Đề và đáp án thi học sinh giỏi môn Toán 9- THCS Mỹ Thọ 2010-2011.

PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI H.S.G LỚP 9 NĂM HỌC 2010 - 2011 TRƯỜNG THCS MỸ THỌ MÔN: TOÁN. Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1(1,0 điểm) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức P = (x+ 1)(x+3)(x+5)(x+7) + 3025 cho x 2 + 8x + 12 Câu 2(2,5 điểm) Tìm nghiệm x;y nguyên dương của các phương trình sau : a) y 2 = x 2 + 12x + 1995 (1) b) z x = − + x xy+1 2 2 (2) Câu 3(2,5 điểm) a) Chứng minh rằng: A = - + 1442443 1442443 2 1 8 111 1 88 8 1 nsoá nsoá là số chính phương. b) Chứng minh rằng: B = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương ,với n ≥ 1 Câu 4( 3,0 điểm). Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1999 2000 A = + + + + + + + + + là một số hữu tỷ. Câu 5(3,0 điểm) Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 , , , 0.a b c a b abc b c abc c a abc abc + + ≤ ∀ > + + + + + + Câu 6(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trên trung tuyến AD. Gọi I, K lần lượt là các trung điểm tương ứng của MB, MC và P, Q là các giao điểm tương ứng của các tia DI, DK với các cạnh AB, AC. Chứng minh: PQ // IK. Câu 7(5,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có · · 0 90ADC DCB+ = và AD = BC, CD = a, AB =b. Gọi I, N, J, M là trung điểm lần lượt của các cạnh AB, AC, CD và BD, S là diện tích của tứ giác ỊNM. Chứng minh rằng: 2 ( ) 8 a b S − ≥ . Dấu bằng xảy ra khi nào? Hết PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ ĐÁP ÁN ĐỀ THI H.S.G LỚP 9 NĂM HỌC 2010 – 2011 TRƯỜNG THCS MỸ THỌ MÔN: TOÁN. Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: Biến đổi được; P = (x 2 +8x + 7) (x 2 +8x + 15) 0,25 điểm Đặt y = x 2 +8x => P = (y + 7)(y + 15) + 3025 = y 2 + 22y + 3130 0,25 điểm Thực hiện phép chia đa thức P cho y + 12 được số dư 2010 0,25 điểm Kết luận : số dư trong phép chia của biểu thức P cho x 2 + 8x + 12 0,25 điểm Câu 2: a)Từ phương trình (1), ta có : y 2 = (x + 6) 2 + 1959 ≥ 1959 ⇒ y ≥ 45 0,25 điểm Mặt khác ta có: -1959 = (x + 6) 2 - y 2 = (x + y + 6)(x - y + 6) với x + y + 6 ≥ 52 và 1959 = 3 . 653 0,5 điểm ⇒ x + y + 6 = 653 ; x - y + 6 = -3 hoặc x + y + 6 = 1959 ; x + 6 - y = -1 0,25 điểm ⇒ nghiệm phương trình : ( x , y ) = ( 319 , 328) ; (937 , 944) 0,25 điểm b)Từ (2) suy ra yz = x - 1 + 1+ 2y - x xy + 1 0,25 điểm ⇒ 1 + 2y - x = 0 hoặc 1 + 2y - x ≥ xy + 1 0,25 điểm +Nếu 1 + 2y - x = 0 thì yz = x – 1nên yz = 2y ⇒ z = 2 ; y = t; x = 1 + 2t; t∈ N * 0,25 điểm +Nếu 1 + 2y - x ≥ xy + 1 thì 2y ≥ x(y + 1) hay x ≤ 2y y + 1 = − + <2 2 1 2 y 0,25 điểm ⇒ x = 1 ; y = 1 ; z = 2 0,25 điểm Câu 3 a) Ta có A = { + - + 14424431442443 1442443 1 8 111 100 0 11 1 88 8 1 nsoá nsoá nsoá nsoá 0,5 điểm Đặt a = { 11 1 nsoá suy ra 9a = 9. { 11 1 nsoá = 1442443 99 9 nsoá 0,25 điểm Do đó: 1442443 99 9 nsoá +1 = 10 n = 9a +1 0,25 điểm Nên A = a.10 n + a - 8a +1 = a(9a + 1) + a – 8a + 1 = 9a 2 – 6a + 1 = (3a – 1 ) 2 = - 1442443 1 33 32 n soá 2 là số chính phương. 