Chủ đề số phức

Phạm Thanh Bình 1 Web site http://thpttanhiep.net/thanhbinh SỐ PHỨC Vấn đề 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC I). Kiến thức cần nhớ: 1. Khái niệm.  Số phức có dạng : z a bi     , a b R   a là phần thực , b là phần ảo, i là đơn vị ảo, 2 1 i   .  0 a  thì z bi  được gọi là số thuần ảo .  0 b  thì z a  là số thực .  Số phức liên hợp của z là : z a bi   chú ý: ' ' ; . ' . ' ; ' ' z z z z z z z z z z z z             Hai số phức bằng nhau : ' . ' '. ' a a a b i a b i b b           Mỗi số phức z a bi   được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trong mặt phẳng Oxy, Ox gọi là trục thực, Oy gọi là trục ảo.  Môđun của số phức z là : 2 2 z OM a b     chú ý: . ' . ' ; ' ' z z z z z z z z   2. Các phép toán số phức: Cho , ' . z a bi z c d i     . Khi đó ta có:  ' ( ) ( ) z z a c b d i       ' ( ) ( ) z z a c b d i       . ' ( . . ) ( . . ) z z a c b d a d c b i     Đặc biệt :  2 2 2 . z z a b z       2 2 2 2 . z a b ab i     2 2 . ( . )( . ) ' . z a b i a b i c d i z c d i c d        (nhân tử và mẫu cho liên hợp của mẫu) 3. Các ví dụ. Ví dụ 1: Xác định phần thực ,phần ảo và tìm môđun của số phức z trong các trường hợp sau: a). (1 3 )(2 ) 1 i z i i i      giải: Phạm Thanh Bình 2 Web site http://thpttanhiep.net/thanhbinh a). Ta có : (1 ) 1 9 11 [1.2 3.( 1)] [1.( 1) 2.3] 5 5 2 2 2 2 2 i i i z i i i               Vậy phần thực của z là 9 2 ,phần ảo của z là 11 2 ,mođun 2 2 9 11 202 ( ) ( ) 2 2 2 z    b). 3 4 z i   . c). (1 3 ) ( 2 ) z i i      d). (2 3 )(1 2 ) z i i    . e). 1 3. 1 3. i z i    . Ví dụ 2: a).Cho 2 số phức 1 2 1 2 , 2 3 z i z i     . Xác định phần thực ,phần ảo của số phức 1 2 2 z z  b).Cho hai số phức 1 2 2 5 , 3 4 z i z i     . Xác định phần thực và phần ảo của số phức 1 2 . z z (Tốt nghiệp THPT năm 2010) Ví dụ 3: Tìm phần ảo của số phức z biết :     2 2 1 2 z i i    . (Đại học khối A năm 2010) Ví dụ 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức. a).     7 4 3 2 3 z i i     . b).     5 2 . 3 4 1 3 i z i i     . c).   2 3. . 1 3 . i i z i z     d).   2 3 . 2 3 2 2 i z i i     e).       3 2 . 1 1 3 . 5 2. i z i i z i       . Ví dụ 5: Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n ta có : 4 4 1 4 2 4 3 1; ; 1 ; n n n n i i i i i i          Ví dụ 6. Tính : a).     2 2 1 3. 1 3. P i i     ( Tốt nghiệp THPT năm 2008 ) b).   9 1 i  c).     8 2 1 3 4 i i    d).   3 2 3 i  . ví dụ 7: Tìm số phức z biết : a). 3 2 Z Z i    . b). 2 z  và 2 z là số thuần ảo . ( Đề đại học khối D năm 2010 ) c). 2 3 Z Z i    . d). 5 z  và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó . e).   2 10 z i   và . 25 z z  . (Đề đại học khối B năm 2009 ) e). 2 0 Z Z   . f). 2 3 2 z i z i z z i            Phạm Thanh Bình 3 Web site http://thpttanhiep.net/thanhbinh Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a). 2 1 z i    b).   1 . z i i z    (Đề đại học khối B năm 2010 ) c). 1 z i z i    . d).   3 4. 2 z i    (Đề đại học khối D năm 2009 ) d). 2 z  và phần thực của z không vượt quá phần ảo của nó . e). 2 3 2 z z i     II.Bài tập vận dụng : 1). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện       2 2 3 4 1 3 i z i z i       . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . (Cao đẳng khối A năm 2010) 2). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện       2 1 2 8 1 2 i i z i i z       . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z (Cao đẳng khối A năm 2009) 1). Xác định phần thực ,phần ảo và tìm mođun của số phức z trong mỗi trường hợp sau: a). 1 3 (1 )(2 ) i z i i     b). 7 (1 ) z i   c). 46 2 2 1 2 2 1 2 2 2 i i z i i        2). Viết các số phức sau dưới dạng đại số: a). 