Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai bài toán liên quan đến mođun xạ ảnh”

Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai toán liên quan đến mođun xạ ảnh” LỜI MỞ ĐẦU Trong q trình học mơn đại số giảng viên tiến sĩ Phan Văn Thiện giảng dạy, mođun xạ ảnh phần quan trọng học phần Và bị thu hút nhiều định lý, mệnh đề hấp dẫn, chẳng hạn: Tổng trực tiếp R – mođun xạ ảnh xạ ảnh Một câu hỏi bật cách tự nhiên “ Phải tích trực tiếp R – mođun xạ ảnh xạ ảnh” Cùng với toán toán thứ hai đề tài liên quan mật thiết đến bổ đề đối ngẫu, bổ đề mẻ thân Thật may mắn tơi có hội làm rõ điều T.S Phan Văn Thiện giao cho đề tài “ Mơđun xạ ảnh chứng minh hai tốn liên quan” Tiểu luận chia thành hai phần: Phần 1: TỔNG QUAN CÁC KHÁI NIỆM Phần 2: BÀI TẬP Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn sâu sắc đến T.S Phan Văn Thiện Chắc đề tài cịn nhiều vấp váp, tơi mong nhận bảo thêm từ thầy Huế, ngày 17 tháng 01 năm 2012 Học viên DƯƠNG THỊ THU THUỶ trang Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai toán liên quan đến mođun xạ ảnh” TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ Tên đề tài: CHỨNG MINH HAI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MÔĐUN XẠ ẢNH LỜI MỞ ĐẦU Phần I: TỔNG QUAN CÁC KHÁI NIỆM TỔNG TRỰC TIẾP – TÍCH TRỰC TIẾP MÔĐUN XẠ ẢNH Phần II: BÀI TẬP 1.BÀI TOÁN 2.BÀI TOÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO 10 trang Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai toán liên quan đến mođun xạ ảnh” PHẦN I: TỔNG QUAN CÁC KHÁI NIỆM 1.TỔNG TRỰC TIẾP – TÍCH TRỰC TIẾP: 1.1 Tổng trực tiếp: Cho M1, M2, Mn R – modun Xét n– chiều với phép tốn: Khi M R – mođun gọi tổng trực tiếp modun M 1, M2, Mn, Kí hiệu: M1 M2 Tổng quát, trực tiếp nơi với i Mn hay họ với R – mođun giới thiệu tổng sau: vô hạn chiều, mi = hầu khắp ( nói cách khác có số hữu hạn m i khác 0) Hơn hai phép toán xác định tập là: Với 1.2 Tích trực tiếp: trang Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai toán liên quan đến mođun xạ ảnh” Trong định nghĩa trên, giả thiết m i = hầu khắp nơi với i thu khái niệm tổng trực tiếp ngồi mạnh có kí hiệu Lúc người ta gọi tích trực tiếp họ R – modun Như vậy: Nếu tập I hữu hạn tổng trực tiếp ngồi đồng với tích trực tiếp mođun Mi , nói cách khác M1 M2 Mn=M1 M2 Mn 1.3 Hạng tử trực tiếp: Cho N môđun R – môđun M Môđun N gọi hạng tử trực tiếp M tồn modun P M cho M=N Khi P gọi mođun phụ N M 2.MÔĐUN XẠ ẢNH 2.1 Định nghĩa: R – mođun X gọi xạ ảnh với đồng cấu R – mođun f: X toàn cấu R – mơđun g: A thoả mãn B có đồng cấu R – môđun h: X X h f A g g B 2.2 Mệnh đề: Tổng trực tiếp R – mođun xạ ảnh xạ ảnh trang B A Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai toán liên quan đến mođun xạ ảnh” 2.3 Mệnh đề: Cho X R – mođun khẳng định sau tương đương với nhau: i) ii) iii) X R – mođun xạ ảnh Mọi dãy khớp ngắn đồng cấu R – môđun chẻ X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môdun tự 2.4 Bổ đề: Cho Thì Chứng minh: Gọi f cho f(P) = Ta chứng minh f(M) = Thật vậy, Xét nhóm M: , Rõ ràng tổng chúng M Một phẩn tử tập A có dạng: ( phần tử M) Vì f(P) = nên Do f(A) = Tương tự, có f(B) = Vì vậy: f(M) = f(A) + f(B) = Suy Ghi chú: Mệnh đề 2.2 không trường hợp tích trực tiếp vơ hạn( khơng tổng trực tiếp) Một cách tổng quát, tích trực tiếp môđun xạ trang Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai toán liên quan đến mođun xạ ảnh” ảnh chưa xạ ảnh Điều làm rõ qua toán phần đề tài PHẦN II: BÀI TẬP Bài tốn 1: Chứng minh tích trực tiếp khơng môđun xạ ảnh Chứng minh: Cách 1: Dựa kiến thức: Nhóm nhóm aben tự nhóm aben tự Đặt M = Giả sử M môđun xạ ảnh