CHỨNG MINH HAI đoạn THẲNG BẰNG NHAU THÔNG QUA VIỆC CHỨNG MINH HAI BÌNH PHƯƠNG của CHÚNG BẰNG NHAU

CHỨNG MINH HAI đoạn THẲNG BẰNG NHAU THÔNG QUA VIỆC CHỨNG MINH HAI BÌNH PHƯƠNG của CHÚNG BẰNG NHAU

CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU THÔNG QUA VIỆC CHỨNG MINH HAI BÌNH PHƯƠNG CỦA CHÚNG BẰNG NHAU Bài tốn Cho tam giác ABC nhọn, đường tròn tâm O đường AB đường tròn tâm O’ đường kính AC cắt AC AB E F Gọi M N giao điểm đoạn thẳng CF đoạn thẳng BE với đường tròn (O) (O’) Chứng minh: a) tứ giác BEFC nội tiếp b) AM = AN b) ta có tứ giác BFEC nội tiếp => góc ABC = góc AEF => tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g) => AE/AB = AF/AC => AE.AC = AF.AB Lại có góc AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => tam giác AMB vng M có MF đường cao Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AM2 = AF.AB Tương tự ta có AN2 = AE.AC => AM2 = AN2 => AM = AN Bài toán Cho hai đường tròn (O) (I) cắt A B Vẽ tiếp tuyến chung ngồi CD hai đường tròn (C thuộc (O); D thuộc (I)) Đường thẳng AB cắt CD K Chứng minh: KC = KD Xét tam giác KBC tam giác KCA có Góc CKB chung; góc KCB = góc KAC (góc tạo tia tiếp tuyến dây góc nội tiếp chắn cung BC) => tam giác KBC đồng dạng với tam giác KCA (g.g) => KB/KC = KC/KA => KC2 = KA.KB Chứng minh tương tự ta có KD2 = KA.KB => KC2 = KD2 => KC = KD Bài toán Cho đường tròn tâm O điểm A ngồi (O), từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C tiếp điểm); Vẽ dây BD (O) song song với AC, AD cắt (O) điểm thứ hai E, tia BE cắt AC K Chứng minh K trung điểm AC Xét tam giác KEC tam giác KCB có Góc EKC chung; góc KCE = góc KBC (góc tạo tia tiếp tuyến góc nội tiếp chắn cung EC) => tam giác KCE đồng dạng với tam giác KBC (g.g) => KC2 = KE.KB Lại có góc ABE = góc ADB = góc EAK => tam giác KAE đồng dạng với tam giác KBA => KA2 = KE.KB => KA2 = KC2 => KA = KC hay K trung điểm AC Bài tốn Từ điểm A ngồi đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B C tiếp điểm) Gọi M điểm đường thẳng qua trung điểm AB AC Kẻ tiếp tuyến MK đường tròn (O) Chứng minh: MK = MA B O H I A K C M Gọi I, H giao điểm BC đường thẳng qua trung điểm AB AC với đường thẳng OA +  OBA vng B có: OB = OI.OA = (OH - HA)(OH + HA) = OH - HA  HA = CH - OB = OH - R +  AHM vuông H có: MA = HA + MH = OH - R + MH (1) +  OHM vng H có: OH + HM = OM (2) Từ (1)(2)  MA = OM - R (*) +  OKM vuông K có : MK = OM - OK = OM - R (**) Từ (*)(**)  MA = MK  MA = MK Bài tốn Cho đường tròn tâm O, từ điểm M ngồi đường tròn, kẻ tiếp tuyến MA MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn (O) E (E khác A), đường thẳng ME cắt (O) F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO N, gọi H giao điểm MO AB Chứng minh a) tứ giác MBHF nội tiếp b) MN = NH a) ta có AE//MO => góc EAB = 900 => BE đường kính (O) => góc BFE =900 mà góc MHB = 900 => tứ giác MBHF nội tiếp b) ta có tứ giác MBHF nội tiếp => góc MHF = góc MBF = góc BAF => tam giác NHF đồng dạng với tam giác NAH => NH2 = NF.NA ta chứng minh tam giác NMF đồng dạng với tam giác NAM => NM2 = NF.NA => NH2 = NM2 => NM = NH Bài toán Cho đường tròn (O) đường kính AB, AB lấy điểm I, vẽ đường tròn (I; IB) cắt AB C, tiếp tuyến C (I) cắt (O) D Vẽ tiếp tuyến AE (I) cho E tiếp điểm; E D khác phía với AB Chứng minh AD = AE Ta có góc ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => tam giác ADB vng D lại có DC vng góc với AB Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: AD2 = AC.AB Lại có góc AEC = góc ABE => tam giác AEC đồng dạng với tam giác ABE (g.g) => AE2 = AC.AB => AD2 = AE2 => AD = AE ... Gọi M điểm đường thẳng qua trung điểm AB AC Kẻ tiếp tuyến MK đường tròn (O) Chứng minh: MK = MA B O H I A K C M Gọi I, H giao điểm BC đường thẳng qua trung điểm AB AC với đường thẳng OA +  OBA... (A, B tiếp điểm) Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn (O) E (E khác A), đường thẳng ME cắt (O) F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO N, gọi H giao điểm MO AB Chứng minh a) tứ giác... AC với (O) (B, C tiếp điểm); Vẽ dây BD (O) song song với AC, AD cắt (O) điểm thứ hai E, tia BE cắt AC K Chứng minh K trung điểm AC Xét tam giác KEC tam giác KCB có Góc EKC chung; góc KCE = góc