Chun đề S Ố PH ỨC Luyện thi Đại học 2011 “Chỉ sợ những ai khơng chịu cố gắng ! Còn các em?” CHUN ĐỀ: S Ố PHỨC Chủ đề: SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN I- LÝ THUYẾT: 1/ Tập hợp số phức: * N N Z Q R CÌ Ì Ì Ì Ì 2/ Số phức (dạng đại số): 2 ( ) : phÇn thùc : víi ( ) : phÇn ¶o : §¬n vi ¶o: 1 Ỵ ì ï " Ỵ = + Ỵ í ï = - ỵ a z z a bi b i i Nhận xét: + lµ sè thùc khi 0 : = = Ỵz b z a + lµ sè thn ¶o khi 0 : z a z bi= = 3/ Hai số phức bằng nhau: 1 1 1 2 2 2 vµ . z a b i z a b i= + = + 1 2 1 2 1 2 a a z z b b = ì = Û í = ỵ 4 / Biểu diễn hình học: Số phức z a bi= + (a, b ) Ỵ được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi ( ; ) u a b= trong mp(Oxy) (mp phức) 5 / Cộng và trừ số phức: (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’ )Ỵ · Số đối của z = a + bi là: – z = - a – bi (a, b ) R Ỵ 6/ Nhân hai số phức: (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’ ) Ỵ . 7/ Số phức liên hợp của số phức z a bi= + là z a bi= - a) ; ' '; . ' . 'z z z z z z z z z z= + = + = b) z là số thực z zÛ = ; z là số ảo z zÛ = - 8/ Môđun của số phức: z a bi = + a) 2 2 z a b zz OM= + = = b) 00,0 = Û = Ỵ" ³ zz C zz 9/ Chia hai số phức: 1 1 1 2 2 2 vµ . z a b i z a b i= + = + Lúc đó : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b i a b i a b i a b i z a b i z a b i a b i a b i a b + - + - + = = = + + - + II- LUY ỆN TẬP: 1) Chứng minh rằng: 1 2 , , " Ỵz z z , ta có: a) (z ) 0 ¹ : 2 1 z z z = b) 2 .z z z= c) 1 2 1 2 . .z z z z= d) 1 1 2 2 z z z z = e) zz zz z zz zz z z '' ' ' 2 1 === - f) . ' ' , ' ' , 'z z z z z z z z z z= + £ + " Ỵ M ( a ; b ) b a y x O Chuyờn S PH C Luyn thi i hc 2011 Ch s nhng ai khụng chu c gng ! Cũn cỏc em? 2) Th c hin cỏc phộp tớnh sau: a) (3 5i) + (2 + 4i) b) (11 6i) (2 4i) c) (2 4i)(3 + i) d) 2i(3 8i) e) (3 + 2i)(1 i) + (3 2i)(1 + i) f) 2 + i 5 3i g) 4 3i i h) 1 + 2i 1 2i + 1 2i 1 + 2i k) ( 2 + i)(1 2i) 2 i + ( 2 i)(1 + 2i) 2 + i l) ( 2 + i) + (1 + i)(4 3i) 3 + 2i m) ( 3 i)(1 + 2i) 1 2i + 4 3i 4) Tớnh cỏc biu thc sau: a) 2 3 4 5 100 1008 2009 , , , , , , i i i i i i i . T ú suy ra cỏch tớnh i n v i n ẻ b) (1 + i) 2 ,(1 + i) 3 ,(1 + i) 4 ,(1 + i) 5 , (1 + i) 2006 , (1 i) 2006 (1 + i) 3 (1 i) 4 c ) 5 + i (1 + i)(2 3i) d) 33 1 1 i i + ổ ử ỗ ữ - ố ứ + (1 i) 10 + (2 + 3i)(2 3i) + 1 i e) cos 2p 3 + i.sin 2p 3 5 (cos 7 p 6 + i.sin 7 p 6 ) ố ỗ ổ ứ ữ ử cos p 3 + i.sin p 3 ( 4i) 5) Phân tích ra thừa số phức a/ 2 1a + b/ 2 2 3a + c/ 2 2 4 9a b+ d/ 2 2 3 5a b+ 6) Thực hiện các phép tính a/ ( ) 3 cos120 sin120 o o i + (cos45 sin 45 ) o o i+ b/ ( ) 2 cos18 sin18 o o i + (cos72 sin 72 ) o o i+ c/ 5 cos sin 3 cos sin 6 6 4 4 p p p p ổ ử ổ ử + + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ i i d) cos85 sin85 cos40 sin 40 i i + + e/ 2 2 2 cos sin 3 3 2 cos sin 2 2 p p p p ổ ử + ỗ ữ ố ứ ổ ử + ỗ ữ ố ứ i i f/ ( ) ( ) 2 cos 45 sin 45 3 cos15 sin15 + + i i g/ ( ) 7 5 cos sin . 