Đề cương ôn tập học kì 2 môn toán lớp 11

a Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.. Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC.. CMR: Các mặt bên của hình c

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11

A ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN

1/ Chứng minh dãy số (u n) có giới hạn 0

Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, n và lim vn = 0 thì limun = 0

- Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim1 0

n  , lim 1 0

n  , lim31 0

n  , limq  n 0với |q| < 1

2/ Tìm gi ới hạn của dãy s ố, của hàm số.

- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:

+) Nếu limun = + thì lim 1 0

 ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia

tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử

và mẫu với một lượng liên hợp;…

u v

0

x f

x

0

x g

x x

Dấu của

)(lim

0 g x

x f

x x

1 2

4

1 1 4

3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải: Sử dụng công thức: u 1

2 1 (

3) lim 2

3

31

2

n

n n





4) lim

252

3

3

3 2







n n

n n

5) lim(n – 2n3) 6) lim ( n 1  n) 7) lim

75

3342

3

2 3

n n n

3

) 1 3

(

) 2 3 ( )

9) lim( 3n 1  2n 1 ) 10) lim n n

n n

5.32

54

) lim

n n b

n n d

x

x x

x

x x

7 3

x

x x

Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.):

a) xlim ( 2    x3 x2  3x1) b) xlim (   x4x35x 3) c) lim 4 2 2

x

x x

1

x

x x

9lim

1 2

x

x x

5 2

x

x x

 

 

  k)

2 2

2

x

x x

3

x

x x x

0

1 coslimsin

x x

 Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0 ?

* Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

Phương pháp chung:

B1: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn

B2: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao

B3: Kết luận

* Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0 Để c/m PT có k nghiệm trên a b :; 

B1: Tính f(a), f(b)  f(a).f(b) < 0

B2: Kết luận về số nghiệm của PT trên a b; 

(

x

x x

( )

x voi x x

11)

x x

f

0 ,

0 ,

Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:

( )

3 2

x

khi x x

x 22

a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2x310x 7 0

b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x31000x0,1 0

c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2)

d) Chứng minh phương trình x2sinx x cosx  có ít nhất một nghiệm 1 0 x00;

e) Chứng minh phương trình m x 1 3 x 22x 3 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)

f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm

g) x33x21 0 có 3 nghiệm phân biệt

h) 1 m2 x13x2 x 3 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.i)  3 2  4

x tg x

tgx

x x

x x

2 2

/

2 2

/

/ /

cot 1 sin

1 cot

1 cos 1

sin cos

cos sin

/ 2 /

/ /

/ /

sin

1 cot

cos

1

sin cos

cos sin

U U gU

U U tgU

U U U

U U U

- Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g'x = f ' u U  x

- Đạo hàm cấp cao của hàm số

Đạo hàm cấp 2 : f "(x) = f(x)' ' 

Đạo hàm cấp n : f (x) = f(x)n  n-1'

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:

3 i) Cho f(x) 3x1, tính f ’’(1) k) Cho y = x cos2x Tính f”(x)m) Cho f x   x 10 6. TÝnh f '' 2    l)f x  sin 3x Tính ;  0

5 6

y 12

1 31/ y= (2x+3)10 29/ y= x(x2- x+1) 32/ y= (x2+3x-2)20

Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

1)y 3 sin 2 x sin 3x

 2) y ( 1  cotx) 2 3) y cosx sin 2 x 4)

x

x y

sin 2

sin 1

x x

18) y sin (cos3x) 2 19) y xsin x

c bx ax y

c bx ax y

4 3

32

43

2 2

x x y

Bài 6: Cho hai hàm số : f x( ) sin 4xcos4 x và ( ) 1cos 4

Bài 8: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:

a) f(x) = cos x + sin x + x b) f(x) = 3 sin x  cos x  x

x cos x





; 2(y’)2 =(y -1)y’’

e) Cho y = cot g x cot gx x 3 7

xcos

2 2

3 ) 4

b) Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8

Bài 11: Chứng minh rằng '( ) 0 f x   x , biết:

x





 (C)a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1

Bài 13: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)

a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2

Bài 14: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y x 3 5x22 Viết phương trình tiếp tuyến của (C )

a) Tại M (0;2)

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =1

7x – 4.