trang Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai toán liên quan đến mođun xạ ảnh” Khi theo mệnh đề 2.3 M đẳng cấu trực tiếp với hạng tử trực tiếp môdun tự F tức F Vì F nhóm aben tự nên M nhóm aben tự Do nhóm nhóm aben tự nhóm aben tự nên ta nhóm M khơng phải nhóm aben tự điều vơ lí, từ tốn chứng minh Thật vậy, Xét nhóm A = với ln tồn m cho chia hết cho 2n ( *Chứng minh A nhóm M: +A , M có phần tử đơn vị = (0, 0, ,0, )(1) + (0, 0, , ) + nên A (2) a = với ln tồn m cho chia hết cho 2i ( tồn m’ với cho chia hết cho 2i ( : , gọi p = max Suy tồn p cho + chia hết cho 2i ( (3) trang Khi với Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai toán liên quan đến mođun xạ ảnh” + a = với cho chia hết cho 2i ( tồn m ta có (4) Từ (1), (2), (3), (4) ta có A nhóm M Nhưng A khơng phải nhóm aben tự Điều vơ lý Vậy M khơng mơđun xạ ảnh hay tích trực tiếp không môđun xạ ảnh Cách 2: Cách dựa bổ đề 2.4 Đặt M = Giả sử M Ta có mơđun xạ ảnh , F nhóm giao hốn tự với sở Vì thể đếm được, nên phân tích I thành tập hợp tách rời cho đếm P chứa ( có sở ) Chú ý ( đếm cịn M khơng) Lấy phép chiếu từ F vào đồng cấu f: F với với thích hợp, thu f(F1) = Do f(P) = 0( Mâu thuẫn với bổ đề 2.4) trang Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai toán liên quan đến mođun xạ ảnh” Vậy M không môđun xạ ảnh hay tích trực tiếp khơng mơđun xạ ảnh Bài toán 2: Chứng minh R – mođun P xạ ảnh tồn họ phần tử cho với a P hàm tuyến tính , với hầu hết i Chứng minh: * Chiều thuận: Giả sử P R – mođun xạ ảnh F R – mođun tự có sở R - toàn cấu, Theo mệnh đề 2.3 “Mọi dãy khớp ngắn đồng cấu R – môđun chẻ ra” nên dãy khớp ngắn: chẻ Do tồn R - đồng cấu f Với a cho ln có khai triển hữu hạn nhất: , tức có hữu hạn phần tử ràng tương ứng cho xác định cho Khi rõ R – đồng cấu với hầu hết i Bây ta đặt thì: trang Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai toán liên quan đến mođun xạ ảnh” * Chiều đảo: Giả sử có phần tử cho với a P hàm tuyến tính , Xét tập hợp S = với hầu hết i và ánh xạ g xác định Cho F R – môđun tự tập hợp S Khi theo tính phổ dụng môđun tự tồn R – đồng cấu mở rộng g( Bây ta định nghĩa ánh xạ f xác định Khi f hồn tồn xác định R – đồng cấu Ta suy ra, Tức thì: Ta có mệnh đề: Cho dãy khớp ngắn khẳng định sau tương đương: i)Dãy khớp chẻ ii)g có nghịch đảo phải, tức có đồng cấu k trang 10 cho Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai toán liên quan đến mođun xạ ảnh” Do dãy khớp ngắn: chẻ Điều nói lên P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun tự F Theo mệnh đề P R – mođun xạ ảnh Bài toán chứng minh TÀI LIỆU THAM KHẢO N T Lanh, Đại số( Giáo trình sau đại học), Nhà xuất giáo dục, 1985 S Lang, Đại số( T V Hạo, H Kỳ dịch), Nhà xuất ĐHTHCN, 1978 T Y Lam, Exercises in Modules and Rings, Springer, 2007 T Y Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer – Verlag, 1999 Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V.V Kirichenko, Algebras Rings and modules, Nhà xuất Klwerv Acadeamic, 2004 trang 11 .. .Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai toán liên quan đến mođun xạ ảnh” TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ Tên đề tài: CHỨNG MINH HAI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MÔĐUN XẠ ẢNH LỜI MỞ ĐẦU Phần I: TỔNG QUAN. .. bổ đề 2.4) trang Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai toán liên quan đến mođun xạ ảnh” Vậy M không môđun xạ ảnh hay tích trực tiếp khơng mơđun xạ ảnh Bài toán 2: Chứng minh R – mođun P xạ. .. MÔĐUN XẠ ẢNH Phần II: BÀI TẬP 1.BÀI TOÁN 2.BÀI TOÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO 10 trang Đề tài tiểu luận đại số “Chứng minh hai toán liên quan đến mođun xạ ảnh”