Chuyên đề chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Hình học 8

Sử dụng tính chất về cạnh và đường chéo của các tứ giác đặc biệt.lớp 8 12.. Sau khi vẽ hình ra giấy nháp rồi kết hợp các kiến thức về tam giác cân và tc 2 đường thẳng song song thì ta sẽ

Chuyên đề I Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

1 Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau (lớp 7)

2 Hai cạnh bên của tam giác cân, hình thang cân.(lớp 7)

3 Sử dụng tính chất trung điểm.(lớp 7)

4 Khoảng cách từ một điểm trên tia phân giác của một góc đến hai cạnh của góc.(lớp 7)

5 Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng.(lớp 7)

6 Hình chiếu của hai đường xiên bằng nhau và ngược lại (lớp 7)

7 Dùng tính chất bắc cầu

8 Có cùng độ dài hoặc cùng nghiệm đúng một hệ thức

9 Sử dụng tính chất của các đẳng thức, hai phân số bằng nhau

10 Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông, đường trung bình trong tam giác.(lớp 8)

11 Sử dụng tính chất về cạnh và đường chéo của các tứ giác đặc biệt.(lớp 8)

12 Sử dụng kiến thức về diện tích.(lớp 8)

13 Sử dụng tính chất hai dây cách đều tâm trong đường tròn.(lớp 9)

14 Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn.(lớp 9)

15 Sử dụng quan hệ giữa cung và dây cung trong một đường tròn.(lớp 9)

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A.Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia

CB lấy điểm N sao cho BM= CN

a) Chứng minh: AM = AN

b) Kẻ BHAM (HAM), CKAN (KAN) Chứng minh: BH = CK

c) Chứng minh: AH = AK

Giải:

a) AMN cân

AMN cân  ABC  ACB

ABM ACN  ABC

O

K H

A

ABM và ACN cĩ

AB = AC (GT)

ABM ACN (CM trên)

BM = CN (GT)

 ABM = ACN (c.g.c)

 M N  AMN cân  AM = AN

b) Xét HBM và KNC cĩ

 

M N (theo câu a); MB = CN

 HMB = KNC (cạnh huyền - gĩc nhọn)  BK = CK

c) Theo câu a) ta cĩ AM = AN (1)

Theo chứng minh trên: HM = KN (2)

Từ (1), (2)  HA = AK

Ví dụ 2: cho hình bình hành ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC.

Chứng minh rằng: BE = DF

Giải:

Ta cĩ : DE =

2

1

AD; BF =

2

1

BC

Mà AD = BC ( hai cạnh đối hbh ABCD )

Nên DE = BF Ngồi ra DE//BF

=>EBFD là hình bình hành.

Do đĩ BE = DF

Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD ( AB// CD) cĩ ACD = BDC Chứng minh rằng

AD = BC

Giải:

C D

E

Gọi E là giao điểm của AC và BD

ECD cĩ : D 1 = C 1 (do ACD BCD    )

Nên là tam giác cân

Suy ra ED = EC (1)

Do  

1 1

B  D ( so le trong )

1 1

A  C ( so le trong )

Mà :  

1 1

D  C (cmt).

=>EAB là tam giác cân

Suy ra EA = EB (2)

Từ (1) và (2) suy ra : AC = BD.

Hình thang ABCD cĩ hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.

Suy ra: AD = BC

C D

Ví dụ 4:cho hình bình hành ABCD Gọi I, K lần lượt là trung điểm của CD, AB Đường chéo

BD cắt AI, CK theo thứ tự tại M, N Chứng minh rằng: DM = NB

Giải:

Tứ giác AICK có AK//IC và AK = IC

Nên là hình bình hành.

Do đó AI // CK

DCN có IC = ID và IM // CN

Suy ra: DM = MN (1)

BAM có BK= KA và KN//AM

Suy ra: MN = NB (2)

Từ (1) và (2) suy ra DM = NB.

Ví dụ 5 Cho tam giác ABC có AD là phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A, vẽ

tia Dx cắt AC ở E sao cho góc CDE bằng góc BAC Chứng minh rằng DB = DE

HD

Kẻ DH và DK lần lượt vuông góc với AB và AC

Vớ dụ 6 Cho ABC cân, AB = BC, trên AB lấy điểm D, trên AC kéo dài lấy điểm E sao cho BD = CE, nối A với E cắt BC tại F Chứng minh rằng DF = FE

GT Cho ABC, AB = AC

BD = CE

DE cắt BC tại F

Dựng DG // AE, nếu chứng minh được tứ giác DGEC là hình bình hành thì DE và BC nhất định cắt nhau tại F là trung điểm của DE Muốn chứng minh cho DGEC là hình bình hành chỉ cần có DG = CE là đủ Vì DG //CE mà giả thiết cho DB = CE trước tiên phải chứng minh B  DGB Ta đã biết DGB = ACB, Chứng minh được B = ACB,

nên B  DGB có thể thành lập được.

