Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 10

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ II MƠN TỐN 10 (Tài liệu lưu hành nội bộ) - Biên soạn: Trần Hải Nam -A CÁC VẤN ĐỀ TRONG HỌC KÌ II I Đại số: Xét dấu nhị thức, tam thức bậc hai; Giải phương trình, bất phương trình qui bậc nhất; bậc hai; phương trình có chứa căn, trị tuyệt đố, tìm điều kiện phương trình, bất phương trình có nghiệm, vơ nghiệm, có nghiệm thỏa mãn điều kiện Giải hệ bất phương trình bậc hai Biễu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn; ứng dụng vào tốn tối ưu Tính tần số; tần suất đặc trưng mẫu; vẽ biểu đồ biễu diễn tần số, tần suất (chủ yếu hình cột đường gấp khúc) Tính số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai độ lệch chuẩn số liệu thống kê Tính giá trị lượng giác cung, biểu thức lượng giác Vận dụng công thức lượng giác vào toán rút gọn hay chứng minh đẳng thức lượng giác II Hình học: Viết phương trình đường thẳng (tham số,tổng quát, tắc) Xét vị trí tương đối điểm đường thẳng;đường thẳng đường thẳng Tính góc hai đường thẳng; khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Viết phương trình đường phân giác (trong ngồi) Viết phương trình đường trịn; Xác định yếu tố hình học đường trịn.viết phương trình tiếp tuyến đường trịn; biết tiếp tuyến qua điểm (trên hay ngồi đường trịn), song song, vng góc đường thẳng Viết phương trình tắc elíp; xác định yếu tố elíp Viết phương trình tắc hypebol; xác định yếu tố hypebol Viết phương trình tắc parabol; xác định yếu tố parabol Ba đường níc: khái niệm đường chuẩn, tính chất chung ba đường coníc B CƠ SỞ LÝ THUYẾT I Phần Đại số Bất phương trình hệ bất phương trình Các phép biến đổi bất phương trình: a) Phép cộng: Nếu f(x) xác định D thì ⇔ P(x) < Q(x) P(x) + f(x) < Q(x) + f(x) b) Phép nhân: ∈ P(x).f(x) < Q(x).f(x) ∀ * Nếu f(x) > 0, x D thì P(x) < Q(x) ⇔ ∈ P(x).f(x) > Q(x).f(x) ∀ * Nếu f(x) < 0, x D thì P(x) < Q(x) ⇔ ∈ ≥ Q ( x) ∀ c) Phép bình phương: Nếu P(x) và P ( x)⇔ < Q(x) 0, x D thì P(x) < Q(x) Dấu nhị thức bậc Dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b x – f(x) (Trái dấu với hệ số a) * Chú ý: Với a > ta có: ∞b + − a (Cùng dấu với hệ số a) f ( x ) ≤ a ⇔ −a f≤( xf)(≤x)−≤a a f ( x) ≥ a ⇔  Phương trình hệ bất phương  f ( x) ≥ a trình bậc hai ẩn ≤+0cb bất phương trình ax + by (1) () a Biểu diễn hình học tập nghiệm của a 2≠ Bước 1: Trong mp Oxy, vẽ đường thẳng =∆c (): ax + by Bước 2: Lấy (thường lấy ) M o (M xo ;o y≡o )O∉ (∆) Bước 3: Tính axo + byo và so sánh axo + byo và c Bước 4: Kết luận  Nếu axo + byo < c thì nửa mp bờ () chứa ≤∆c Mo là miền nghiệm của ax + by  Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ () ≤∆c không chứa Mo là miền nghiệm của ax + by ≥ c miền nghiệm của bpt ax + by < c Miền nghiệm b Bỏ bờ miền nghiệm của bpt (1) ta được > của các bpt ax + by và ax + by được xác định tương tự c Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất ẩn:  Với mỗi bất phương trình hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại  Sau làm lần lượt đối với tất cả các bpt hệ cùng một mp tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bpt đã cho Dấu tam thức bậc hai a Định lí dấu tam thức bậc hai: ≠ Định lí: f(x) = ax2 + bx + c, a0 Nếu có số cho thì: a f ( α