Bài 15: Cho đường cong (C): 2

2

x y x

c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là  4

Bài 16: Tính vi phân các hàm số sau:





 x x

y d) y cosx sin 2 x e) y ( 1  cotx) 2

Bài 17: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:



 4) y x x 2 15) y x 2sinx 6) y (1 x2) cosx 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x

ĐS: 1)

 3

6''

''

1

x x y





5) y''2 x2sinx4 cosx x 6) y'' 4 sin x x(x2 3)cosx 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x

8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x

Bài 18: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a) 1

1

y x

1

n n

n

n y

B HÌNH HỌC

I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

 Dạng 1 : Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc

 Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900

 Phương pháp 2: a b   u v    0 (u v   , lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).

 Phương pháp 3: Chứng minh a  ( )   b hoặc b  ( )   a

 Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( a b a b ' với b’ là hình chiếu của đt b lên mp chứa đt a)

 Dạng 2 : Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).

 Phương pháp 1: Chứng minh: d  a và d  b với a  b = M; a,b  (P)

 Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’  b’ = O)

- Khi đó: (a, b) = (a’, b’)

 Tính khoảng giữa đt  và mp (P) song song với nó : d(, (P)) = d(M, (P))(M là điểm thuộc )

 Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:

+) Phương pháp 1: Nếu a  b :

- Dựng (P)  a và (P)  b

- Xác định A = (P)  b

- Dựng hình chiếu H của A lên b

- AH là đoạn vuông góc chung của a và b

+) Phương pháp 2:

- Dựng (P)  a và (P) // b

- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P) b’ // b, b’  a = H

- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A

- AH là đoạn vuông góc chung của a và b

+) Phương pháp 2:

- Dựng đt (P)  a tại I cắt b tại O

- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O)

- Kẻ IK  b’ tại K

- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H

- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A

- AH là đoạn vuông góc chung của a và b

II BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA  (ABC).

a) Chứng minh: BC  (SAB)

b) Gọi AH là đường cao của SAB Chứng minh: AH  SC

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA  (ABCD) Chứng minh rằng:

b) Gọi AH là đường cao của ADI Chứng minh: AH  (BCD)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

b) Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh IO (ABCD)

c) Tính góc giữa SC và (ABCD)

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA  (ABCD) Gọi H, K lần lượt là hình

chiếu vuông góc của A lên SB, SD

a) Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC)

b) Chứng minh SC  (AHK).

c) Chứng minh HK  (SAC)

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA  (ABC).

Gọi I là trung điểm BC

Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a.

Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC

1 CMR: BC(OAI)

2 CMR: (OAI)(OHK)

3 Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC) ĐS:a / 3

5 Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK) ĐS:cos  6 / 3

6 Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC) ĐS: tan  2

7 Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI Tính khoảng cách giữa hai

đường ấy ĐS: a / 2

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA(ABCD) và SA a 2 

1 CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

2 CMR: mp (SAC)mp(SBD)

3 Tính góc  giữa SC và mp (ABCD), góc  giữa SC và mp (SAB) ĐS:  45 , 300   0

4 Tính tang của góc  giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) ĐS: tan 2

5 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD) ĐS: a 6 / 3

6 Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy ĐS: a / 2

7 Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI ĐS: SI a

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA SB SD a 3 / 2   

và Gọi H là hình chiếu của S trên AC

7 Tính góc giữa(SAD)và (ABCD) ĐS: tan  5

8 Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy ĐS: a 3 / 3

9 Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI ĐS: 3 15a / 20

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và .

Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 2

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a Gọi O là tâm của tứ giác ABCD; và M, N lần

lượt là trung điểm của AB và AD

6 Tính tang của góc giữa AC và (MNC’) ĐS:tan 2 2 / 3

7 Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD) ĐS:tan  2

8 Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’) ĐS:cos 7 / 51

9 Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’ ĐS: a 3 / 3

20 ĐỀ THAM KHẢO THI HỌC KÌ II

*******************

2 1



2) Cho hàm số y x

x

11







a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y x 2

8lim

lim5

1 1lim

a) Tại điểm có tung độ bằng 3

b) Vuông góc với d: x2y 3 0

Bài 4 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung

điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI)  (ABC)

Bài 6a Cho ysin 2x 2 cosx Giải phương trình y/= 0

2 Theo chương trình nâng cao

Bài 5b Cho y 2x x 2 Chứng minh rằng: y y3 // 1 0

Bài 6b Cho f( x ) = f x x

x

x3

64 60( )   3 16 Giải phương trình f x( ) 0

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y2sinxcosx tanx b) ysin(3x1) c)ycos(2x1) d) y 1 2 tan 4 x

Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD600 và SA = SB = SD =

a.

a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)

b) Chứng minh tam giác SAC vuông

c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)

II Phần riêng

1 Theo chương trình chuẩn

Bài 5a: Cho hàm số y f x ( ) 2 x3 6x1 (1)

a) Tính f '( 5)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm Mo(0; 1)

c) Chứng minh phương trình f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1)

2 Theo chương trình Nâng cao

Bài 5b: Cho f x( ) sin3x cosx 3 sinx cos3x

a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3

b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?

Câu 3: Chứng minh rằng phương trình x5 3x45x 2 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trongkhoảng (–2; 5)

Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1 Theo chương trình chuẩn

Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC= a 2, I là trung điểm cạnh AC, AM là

đường cao của SAB Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho

IS = a.

a) Chứng minh AC  SB, SB  (AMC)

b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC)

c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC)

2 Theo chương trình nâng cao

Câu 5b: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Gọi O là tâm của

đáy ABCD

a) Chứng minh rằng (SAC)  (SBD), (SBD)  (ABCD)

b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC)

c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD vàSC

Câu 1: Tính các giới hạn sau:

1 Theo chương trình chuẩn

Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số: y2x3 7x1 (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k = –1.

Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA (ABC),

SA= a M là một điểm trên cạnh AB, ACM  , hạ SH CM

a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB

b) Hạ AK  SH Tính SK và AH theo a và 

2 Theo chương trình nâng cao

Câu 6b (1,5 điểm): Cho các đồ thị (P): y 1 x x2

2

   và (C): y 1 x x2 x3

a) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm

Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; SA = SB

= SC = SD = a25 Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD

1 2lim

4lim

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD =

a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a Gọi H là trung điểm BC, I là trung

điểm AH

1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.

2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC)

3) Tính khoảng cách giữa AD và BC

II Phần riêng

Bài 4a: Tính các giới hạn sau:

1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 6x3 3x2 6x 2 0

2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a Tính chiều cao hình chóp.

B Theo chương trình nâng cao

Bài 4b: Tính giới hạn:  

   

Bài 5b:

1) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm: (m2 2m2)x33x 3 0

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA

= a 3 Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD) Thiết diên cắt bởi (P) và hìnhchóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó

3 0

2 2

5 3lim

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số y x 3 tại điểm có hoành độ x0 1

b) Tính đạo hàm của các hàm số sau:  y x 1x2 y(2 x2)cosx2 sinx x

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B AB =

Câu 6a: Cho y x 3 3x22 Giải bất phương trình: y 3

Câu 7a: Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB a AD b AE c ,  , 

2 Theo chương trình nâng cao

Câu 5b: a) Tính gần đúng giá trị của 4,04

b) Tính vi phân của hàm số y x cot2x

Câu 6b: Tính

x

x x x

2 3

2) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số ytanx

3) Tính vi phân của ham số y = sinx.cosx

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA(ABCD) và SA a 6 1) Chứng minh : BD SC SBD , ( ) ( SAC)

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)

3) Tính góc giữa SC và (ABCD)

II Phần riêng

1 Theo chương trình chuẩn

Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x  1

x tại giao điểm của nó với trụchoành

Câu 5a: Cho hàm số f x( ) 3 x 60 64  3 5

x x Giải phương trình f x( ) 0

Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a Tính  AB EG.

2 Theo chương trình nâng cao

Câu 4b: Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số ysin 2 cos2x x

y x Với giá trị nào của x thì y x( )2

Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Xác định đường vuông góc chung

và tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD và BC