Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 11

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi I là trung điểm của BC. b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |

A ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

CHƯƠNG III: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 CẤP SỐ CỘNG

a) Định nghĩa:

Gọi  un cấp số cộng cơng sai d, ta có cơng thức truy hồi sau: u un d; n N* n 1     với d số không đổi

b) Công thức số hạng tổng quát:

 

un u n d; n

1

    

c) Tính chất số hạng CSC:

k k k

u u

u ;k

2

  

  (trừ số hạng đầu số hạng cuối)

d) Tổng n số hạng đầu CSC: Cho (u )n CSC Khi đó:

   

n u un n 2u n d

1

Sn u u u

1 n 2 2

 

    

     

2 CẤP SỐ NHÂN

 un cấp số nhân cơng q, ta có cơng thức truy hồi sau: u u q; nn N*

n 1    với q số không đổi

b) Công thức số hạng tổng quát:

n1

un u q ; n

1

(2)

c) Tính chất số hạng CSC:

2

u u u ;k

k  k k 1  

Hay u u u

k  k1 k1 (trừ số hạng đầu số hạng cuối)

d) Tổng n số hạng đầu CSC:

Cho (u )n CSN Khi đó: n

1 q

Sn u u un u ;q

1 1 q

Sn nu q 1



     



 

II CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

1 Dạng 1: Chứng minh dãy số cấp số cộng, cấp số nhân

a) Phương pháp chứng minh dãy số CSC:

Để chứng minh dãy số (u )n CSC ta xét hiệu Hun 1 un - Nếu H số (u )n CSC có cơng sai dH - Nếu H phụ thuộc vào n (u )n khơng CSC

Ví dụ: Chứng minh dãy số  un với u 20n

n   CSC Tìm số hạng đầu cơng sai CSC

Hướng dẫn giải:

Ta có u u 20 n 1 20n9  20 u u 20

n1 n       n1 n  Vậy  un CSC với u 11

1 d = 20

(3)

Để chứng minh dãy số (u )n CSN ta xét thương n n

u

T , n

u 

  

- Nếu T số (u )n CSN có cơng bội qT - Nếu T phụ thuộc vào n (u )n khơng CSN

Ví dụ: Xét xem dãy số  un với u n 5 n n



  có CSN khơng? Nếu CSN tìm số

hạng đầu cơng bội Hướng dẫn giải:

Ta có  

 

n 1

u n 1 5 n 2

n 5.

n

u n 1 5 n

n

 

  

  

 

 phụ thuộc n nên  un không CSN

2 Dạng 2: Xác định công sai số hạng đầu CSC CSN

a) Phương pháp xác định công sai số hạng đầu CSC:

- Ta thiết lập hệ phương trình mà u1và d phải thỏa Giải hệ ta u1và d

Ví dụ: Tìm số hạng đầu cơng sai CSC  un biết

u u u 10

u u 26

   



  

 (1)

Áp dụng công thức unu1 n d , ta có

(1)      

   

1 1 1

1

u d u 2d u 4d 10 u 3d 10 u

2u 8d 26 d

u 3d u 5d 26

        

     

  

  

  

     

 



Vậy  un cho có u11, d3

b) Phương pháp xác định công bội số hạng đầu CSN:

- Ta thiết lập hệ phương trình mà u1và q phải thỏa Giải hệ ta u1và q

(4)

sáu CSN Hướng dẫn giải: Ta có:

1

3

1

4 2

1

4

u u

u q

q q

u

u 16 u q 16

u q.q 16 q

 

 

  

      

   

    

    

        

    

     

 



Vậy  un cho có 5

1

u  2; u u q  ( 2).( 2) 64

3 Dạng 3: Dùng công thức un Sn CSC, CSN để chứng minh hay tính tổng

a) Phương pháp dùng công thức un Sn CSC để chứng minh hay tính tổng

Ta thường dùng linh hoạt công thức:

- Nếu (u )n CSC có cơng sai d dun 1 un

 

n

u u  n d

 n  

n

n 2u n d

n u u

S

2

   

  

 

Để biến đổi, rút gọn tính tốn

- Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành CSC   a c 2b

Ví dụ: Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành CSC Chứng minh: 2

a 2bcc 2ab (2)

Hướng dẫn giải:

Ta có VT(2) =   2    

a  a c ca acc c  a ac c a a c c 2abVP(2)

Vậy 2

a 2bcc 2ab

(5)