Ví dụ 7.

Cho tứ giác ABCD có AD=AB=BC<CD Hai đường chéo cắt nhau ở O.Gọi M là giao điểm của 2 đường thẳng AD và BC Vẽ Hình bình hành AMBK, Đường thẳng KO cắt BC tại N Chứng minh

B

N M

I

DB DE  BDH EDK  DH DK B, 1 E1  ABC DEC có :   BAC CDE gt C  ( ), chung 

C A

B

D

F

E

a) O cách đều 3 cạnh của tam giác ABK

b) AM=BN

I Phân tích tìm cách giải:

Bài toán cho AB = AD = BC thì ta sẽ nghĩ ngay dến việc vận dụng tính chất của tam giác cân

Và còn nữa đề bài cũng cho AMBK là hình bình hành nên ta cần nhớ lại tính chất của 2 đường thẳng song song Sau khi vẽ hình ra giấy nháp rồi kết hợp các kiến thức về tam giác cân và tc

2 đường thẳng song song thì ta sẽ thấy ngay O là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác ABK Chú ý rằng AM = BK nên để cm BN = AM ta đi chứng minh BN = BK hay tam giác BNK cân Khi nào thì tam giác BNK cân?

II Lời giải tóm tắt:

Ta có: AO, BO lần lượt là tia phân giác của góc BAK, ABK

Suy ra: KO la phân giác của AKB Từ đó suy ra tam giác BNK là tam giác cân

=> BN = BK = AM (đpcm)

III Khai thác và mở rộng bài toán:

Ta thấy rất nhiều hình tứ giác có tính chất 3 cạnh liên tiếp bằng nhau cho nên bằng cách đặc biệt hóa BT cho hình vuông, hình thoi, ta thu được 1 số bài toán tương tự như BT toán này

Ví dụ 8.

Cho hình vuông ABCD N là trung điểm BC VẼ CK vuông góc DN tại K và cắt AB tại H

Am vuông góc với DN tại M và cắt CD tại Q

Chứng minh

a) Q là trung điểm của DC, H là trung điểm của AB

b) AK = BC

HD

Tg ADQ = TgDCN ( cạnh góc vuông – góc nhọn) suy ra DQ = CN

MD = MK

Dễ thấy Tứ giác AHCQ là hình bình hành

HC//AQ

AM DK

ΔADKADK cân tại A

AK=DA

Mà DA=BC

AK=BC

Ví dụ 9.

Cho ABC, AH là đường cao, M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC, I là một điểm bất

kì trên AH Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của IC và IB Chứng minh rằng: MP và NQ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

N

P Q

M

H

A

I

Chứng minh:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC (gt)

 MN là đường trung bình của ABC

 MN // BC và MN = 1

2 BC Chứng minh tương tự:

K

 PQ // BC và PQ = 1

2 BC

 MN // PQ và MN = PQ

 MNPQ là hình bình hành (1)

Vì M, Q là trung điểm của AB và IB (gt)

 MQ là đường trung bình của ABI

 MQ // AI  MQ // AH

mà AH BC (gt)  MQ  BC

Mặt khỏc: MN // BC (c/m trên)

 MQ  MN (2)

Từ (1), (2)  MNPQ là hình chữ nhật

 MP và NQ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

II Chứng minh hai góc bằng nhau.

1 Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau (lớp 7)

Ví dụ

Cho hình vuông ABCD Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,AD BN, CM cắt nhau tại P a) Góc ABN = góc BCM

b) Chứng minh rằng góc

DPC = góc DCP

HD b) : Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng BN và CD Dễ dàng chứng minh được

IC = 2AB

Hai tam giác MCB và NBA bằng nhau đồng thời AB vuông góc với BC nên CM vuông góc với NB

Tam giác vuông PIC có PD là trung tuyến nên PD = IC/2 = AB ( đpcm

2 Hai góc ở đáy của tam giác cân, hình thang cân.(lớp 7,8)

Ví dụ

Cho tam giác ABC trong đó AB < AC Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A M,N,P lần lượt

là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC

a) MN là phân giác của góc AMH

b) Chứng minh góc HMN = góc PMN

HD b: - MNHP là hình thang

- MP = AC/2 ( Đường TB )

- HN = AC/2 ( Đường TT )

- đpcm

3 Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc.(lớp 7)