1 3 3 3 p p ổ ử - + ỗ ữ ố ứ i i i h/ 2008 2008 1 z z + biết 1 1z z + = 7)Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thoả mãn mỗi điều kiện sau: a) Ph n th c b ng i ph n o b) 1 1z + < c) 1 2z i< - < d) Ph n o b ng 2 l n ph n th c c ng 1 e) 2 1 2 3iz z- = + f) Ph n th c b ng ph n o g) 2 2 2 1i z z- = - h) T ng c ỏc bỡnh ph ng c a ph n th c v ph n o b ng 1, p h n th c 0 k) Ph n th c khụng v t quỏ ph n o l) Ph n o l n h n 1 m) Ph n o 1< , ph n th c 1> 1/ | 3| 4z z+ + = 2/ | 1 | 2z z i- + - = 3/ 2 | | | 2 |z i z z i- = - + 4/ ( ) 2 2 | | 4z z- = 5/ | 2 | | |z i z+ = - 6/ | 2 | | 2|z z+ > - 7/ | 4 | | 4 | 10z i z i- + + = 8/ 1 | 1 | 2z iÊ + - Ê 8) Tỡm s ph c z , bi t : a) z 2, và z là số thuần ảo= b) z 5, phần thực bằng 2 lần phần ảo= 9) T ỡm s th c , x y tho m ón i u ki n : a) 2 5 b) ( 1) 3( 1) 5 6 c) (2 3 1) ( 2 ) (3 2 2) (4 3) d) 2 1 (1 2 ) 2 (3 2) e) 4 3 (3 2) 1 ( 3) + = + + + - = - + + + - + = - + + - - + + - = - + - + + - = + + - x i yi x y i i x y x y i x y x y i x y i x y i x y i y x i f) 2 (2 ) 2 ( 2 )+ + - = + + +x y x y i x y x y i Chuyờn S PH C Luyn thi i hc 2011 Ch s nhng ai khụng chu c gng ! Cũn cỏc em? Ch : PH NG TRèNH GI I TRONG T P I- Lí THUYT: 1. Cn b c hai ca s thc õm: 2 2 Do 1 nên ta nói là một căn bậc hai của 1 và cũng là một căn bậc hai của 1 do ( ) 1 = - - - - - = - i i i i - = - 2 Tơng tự, căn bậc hai của 5 là 5 do ( 5) 5i i Tổng quát: Căn bậc hai của số thực âm là: a i a 2. Phng trỡnh bc nh t vi h s ph c : = ẻ = ẻ Dạng phơng trình: (*) , (*) az b a b b z a 2. Phng trỡnh bc hai vi h s thc: + + = ẻ ạ = - = - - > 2 2 0 1,2 Cho phơng trình: 0 (*) với , , , 0. Xét 4 TH 1: 0, phơng trình (*) có một nghiệm = . 2 TH 2: 0, phơng trình (*) có hai nghiệm = 2 ax bx c a b c a b ac b thực x a b thực x a < TH 3: 0, phơng trình (*) ô nghiệm . Nhng nếu giải (*) trên tập thì có hai căn bậc hai là: nên (*) có hai nghiệm phức là: kh ng có thực i - 1,2 = 2 b i x a 3. M r ng : Gii phng trỡnh bc hai vi cỏc h s phc ( ) + + = ẻ = - ẻ = + = 2 2 2 Đặt vấn đề: Cho phơng trình 0 (*) với , , , Xét 4 Nếu tìm đợc căn bậc hai của , thì bài toán hoàn toàn đợc giải quyết. Gọi là một căn bậc hai của . Lú ax bx c a b c b ac z a bi z - = ẻ 1,2 c đó: phơng trình (*) có nghiệm là: 2 b z x a CH í: Phát biểu và chứng minh định lí đảo và thuận của định lí Vi-et của phơng tình bậc hai với hệ số phức. Thuận: Nếu hai số 1 2 v x x là hai nghiệm của phơng trình 2 0ax bx c+ + = v i , , , 0 a b c aẻ ạ thì 1 2 1 2 b x x a c x x a ỡ + = - ù ù ớ ù = ù ợ Chứng minh: Theo công thức nghiệm của pt bậc hai với hệ số phức ta có: Chuyờn S PH C Luyn thi i hc 2011 Ch s nhng ai khụng chu c gng ! Cũn cỏc em? 1 2 2 2 1 2 2 2 2 . 