0,5 điểm b) Ta có : A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n 2 + 3n)(n 2 + 3n + 2) + 1 0,75 điểm = (n 2 + 3n) 2 + 2(n 2 + 3n) +1 = (n 2 + 3n +1) 2 . Mặt khác : (n 2 + 3n) 2 < (n 2 + 3n) 2 + 2(n 2 + 3n) = A. hiển nhiên vì n ≥ 1. 0,5 điểm Do đó (n 2 + 3n) 2 < A < A + 1 = (n 2 + 3n +1) 2 . 0,,25 điểm Vậy A không phải là số chính phương. Câu 4 + Xét k ∈ N, k ≥ 3 . Thiết lập được: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 . 1 1 k k k k k k k k   + − = + + + − −  ÷ − − −   − (0,5 điểm) = ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 k k k k k k + + + − − + − − − (0,5 điểm) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k   + − = + +  ÷ −   − (0,5 điểm) + Suy ra: ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k k k   + + = + − = + −  ÷ − −   − (0,5 điểm) + Cho k = 3,4,5, ….2000,ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1999 2000 A       = + − + + − + + + −  ÷  ÷  ÷       (0,75 điểm) A = 1998 + 1 1 2 2000 − là một số hữu tỷ. (0,25 điểm) Câu 5 + Với mọi x, y > 0 thì 3 3 2 2 ( )( ) ( )(2 ) ( )x y x y x y xy x y xy xy x y xy+ = + + − ≥ + − = + .(*) (0,75 điểm) + Áp dụng (*) chứng tỏ được: ( ) 3 3 1 1 1 (1) ( )a b abc a b ab abc ab a b c ≤ = + + + + + + (0,5 điểm) ( ) 3 3 1 1 1 (2) ( )b c abc b c bc abc bc a b c ≤ = + + + + + + (0,5 điểm) ( ) 3 3 1 1 1 (3) ( )c a abc c a ca abc ca a b c ≤ = + + + + + + (0,5 điểm) Cộng các bất đẳng thức cùng chiều (1) ,(2) ,(3) ta được: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )a b abc b c abc c a abc ab a b c bc a b c ca a b c + + ≤ + + + + + + + + + + + + + + (0,5 điểm) 1 ( ) a b c abc a b c abc + + = = + + (đpcm) (0,25 điểm) Câu 6 - Gọi E là trung điểm của AM, chứng minh được: IK // BC, EI // AB, EK // AC (1,5 đ) - Áp dụng định lý Ta-lét vào các tam giác DPA, DAQ. Suy ra: DI DE DK DP DA DQ = = (1,0 đ) - Áp dụng định lý Ta-lét đảo vào tam giác DPQ, suy ra: PQ // IK (0,5 đ) Câu 7( trang sau) - Lập luận được tứ giác INJM là một hình thoi (1 đ). - Dựa vào giả thiết · · 0 90ADC DCB+ = , lập luận tiếp tứ giác INJM là một hình vuông (1 đ). - Suy ra: 2 1 2 S MN= (0,5 đ) - Gọi P là trung điểm của AD, chứng minh được: 2 a b MN PN PM − ≥ − = (1 đ) - Kết luận được: 2 2 1 ( ) . 2 2 8 a b a b S − −   ≥ =  ÷   (0,5 đ) - Nêu được dấu bằng xảy ra khi MN PN PM= − hay P, M, N thẳng hàng, tức là tứ giác ABCD là một hình thang. (1 đ) ……Hết… . PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI H.S.G LỚP 9 NĂM HỌC 2010 - 2011 TRƯỜNG THCS MỸ THỌ MÔN: TOÁN. Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1(1,0 điểm) Tìm số dư trong. CD và BD, S là diện tích của tứ giác ỊNM. Chứng minh rằng: 2 ( ) 8 a b S − ≥ . Dấu bằng xảy ra khi nào? Hết PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ ĐÁP ÁN ĐỀ THI H.S.G LỚP 9 NĂM HỌC 2010 – 2011 TRƯỜNG THCS MỸ. ĐÁP ÁN ĐỀ THI H.S.G LỚP 9 NĂM HỌC 2010 – 2011 TRƯỜNG THCS MỸ THỌ MÔN: TOÁN. Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: Biến đổi được; P = (x 2 +8x + 7) (x 2 +8x + 15)