Ví dụ

Cho tứ giác ABCD là hình thang cân (AB // CD và AB<CD), M là giao điểm hai cạnh bên Chứng minh rằng:

a) góc ACB = góc ADB

b) góc OMD = OMC

A

P

M N

I

4 Sử dụng tính chất bắc cầu trong quan hệ bằng nhau.

Ví dụ:

Cho hình bình hành ABCD Tia phân giác của goác A cắt CD ở M Tia phân giác của góc C cắt AB ở N Chứng minh:

a) Góc MAN = góc NCM

b) AMCN là hình bình hành

M

A

HD Vì ABCD là hình bình hành (gt)

 AB // CD và A C  

 AN // CM (1) và AMD MAB  (2)

Vì AM là tia phân giác của góc A (gt)

 DAM MAB   = 1

A

2 (3)

Vì CN là tia phân giác của góc C (gt)

 DCN NCB   = 1

C

2 (4)

Từ (2), (3) và (4)  AMD DCN 

 AM // CN (5)

Từ (1), (5)  AMCN là hình bình hành

5 Hai góc ở vị trí đồng vị, so le trong.Hai góc đối đỉnh.(lớp 7)

6 Sử dụng tính chất hai góc cùng bù, cùng phụ với một góc khác.(lớp 6)

7 Hai góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng.(lớp 8)

Ví dụ:

Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H Chứng minh :

a) góc HBE = góc HCE

b) góc HDE = góc HAE

8 Sử dụng tính chất về góc của các tứ giác đặc biệt.(lớp 8)

Ví dụ:

Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,

CD, DA Chứng minh rằng góc EHG = góc EFG

F

G H

E A

B

9 Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp.(lớp 9)

10 Sử dụng tính chất của góc ở tâm, góc nội tiếp, góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung trong đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau.(lớp 9)

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho tứ giác ABCD là hình thang cân (AB // CD và AB<CD), gọi O là giao điểm hai đường chéo, M là giao điểm hai cạnh bên Chứng minh rằng:

a) góc ACB = góc ADB

b) góc OMD = OMC

III Ch minh một đoạn thẳng bằng ½ đoạn thẳng khác

1 Sử dụng tính chất trung điểm

2 Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông

3 Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác

4 Sử dụng tính chất tam giác nửa đều

5 Sử dụng tính chất trọng tâm của t.giác

6 Sử dụng hai đồng dạng với tỉ số ½

7 Sử dụng quan hệ giữa bán kính và đường kính trong một đường tròn

IV Chứng minh một góc bằng nửa góc khác

1 Sử dụng tính chất tam giác nửa đều

2 Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc

3 Sử dụng số đo tính được hay giả thiết cho

4 Sử dụng quan hệ giữa góc ở tâm, góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung trong đường tròn

V Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

1 Hai đường thẳng đó cắt nhau và tạo ra một góc 900

2 Hai đ thẳng đó chứa hai tia phân giác của hai góc kề bù

3 Hai đường thẳng đó chứa hai cạnh của tam giác vuông

4 Có một đường thẳng thứ 3 vừa song song với đường thẳng thứ nhất vừa vuông góc với đường thẳng thứ hai

5 Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

6 Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác

7 Sử dụng tính chất đường phân giác, trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân

8 Hai đường thẳng đó chứa hai đường chéo của hình vuông, hình thoi

9 Sử dụng tính chất đường kính và dây cung trong đường tròn

10 Sử dụng tính chất tiếp tuyến trong đường tròn

VI Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

1 Chứng minh điểm A thuộc đoạn thẳng BC

2 Chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt

3 Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh mà bằng nhau

4 Chứng minh 3 điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuông góc hay cùng song song

với một đường thẳng thứ 3 (Tiên đề Ơclit)

5 Dùng tính chất đường trung trực: chứng minh 3 điểm đó cùng cách đều hai đầu đoạn thẳng

6 Dùng tính chất tia phân giác: chứng minh 3 điểm đó cùng cách đều hai cạnh của một góc

7 Sử dụng tính chất đồng qui của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác

8 Sử dụng tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biệt

9 Sử dụng tính chất tâm và đường kính của đường tròn

10 Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc nhau

VII Chứng minh Oz là tia phân giác của góc xÔy.

