SKKN Các dãy số môn Toán lớp 11

toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức sốhạng tổng quát của dãy số.. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được côngthức tổng quát của

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức sốhạng tổng quát của dãy số Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được côngthức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết

Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát của dãy số “ vàkết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai phân “ qua một số chuyên đề màbản thân tác giả đã được học

Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định công thứctổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán Đây cũng là đề tài và bàigiảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệuhọc sinh và đồng nghiệm tham khảo

Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống của ‘ Lý thuyết

phương trình sai phân “ Tuy nhiên những vấn đề áp dụng kiến thức toán học hiện đại

chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt và giới hạn trong trường số thực

Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy

số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể Qua đó, người đọc có thể trang bị thêmcho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Đặc biệt các thầy cô cóthể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trìnhbày trong đề tài

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY

SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

A PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT

Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng

Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng 1 và

Tìm u n thoả mãn điều kiện

B PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng

*

trong đó a,b,c,  , là các hằng số , a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước

(NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có hainghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực ,tức là chỉ xét nghiệm thực )

Giải phương trình đặc trưng a.2 b. c 0 tìm  Khi đó

1) Nếu  1, 2 là hai nghiệm thực khác nhau thì 1n 2n

n

u A B , trong đó A và B đượcxác định khi biết u u1, 2

2) Nếu  1, 2 là hai nghiệm kép 1 2  thì   n

n

xác định khi biết u u1, 2

Bài toán 5: Tìm u n thoả mãn điều kiện sau

1) Nếu #1 thì *

n

u là đa thức cùng bậc với f n

2) Nếu  1 là nghiệm đơn thì u*n n g g ,n n là đa thức cùng bậc với f n

3) Nếu  1 là nghiệm kép thì u n* n g g.2 n, n là đa thức cùng bậc với f n ,

Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 )

Tìm u n thoả mãn điều kiện

C PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA

Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trình sai phân dạng

u  u  u  a u  bu  c u d u  f n (a.1)

trong đó a,b,c, d, ,,  là các hằng số , a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước

(NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn có banghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực ,tức là chỉ xét nghiệm thực )

Xét phương trình đặc trưng

b) Nếu   1 (nghiệm đơn ) thì u*n n g n g n là đa thức cùng bậc với f n

c) Nếu   1 (bội 2 ) thì u*n n g2 n g n là đa thức cùng bậc với f n

d) Nếu   1 (bội 3) thì u n* n g3 n g n là đa thức cùng bậc với f n

Bài toán 9: Tìm dãy số a nbiết rằng

Trừ các vế của (10.1) cho (10.2) ta thu được

có nghiệm   1 là nghiệm bội bậc ba

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (10.4) là

Điều này chứng tỏ A là một số chính phương

Bài toán 11: Cho dãy số  x n được xác định theo công thức sau

Dễ thấy y n x nmod1997 Do đó chỉ cần chứng minh

Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356)

Cho dãy số  u i ( i=1,2,3,4…)được xác định bởi

F XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRUY HỒI

Nhận xét : Nội dung của đề tài trên giúp bạn đọc tìm ra công thức tổng quát của một lớp

dãy số có tính chất truy hồi một cách chính xác nhất, giúp các Thầy cô kiểm tra kết quảbài toán theo cách giải khác Bên cạnh đó ta có thể tiến hành xây dựng thêm các bài toánmới về dãy số

Dưới đây là một số ví dụ “ xây dựng thêm các bài toán về dãy số có tính quy luật “chỉ mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu và phát triển rộnghơn các bài toán khác về dãy số

Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình

 1 9  0 2 8 9 0 (12.1)phương trình (12.1) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số có quy luật.Chẳng hạn dãy số u n được xác định theo công thức sau

có thể cho u0 2,u1 8 Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau

Bài toán 1: Cho dãy số x n xác định như sau

Xác định công thức của dãy số x n

Bài toán 2: Cho dãy số x n xác định như sau

Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau

Bài toán 1: Xác định công thức của dãy số x n thoả mãn các điều kiện sau

Bài toán 3: Cho dãy số x n xác định như sau

1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biết vậndụng ở dạng cơ bản xác định được công thức của dãy số

2) Một số đề thi học sinh giỏi, Học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương pháp trìnhbày trong đề tài để giải bài toán

3) Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo

4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về dãy sốXây dựng phương pháp giảng dậy theo quan điểm đổi mới là việc mà toàn xã hội

và nghành đang quan tâm Tuy nhiên, trong một số lớp bài toán bậc THPT ta có thể sửdụng một số kết quả của toán học hiện đại để xây dựng phương pháp giải toán sơ cấp làmột vấn đề ít được chú ý Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn

về mối quan hệ giữa “Toán học hiện đại” và “Phương pháp toán sơ cấp ” Qua đó ta

có thể tìm được phương pháp giải, xây dựng các lớp bài toán ở bậc THPT

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân Nhà xuất bản Đại Học Quốc