- Nếu (u )n CSN có cơng bội q n n

u

q , n

u 

 

n n

u u q ; n2

n n

n

1 q

S u ;q

1 q

S nu q



 



 

để biến đổi, rút gọn tính tốn

- Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành CSN

ac b

 

Ví dụ: Tính tổng 

n

A 9 99999  99

Hướng dân giải: Ta có



       

 

n

2 n

n

A 99 999 99

101 10 10 10

10 10 10 n

110

10 n

110

10 10 9n

                     

II BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1. Tìm u1, d, tính S50 cấp số cộng biết:

a)

3

u u 27

u u 33

  



  

 ; b)

1

4

u 2u

S 14

  

  

 ; c)

1

u u u 10

u u

    

  

 ; d)

6 2

u

u u 16

  

   

Bài 2. Định x để số sau lập thành cấp số cộng:

103x; 2x 3; 74x

Bài 3. Cho số a, b, c lập thành cấp số cộng Chứng minh: 2

(6)

Bài 4. Tìm u1, q cấp số nhân biết:

a) u4 = 64, u6 = 1024; b)

u u u 21

u u 10

    



   

Bài 5. Cho ba số 2, 14, 50 Phải cộng thêm số số để ba số lập thành cấp số nhân

Bài 6. Cho số a, b, c lập thành cấp số nhân

Chứng minh: 2

(a b c)(a  b c) a b c

Bài 7. Cho ba số , ,1

ba b bc lập thành CSC Chứng minh a, b, c lập thành CSN

Bài 8. Ba số a, b, c lập thành CSC b, c, a lập thành CSN Tính a, b, c biết:

a) a  b c 18 b) abc125

Bài 9. Tìm số hạng CSN biết tổng ba số hạng đầu 148

9 , đồng thời theo thứ tự chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám CSC

Bài 10. Tính tổng

a) 

n

A 9 99999  99 b) 

n

B 6 66666  66

c) C1002992982972  221

Bài 11. Định m để phương trình  

(7)

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

1 ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

a) Giả sử

0

xlim f (x)x L, lim g(x)xx M Khi

 

0

x x

lim f (x) g(x) L M,

lim f (x).g(x) L.M,

f (x) L

lim , (M 0)

g(x) M

 



  



 

b) Nếu f (x)0

0

xlim f (x)x L x x0

L 0, lim f (x) L



  (dấu f(x) xét

khoảng tìm giới hạn, với xx0

Chú ý: Định lý cho trường hợp xx , x0 x , x0    , x

2 ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN MỘT BÊN

_

0 0

xlim f (x)x L xlim f(x)x xlim f (x)x L

   

3 CÁC QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VƠ CỰC CỦA HÀM SỐ

+) Nếu  

0

xlim f xx  thì x x0  

1

lim

f x

 

(8)

4 TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN:

1

u

S ,| q |

1 q

 



Chú ý: Các giới hạn bản:

1

0

xlim Cx C (C = const)

2 Nếu h/s f(x) x/đ điểm x0

0

0 xlim f (x)x f (x )

3

0 n

x x

1

lim

x

  (với n > 0)

5 HÀM SỐ LIÊN TỤC

Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng K x0K

Hàm số y = f(x) gọi liên tục x0nếu  

0

0 xlim f (x)x f x b) Một số định lý bản:

Định lý 1:

0

xlim f (x)x xlim g(x)x0 xlim f (x).g(x)x0 

+ ∞

L >

+ ∞

- ∞ - ∞

+ ∞

L <

- ∞

- ∞ + ∞

0

xlim f (x)x x x0

lim g(x) 

Dấu g(x)

0

x x

f (x) lim

g(x) 

L >

0

+ + ∞

- - ∞

L <

+ - ∞

(9)

- Hàm số đa thức liên tục 

- Hàm phân thức hữu tỉ hàm lượng giác liên tục khoảng tập xác định chúng

Định lý 2:

Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục x0 hàm số liên tục x0 (trường hợp thương mẫu phải khác x0)

Định lý 3:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục a; bvà f(a).f(b)<0 tồn điểm ca; b cho f(c) =

II CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

1 Dạng 1: Tìm giới hạn hàm số

Phương pháp:

-Sử dụng quy tắc học để tính

- Nếu giới hạn hàm số cần tính có bốn dạng 0;



; ; 0.∞ ta phải

khử dạng đó, cách phân tích tử mẫu thành nhân tử giản ước nhân lượng liên hợp chia tử mẫu cho xk với k mũ cao tử mẫu Cụ thể:

 Dạng 0

0:

- Nếu tử, mẫu đa thức ta đặt thừa số xx0 làm nhân tử chung rút gọn nhân tử ta đưa giới hạn dạng xác định

- Nếu tử hay mẫu có chứa thức nhân tử mẫu với lượng liên hợp tử mẫu rút gọn thừa số xx0ở tử mẫu ta đưa giới hạn dạng xác định

(10)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 10

2 3

2

a b a b

a b ;a b

a b a ab b

 

   



 

+ Nếu PT f(x) = có nghiệm x0 f(x) = (x-x0).g(x) + Liên hợp biểu thức:

1 a b a b a b a b 3.3

ab 3

a  a.bb

ab 3

a  a.bb

Ví dụ: Tìm giới hạn sau:

a) x x 16 lim x 2x  

 b) x 1

2 3x

lim

x



 



a)    

 

  

2

4

3 2

x x x

x x x x x

x 16 4.8

lim lim lim

x 2x x x 2 x

               Vậy x x 16 lim x 2x     b)            2

x x

x

4 3x

2 3x

lim lim

x x 1 2 3x 1

3 3

lim

8

x 3x 1 3.1

                       

Vậy 2

x

2 3x

lim

x



 

  

 Dạng 

:

- Chia tử mẫu cho xk với k mũ cao tử mẫu

(11)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 11 k x lim x

  với k ngun dương

a)

4

x

3x 16x

lim

x 2x



 

  b)

2

3 x

x 5x

lim

10 2x



 



a)

4 3 4

4

x x

2

16

3

3x 16x x x 0

lim lim

2

x 2x 1 0

x x                  Vậy 4 x

3x 16x

lim

x 2x



 



 

B)

2 2 3

3

x x

3

1

x 5x x x x 0

lim lim

10

10 2x 2

x               Vậy x

x 5x

lim 10 2x     

 Dạng :

- Nếu xx0 ta quy đồng mẫu số để đưa dạng 0

- Nếu x  ta nhân chia với lượng liên hợp để đưa dạng 



a) 3

x

1

lim

1 x x



 

  

 

    b)  

2

xlim 4x 3x 1 2x

(12)

a) Ta có

  

2

3

x x

2

3 2

x x x

1 x x

lim lim

1 x x x

x x

x x x

lim lim lim

1 x x x x x x

 

  

 

      

    

  

  

      

       

 

     



      

 

Vậy 3

x

1

lim

1 x x



 

   

 

   

b) Ta có

   

2

x x

2

x x

2

4x 3x 4x

lim 4x 3x 2x lim

4x 3x 2x

1

3x x 3

lim lim

2

3

4x 3x 2x

4

x x

 

  

   

  

 

   



     

Vậy  

x

3

lim 4x 3x 2x

4

    

 Dạng 0.∞

- Để khử dạng ta cần thực số biến đổi đưa thừa số vào dấu căn, quy đồng mẫu số, ta đưa giới hạn cho dạng quen thuộc

Ví dụ: Tìm giới hạn sau:   x

x

lim x

x



  

(13)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 13                    2

x x

2

x x

lim x lim x x x

x x x

x x x x

lim x x lim x x 3.0

x x x

                            

Vậy  

2 x

x

lim x

x



   

2 Dạng 2: Tính tổng CSN lùi vô hạn

- Sử dụng công thức u1

S ,| q |

1 q

 



Ví dụ: Tính tổng  

n

2 n

1

S

10 10 10 



      

Đây tổng CSN lùi vô hạn với u1 1 q = 10



Vậy S 10

1 11 10           

3 Dạng 3: Xét tính liên tục hàm số

3.1 Xét tính liên tục hàm số dạng:      

 

0

g x x x

f x

a x=x

 

   

o Tìm  

0

xlim g xx

 

 .Hàm số liên tục x0 xlim g xx0   a

 

  

Ví dụ: Cho hàm số:    

 

2

x

f x x

a x=1

 

 

  

 a số Xét tính liên tục hàm số

tại x0 =

(14)

Ta có f(1) = a

    

2

x x x

x x

x

lim lim lim x

x x

  

 



   

 

Nếu a=2 hàm số liên tục x0 = Nếu a2 hàm số gián đoạn x0 =

3.2 Xét tính liên tục hàm số dạng:  

          0

g x x<x f x a x=x h x x>x

     

o Tìm :

   

 

0

x x x x

0

lim f x lim g x

f x                                   

Hàm số liên tục x = x0

     