1 C/minh tia Oz nằm giữa tia Ox, Oy và xÔz = yÔz hay xÔz = xÔy

2 Chứng minh trên tia Oz có một điểm cách đều hai tia Ox và Oy

3 Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến ứng với cạnh đáy của cân

4 Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường phân giác

5 Sử dụng tính chất đường chéo của hình thoi, hình vuông

6 Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn

7 Sử dụng tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác

VIII Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

1 Chứng minh M nằm giữa A, B và MA = MB hay MA = AB

2 Sử dạng tính chất trọng tâm trong tam giác

3 Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác, hình thang

4 Sử dụng tính chất đối xứng trục và đối xứng tâm

5 Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt

6 Sử dụng tính chất đường kính vuông góc với dây cung trong đường tròn

7 Sử dụng tính chất đường kính đi qua điểm chính giữa cung trong đường tròn

IX Chứng minh hai đường thẳng song.

1 Hai đường thẳng đó cắt một đường thẳng thứ ba và tạo thành một cặp góc ở vị trí so le trong, so le ngoài hay đồng vị bằng nhau

2 Hai đường thẳng đó cùng song song hay cùng vuông góc với một đg thẳng thứ ba

3 Hai đường thẳng đó là đường trung bình và cạnh tương ứng trong tam giác, trong hình thang

4 Hai đường thẳng đó là hai cạnh đối của tứ giác đặc biệt

5 Sử dụng định lý đảo của định lý Talet

X Chứng minh 3 đường thẳng đồng qui.

1 Chứng minh có một điểm đồng thời thuộc cả ba đường thẳng đó

2 Cm giao điểm của 2 đường thẳng này nằm trên đường thẳng thứ ba

3 C/minh giao điểm của 2 đường thẳng thứ nhất và thứ hai trùng với giao điểm của hai đường

4 Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực trong tam giác

5 Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt

XI Chứng minh đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

1 Chứng minh d cắt AB tại trung điểm của AB

2 Chứng minh có hai điểm trên d cách đều A và B

3 Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến hay phân giác ứng với cạnh đáy AB của tam giác cân

4 Sử dụng tính chất đối xứng trục

5 Sử dụng tính chất đoạn nối tâm của hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm

XII Chứng minh hai tam giác bằng nhau.

¨ Hai tam giác bất kỳ:

1 Trường hợp: c – c – c

2 Trường hợp: c – g – c

3 Trường hợp: g – c – g

¨ Hai tam giác vuông:

1 Trường hợp: c – g – c

2 Trường hợp: g – c – g

3 Trường hợp: cạnh huyền – cạnh góc vuông

4 Trường hợp: cạnh huyền – góc nhọn

XIII Chứng minh hai tam giác đồng dạng.

1 Dùng định lý 1 đường thẳng song song với 1 cạnh và cắt 2 cạnh còn lại của tam giác

2 Trường hợp: c – c – c

3 Trường hợp: c – g – c

4 Trường hợp: g – g

1 Trường hợp: g – g

2 Trường hợp: c – g – c

3 Trường hợp: cạnh huyền – cạnh góc vuông

XIV Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

1 Chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác

2 Chứng minh G thuộc trung tuyến và chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1

XV Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.

Chứng minh H là giao điểm của hai đường cao trong tam giác

XVI Ch minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp trong

1 Chứng minh O là giao điểm của hai đường trung trực trong tam giác

2 Chứng minh O cách đều ba đỉnh của tam giác

XVII Chứng minh O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

1 Chứng minh O là giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác

2 Chứng minh O cách đều ba cạnh của tam giác

XVIII Chứng minh O là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC.

Chứng minh K là giao điểm của phân giác trong góc BÂC và phân giác ngoài của góc B (hay C)

XIX Chứng minh các tam giác đặc biệt.

1 có hai cạnh bằng nhau

2 có hai góc bằng nhau

3 có đường cao đồng thời là đường phân giác hay trung tuyến

1 có ba cạnh bằng nhau

2 có ba góc bằng nhau

3 cân có một góc bằng 600

4 cân tại hai đỉnh

1 vuông có một góc 300

2 vuông có một góc 600

3 vuông có cạnh huyền gấp đôi cạnh góc vuông ngắn

Tam giác vuông:

1 Tam giác có một góc vuông

2 Tam giác có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng vuông góc

3 Dùng định lý đảo của định lý đường trung tuyến trong vuông

4 Dùng định lý Pitago đảo

5 Tam giác nội tiếp đường tròn và có một cạnh là đường kính

1 Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau

2 vuông có một góc bằng 450

3 cân có một góc đáy bằng 450

XX Chứng minh các tứ giác đặc biệt.

¨ ¨ Hình thang:

Tứ giác có hai cạnh song song

1 Hình hang có hai đường chéo bằng nhau

2 Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau

3 Hình thang nội tiếp trong đường tròn

Hình thang có một góc vuông

1 Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song

2 Tứ giác có 2 cặp cạnh đối bằng nhau