O D A B C TỨ GIÁC NỘI TIẾP 1.ĐỊNH NGHĨA: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn ta gọi là tứ giác nội tiếp trong đường tròn ( gọi tắt là tứ giác nội tiếp ). 2.ĐỊNH LÝ1: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối bằng 180 0 Chứng minh: Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn, ta chứng minh 0 180 A C ( hay 0 180 B D ). Ta có: 1 2 1 2 DAB DCB DCB DAB 0 0 1 1 ( ) 360 180 2 2 DAB DCB DCB DAB Tức là: 0 180 A C 3.ĐỊNH LÝ 2: Đảo lại, nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp được trong đường tròn. Chứng minh: Giả sử tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc 0 180 A C ta chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn. Vì luôn có đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác nên ta dựng đường tròn (O) đi qua ba đỉnh A, B, D. Và ta chứng minh điểm C cũng nằm trên đường tròn này. Thật vậy ta có: n m O B A D C Cung BmD là cung chứa góc 0 180 A ( nghĩa là mọi điểm nằm trên cung BmD đều nhìn đoạn thẳng BD dưới một góc là 0 180 A ). Mà 0 180 BCD A ( giả thiết ) nên điểm C cũng thuộc cung BmD , tức là bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O). A B C D A B C D E 4.DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP: - DH 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 - DH 2: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. - DH 3: Nếu tam giác ABC có đoạn thẳng DE cắt và tạo ra những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ: B D BE B C B A thì tứ giác ADEC nội tiếp. - DH 4: Nếu ta xác định được một điểm cách đều bốn đỉnh của tứ giác thì tứ giác đó nội tiếp. - DH 5: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp. D C B A 1 2 2 1 1 1 O I B C A H 5. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho tam giác ABC có đường phân giác BN. Từ A kẻ một tia vuông góc với tia BN cắt BC tại H. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh bốn A, O, H, C cùng nằm trên một đường tròn. Bài 2: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại M và P. Tiếp tuyến tại M của (O1) cắt (O2) tại A, tiếp tuyến tại M của (O2) cắt (O1) tại B. Trên tia đối của tia PM lấy H sao cho PH = PM. Chứng minh bốn điểm M, A, H, B thuộc một đường tròn. Giải: Bài 1: M O1 P O2 H A B Cách 1: Ta sẽ chứng minh góc A1 bằng góc C1 từ đó suy ra điều phải chứng minh. Ta có: 0 1 1 90 A O ( vì ∆ AOI vuông tại I ) Mà 1 2 2 O A B ( góc ngoài của tam giác ) = 2 2 A B Vậy 0 1 90 ( ) 2 2 A B A Ta lại có: 0 1 180 ( ) 2 2 C A B C = 0 90 ( ) 2 2 A B Vậy 1 1 A C Cách 2: Ta chứng minh góc 1 OAC H Ta có 2 O A C A ( do OA là phân giác ) Mặt khác tam ABH có BI vừa là phân giác vừa là đường cao nên ∆ ABH cân tại B, vậy BI là trung trực của đoạn thẳng AH mà B và O đều nằm trên đường trung trực BI nên suy ra 2 1 A H hay 1 OAC H Bài 2: Ta có 1 1 2 1 M A M B ∆ BMP đồng dạng ∆ MAP Nên BM MA MA BP MP PH MB PB MA PH . Mà ta có BMA BPA . Vậy ∆ BMA đồng dạng ∆ BPH, tức là BAM BHP (đpcm ). Vẫn còn cách khác mời các em tìm xem. Chúc thành công. Thầy Nguyễn Hoàng Lâm Cellphone 01666 34 94 73 . O D A B C TỨ GIÁC NỘI TIẾP 1.ĐỊNH NGHĨA: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn ta gọi là tứ giác nội tiếp trong đường tròn ( gọi tắt là tứ giác nội tiếp ). . cách đều bốn đỉnh của tứ giác thì tứ giác đó nội tiếp. - DH 5: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp. D C B A 1 2 2 1 1 1 O I B C A H . cung BmD , tức là bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O). A B C D A B C D E 4.DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP: - DH 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 - DH 2: Tứ giác có góc