0

0 xlim f xx xlim f xx f x a

   

     

Ví dụ 1: Cho hàm số:    

 

2

x x f x

x x

  

  



 Xét tính liên tục hàm số x0 =

Hàm số xác định với x thuộc R Ta có f(0) =

 

     

x x

2

x x x x

lim f x lim x

lim f x lim x 1 0= lim f x lim x

                            

Vậy hàm số không liên tục x0 =

Ví dụ 2: Cho hàm số:    

 

2

ax x f x

x +x1 x

  

  



 Xét tính liên tục hàm số toàn

trục số

(15)

Ta có f(1) = a+2

   

x x

2

x x

lim f x lim ax a

lim f x lim x x 1

 

 

 

     

 

     

 

Hàm số liên tục x0 = a = -1 Hàm số gián đoạn x0 = a  -1

Vậy hàm số liên tục toàn trục số a = -1 Hàm số liên tục   ;1 1;  a  -1

3.3 Sử dụng tính liên tục hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = Để c/m PT có k nghiệm a; b: B1: Tính f(a), f(b)  f(a).f(b) <

B2: Kiểm tra tính liên tục hàm số f(x) a; b B3: Kết luận số nghiệm PT a; b

Ví dụ: CMR phương trình

x 3x  2 có nghiệm Hướng dẫn giải:

Xét hàm số  

f x x 3x 2 liên tục R nên f(x) liên tục [0;1]

Và  

     

f

f f

f



    

  

Nên phương trình f x 0 có nghiệm x0 0;1

III BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Tìm giới hạn hàm số sau: (Dạng 

):

a)

3

x

x 5x

lim

2x 3x



  

  b)

3

x

3x

lim

2x



 

 c)

3 2 x

5x x

lim

3x x



 

(16)

d)

5

2

x

x 2x 4x

lim

1 3x 2x

     x 5x e) lim

2x 3x

    f) 2 x

x 2x 4x

lim

2 5x



  



ĐS: a) -1/2 b) - c) -  d) - e) f) -1/5

Bài 2: Tìm giới hạn hàm số sau: (Dạng: a.):

a)

xlim ( 2x  x 3x1) b)

4

xlim ( x  x 5x3)

c)

xlim 4x x

 

d)

xlim x 3x2 e)  

xlim 3x x 2x

 

f)  

xlim 2x  x x

ĐS: a) + b) -  c) +  d) + e) -  f) + 

Bài 3: Tìm giới hạn hàm số sau: (Giới hạn bên):

a) x x lim x   

 b)  2

x x lim x  

 c) x

2x lim x   

 d) x

2x lim x    

 e)

x

2 x x

lim x x     f) x 3x lim x    

ĐS: a) -  b) -  c) + d) + e) f) +

Bài 4: Tìm giới hạn hàm số sau: (Dạng 0): a/ x x lim x  

 b/

2 x

x 3x

lim

x



 

 c) x 3

x

lim

x 2x

    d) x x lim x  

 e)

2 x

x 2x

lim

2x x



 

(17)

f)

x

2 x

lim

x





  g)

2 x

x

lim

x





  h) x

2x

lim x     i) x

x

lim

x



 

  k)

2

x

x 3x

lim x     

ĐS: a) b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6

g) 24 h) 4/3 i) k)

Bài 5: Tìm giới hạn hàm số sau: (Dạng ):

a)   2

x

2x

lim x

x

 

 

 b)

2 x

2x

lim x

x

 

 

 c/  

3

2 x

x

lim x

2 x



  

ĐS: a)0 b) + c)

Bài 6: Tìm giới hạn hàm số sau: (Dạng  - ):

a)  

xlim x x

  b)  2 

xlim x 2x x

  

c)  

xlim 4x  x 2x d)  

2

xlim x  x x 1 ĐS: a) 1/2 b) c) 1/4 d) 1/2

Bài 7: Tính giới hạn sau:

1,  

xlim2 x  5 2, x

x lim x   

 3,

3

xlim ( x  x  x 1) 4,

3 x

2x 3x

lim

x x

      5, 2 x

x x 4x

lim

2x



  

 6, x

1

lim

x x

 

 

  

 

   7,

2

xlim ( 4x  x 2x)

8,  2 

xlim x  x x 1 9, x

x

lim

x 2x





  10,

3

x

2x 5x 2x

lim

4x 13x 4x



  

(18)

11,

3

x

(x 3) 27

lim x    12, x

x 2

lim

x



 

  13, x 7

2 x

lim

x 49



 



ĐS: 1)2 2)4 3)+ 4)-2 5)1/2 6)-1 7) -2

8)  2   2 

x x

1

lim x x x ; lim x x x

2

          

9) -1/2 10) 11/17 11)27 12)3/2 13) -1/56

Bài 8: Tìm giới hạn hàm số sau: (Áp dụng

x sin x lim x   ) a) x sin 3x lim x

 b) x 0

sin x sin 2x lim 3x  c) x

1 cos x lim

x sin x 



d) n

x

sin x.sin 2x sin nx lim

x 

ĐS: a) b) 2/3 c) d) n!

