Câu 63,0 điểm Cho tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trên trung tuyến AD.. Gọi I, K lần lượt là các trung điểm tương ứng của MB, MC và P, Q là các giao điểm tương ứng củ
Trang 1PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI H.S.G LỚP 9 NĂM HỌC 2010 - 2011
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
-Câu 1(1,0 điểm) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức
P = (x+ 1)(x+3)(x+5)(x+7) + 3025 cho x2 + 8x + 12
Câu 2(2,5 điểm) Tìm nghiệm x;y nguyên dương của các phương trình sau :
a) y2 = x2 + 12x + 1995 (1) b) z=x2xy+1− +x 2 (2) Câu 3(2,5 điểm)
a) Chứng minh rằng: A = 111 1 88 8 11442443 14424432 1 - 8 +
nsoá nsoá là số chính phương
b) Chứng minh rằng: B = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương ,với n ≥ 1
Câu 4( 3,0 điểm)
Chứng minh rằng 1 12 12 1 12 12 1 1 2 1 2
Câu 5(3,0 điểm)
, a b c, , 0
Câu 6(3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trên trung tuyến AD Gọi I, K lần lượt là các trung điểm tương ứng của MB, MC và P, Q là các giao điểm tương ứng của các tia DI, DK với các cạnh AB, AC
Chứng minh: PQ // IK
Câu 7(5,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD có · · 0
90
điểm lần lượt của các cạnh AB, AC, CD và BD, S là diện tích của tứ giác ỊNM
Chứng minh rằng: ( )2
8
a b
S≥ − Dấu bằng xảy ra khi nào?
-Hết
Trang 2-PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ ĐÁP ÁN ĐỀ THI H.S.G LỚP 9 NĂM HỌC 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
-Câu 1: Biến đổi được; P = (x2 +8x + 7) (x2 +8x + 15) 0,25 điểm
Đặt y = x2 +8x => P = (y + 7)(y + 15) + 3025 = y2 + 22y + 3130 0,25 điểm Thực hiện phép chia đa thức P cho y + 12 được số dư 2010 0,25 điểm Kết luận : số dư trong phép chia của biểu thức P cho x2 + 8x + 12 0,25 điểm
Câu 2: a)Từ phương trình (1), ta có : y2 = (x + 6)2 + 1959 ≥ 1959 ⇒ y ≥ 45 0,25 điểm
Mặt khác ta có: -1959 = (x + 6)2 - y2 = (x + y + 6)(x - y + 6)
⇒ x + y + 6 = 653 ; x - y + 6 = -3 hoặc x + y + 6 = 1959 ; x + 6 - y = -1 0,25 điểm
⇒ nghiệm phương trình : ( x , y ) = ( 319 , 328) ; (937 , 944) 0,25 điểm
b)Từ (2) suy ra yz = x - 1 + 1+ 2y - x
⇒ 1 + 2y - x = 0 hoặc 1 + 2y - x ≥ xy + 1 0,25 điểm +Nếu 1 + 2y - x = 0 thì yz = x – 1nên yz = 2y ⇒ z = 2 ; y = t; x = 1 + 2t; t∈ N * 0,25 điểm +Nếu 1 + 2y - x ≥ xy + 1 thì 2y ≥ x(y + 1) hay x ≤ y + 12y = −2 2+ <
1 2
Câu 3
a) Ta có A =111 100 0 11 1 88 8 1144244314424431 +{ - 14424438 +
Đặt a = 11 1{
nsoá suy ra 9a = 9 11 1{
nsoá = 99 91442443
Do đó: 99 91442443
Nên A = a.10n + a - 8a +1 = a(9a + 1) + a – 8a + 1 = 9a2 – 6a + 1 = (3a – 1 )2 =
-1442443
1
33 32
n soá
b) Ta có : A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1
= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 0,75 điểm = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1
= (n2 + 3n +1)2 Mặt khác : (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A hiển nhiên vì n ≥ 1 0,5 điểm
Do đó (n2 + 3n)2 < A < A + 1 = (n2 + 3n +1)2 0,,25 điểm Vậy A không phải là số chính phương
Câu 4
+ Xét k ∈N, k≥3 Thiết lập được:
2
= ( )2 2
1
k
2
+ − = + +
Trang 3+ Suy ra:
2
k
+ Cho k = 3,4,5, ….2000,ta có
A= + − + + − + + + −
A = 1998 +1 1
2 2000− là một số hữu tỷ (0,25 điểm)
Câu 5
+ Với mọi x, y > 0 thì x3+y3 = +(x y x)( 2+y2−xy) (≥ +x y)(2xy xy− ) (= +x y xy) (*) (0,75 điểm) + Áp dụng (*) chứng tỏ được:
(1)
(2)
(3)
Cộng các bất đẳng thức cùng chiều (1) ,(2) ,(3) ta được:
1
a b c
+ +
Câu 6
- Gọi E là trung điểm của AM, chứng minh
được:
IK // BC, EI // AB, EK // AC (1,5 đ)
- Áp dụng định lý Ta-lét vào các tam giác
DPA, DAQ Suy ra:
DP = DA = DQ (1,0 đ)
- Áp dụng định lý Ta-lét đảo vào tam giác
DPQ, suy ra:
PQ // IK (0,5 đ)
Câu 7( trang sau)
- Lập luận được tứ giác INJM là một
hình thoi (1 đ)
- Dựa vào giả thiết ·ADC DCB+· =900,
lập luận tiếp tứ giác INJM là một hình
vuông (1 đ)
- Suy ra:
2
1
2
S = MN (0,5 đ)
- Gọi P là trung điểm của AD, chứng
minh được:
2
a b
(1 đ)
Trang 4- Kết luận được:
- Nêu được dấu bằng xảy ra khi
MN = PN PM− hay P, M, N thẳng
hàng, tức là tứ giác ABCD là một hình
thang (1 đ)
……Hết…