1 (1 2 )(3 ) i i   b). 1 2 1 2 i i   c).         2 3 3 2 1 2 1 3 2 2 i i i i       d). 5 2 1 i i   3). Cho hai số phức 1 2 (2 3) (3 1) , (2 1) (3 7) z m n i z n m i         .Với m,n thuộc R.Tìm m ,n biết a). 1 2 z z  b). 1 2 z z   4). Tìm nghiệm của mỗi phương trình sau: a). 2 1 3 1 2 i i z i i       b).   1 2 3 0 2 i z i iz i                c). 2 2 4 z z i    d). 3 z z  5). Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a). 3 4 z z    b). 1 2 z z i     c). 2 1 2 3 z i     d).     2 z i z   là số thực tùy ý Phạm Thanh Bình 4 Web site http://thpttanhiep.net/thanhbinh e) 2 2 z i z z i     f)   2 2 4 z z   . g). z i z i   là số thực dương . 6). Tìm số phức z biết a). 2 5 z  và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó b).z thỏa mãn hệ 2 1 z i z z i z           7). Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời 1 1 z z i    và 3 1 z i z i    . Vấn đề 2 :CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC. I).Kiến thức cần nhớ: 1).Định nghĩa căn bậc hai của số phức  Số phức w x yi   ( , ) x y R  là căn bậc hai của số phức z a bi   2 2 2 2 x y a w z xy b          .  Số 0 có đúng một căn bậc hai là : 0 .  Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau.  Số thực 0 a  có hai căn bậc hai là : a  .  Số thực 0 a  có hai căn bậc hai là : i a   2). Phương trình bậc hai trên tập số phức .  Phương trình bậc hai có dạng : 2 0 , ( 0) Az Bz C A     (1)  Cách giải:  Tính 2 4 B AC     Nếu 0   thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : 1 2 , 2 2 B B z z A A         (  là một căn bậc hai của  )  Nếu 0   thì phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2 2 B z z A     Định lí Viet vẫn đúng đối với phương trình bậc hai hệ số phức.  1 2 B z z A    ; 1 2 . C z z A  3). Các ví dụ . Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau. a) 8 b). 5 + 12i Giải: Phạm Thanh Bình 5 Web site http://thpttanhiep.net/thanhbinh a). Ta có: -8 =   2 2 8 8 i i .Vậy -8 có hai căn bậc hai là 8 i  b). Gọi z = x + yi là căn bậc hai của 5 + 12i. Ta có:   2 2 2 5 (1) 5 12 2 12 (2) x y x yi i xy           Từ pt (2) suy ra y theo x thay vào (1) ta được 3 x   Với x = 3 ta có :y = 2. Do đó : z = 3+2i Với x = -3 ta có :y = -2. Do đó :z = -3 – 2i Vậy số phức 5 + 12i có 2 căn bậc hai là 3 + 2i và -3 – 2i. Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau. a). 2 i  b). 1 4 3. i   c). 1 2 6. i   d).   9 13 1 3 10 10 i i         . Ví dụ 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức. a). 2 2(1 2 ) 3 6 0 z i z i      Giải: a). Ta có:     2 2 ' 1 2 1.( 3 6 ) 2 1 i i i i           Gọi  là một căn bậc hai của '  .Chọn 1 i    . Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt : 1 (1 2 ) (1 ) 2 1 i i z i       ,     2 1 2 1 3 1 i i z i      b). 2 7 0 z z    . c). 2 8 4 1 0 z z    ( Đề tốt nghiệp THPT 2009 ) d).   2 1 2(1 ) 1 0 i z i z i       e). 2 2 . 1 0 z i z    ( Đề tốt nghiệp THPT 2009 ) f).   2 2 3 1 2 0 z i z i      . Ví dụ 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức. a).   2 1 6 3 0 z i z i      (Cao đẳng khối A năm 2010) b). 4 3 7 2 z i z i z i      (Cao đẳng khối A năm 2009) c).   4 2 2 2 0 z i z i     d).     2 3 1 0 z z i    . Ví dụ 5: Gọi 1 z và 2 z là hai nghiệm phức của phương trình : 2 2 10 0 z z    . Tính giá trị của bểu thức 2 2 1 2 A z z   . ( Đề đại học khối A năm 2009 ) Ví dụ 6: Tìm các số thực , b c để z = 2+ i là một nghiệm của phương trình 2 . 0 i z bz c    . II.Bài tập vận dụng: Phạm Thanh Bình 6 Web site http://thpttanhiep.net/thanhbinh 1).Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a) 5 b). 2 i  c). 4 6 5 i  d).8 + 6i 2).Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a).     4 3 2 1 3 z i i i      b). 4 3 3 2 i z i    3). Giải các phương trình sau trên C: a). 2 2 2 x x   (TN 2008 L2) b). 2 4 7 0 x x    (TN_THPT 2007) c). 2 1 0 z z    d). 2 2 3 5 0 z z    e). 4 2 5 4 0 z z    f). 4 1 0 z   4). Giải các phương trình sau trên C: a). 2 2 2 1 0 z z i     b).     2 1 5 3 10 0 i z i z      c).   2 2 3 5 0 z i z i      d). 4 2 3 4 0 z z    5). Giải các phương trình sau trên C: a).       2 3 1 0 z i z z i     b).     2 2 2 4 12 0 z z z z      6). Gọi 1 2 , z z là hai nghiệm của phương trình 2 (3 2 ) 5 5 0 z i z i      Không giải phương trình , hãy tính giá trị các biể thức sau: a). 2 2 1 2 z z  b). 3 3 1 2 z z  c). 1 2 2 1 z z z z  d). 2 2 1 2 1 2 z z z z  7).Tìm , b c R  để z = 1+ i là một nghiệm của phương trình 2 0 z bz c    . Phạm Thanh Bình 7 Web site http://thpttanhiep.net/thanhbinh Vấn đề 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG. I).Kiến thức cần nhớ: 1). Dạng lượng giác của số phức . Cho số phức   0 z a bi z    . Dạng lượng giác của số phức z là: (cos sin ) z r i     Trong đó :    2 2 0 r z a b r       là số thực sao cho cos ,sin a b r r       gọi là acgumen của z ,   , Ox OM   . Chú ý: Nếu  là Acgumen của z thì :    là Acgumen của z và 1 z     là Acgumen của z  . 2). Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác: Cho .(cos sin ) , .(cos ' sin ') z r i z r i          . ' . '[cos( ') .sin( ')] z z r r i            cos( ') .sin( ') ' ' z r i z r         3). Công thức Moa-vrơ : Với mọi số nguyên dương n ta có :   (cos sin ) (cos sin ) n n n z r i r n i n         4). Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: Số phức (cos sin ) z r i     luôn có hai căn bậc hai là . cos .sin 2 2 r i           . 5). Các ví dụ . Ví dụ 1: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: a). 1 3 z i   Giải : a).Ta có : 2 2 1 3 2 r    ;  thỏa 1 3 cos ; sin 2 2     .Ta chọn : 3    . Vậy 2 cos sin 3 3 z i           b). 4. z i   . c). 3 z  d).   sin cos z i      e). 3 1 i z i    Ví dụ 2: Viết dưới dạng lượng giác số phức Phạm Thanh Bình 8 Web site http://thpttanhiep.net/thanhbinh a).   4 3 1 3 ( 3 ) i z i    Giải: Ta có: 1 3 2 cos sin 3 3 i i              4 4 4 4 1 3 2 cos sin 16 cos sin 3 3 3 3 i i i                             3 2 cos sin 6 6 i i               3 3 3 ( 3 ) 8. cos sin 6 6 i i                          Do đó: 4 3 4 3 11 11 2 cos sin 2 cos sin 3 6 3 6 6 6 z i i                                     b). 1 (2 3 2 ) z i   c).     7 8 1 3 . 1 z i i    d). 1 sin .cos 0 2 z i                Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn   3 1 3. 1 i z i    .Tìm Môđun của số phức . z i z  . ( Đề đại học khối A 2010 ) Ví dụ 4. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a). Một acgumen của 1 2 z i   bằng 6  . b). Một Acgumen của z i  bằng một Acgumen của 1 z  . II.Bài tập vận dụng: 1).Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a).5i b). -7 c). -1 +i d). 3 i   e). 2 5. i  f). 4 1 3 i  2).Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác : a). 1 2 cos sin 6 6 z i           b). 2 2 2 cos sin 3 3 z i            c). 3 2 2 3 cos sin 3 3 z i             d). 2 4 sin 2 sin 2 z i     Phạm Thanh Bình 9 Web site http://thpttanhiep.net/thanhbinh 3).Cho các số phức 1 2 1 3 , 3 z i z i      . a).Viết 1 2 , z z dưới dạng lượng giác? b).Tính 8 6 1 1 1 2 1 3 5 2 2 2 1 . ; ; ; ; z z z z z z z z . 4).Dùng công thức Moa-vrơ tính : a).   16 1 i  b).     5 5 1 3 1 3 i i   c).       4 5 10 3 2 1 i i i   d).     