Bài 9: Tính tổng

1/  

n

2 n

1

S

10 10 10 



      

2/ S = 2 2 2n

100 100 100

    

3/  

n n

1

1 1

, , , , ,

3 27



 

Bài 10: Tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn sau:

a)

n

1 1

1, , , , , ,

2



  

   

  b)

n

1 1

1, , , , , ,

3 27



       

(19)

Bài 11: Xét tính liên tục hàm số sau:

a)

2

x

f (x) 2 x

4 x

          

x0 =

b)

2

x 4x

x<3

f (x) x 3

x

   

  

 



x0 =

c)

2

2x 3x

x

f (x) x 1

x

           

x0 =

d)

2 x

x

f (x) 3 x

x

           

x0 =

e/

2

x

f (x) x

2 x

         

x0 =

f)

x

f (x) x 1

3x x

           

x0 =

ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ;

c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục

Bài 12: Xét tính liên tục hàm số sau TXĐ chúng:

a)

2

x 3x

x

f (x) x 2

x

           

b)  2

1 x

x

f (x)

x

(20)

c)  

2

x x

khi x

f x x 2

5 x x

  

 



  

  



d)  

2

x x f x x x

x 2x x

 

 

  

   



ĐS:

a) hs liên tục R

b) hs liên tục khoảng (-; 2), (2; +) bị gián đọan x = c) hsliên tục R

d) hs liên tục khoảng (-; 1), (1; +) bị gián đọan x =

Bài 13: Tìm điều kiện số thực a cho hàm số sau liên tục x0

a)  

2

x x

khi x

f x x

a x

  

  



 

  



với x0 = -1

b)

2

x x f (x)

2ax x

 

  

 

 với x0 =

c)

x

f (x) x 2

a x

  

 



  

  



với x0 =

d)

2

3x x f (x)

2a x

  

  

  

 với x0 =

ĐS: a) a = -3 b) a = c) a = 7/6 d) a = 1/2

Bài 14:

a) CMR phương trình sau có hai nghiệm:

(21)

b) CMR phương trình sau có it nghiệm âm:

x 1000x0,10 c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – = có nghiệm khoảng (1; 2) d) Chứng minh phương trình

x sin xx cos x 1 có nghiệm x00; e) Chứng minh ptrình m x 1 3 x 2 2x 3 có nghiệm với giá trị m

Bài 15: CM:

a)

x 5x 2 có nghiệm b)

x 3x 7 có nghiệm

c)

2x 3x  5 có nghiệm

d) cosx = x có nghiệm thuộc khoảng (0; /3)

e)

x 3x  1 có nghiệm phân biệt

g)  2 3

1m x1 x   x ln có nghiệm thuộc khoảng (-2; -1) với m

h)  3 

(22)

CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM

1 BẢNG ĐẠO HÀM

Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp

 C = (C số)

 x =

(kx)’= k (k số)  n

x = n.xn-1 (nN, n2)  n

U =n.Un-1.U

2

1

x x

          

(x0)

2

1 U

U U



  

     

  (U0)

( x )= x

(x>0)

  U

U

2 U

 

 (U0)

 

   

2

sin x ' cos x cos x ' sin x

1

tan x ' tan x

cos x

cot x ' cot x

sin x

  

  

    

 

'

2

'

2

sin U ' U 'cos U

cos U U 'sin U

U ' tan U '

cos U U ' cot U

sin U

  

2 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM (Ký hiệu U = U(x), V=V(x))

UVUV U.V ' U'.VV'.U

(k.U)k.U(k số) U U'.V 2V'.U

V V



  

    

(23)

3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP: g(x) = f[U(x)] , g 'x = f 'u Ux

4 ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ

Đạo hàm cấp 2: f (x)  f (x) 

Đạo hàm cấp n: (n ) (n 1)

f (x) f  (x)

