân, hình chữ nhật, hình vng 4 Sử dụng định nghĩa, tính cht ca:
- Trung điểm, trung trực đoạn thẳng
(2)- Đờng chéo hình bình hành, hình chữ nhật, thoi, vng - điểm, đoạn thẳng đối xứng qua điểm, trục 5 Dùng phơng pháp diện tích:
- Cặp cạnh đáy tam giác (2 hình bình hành) có diện tích cạnh đáy tơng ứng - Cặp đờng cao tam giác (2 hình bình hành) có diện tích cạnh đáy tơng ứng 6 Dùng định lý Talét - Phơng pháp tam giác đồng dạng.
7 Dùng tính chất đờng kính vng góc với dây.
8.Dùng định lý:
- Dây cung khoảng cách đến tâm - dây cách tâm đờng tròn - Liên hệ cung dây cùng:
+ Hai dây trơng cung đờng trịn + Hai tính chất đờng nối tâm đờng trịn cắt 9 Dùng tính chất của:
- tiếp tuyến xuất phát từ điểm đến đờng tròn - Đờng nối tâm đờng tròn cắt
Tuy nhiên việc phân chia rõ ràng tập giải phơng pháp 1, toán giải phơng pháp điều nhiều khơng thể giải đợc Bởi để giải tập hình học, học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức, kết hợp nhiều ph ơng pháp cách linh hoạt, sáng tạo
Cũng có nhiểu tốn lại giải nhiều cách khác Nói chung hình học đa dạng phong phú Ta bắt đầu ví dụ đơn giản
B - C¸c vÝ dơ: 1 Bài 1:
Cho góc xoy tìm tia Ox lấy điểm A C Trên tia Oy lấy ®iĨm B vµ D cho OA = OB; OC = OD Gọi I giao điểm đoạn th¼ng BC; AD Chøng minh r»ng:
a/ BC = AD b/ IA = IB; IC = ID H
íng dÉn:
Cã thĨ ®a viƯc chøng minh đoạn thẳng
bằng việc chứng minh không ? a/ OBC OAD (chứa cạnh BC AD) Có không? Tại sao?
b/ no cha cnh IA? chứa cạnh IB ? 2 có khơng? Vì sao? Giải (Tóm tắt):
a OBC = OAD (c.g.c) => BC = AD b Tõ (gt) => AC = BD
Tõ (a) => ∠ C = ∠ D; ∠ DAC = ∠ CBD Suy IAC = IBD (g.c.g) => IA = IB
IC = ID NhËn xÐt:
Ta đa việc chứng minh đoạn thẳng việc chứng minh
2 Bµi 2:
Cho ABC đờng cao, AM trung tuyến Trên tia đối HA lấy E cho HE = HA Trên tia đối MA lấy I cho MI = MA.Nối B với E; C với I Chứng minh : BE = CI
H íng dÉn:
BHE (chøa BE) vµ MCI (chøa CI) có không? - Đoạn BE đoạn nào? Tại sao?
- on AB cú bng CI khơng? Hãy chứng minh điều Giải (tóm tắt):
BH đờng trung trực AE => BA = BE (1) AMB = IMC (c.g.c) => AB = IC (2) Từ (1), (2) => BE = IC
O D C x I A B B A H M
E I
(3)Vận dụng tính chất đờng trung bình
3 Bµi :
Cho hình thang ABCD, đờng phân giác góc D cắt AB M CMR: AM = AD
H íng dÉn:
Em có nhận xét ADM? (cõn) Hóy chng minh iu ú?
Giải (tóm tắt): D1 = M1 (so le trong) D1 = D2 ( DM phân giác D) => D1 = M1 => ADM cân A => AD = AM NhËn xÐt:
§a viƯc chøng minh đoạn thẳng việc chứng minh cân Bài 12/82 SGK hình
4 Bài 4:
Cho h×nh thang ABCD (AB//CD)
a Đờng thẳng // với đáy cắt cạnh bên AD I, cắt đờng chéo DB K, cắt chéo AC L, cắt cạnh bên BC M CMR: IK = LM
b Đờng thẳng qua giao điểm O đờng chéo // với đáy cắt cạnh bên E F CMR: OE = OF
H íng dÉn:
Bài có nhiều đoạn thẳng // giúp ta liên hệ với định lý Talét Em vận dụng tam giác
để có tỷ số trung gian? Giải (tóm tắt):
a Trong ABD theo định lý Talét có: IK/AB = ID/DA (1)
T¬ng tù ABC cã: LM/AB = CM/CB (2) Ta cã DI /DA = CM / CN B
Nên từ (1) (2) => IK/AB = LM/AB => IK = LM b T¬ng tù ACD vµ BDC NhËn xÐt:
Khi vận dụng định lý Talét cần ý đến đoạn thẳng song song nhằm làm xuất đoạn thẳng tỷ lệ Để chứng minh đoạn thẳng ta chứng minh tỷ số
5 Bµi 5:
Gäi M vµ N trung điểm cạnh AB, BC hình vuông ABCD Đoạn thẳng CM DN cắt P CMR: AP = AB
* Tìm tòi cách giải:
- Ngay từ vẽ hình ta nhận thấy AB AP cạnh tơng ứng 2 Có thể thay đoạn AB đoạn nào? AD AP APD cú gỡ c bit
* Phân tích toán:
- Trong hình vẽ có cặp nhau? (BCM = CDN c.g.c) => C = D => CM DN
M B
A
D
C
A B
F
(4)- M trung điểm AB (gt) ta chứng minh đợc CM DN
Vậy gọi I trung điểm CD AI có vng góc với NẫI DUNG khơng? (có) sao? Nh ta chứng minh đợc PK = KD APD cân A AP = AD mà AD = AB => toán giải xong
* Mấu chốt toán chọn đoạn trung gian (AD) thích hợp vận dụng linh hoạt kiến thức sở giả thiết toán
Giải (tóm tắt):
BCM = CDN (c.g.c) => ∠ C1 = ∠ D1 Mµ C1 = C2 = C = 1V
=> D1 + C2 = 1V => CM DN t¹i P
Gọi I trung điểm CD, AI, K, dễ dàng chứng minh đợc CMAI hình bình hành => CM//AI => AI CDP có CI = ID (Cách dựng)
=> PK = KD IK // CP (cmt)
API có AK vừa đờng trung tuyến vừa đờng cao (cmt) => APD cân A => AP = AD
Mµ AD = BP (t/c hv)
Bài 6:
Trên cạnh AB AC ABC, ngời ta lấy theo thứ tự điểm D E cho BD = CE Gọi M N lần lợt trung điểm BC DE Đờng thẳng cắt AB vµ AC ë P vµ Q
CM: AP = AQ Tìm tòi cách giải:
* Nhỡn vào hình vẽ ta có hớng giải AP = AQ APQ cân A
* Bài cho nhiều trung điểm, khiến ta liên hệ tới đờng thiết bị => Nối BE đợc BED BEC có cạnh đáy BD = EC * Gọi I trung điểm BE => IN, IM lần lợt TB BED BEC => IN//BD ; IM//CE IN = IM => IMN cân I Vì IN //BA; IM//CA nên dễ dàng CM đợc ∠ APQ = ∠ INM ∠ AQP = ∠ IMN => APQ cân A => Bài toán giải xong
Giải (tóm tắt):
Nối BE, gọi I trung điểm BE
=> IN, IM ln lợt đờng trung bình BED BEC => IM//AC; IN//AB IM = IN (= 1/2 BD CE) => IMN cân I
=> ∠ IMN = ∠ INM
Mặt khác ∠ IMN = ∠ AQP ∠ INM = ∠ APQ (đồng vị) Nên ∠ AQP = ∠ APQ => APQ cân A => AP = AQ (đpcm)
7 Bµi 7:
Cho đờng trịn (O) (O’) cắt A B Qua A vẽ cát tuyến chung CAD EAG ( C, E thuộc (O); D, G thuộc (O’) cho
AB lµ p/g cđa ∠ CAG Chøng minh r»ng : CD = EG
Cách 1: Có thể đa việc chứng minh đoạn thẳng CD EG việc chứng minh 2 khơng? Đó tam giác ?( Δ CBD Δ EBG) - 2 có yếu tố nhau? Còn cần thêm yếu tố nào?
* Nh ta chứng minh đợc BD = BG tốn giải xong (H1) Giải (tóm tắt):
CBD vµ EBG cã ∠ BDC = ∠ BGE, ∠ C = ∠ E => ∠ CBD = ∠ EBG
L¹i cã: ∠ BDG = ∠ BAG ( gãc nh trªn cïng ch¾n cung BG) ∠ BGD = ∠ BAC ( cïng bï víi ∠ BAD) mµ ∠ BAG = ∠ BAC (gt)
(5)=> ∠ BDG = ∠ BGD => BG = BD VËy CBD = EBG (g.c.g) => CD = EG Sau giải xong ta thấy vận dụng cách khác
* Có thể đa trờng hợp vuông kẻ OM EG; O’H OM, kỴ O’N CD; OK O’N OK = 1/2 CD; O’H = 1/2
ED Cần chứng minh OK = OH nghĩa cần OKO’ = O’HO ( c¹nh hun - gãc nhän) toán giải xong (H2)
* Hoc sử dụng đồng dạng CBD
CBD đồng dạng EBG (g.g) có tỷ số đờng cao tơng ứng BH/BK = 1.(vì AB tia phân giác CBG) nên CD/EG = => CD = EG
C¸ch 2:
* Ta nghĩ đến đoạn thẳng trung gian có khả CD EG khơng ?
* CAD, EAG cát tuyến chung đờng tròn Vậy qua B ta vẽ cát tuyến chung đờng tròn PBQ cho PBQ // CAD tứ giác PQDC tứ giác PQGE hình ? Tại sao? Trả lời đợc câu hỏi tức ta giải xong bi toỏn
Giải (tóm tắt):
V PBQ //CD dễ dàng chứng minh đợc CP// DQ , EP // GQ => CDQP hình bình hành
=> CD = PQ (1)
L¹i cã ∠ E = ∠ C = ∠ CAB; ∠ EPB = ∠ BAG
mµ ∠ CAB = ∠ BAG => ∠ E = ∠ EPB
EGQP hình thang cân => PQ = EG (2) Từ (1) (2) => đpcm Cách 3:
Sau hạ đờng cao BH CD, BKEG để giải toán theo hớng tam giác đồng dạng ta lại nhận thấy xét CD EG tổng đoạn thẳng đơi
Gi¶i:
B tia phân giác ∠ CAG => BH = BK => CBH = EBK => CH = EK Chứng minh tơng tự ta chứng minh đợc DH = GK Suy ra: CD = EG
L
u ý: Cịn sử dụng tính song song để chứng minh.
C KÕt qu¶:
Tơi áp dụng phơng pháp hớng dẫn học sinh chứng minh hai đoạn thẳng vừa trình bày cho học sinh khối 7, 8, mà giảng dạy ( với mức độ phù hợp với trình độ học sinh khối, lớp) Sau áp dụng phơng pháp này, thấy đạt đợc kết sau:
Khi đứng trớc toán chứng minh hai đoạn thẳng nhau, học sinh khơng cịn cảm thấy lúng túng, mà biết định h -ớng cách cụ thể, rõ ràng phơng pháp để chứng minh tốn
- Học sinh có khả độc lập suy nghĩ, vận dụng kiến thức học cách linh hoạt, sáng tạo
- Học sinh có khả t kết hợp cách nhuần nhuyễn, mềm dẻo kĩ phân tích tổng hợp để tìm lời giải cách nhanh nhất, ngắn gọn
- Có học sinh không tìm cách giải mà tìm nhiều cách giải khác cho toán - Học sinh thấy hứng thú, say mê giải toán
D Bµi häc kinh nghiƯm
- Giáo viên phải không ngừng phấn đấu, học tập, nghiên cứu, tự bồi dỡng, nâng cao kiến thức, trình độ chuyên môn để đáp ứng đợc yêu cầu ngày ca công tác dạy học nhà trờng phổ thơng sở
- Thờng xun tích luỹ, đúc rút kinh nghiệm giảng dạy, tích cực vận dụng kinh nghiệm vào giảng để nâng cao chất lợng dạy học
- Giáo viên phải nắm sử dụng tốt, phối hợp nhịp nhàng phơng pháp dạy học, quán triệt tinh thần đổi phơng pháp giảng dạy " lấy học sinh làm trung tâm"
- Chú trọng việc hớng dẫn học sinh nắm kiến thức lí thuyết đôi với thực hành, đặc biệt coi trọng việc h ớng dẫn phơng pháp giải toán cho học sinh
- Giáo viên cần cố chơng trình giảng dạy cụ thể, có lựa chọn kiến thức sát với đối tợng học sinh, khối lớp
E Điều kiện khả áp dụng đề tài
(6)Đề tài áp dụng khơng cho học sinh Khá Giỏi mà cịn áp dụng đ ợc cho tất đối tợng học sinh Trung bình -Yếu
Giáo viên áp dụng cách linh hoạt đề tài tiết dạy khố nh chơng trình ngoại khố, buổi bồi dỡng học sinh giỏi hay phù đạo học sinh yếu
PhÇn III: kÕt luËn
*******
Việc hệ thống “ Các cách chứng minh đoạn thẳng nhau" làm tiết, tiết mà trình, chẳng hạn lớp em đợc học tam giác ta giới thiệu phơng pháp sử dụng định lý Talét, phơng pháp đồng dạng đợc mà học đến vấn đề nào, ngời giáo viên hớng dẫn học sinh phạm vi Từ học sinh lĩnh hội kiến thức cách có hệ thống vận dụng hợp lý dạng tập Nếu làm đợc nh Hình học khơng cịn " Xơng"nữa