Gia Hà Nội 2004

2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất bản Giáo Dục

3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất bản GiáoDục

4) Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất bản Giáo Dục

5) Trần Chí Hiếu – Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn các bài toán PTTH Đại số và giải

tích 11, Nhà xuất bản Giáo Dục

6) Nguyễn Văn Mậu , Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nhà xuất bản Giáo Dục

-2003

Trị đặc trưng và vector đặc trưng

23 tháng 10, 2007

Eigenvalues và eigenvectors xuất hiện cực kỳ nhiều trong các ngành khoa học và kỹthuật: Vật Lý, xác suất thống kê, KHMT, lý thuyết đồ thị, v.v Để hiểu ý nghĩa củachúng, có hai hướng nhìn thông dụng, áp dụng được trong rất nhiều trường hợp

1 Loại động cơ (motivation) thứ nhất.

Trong nhiều ứng dụng ta thường phải làm phép tính sau đây: cho trước một ma trận A vànhiều vectors x, tính với nhiều giá trị khác nhau của số mũ Ví dụ 1: nếu A là matrận của một phép biến đổi tuyến tính (linear transformation) nào đó, như phép quay và

co dãn trong computer graphics chẳng hạn, thì cho ra kết quả của phép BĐTT này ápdụng k lần vào x Các games máy tính hay các annimations trong phim của Hollywood có

vô vàn các phép biến đổi kiểu này Mỗi một object trong computer graphics là một bộ rấtnhiều các vector x Quay một object nhiều lần là làm phép nhân với từng vectors xbiểu diễn object đó Khối lượng tính toán là khổng lồ, dù chỉ trong không gian 3 chiều Ví

dụ 2: nếu A là transition matrix của một chuỗi Markov rời rạc và x là distribution củatrạng thái hiện tại, thì chính là distribution của chuỗi Markov sau k bước Ví dụ 3:các phương trình sai phân (difference equation) như kiểu phương trình

cũng có thể được viết thành dạng để tính với k tùy ý Ví

dụ 4: lũy thừa của một ma trận xuất hiện tự nhiên khi giải các phương trình vi phân, xuấthiện trong khai triển Taylor của ma trận chẳng hạn

Tóm lại, trong rất nhiều ứng dụng thì ta cần tính toán rất nhanh lũy thừa của một ma trậnvuông, hoặc lũy thừa nhân một vector

Mỗi ma trận vuông đại diện cho một phép BĐTT nào đó Lũy thừa bậc k của ma trận đạidiện cho phép biến đổi này áp dụng k lần Ngược lại, bất kỳ phép BĐTT nào cũng có thểđược đại diện bằng một ma trận Có rất nhiều ma trận đại diện cho cùng một BĐTT, tùytheo ta chọn hệ cơ sở nào Mỗi khi ta viết một vector dưới dạng là ta đãngầm định một hệ cơ sở nào đó, thường là hệ cơ sở trực chuẩn ,

, và Các tọa độ 3, -2, 5 của x là tương ứng với tọa độ của xtrong hệ cơ sở ngầm định này

Hệ cơ sở như trên thường được dùng vì ta “dễ” hình dùng chúng trong khônggian n chiều, chúng là sản phẩm phụ của hệ tọa đồ Descartes cổ điển hay dùng trongkhông gian 2 chiều Tuy nhiên, khi áp dụng một phép BĐTT thì các vectors

thường cũng bị biến đổi theo luôn, rất bất tiện nếu ta phải tính cho nhiều giá trị k và

x khác nhau

Bây giờ, giả sử ta tìm được hướng độc lập tuyến tính và bất biến qua phép BĐTT đạidiện bởi A (Đây là giả sử rất mạnh, may mà nó lại thường đúng trong các ứng dụng kểtrên.) Dùng vector để biểu diễn hướng thứ Bất biến có nghĩa là áp dụng A vàohướng nọ thì hướng không đổi Cụ thể hơn, BĐTT A làm hướng “bất biến” nếu

với là một con số (scalar) thực hoặc phức nào đó (dù ta giả sử A là thực) Docác hướng này độc lập tuyến tính, một vector x bất kỳ đều viết được dưới dạng

Nếu ta lấy làm hệ cơ sở thỡ cỏi hay là cú ỏp dụng A bao nhiờu lần thỡ cũngkhụng đổi hướng của cỏc vectors trong hệ cơ sở! Điều này rất tiện lợi, bởi vỡ

Như vậy, thay vỡ tớnh lũy thừa bậc cao của một ma trận, ta chỉ cần tớnh lũy thừa của ncon số và làm một phộp cộng vectors đơn giản Cỏc giỏ trị là cỏc trị đặc trưng(eigenvalues) của A, và cỏc vectors là cỏc vector đặc trưng (eigenvectors)

Tiếp tục với giả thiết rất mạnh là n eigenvectors độc lập tuyến tính với nhau Nếu ta bỏcác vectors này vào các cột của một ma trận , và các eigenvalues lên đường chéo củamột ma trận thì ta có Trong trường hợp này ma trận A có tínhdiagonalizable (chéo hóa được) Diagonalizability và sự độc lập tuyến tính của neigenvectors là hai thuộc tính tương đương của một ma trận Ngược lại, ta cũng có

, và vì thế lũy thừa của A rất dễ tính: do lũy thừa của một matrận đường chéo rất dễ tính

Cụm từ “khả năng đường chéo hóa được” (diagonalizability) nghe ghê răng quá, có bạnnào biết tiếng Việt là gì không?

Nếu ta biết được các eigenvectors và eigenvalues của một ma trận thì — ngoài việc tính

lũy thừa của ma trận — ta còn dùng chúng vào rất nhiều việc khác, tùy theo ứng dụng ta

đang xét Ví dụ: tích các eigenvalues bằng với định thức, tổng bằng với trace, khoảngcách giữa eigenvalue lớn nhất và lớn nhì của transition matrix của một chuỗi Markov đotốc độ hội tụ đến equilibrium (mixing rate) và eigenvector đầu tiên là steady statedistribution, vân vân

Quay lại với cái “giả thiết rất mạnh” ở trên Có một loại ma trận mà giả thiết này đúng;

và hơn thế nữa, ta có thể tìm được các eigenvectors vuông góc nhau, đó là các normalmatrices Rất nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật cho ta các normal matrices Cáctrường hợp đặc biệt thường thấy là các ma trận (thực) đối xứng và các ma trận Hermitian(đối xứng theo nghĩa phức)

Còn các ma trận không thỏa mãn “giả thiết rất mạnh” này, nghĩa là không diagonalizable,thì làm gì với chúng? Ta có thể tìm cách làm cho chúng rất “gần” với một ma trận đườngchéo bằng cách viết chúng thành dạng chuẩn Jordan Đề tài này nằm ngoài phạm vi bàiđang viết.

2 Loại động cơ (motivation) thứ hai.

Trong rất nhiều ứng dụng, ta “được” làm việc với một ma trận đối xứng: nó có đủ bộeigenvectors, do đó diagonalizable và vì thế có thể thiết kế các thuật toán hiệu quả chocác bài toán tương ứng Không những đối xứng, chúng còn có một thuộc tính mạnh hơnnữa gọi là positive (semi) definite, nghĩa là các eigenvalues đều không âm Ví dụ 1: bàitoán least squares có ứng dụng khắp nơi (linear regression trong statistics chẳnghạn) dẫn đến ma trận symmetric positive (semi) definite Ví dụ 2: bài toán xác địnhxem một một điểm tới hạn của một hàm đa biến bất kỳ có phải là điểm cực tiểu haykhông tương đương với xác định xem ma trận đối xứng Hessian của các đạo hàm bậc haitại điểm này là positive definite Ví dụ 3: ma trận covariance của một random vector(hoặc một tập hợp rất nhiều sample vectors) cũng là positive (semi) definite

Nếu A là một ma trận symmetric positive definite thì ta có thể hiểu các eigenvectors vàeigenvalues theo cách khác Bất phương trình

trong đú c là một hằng số dương là một bất phương trỡnh bậc 2 với n biến (cỏctọa độ của vector x) Nghiệm của nú là cỏc điểm nằm trong một hỡnh e-lớp trong khụnggian n chiều (Ellipsoid) mà n trục của ellipsoid chớnh là hướng của cỏc eigenvectors của

A, và chiều dài cỏc trục tỉ lệ nghịch với eigenvalue tương ứng (tỉ lệ với nghịch đảo của

căn của eigenvalue) Đõy là trực quan hỡnh học phổ biến thứ hai của eigenvectors vàeigenvalues

Trong trường hợp của Principal Component Analysis (PCA) như có bạn đã hỏi trongphần bình luận bài tư duy trừu tượng, thì ta có thể hiểu nôm na về sự xuất hiện của eigen-vectors/values như sau Giả sử ta có một đống các sample vectors (data points) trên mộtkhông gian n chiều nào đó Các tọa độ là exponentially distributed (Gaussian noise chẳnghạn) Thì đa số các vectors này tập trung trong một ellipsoid định nghĩa bởi covariancematrix (positive semi-definite) Trục dài nhất của ellipsoid là trục có variance cao nhất,nghĩa là SNR cao Trục này chỉ cho ta hướng biến thiên quan trọng nhất của data PCAlấy các trục của ellipsoid làm hệ cơ sở, sau đó lấy k trục dài nhất làm principalcomponents để biểu diễn data (Dĩ nhiên, ta phải shift cái mean về gốc tọa độ trước khiđổi hệ cơ sở.)