5 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M0 có hồnh độ x0 có dạng:

y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)

f’(x0) = hệ số góc tiếp tuyến với đường cong (C): y = f(x) điểm Mx ,f x0  0 

II CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

1 Dạng 1: Tính đạo hàm, đạo hàm cấp cao hàm số Sử dụng quy tắc bảng đạo hàm để tính

Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số sau

a)

yx b)

y3x 1 c) y x1 d) y

1 x

 

ĐS: a) y’=3x2 b) y’= 6x c) y’ =

2 x1 d)  2 y '

1 x

 

2 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đường cong (C): y = f(x)

* Loại 1: Tiếp tuyến điểm Mx ,f x0  0 

Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M0 có hồnh độ x0 có dạng:

y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) (*)

* Loại 2: Tiếp tuyến với hệ số góc k

(24)

Phương pháp:

B1: Tiếp tuyến d’ // d nên kd 'kd

B2: Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm Khi ta có f’(x0)= kd (3) B3: Giải (3) tìm x0 Từ suy f(x0)

B4: Thay kết vừa tìm vào pt dạng (*) ta pt tiếp tuyến cần lập

+ Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d cho trước Phương pháp:

B1: Tiếp tuyến d’ // d nên d '

d

1 k

k

 

B2: Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm Khi ta có f’(x0)= kd (4) B3: Giải (4) tìm x0 Từ suy f(x0)

B4: Thay kết vừa tìm vào pt dạng (*) ta pt tiếp tuyến cần lập

* Loại 3: Tiếp tuyến qua điểm A cho trước

Phương pháp:

B1:Gọi d tiếp tuyến cần viết Mx , y0 0 tiếp điểm Khi phương trình d có dạng:

  

0 0

yy f ' x xx

B2: Cho d qua A ta yAy0f ' x 0 xAx0 yAf (x )0 f ' x 0 xAx0 (5) B3: Giải (5) tìm x0y ?0

Suy phương trình tiếp tuyến cần viết

Ví dụ: Gọi (C) đồ thị hàm số:y f (x) x

(25)

a) Tại điểm có hồnh độ -2 b) Tại điểm có tung độ

c) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : y = -1

9x + 2014

d) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ': y =1

4x – e) Biết tiếp tuyến qua điểm A(-8;0)

ĐS:

a) y = -1

4x -1 b) y = -9x+6; c) y = -1

9x + 3, y =

-1 9x -

2

d) y = -4x+4, y = -4x-4 ; e) y = -

16x -

Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau:

1

yx 2x1 x

y 2x

2

  

3

2

y 10x

x

 

y(x 2)(x1)

5

y5x (3x1)

y(x 5)

7 2

(26)

9

y(x1)(x2) (x3) 10.y 22x

x





11

2

2x 6x

y

2x

 



 12

5x

y

x x

 

 

13

y x 6x7 14.y x 1 x2

15

y(x1) x  x 16

2

x 2x

y 2x    

3x 2x

17.y

2x

 



 18) y =

3x

y

x



 23x

x x

   19) 3 a b y x x x

  20) 3

y abx

21)

2 3

y(a b ) 22) 23

yx x 23)

2

3

(x 2)

y

(x 1) (x 3)

 

  24)

7

y(x x)

25)

y x 3x2 26) y x

1 x

 



27) y

x x

 28/ y= x

1x

29/ y= x (x2- x +1) 30/ y= x

1 x





31/ y = (2x+3)10 32/ y = (x2+3x-2)20

1)

y3sin x.sin 3x 2)

y (1 cot x)

3)

ycos x.sin x 4)y sin x sin x

 



5) x

y sin

2

 6)y sin x cos x sin x cos x

 

(27)

7)

y cot (2x )

4



  8)

y 2tan x

9) y cos x3 4cot x

3sin x

   10) x

y cos

2

 

11)y 12 2

(1 sin 2x)



 12) y =

4

sin 3x 13)y = cos ( x3 ) 14) y= 5sinx-3cosx 15)y = x.cotx 16)

ycot 1x 17)y= sin(sinx) 18)

ysin (cos 3x) 19) y x sin x

1 tan x



 20)

sin x x

y

x sin x

 