α) 0), xR * Nếu < f(x) dấu với hệ số a ∀ ≠ ∆b (a f(x)>0), x * Nếu = f(x) dấu với hệ số a −∀ 2a - f(x)=0 có hai nghiệm - Số nằm nghiệm * Nếu > f(x) dấu với hệ số a ∆ x < x1 x > x2; f(x) trái dấu với hệ số a x1 < x < x2 (Với x1, x2 hai nghiệm f(x) x1< x2) ∆ b2– 4ac > Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a0, = ≠ – x ∞ x2 + x f(x) (Cùng dấu với hệ số a) Hệ 2: (Trái dấu với hệ số a) (Cùng dấu với hệ số a) x1 < α < x2 ⇔ a f ( α ) < + +  a f ( α ) > +    a f ( α ) > α < x1 < x2 ⇔ a∆ > +  f ( α ) >  x13: α ∉ [ xx1 , 2x2 ] ⇔  S x1 < x2 < α ⇔ ∆ > Hệ ∆ >> 0α S 2 +  a f ( α ) <  >α S S S 2 α < < α < β < x2 ⇔  α > ∈ + αx= a f β < ( )  2 + a f ( α ) < x1 < α < x2 < β ⇔  + α < x1 < β < x2 a f ( β ) > ⇔ f (α) f ( β ) < +  x1 < α < x2 < β  a f ( α ) >  b Dấu nghiệm số  a f ( β ) > ≠ Cho f(x) = ax2 + bx + c, a0 α < x1 < x2 < β ⇔ ∆ > 2 ⇔  ≥ 4ac a) ax + bx + c = có nghiệm = b – ∆ α < S < β b) ax2 + bx + c = có nghiệm trái ⇔ dấu a.c <  2 c) ax + bx + ∆ > ⇔ c = có nghiệm dấu a.c > ⇔ c) ax2 + bx + c = có  ∆ ≥ nghiệm dương  ⇔ d) d) ax2 +bx +c =  P = x x = c >   a ∆ ≥ 0 có   b  c  nghiệm âm  S = x1 + x2 = − a >  P = x1 x2 = > ∆ < 0a Chú ý: Dấu tam thức bậc hai  b  dâu với hệ số a  S = x1 + x2 = − a < ∀ i) ax2 +bx +c >0, x >⇔ a <  ii) ax +bx +c ax +bx +c 0, x  ∆ ≤ Bất phương trình bậc hai a Định nghĩa: ≤ > (Hoặc f(x) 0, f(x) < 0, f(x) 0), f(x) ≥ Bất phương trình bậc bpt có dạng f(x) ≠ tam thức bậc hai ( f(x) = ax + bx + c, a0 ) b Cách giải: α α Để giải bất pt bậc hai, ta áp dụng định lí vầ dấu tam thức bậc hai Bước 1: Đặt vế trái f(x), xét dấu f(x) Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu chiều bpt để kết luận nghiệm bpt Thống kê Kiến thức cần nhớ i) Bảng phân bố tần suất ii) Biểu đồ iii) Số trung bình cộng, só trung vị, mốt iv) Phương sai độ lệch chuẩn Lượng giác - Đã có tài liệu kèm theo II Phần Hình học Các vấn đề hệ thức lượng tam giác a Các hệ thức lượng tam giác: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, m mabc AB = c, trung tuyến AM = , BM = , CM = Định lý cosin: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB; c = a + b2 – 2ab.cosC Hệ quả: cosA = cosB = ba + cb22 − abc cosC = 2ab bc ac Định lý sin: = 2R (với R bán kính đường a b c = = tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) sin A sin B sin C b Độ dài đường trung tuyến tam giác: 22 22 b 22 ; 22((ab22++cc2 2) − ) −b a 2 =b a ++cc − a m = ma b = 2 − 42 = b +a c 2(b + a4) − c 2 mc = − = c Các công thức tính 4 diện tích tam giác: • S = aha = bhb = chc S = ab.sinC = bc.sinA = ac.sinB S= S = pr S = p ( p − a )(abc 12p − b)( p − c) với p = (a + b + c) 42R Phương trình đường thẳng * Để viết phương trình đường thẳng dạng tham số cần phải biết Toạ độ điểm vectơ phương * Để viết phương trình đường thẳng dạng tổng quát cần biết toạ độ điểm vectơ phát tuyến a Phương trình tham số đường thẳng ∆ :  ux ==x(0xu;01y;+0utu )1   y = y0 + tu b Phương trình tổng quát xy0 đường thẳng ∆ : a(x – ) + b(y – ) = hay ax + by + c =  (với c = – a– b a2 + b2 ≠ 0) n x=0xy(;0ay;0b) với M ()∈ ∆ phương (VTCP) vectơ M () ∈ ∆ vectơ pháp tuyến (VTPT) x y + =1 a b • Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ hai điểm A(a; 0) B(0; b) là: • Phương trình đường thẳng qua x0xy;0y0 điểm M () có hệ số góc k có dạng: y – = k (x –) c Khoảng cách từ mội điểm M () ax0 x+0 bx ; y0 + c đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = tính theo công thức: d(M; ∆) = a2 + b2 d Vị trí tương đối hai đường thẳng: = = = = aa21x + ∆b1212y + c12 cắt ⇔ ; Tọa độ giao điểm của và  a1 x +ab1 ∆ y12+b1c1 =0 1≠  là nghiệm của hệ  a2 x +a2b2 y b+2 c2 =0 a1 ∆ ⁄ ⁄ ⇔; ≡⇔ abcb c1 = 2112 = ≠ a2 b2 c2 (với ,,khác 0) Đường trịn a Phương trình đường trịn tâm I(a; b) bán kính R có dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1) hay x2 + y2 – 2ax – 2by + c = (2) với c = a2 + b2 – R2 • Với điều kiện a2 + b2 – c > phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = phương trình đường trịn tâm I(a; b) bán kính R • Đường trịn (C) tâm I (a; b) bán kính R tiếp xúc với đường thẳng ∆: αx + βy + γ = α a + β b + γ  ∆ cắt ( C ) d(I; ∆) < R ⇔ α2 +β2  ∆ không có điểm chung với ( C ) d(I; ∆) ⇔ > R ⇔  ∆ tiếp xúc với ( C ) d(I; ∆) = R b Phương trình tiếp tuyến với đường tròn Dạng 1: Điểm A thuộc đường tròn Dạng 2: Điểm A khơng thuộc đường trịn khi: d(I; ∆) = = R Dạng 3: Biết phương trình tiếp tuyến đường trịn vng góc hay song song với đường thẳng Phương trình Elip a Trong mặt phẳng Oxy cho điểm {M / F1M + F2 M = 2a} F1(-c; 0), F2(c; 0) và F1F2 = 2a (a > c > 0, a = const) Elip (E) là tập hợp các điểm M: F1M + F2M = 2a Hay (E) = b Phương trình chính tắc của elip (E) là: x y + =1 (a2 = b2 + c2) a b2 c Các thành phần của elip (E) là:  Hai tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0)  Bốn đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(-b; 0), B2(b; 0)  Độ dài trục lớn: A1A2 = 2b  Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b  Tiêu cự F1F2 = 2c d Hình dạng elip (E);  (E) có trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc tọa độ  Mọi điểm của (E) ngoại trừ đỉnh đều ± nằm hình chữ nhật có kích thức 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = a, y = b Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật sở của elip C BÀI TẬP TỰ LUYỆN I Phần Đại số Bất phương trình hệ bất phương trình Bài 1: Tìm điều kiện của các phương trình sau đây: a) xx++22 51 x≥ − x − ( x − 4) Bài 3: Giải các hệ phương trình: a) b) c) d)  54x +−325 3(2 x − 7) ≥2 x4x −− + 33x  −2xx+−7351 ≤>< Bài 4: Giải bpt sau:  3 x < x + 58x5(3 x − 1) a (4x – 1)(4 – x2)>0  x −361x−+ > < x + − <   5213 −4 3x b x −1 x d (2x − 3)(x − x + 1) 4x −212x + 93 + < x −1 x − x − 10 − x ≥ + x2 e Bài 5: Giải hệ bpt sau: a b −−− 4x 10 >−03x 25x 20x 3x > 7 c −xx)− (xx−−1)(5 ≤0 d x 3−−3x3 x+ ≥ 15 x −+x12 e x 2−−23x >1 f 14 x −x9x−+ ≥0 Bài 7: Giải hệ bất phương trình sau x + 9x + 14 a b 2x 4x2 −13x < 3x + 4> + 18   Dấu nhị thức bậc x − 20x 7x +−107 ≤< 3x Bài 1: Giải các bất phương trình a) x(x – 1)(x + 2) < b) (x + 3) >1 3− x (3x – 2)(5x + 8) < c) d) e) x 2−+24x3 x−+−151≤< −33 > −x 32x−+x1 f) g) h) x2x+x−1−2≤ x>x−2−3x x−=+382 k) Phương trình hệ bất phương trình bậc hai ẩn Bài 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình sau: a) 2x + 3y + 1> b) x – 5y < c) 4(x – 1) + 5(y – 3) > 2x – Bài 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình: a) b) c) 003 2xx−−  y y++x x c) C = 32 x 211 −x3+x − 22 −−xx ++5xx −−17 d) D = Bài 3: Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm: a) 2x2 + 2(m+2)x + + 4m + m2 = b) (m–1)x2 – 2(m+3)x – m + = Bài 4: Tìm giá trị m để phương trình: a) x2 + 2(m + 1)x + 9m – = có hai nghiệm âm phân biệt b) x2 – 6m x + – 2m + 9m2 = có hai nghiệm dương phân biệt c) (m2 + m + 1)x2 + (2m – 3)x + m – = có hai nghiệm dương phân biệt Bài 5: Xác định m để tam thức sau dương với x: a) x2 +(m+1)x + 2m +7 b) x2 + 4x + m –5 c) (3m+1)x2 – (3m+1)x + m +4 d) mx2 –12x – Bài 6: Xác định m để tam thức sau âm với x: a) mx2 – mx – b) (2 – m)x2 + 2(m – 3)x + 1– m c) (m + 2)x2 + 4(m + 1)x + 1– m2 d) (m – 4)x2 +(m + 1)x +2m–1 Bài 7: Xác định m để hàm số f(x)= mx − x + m + xác định với x Bài 8: Tìm giá trị tham số để bpt sau nghiệm với x a) 5x2 – x + m > b) mx2 –10x –5 < ≥ c) m(m + 2)x2 + 2mx + >0 d) (m + 1)x2 –2(m – 1)x +3m – < Bài 9: Tìm giá trị tham số để bpt sau vô nghiệm: ≥ ≤ a) 5x2 – x + m b) mx2 –10x –5 Bài 10: Tìm m để b Bất phương trình mx2+(m-1)x+m-1 >0 vơ nghiệm c Bất phương trình (m+2)x2-2(m-1)x+4 < có nghiệm với x thuộc R d Bất phương trình (m-3)x2+(m+2)x – ≤ có nghiệm e Phương trình (m+1)x2+2(m-2)x+2m-12 = có hai nghiệm dấu f Phương trình (m+1)x2+2(m-2)x+2m-12 = có hai nghiệm trái dấu g Phương trình (m+1)x2+2(m-2)x+2m-12 = có hai nghiệm phân biệt nhỏ Bài 11: Tìm m để pt sau có hai nghiệm dương phân biệt: a (m2 + m +1)x2 + (2m – 3)x + m – = b x2 – 6mx + - 2m + 9m2 = Bài 12: Tìm m để bất pt sau vô gnhiệm: a 5x2 – x + m ≤ b mx2 - 10x – ≥ Bài 13: Tìm giá trị m để bpt sau nghiệm với x: mx2 – 4(m – 1)x + m – ≤ Bài 14: Cho pt mx2 – 2(m – 1)x + 4m – = Tìm giá trị tham số m để pt có: a Hai nghiệm phân biệt b Hai nghiệm trái dấu c Các nghiệm dương d Các nghiệm âm Bài 15: Cho phương trình: với giá −3x − (m − 6) x + m − = m thì: a Phương trình vơ nghiệm b Phương trình có nghiệm c Phương trình có nghiệm trái dấu d Phương trình có hai nghiệm phân biệt f Có nghiệm kép tìm nghiệm kép g Có hai nghiệm dương phân biệt Bài 16: Cho phương trình: với giá (m − 5) x − 4mx + m − = m a Phương trình vơ nghiệm b Phương trình có nghiệm c Phương trình có nghiệm trái dấu d Phương trình có hai nghiệm phân biệt f Có nghiệm kép tìm nghiệm kép g Có hai nghiệm dương phân biệt Bài 17: Tìm m để bpt sau có có nghiệm a ) x − (m − 9) x + m + 3m + ≥ b) − 3x − (m − 6) x + m − < Bài 18: Với giá c) ( m − 1) x − 2( m + 3) x − m + > trị m, bất phương trình sau vơ nghiệm a ) x + ( − m ) x + − 2m = Bài 19: Với giá trị m b) (m − 1) x − 2(m + 3) x − m + = hệ sau có nghiệm { a ) x − x + 20 ≤ x − 2m > Bài 20: Với giá trị m hệ sau vơ nghiệm { a) x − 5x + > x − 3m < Phương trinh bậc hai & bất phương trình bậc hai Bài Giải phương trình sau { b) x − x + > m − 2x ≥ { b) x − ≥ 4x − m − < ca))| xx+2 1| + 3+x| +x + 3=|=x 2x++34x − 4d ) bx)2 −x22x−−415 x == xx−−33 Bài Giải bất phương trình sau a ) (2 x −15)(3 − x) ≤x 20− xb+) (2 x − 1)(3 − x) >2 x0 − 1 c) > d) x + x + Bài Giải x − x − 2 hệ bất phương trình  ( x − 5)( x + 1) ≤0  − x + 3x + ≥  Bài 4: Giải bất phương a )  x2 b)  ( x − 1)( x − 2) < −2  x2 − 4x < x − trình sau:  ≥2 a) x2 + x +10 b) x2 – 2(1+)x+3 +2>0 c) x2 – 2x +1 d) x(x+5) ≤ 2(x2+2) e) x2 – (+1)x +> f) –3x2 +7x ≥2 – 40 g) 2(x+2)2 – 3,5 2x h)x2 ≥ – 3x +60 d) (3x2 –7x +4)(x2 +x +4) >0 Bài 6: Giải bất phương trình sau: 2x a) b) 4x−10 x+ +−x > >