10 9 1 3 i i   5).Cho các số phức 1 2 1 ; 3 z i z i      a).Tính 1 1 2 2 . ; z z z z b).Từ kết quả câu a hãy suy ra 13 cos 12  ; 7 sin 12  6).Viết dưới dạng đại số các số phức sau: a).     0 0 0 0 2 cos18 sin18 cos72 sin 72 z i i   b).     0 0 0 0 2 cos45 sin 45 3 cos15 sin15 i z i    c). 12 3 1 i z i           7). a).Chứng minh rằng 30 1 3 i i         là số ảo b).Chứng minh rằng 2007 1 3 2 2 i         là số thực 8).Tìm dạng lượng giác của các căn bậc hai của các số phức sau: a) cos sin i    b) sin cos i    c) sin cos i    9).Tìm số phức z sao cho 2 z z   và một acgumen của 2 z  bằng một acgumen của 2 z  cộng 2  ? 10). a).Tính cos5a và sin5a theo cosa và sina. b). Tính cos6a và sin6a theo cosa và sina. Phạm Thanh Bình 10 Web site http://thpttanhiep.net/thanhbinh MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG. ĐỀ 1 1) Tìm số phức liên hợp của z = (1 + i)(2 + 3i) 2) Tìm mođun của số phức z = 3 4 2 i i   3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =   2010 1 i 4) Tìm tập hợp điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn | z – i + 3| = 1 5) Tìm số phức z, biết 2 z = 1 + i 3 6) Giải các phương trình: a) 2 3 4 z z i    b) 2 5 0 z z    c) 4 3 2 6 9 100 0 z z z     ĐỀ 2 1) Tìm số phức liên hợp của z = (2 - i)(i + 3). 2) Tìm mođun của số phức z biết 1 1 2 i z i    3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =   2010 1 i 4) Tìm tập hợp điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn | z + 2i| 2  . 5) Tìm số phức z, biết 2 z = - 1 + i 3 . 6) Giải các phương trình: a) 2 3 4 z z i    b) 2 5 0 z z    c) 4 3 2 8 16 9 0 z z z     ĐỀ 3 1) Tìm số phức liên hợp của z = (3i+2)(i + 1). 2) Tìm mođun của số phức z = 4 3 2 i i   3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =   2012 1i  . 4) Tìm tập hợp điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z z i    . 5) Tìm số phức z, biết 2 z = -i 3 -1. 6) Giải các phương trình: a) 2 3 4 z z i    b) 2 2 5 0 z z    c) 4 3 2 4 4 25 0 z z z     . [...]...MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN 1) Tìm phần thực phần áo của số phức z biết : b) z 1  2.i   z  0 a) z  2.z  6  5.i c) 1  d) z  z  3  2i  z  3i 1 i 3.i 1  i   3 2 2) Giải phương trình sau trên tập số phức : a) 2 z 2  6 z  3  0 (cơ bản ) b) z 3  z 2  z  1  0 (nâng cao ) c) z   2  i  z  3  i  0 (nâng cao ) 3) Tìm số phức z biết : a) z  i  z  2 và... cao ) 4) Tìm các phương trình bậc hai hệ số thực có một trong các nghiệm sau : a) 3  i (cơ bản ) b) 5i 2i (nâng cao ) 5) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) z  2  3 b) 1 z là một số thực z 2 2 c) z  i  z  z  z  1 2 d) Một acgumen của z  2i bằng  ( nâng cao ) 4 6) Tìm căn bậc hai của số phức z biết z  z   2  i  ( Nâng... số thực z 2 2 c) z  i  z  z  z  1 2 d) Một acgumen của z  2i bằng  ( nâng cao ) 4 6) Tìm căn bậc hai của số phức z biết z  z   2  i  ( Nâng cao ) 7) Giải phương trình các sau trên tập số phức : a)  3  2i  z  i  i.z  2 b)  2  i  3  2i  z  2  Phạm Thanh Bình (cơ bản ) 1 z (nâng cao ) 11 Web site http://thpttanhiep.net/thanhbinh . 3 1 z i z i    . Vấn đề 2 :CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC. I).Kiến thức cần nhớ: 1).Định nghĩa căn bậc hai của số phức  Số phức w x yi   ( , ) x. http://thpttanhiep.net/thanhbinh Vấn đề 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG. I).Kiến thức cần nhớ: 1). Dạng lượng giác của số phức . Cho số phức   0 z a bi z    . Dạng lượng giác của số phức z là: (cos. http://thpttanhiep.net/thanhbinh MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG. ĐỀ 1 1) Tìm số phức liên hợp của z = (1 + i)(2 + 3i) 2) Tìm mođun của số phức z = 3 4 2 i i   3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =   2010 1