21) y tanx



 22) y 12 tan x

Bài 3: Tìm đạo hàm hàm số sau điểm ra:

a)y = x2 + x ; x0 = b) y = 1

x; x0 = c) y = x

x



 ; x0 = d) y = x - x; x0 =

e) y = x3 - x + 2; x0 = -1 f) y = 2x

x



 ; x0 =

g) y = x.sinx; x0 = π

3 h) y = 4cos2x + sin3x; x0 = π

i) Cho f (x) 3x1, tính f ’’(1) k)Cho y = xcos2x Tính f”(x)

l) Cho f x   x106.TÝnh f '' 2    m)f x sin 3x Tính f '' ; f '' f '' 

2 18

   

   

   

 

   

     

ax b

y

cx d

 



2

ax bx c

y

dx e

 





2

ax bx c

y

mx nx p

 



(28)

Áp dụng: y 3x

2x

 

 

2

x x

y

2x

   



2

x 3x

y

2x x

 



 

Bài 5: Cho hai hàm số: 4

f (x)sin xcos x g(x) 1cos 4x



Chứng minh:f '(x)g '(x) ( x  )

Bài 6: Cho

y x 3x 2 Tìm x để: a) y’ > b) y’ <

ĐS: a) x

x

    

 b) 1 2  x

Bài 7: Giải phương trình: f’(x) = biết rằng:

a) f(x) = cos x + sin x + x b) f(x) = sin xcos xx c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 –

Bài 8: Cho hàm số f (x) 1x Tính : f (3)(x3)f '(3)

Bài 9:

a) Cho y =

2xx ; chứng minh

y y  1

b) Cho y = x

x



 ; chứng minh2(y’)2=(y -1)y’’

c) Cho f(x)=

2

cos x

1sin x; c/m f ( )4 3f '( )4

 

 

d) Cho hàm số:

2

x 2x

y

2

 

 Chứng minh rằng: 2y.y’’ – =y’2

(29)

- Tính giá trị biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y –

Bài 10: Chứng minh f '(x)0 x  , biết:

a/

f (x) x x 2x 3x 6x

3

      b/ f (x)2xsin x

Bài 11: Cho hàm số

2

x x

y

x

 

 (C)

a) Tính đạo hàm hàm số x =

b/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hồnh độ x0 = -1

Bài 12: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)

a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) >

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hồnh độ x0 =

c) Viết phtrình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x +

Bài 13: Gọi ( C) đồ thị hàm số :

yx 5x 2 Viết phương trình tiếp tuyến (C ) a) Tại M (0;2)

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x +

c) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y =1

7x – d) Biết tiếp tuyến qua điểm A(1;0)

Bài 14: Cho đường cong (C): y x

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C)

a) Tại điểm có hồnh độ b) Tại điểm có tung độ

3

(30)

d) Biết tiếp tuyến qua điểm A(-1;2)

Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau:

1) y x

x

 

 2)

2x

y

x x

 

  3)

x y

x





4)

yx x 1 5)

yx sin x 6)

y (1 x ) cos x 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x

ĐS:

1)

 3

6 y ''

x





2)

 

3

4x 10x 30x 14

y ''

x x

  



 

3)  

 

2

2x x

y ''

x

 



4)

 

3

2

2x 3x

y ''

x x

 

 

5)  2

y '' 2x sin x4x cos x

6)

y ''4x sin x(x 3) cos x 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x

8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x

Bài 16: Tính đạo hàm cấp n hàm số sau:

a) y

x



 b) y = sinx

ĐS: a)    

 

n n

n

n!

y

x 

 

 b)

 n

y sin x n

2

  

(31)

B HÌNH HỌC

I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a b vuông góc

Phương pháp 1: Chứng minh góc hai đường thẳng a b

90

Phương pháp 2: a b u.v 0 (u, v  vectơ phương a b)

Phương pháp 3: Chứng minh a  ( ) b b  ( ) a

Phương pháp 4: Áp dụng định lí đường vng góc ( a  b a b ' với b’ hình chiếu đt b lên mp chứa đt a)

* LƯU Ý: Trong phương pháp phương pháp thông dụng

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vng góc với mp (P)

Phương pháp 1: Chứng minh: d  a d  b với a  b = M; a,b  (P)

Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a  (P)

Phương pháp 3: Chứng minh: d  (Q)  (P), d  a = (P)  (Q)

Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q)  (R) (Q) (P), (R)  (P)

Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) (Q) vng góc

Phương pháp 1: Chứng minh (P)  a  (Q)

Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R)  (Q)

Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a  (Q)

Dạng 4: Tính góc đt a b

Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’  b’ = O)

- Khi đó: (a, b) = (a’, b’)

(32)

Phương pháp: Gọi góc đt d mp(P) 

+) Nếu d  (P)  = 900

+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ d lên mp(P) - Khi đó:  = (d,d’)