2 2 4 b b b x x a a a b b b c x x a a a a - + - - ổ ử + = + = - ỗ ữ ố ứ - + - - - ổ ử ổ ử = = = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ d d d d d Đảo: Nếu hai số ; a b thoả mãn: v .S P+ = = a b a b thì ; a b là nghiệm của pt: 2 0x Sx P- + = .(1) Chứng minh : Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 (1) 0 0 x x x x x x = ộ - + + = - - = ờ = ở a a b ab a b b Điều này chứng tỏ ; a b là nghiệm của (1). II- LUYN TP: Bi tp 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a) 5 12 b) 8 6 c) 33 56 d) 3 4 i i i i- + + - - + Bi tp 2: Gi i cỏc ph ng trỡnh sau: 1) i i z i i + +- = - + 2 31 1 2 2) 0) 2 1 ](3)2[( =+++- i iz i z i 3) i zz 422 -=+ 4) 0 2 =- zz 5) 0 2 =+ zz 6) 0 2 2 = + zz 7) 2 1 3 1 2 i i z i i + - + = - + 8) 2 1 8 z z i- = - - 9) 2 3 1 12 z z i- = - 10) 1 (2 ) 3 0 2 ổ ử ộ ự - + + + = ỗ ữ ở ỷ ố ứ i z i iz i 11) 2 0 z z+ = 12) 2 0z z+ = Bi tp 3: Gi i c ỏc h ph ng tr ỡnh sau: 1) 12 5 8 3 4 1 8 z z i z z ỡ - = ù - ù ớ - ù = ù - ợ 2) 1 1 3 1 z z i z i z i ỡ - = ù - ù ớ - ù = ù + ợ 3) 1 2 2 2 1 2 . 5 5 5 2 z z i z z i = - - ỡ ớ + = - + ợ 4) 1 2 2 2 1 2 4 5 2 z z i z z i + = + ỡ ớ + = - ợ 2 2 2 4 0 5) 6) 2 1 z i z u v uv u v i z i z ỡ - = ỡ + + = ù ớ ớ + = - = - ù ợ ợ Bi t p 4: Cho 1 2 ,z z là hai nghiệm của phơng trình ( ) ( ) 2 1 2 3 2 1 0 i z i z i+ - + + - = . Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ) ) ) z z a A z z b B z z z z c C z z = + = + = + Bi t p 5: Gi i cỏc ph ng trỡnh sau trờn : 2 2 3 1) 3 2 0 2) 1 0 3) 1 0x x x x x+ + = + + = - = 4) 3 3 24 0x - = 5) 4 2 16 0x + = 6) 5 ( 2) 1 0x + + = 7) 2 6 34 0z z- + = 8) 052 2 = ++ zz 9) 4 2 3 0z z+ - = 10) 3 8 0z - = 11) 01 3 =+ z 4 2 12) 6 25 0z z- + = Chuyờn S PH C Luyn thi i hc 2011 Ch s nhng ai khụng chu c gng ! Cũn cỏc em? Bi tp 6: Gi i cỏc ph ng trỡnh sau trờn : + + + = + + - = + + + + - = + + + + = - - + + = 2 2 2 2 2 1) (1 ) 5 0 2) 2 4 2 0 3) (1 ) (8 ) 3(5 2 ) 0 4) 2(1 ) 4 2 0 5) 2(2 ) 18 4 0 x i x i x x i i x i x i x i x i x i x i + + - = + - - + - = + + - = + + - + = + = - = 2 2 4 2 4 2 3 3 6) 4 4 0 7) (1 2 ) (1 5 ) 2( 3) 0 8 ) 2 2 2 2 1 0 9) (3 2 2) 4 8 2) 0 10) 0 11) 0 ix x i i x i x i x ix i x i x i z i z i ( ) + ổ ử + + = = ỗ ữ - ố ứ 4 5 12) 2 1 0 13)* 1 z i x z i MT S BI TP CHN LC 1) A- 2009 Gi z 1 v z 2 l 2 nghim phc ca phng trỡnh: z 2 +2z+10=0. Tớnh giỏ tr ca biu thc A = ẵz 1 ẵ 2 + ẵz 2 ẵ 2 2) B- 2009 Tỡm s phc z tho món : z (2 i) 10 v z.z 25 - + = = 3) D- 2009 Trong m t phng ta Oxy, tỡm tp hp im biu din cỏc s phc z tha món iu kin z (3 4i) 2- - = . 4) A- 2010 a) Tỡm phn o ca s phc z , bit ( ) ( ) 2 2 1 2 . z i i= + - b) C ho ph c z th a món: ( ) 3 1 3 1 i z i - = - . Tỡm mụun ca s phc z iz+ . 5) B- 2010 Trong m t phng ta Oxy, tỡm tp hp im biu din s phc z tha món (1 ) .z i i z- = + 6) D- 2010 Tỡm s phc z th a món: 2z = v 2 z l s thun o. 7) T t nghi p 2008 ( ) ( ) = + + - 2 2 Tính giá trị của biểu thức: 1 3 1 3P i i 8) T t nghi p 2008 L2 - + = 2 Giải phơng trình: 2 2 0 trên tập số phức.x x 9) T t nghi p 2009 - + = - + = = + 2 2 2 1) Giải phơng trình: 8z 4 1 0 trên tập số phức. 2) Giải phơng trình: 2z 1 0 trên tập số phức. 3) Cho số phức 3- 2 . Xác định phần thực và phần ảo của số phức: z iz z i z z 10) Tt nghip 2010 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1) Cho số phức 1 2 và 2 3 . Xác định phần t hực và phần ảo của số phức 2 2) Cho số phức 2 5 và 3 4 . Xác định phần thực và phần ảo của số phức . 3) Giải phơng trình 2 6 5 0 trê = + = - - = + = - + + = z i z i z z z i z i z z z z n tập số phức. 11) (THTT/1 /2009) Kí hiệu x 1 , x 2 là hai nghiệm phức của phơng trình bậc hai: 0122 2 =+- xx . 8) Tính giá trị các số phức 2 1 1 x và 2 2 1 x . Chuyờn S PH C Luyn thi i hc 2011 Ch s nhng ai khụng chu c gng ! Cũn cỏc em? 12) Chng minh 12 1 3 ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ + +- = i i z l mt s thc. 1 3) Gi i phng trỡnh : 2 1 3 1 2 i i z i i + - + = - + 4 3 14) Tìm số phức z thoả mãn: 1 15) Tìm các số thực x, y thoả mãn: ( 1 4 ) (1 2 ) 2 9 16) Tính căn bậc hai của số phức: 15 112 + ổ ử = ỗ ữ - ố ứ - + + + = + + z i z i x i y i i i b/ ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 z z z z z z z z ổ ử ổ ử + + + ỗ ữ ỗ ữ + + ố ứ ố ứ v i 1 2 0; 0z zạ ạ 17) Tỡm giỏ tr nh nh t c a | | z n u | 2 2 | 1 z i- + = . 18) Cho bi t 1 | |z a z + = . Tỡm s ph c z c ú mụdun l n nh t , m ụ un nh nh t . 1 9) Tìm các số nguyên x,y sao cho số phức z x yi= + thoả mãn 3 18 26z i= + . 20) Cho hai số phức 1 2 z z , thoả mãn 1 2 1 2 1 3 z z z z= = + =; . Tính 1 2 z z- . 21) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phức 1 3 2i zw = + +( ) biết rằng số phức z thoả mãn: 1 2z - Ê . 22) Tính môđun và xác định phần thực, phần ảo của các số phức sau: 6 1) 3 2 i z i - = + 2) ( ) ( ) 2 2 7 3 2z i i= - - - 3) ( ) 3 4 3 1 z i i= - + - . Còn các em?” CHUN ĐỀ: S Ố PHỨC Chủ đề: SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN I- LÝ THUYẾT: 1/ Tập hợp số phức: * N N Z Q R CÌ Ì Ì Ì Ì 2/ Số phức (dạng đại số) : 2 ( ) : phÇn. 2 0 trên tập số phức. x x 9) T t nghi p 2009 - + = - + = = + 2 2 2 1) Giải phơng trình: 8z 4 1 0 trên tập số phức. 2) Giải phơng trình: 2z 1 0 trên tập số phức. 3) Cho số phức 3- 2 . Xác. phần thực và phần ảo của số phức: z iz z i z z 10) Tt nghip 2010 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1) Cho số phức 1 2 và 2 3 . Xác định phần t hực và phần ảo của số phức 2 2) Cho số phức 2 5 và 3 4 . Xác