Dạng 6: Tính góc  hai mp (P) (Q)

Phương pháp 1:

Xác định a  (P), b  (Q) Tính góc  = (a,b)

Phương pháp 2: Nếu (P)  (Q) = d

Tìm (R)  d

Xác định a = (R)  (P) Xác định b = (R)  (Q) Tính góc  = (a,b)

Dạng 7: Tính khoảng cách

Tính khoảng từ điểm M đến đt a:

Phương pháp: d(M, a)MH (với H hình chiếu vng góc M a) Tính khoảng từ điểm A đến mp (P):

Phương pháp: - Tìm hình chiếu H A lên (P)

- d(M, (P)) = AH

Tính khoảng đt  mp (P) song song với nó: d(, (P)) = d(M, (P)) (M điểm thuộc )

(33)

+)Phương pháp 1: Nếu a  b :

Dựng (P)  a (P)  b Xác định A = (P)  b

Dựng hình chiếu H A lên b

AH đoạn vng góc chung a b

+)Phương pháp 2:

Dựng (P)  a (P) // b

Dựng hình chiếu b’ b lên (P) b’ // b, b’  a = H Dựng đt vng góc với (P) H cắt đt b A AH đoạn vuông góc chung a b

+)Phương pháp 3:

Dựng mp (P)  a I cắt b O

Xác định hình chiếu b’ b (P) (b’ qua O) Kẻ IK  b’ K

Dựng đt vng góc với (P) K, cắt b H Kẻ đt qua H song song với IK, cắt đt a A AH đoạn vng góc chung a b

II BÀI TẬP MINH HỌA

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA(ABCD) SAa

1. CMR: Các mặt bên hình chóp tam giác vng

(34)

3. Tính góc  SC mp (ABCD), góc  SC mp (SAB)

ĐS: 0

45 , 30

   

4.Tính tang góc  hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) ĐS: tan 2

5 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

ĐS: a /

6.Tìm đường vng góc chung đường thẳng SC BD Tính khoảng cách hai đường thẳng

ĐS: a / Hướng dẫn:

1 Chứng minh tam giác SBC vuông B: cần chứng minh BC  (SAB) Chứng minh BD  (SAC)

3 - Góc SC (ABCD) góc SC AC Vậy góc SCA tam giác SAC vng cân A

- Góc SC (SAB) góc SC SB Vậy góc CSB tam giác SBC vng B có BC = a SB = a

H

O' A'

O

C A

B

(35)

4 Góc (SBD) (ABCD) góc SO AC Vậy góc SOA tam giác SOA vng A có AO = a

2 SA = a (với O tâm hình vng ABCD)

5 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)là đoạn AH với H chân đường cao kẻ từ A tam giác SAB

6 Đường vng góc chung đường thẳng SC BD đoạn OO’ với O’ chân đường cao kẻ từ O tam giác SOC (Ở OO’//AA’ (vì vng góc với SC) O’ trung điểm A’C).

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B SA  (ABC)

a) Chứng minh: BC  (SAB)

b) Gọi AH đường cao SAB Chứng minh: AH  SC

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA  (ABCD) Chứng minh rằng:

a) BC  (SAB) b) SD  DC c) SC  BD

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC Gọi I trung điểm BC

a) Chứng minh: BC  AD

b) Gọi AH đường cao ADI Chứng minh: AH  (BCD)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, tâm O SA = SC = SB = SD = a

a) Chứng minh SO  (ABCD)

(36)

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB  CD, BC  AD Gọi H hình chiếu A lên mp(BCD) Chứng minh:

a) H trực tâm BCD b) AC  BD

Bài 6: Cho tứ diện ABCD Chứng minh cặp cạnh đối diện tứ diện vng góc với đơi

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, tâm O AB = SA = a, BC = a 3, SA 

(ABCD)

a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Gọi I trung điểm SC Chứng minh IO (ABCD)

c) Tính góc SC (ABCD)

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, tâm O SA (ABCD) Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên SB, SD

a) Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC) b) Chứng minh SC  (AHK)

c) Chứng minh HK  (SAC)

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, SA = AB = AC = a, SA 

(ABC)

Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh BC  (SAI) b) Tính SI

c) Tính góc (SBC) (ABC)

(37)

2a

a) Chứng minh rằng: (SBC)  (SAB)

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) c) Tính góc (SBC) (ABC)

(38)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên

khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS

lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt

ở kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí

Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 11

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan