ĐặT Vấn đềIlý do chọn đề tài Khi giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi ,học sinh thờng gặp dạng toán ″Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện “.Tôi thấy học sinh thờng e ngại hoặc làm bài
Trang 1C¸c quy íc viÕt t¾t 1-§PCM : ®iÒu ph¶i chøng minh
3-CMR : Chøng minh r»ng
Trang 2ĐặT Vấn đề
I)lý do chọn đề tài
Khi giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi ,học sinh thờng gặp dạng toán ″Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện “.Tôi thấy học sinh thờng e ngại hoặc làm bài không tốt dạng toán này.Lý do là học sinh không chứng minh đợc các bài toán đó vì không tìm đợc cách chứng minh Để đáp ứng một phần đòi hỏi thực tế đặt ra tôi đã nghiên cứu và mạnh dạn trình bày “ Sáng kiến về biến đổi để chứng minh bất đẳng thức
có điều kiện Đây là một trong các cách giải cho bài toán bất đẳng thức có điều kiện và qua thử nghiệm tôi thấy phơng pháp này có hiệu quả nhất định trong quá trình giảng dạy học sinh
II) Điều tra thực trang tr ớc khi nghiên cứu :
Để đánh giá đợc khả năng giải toán về chứng minh bất đắng thức , tôi đã tiến hành kiểm tra 20 em học sinh giỏi lớp 8 ở trờng ra đề cho học sinh làm bài trong 30 phút nh sau:
Bài1: (6đ) a) Ch o a + b = 2 Chứng minh rằng a2 + b2 ≥ 2
b) Cho a > 2 , b > 2 .Chứng minh rằng ab - 2a - 2b + 4 > 0
Bài 2 : ( 4 đ ) Cho a + b > 1
CMR : a4 + b4 >
8 1
Kết quả cụ thể :
Qua kiểm tra tôi thấy đa số học sinh không làm đợc bài 2 Qua kết quả có thể thấy học sinh không có biện pháp giải dạng toán kiểu chứngminh BĐT có điều kiện
Từ thực tế trên , tôi đã mạnh dạn nghiên cứu phơng pháp dạy học sinh chứng minh BĐT
có điều kiện , nhằm giúp học sinh có phơng pháp t duy trong việc tìm lời giải của bài toán chứng minh BĐT
III) Cơ sở ph ơng pháp
Trang 3- Phơng pháp chính của đề tài này là cách đặt ẩn phụ một cách hợp lý trên cơ sở các
điều kiện đề bài cho đồng thời vận dụng đúng các đẳng thức đợc học trong sách giáo khoa , các bất đẳng thức đơn giản Học sinh có thể đa ra lời giải chứng minh ngắn gọn đơn giản cho các bài toán chứng minh bất đẳng thức , hay tìm cực trị của biểu thức đại số
IV) Phạm vi áp dụng của đề tài
- Bản kinh nghiệm sáng kiến này đợc áp dụng trong việc giảng dạy các chuyên đề trong trờng học hoặc sử dụng để bồi dỡng nâng cao vốn kiến thức cho các đội tuyển học sinh giỏi môn toán lớp 8 , lớp9 và các lớp bậc trung học phổ thông
- Dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức có điều kiện có thể sử dụng phơng pháp này Song tuỳ theo từng bài cụ thể ( Còn có những bài cha áp dụng đợc phơng pháp này )
- Chuyên đề này còn để ngỏ để tiếp tục khai thác nên chuyên đề vẫn còn nhiều vấn
đề để mở không đi sâu hết các dạng đề bài
Giải quyết vấn đề
Trang 4A ) Các công thức cơ bản:
(a ± b)2 =a2 ± 2ab +b2
( a ± b)2 = a2 ± 3a2b +3ab2± b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2
( a+ b )( a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 ( a - b ) (a2 + ab +b2 ) = a3 - b3
(a ± b)4 =a±4a3 + 6a3 b3 ± 4ab3 +b4
II) Các bất đẳng thức :
(a ± b)2≥ 0 với ∀ a ,b
a2 ≥ 0 với ∀ a
B)Các ví dụ minh hoạ : I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức:
Bài1 Cho a + b = 6 Chứng minh: a4 + b4 ≥ 162
Giải
Do a + b = 6 nên có thể đặt
−
=
+
=
m
b
m
a
3
3
với m tuỳ ý
Ta có : a4 + b4 = (3 + m)4 + (3 - m)4 =
=3 4+4 3 3 m+6 3 2 m 2 +4 3 m 3 +m 4 +3 4 −4 3 3 m+6 3 2 m 2 −4 3 m 3 +m 4
=162+108 m 2+2 m 4 ≥162
Với mọi m Đẳng thức xảy ra khi m = 0
Hay a = b = 3 Suy ra ĐPCM
Bài 2: Cho a + b = 4 chứng minh: a4 + b4 ≥ 32
Giải: Do a + b = 4 nên có thể đặt
−
=
+
=
m b
m a
2 2
với m tuỳ ý
Trang 5Ta có : a4 + b4 = (2 + m )4 + (2- m)4 = 32 + 48m2 +2m4 ≥ 32
Với mọi m Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a = b = 2 Ta suy ra ĐPCM
Nhận xét 1:Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tơng ứng nh trên với
−
=
+
=
m
c b
m
c a 2
2
Với m tuỳ ý
Bài 3: Cho x + y + z = 3
Chứng mỉnh rằng: x2 + y2 + z2 +xy +yz +zx ≥ 6
Giải: Do x + y + z = 3 nên ta đặt
−
−
=
+
=
+
=
b
a
z
b
y
a
x
1
1
1
Với a,b tuỳ ý Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
x2 + y2 + z2 +xy +yz +zx = (1 + a)2 + (1 + b )2 + (1 - a - b)2 + + (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a2 + ab + b2
4
3 2
6
2 2
≥ +
+
Với mọi a , b Dấu” = “xảy ra khi a = b = 0 hay x =y =z =1 suy ra ĐPCM
Nhận xét 2 : Nếu giả thiết cho: x + y + z = k Thì ta nên đặt:
−
−
=
+
=
+
=
n m
k
z
n
k
y
m
k
x
3
3
3
Hoặc
+
=
+
=
+
=
c
k z
b
k y
a
k x
3 3 3
với a +b +c = 0
Hai cách đặt này đều có thể vận dụng cho bài toán trên
Bài 4: cho a + b + c + d = 1 Chứng minh rằng :
( a + c) ( b + d ) + 2ac +2bd ≤
2 1
Giải: Do a + b +c + d = 1 nên ta có thể đặt :
Trang 6z y d
; z y c
; z x b
; z x
4
1 4
1 4
1 4
1
Với x ,y ,z tuỳ ý Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có: (a+ c) (b+ d) + 2ac +2bd =
− −
− + +
+ −
+ + +
− −
+ +
4
1 4
1 2 4
1 4
1 2 2
1 2
1
2
1 4
2
1 − − 2 − 2 ≤
Vớii mọi x , y z
Dấu ” = “ xảy ra khi x - y = z = 0 hay a = c và b = d suy ra ĐPCM
Nhận xét 3 : Nếu giả thiết cho a + b + c + d = k
Ta có thể đặt theo 2 cách :
−
−
=
− +
=
+
−
=
+ +
=
z y
k d
z y
k
c
z x
k b
z x
k
a
4 4
4 4
Hoặc
+
=
+
=
+
=
+
=
q
k d
p
k c
n
k b
m
k a
4 4 4 4
với m + n + p + q = 0
Bài 5: Cho a + b = c + d chứng minh rằng
a2 + d2 + cd ≥ 3ab
a2 + b2 + ab ≥ 3cd
Giải
Phần a , b tơng tự nhau, ta chứng minh phần a
Giải: Do a +b = c + d nên ta đặt
−
=
+
=
x b d
x a c
Với x tuỳ ý
Ta có c2 +d2 +cd=(a +x) (2 + b−x) (2 + a +x)(b−x) =
ab ab x
x b
4
3 2
2 2
≥ + +
− +
Dấu ” = “ xảy ra khi x = a - b +
2 x = 0 hay a = b = c = d
Trang 7Với c2 + d2 +cd ≥ 3ab với ∀ a, b thoả mãn a + b = c + d
Bài 6 : Cho a + b + c + d = 2 CMR a2+ b2 + c2 + d2 ≥ 1
Vì a + b + c + d = 2 nên đặt
t d
;
y
b
z c
;
x
a
+
= +
=
+
= +
=
2
1 2
1
2
1 2
1
Với : x + y + z + t = 0
Ta có: a2 +b2 +c2 +d2 =
2 2
2 2
4
2 4
2 4
2 4
2
+ +
+ +
+ +
+
t t z
z y
y x
4
1 4
1 4
1 4
1
(x +y +z +t )+(x+y+z+t) +
4
1 4
1
4
1
4
1
0
1+ 2 + 2 + 2 + 2 ≥
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t Khi đó a = b = c = d =
2 1
Nhận xét 4 :
Nếu cho điều kiện là
k a
a a
a
a1+ 2 + 3 + 4 + + n =
CMR:
n
k a
a a a
2 2 2
4
2 3
2 2
2
Ta nên đặt x ,
n
k
n
k
n
k
a3 = + 3 x ,
n k
an = + n
Trang 8II Các bài toán có điều kiện là đẳng thức kết hợp bất
đẳng thức .
Bài 7: Cho x + y =3 và y ≥ 2 .Chứng minh rằng:
a) x3 + y3 ≥ 9
b) 2x4 + y4 ≥ 18
Giải: Do y ≥ 2 nên đặt y =2 + t ≥ 0 với t ≥ 0
Do x +y = 3 nên đặt y = 2 + t Thì x = 1 - t Thay x = 1 -
t và y = 2 + t vào vế trái ta có:
x3 + y3 = (1 -t )3 + ( t + 2)3= 9 +9 t +9t2≥ 9 vì t ≥ 0
Dấu “ = “ xảy ra khi t = 0 hay x = 1 và y = 2 suy ra ĐPCM
b) 2x4 + y4 =2 (1 - t)4 + ( 2 + t) 4 =18 +24t + 36 t2 + 3t4 ≥ 18 vì t ≥ 0
Dấu “ = “xảy ra khi t = 0 hay x =1 và y =2 Suy ra ĐPCM
Nhận xét 5: Với điều kiện x + y = k và y ≥ l (hay x ≤ n) thì nên đặt
y = 1 + m với m ≥ 0 ( hay x = n - m với m ≥ 0)
Từ đó suy ra x = k - l - m (hay y = k - n - m)
suy ra:
+
=
−
−
=
m l y
m l k x
Hay
−
−
=
−
=
m n k y
m n x
Rồi thay các ẩn vào các vế bất đẳng thức cần chứng minh
Bài 8: Cho x < 2 và x + y > 5 Chứng minh rằng: 5x2 + 2y2 + 8y > 62
Giải
Do x < 2 và x + y > 5 nên ta đặt
+
=
+
−
=
k
y
x
t
x
5
2
Với t ,k > 0 Suy ra
+ +
=
−
=
k t y
t x
3 2
Thay vào vế trái của bất đẳng thức ta có
5x2 +2y2 +8y = 5 (2 - t )2 + 2(3 + k + t )2 +8 (3 + k + t) =
= 62 + 2 (k + t )2 +5t2 +20 k > 62 ∀ k , t Suy ra ĐPCM
Trang 9Bài 9 Cho a + b > 8 và b > 3 Chứng minh rằng:
27a2 +10 b3> 945
Giải Do a + b > 8 và b > 3 Nên ta đặt
+
=
+
+
=
k
b
a
t
b
8
3
Với k,t > 0
⇒
+
=
− +
=
t b
t k a
3
5
Thay vào vế trái của BĐT ta có:
27a2 + 10b3 =
( + − ) + ( + ) =
3 10 5
27
Vì ,t,k >0 Suy ra ĐPCM
Nhận xét6:Nếu điếu kiện cho là:
≤
≥
+
v
x
u
y
x
Ta nên đặt
−
=
+
= +
m v x
n u y x
Với m,n > 0 từ đó ⇒
−
=
+ +
−
=
m
v
x
n u
v
m
y
Thay vào BĐT suy ra ĐPCM Nếu điếu kiện cho là:
≥
≥
+
l
b
k
b
a
Thì ta đặt
+
=
+
=
+
n l
b
m k
b
a
với n,m > 0 →
+
=
−
− +
=
n l b
n l m k a
Thay vào BĐT suy ra ĐPCM
Bài10: Cho a + b + c ≥ 3 .Chứng minh rằng a4 +b4+c4 ≥ a3 + b3 + c3
Giải:
Do a + b + c ≥ 3 nên ta đặt :
Trang 10
+
=
+
=
+
=
z c
y b
x a
1 1 1
Thoả mãn x + y + z ≥ 0 Xét hiệu : a 4+b 4 +c 4−a 3 −b 3−c 3 =
=(1+x) (4 + y+1) (4 + z+1) (4 − x+1) (3 − y+1) (3 − z+1)3 =
4
3 3 3 2
3 2
3 2
2 2 2
+ +
+ +
+
+
+
z
y y
x x z
y
x
Vậy: a 4+b 4+c 4 ≥a 3 +b 3 +c 3
Dấu'' = ''xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
Nhận xét 7
Đây là đề thi học viện bu chính viễn thông.Ta thấy nếu biết cách đặt ẩn phụ hợp lý học sinh vẫn có thể chứng minh đợc đối với học sinh THCS
III)các bài toán có điều kiện phức tạp:
Bài11: cho : a3 + b3 < 2 Chứng minh rằng: a + b < 2
Giải Phơng pháp phản chứng
Giả sử a+b≥2 ta đặt
+
=
+
=
y b
x a
1
1
với x+y ≥0
Ta có:a 3 +b 3 =(1+x) (3 + 1+y)3 =2+3(x+y)+3(x 2 +y 2)+x 3 +y 3
= 2+3(x+y)+3(x 2 +y 2)+(x+y)(x 2 −xy+y 2 ≥2)
Vì x+y≥0 Suy ra a 3+b 3 ≥2 Trái giả thiết.Vậy a + b < 2
Bài 12 Cho a4+ b4 < a3 + b3 Chứng minh rằng: a + b < 2
Giải Phơng pháp phản chứng:
Giả sử a+b≥2 Đặt
+
=
+
=
y b
x a
1
1
với x+y ≥0
Xét hiệu: 4 4 3 3 ( ) (4 ) (4 ) (3 )3
1 1
1
b a b
=(x+y)+3(x 2 +y 2) (+3 x 3+y 3)
( + )+3( 2+ 2)+3( + )( 2 − + 2)≥0
Trang 11haya 4+b 4 −a 3−b 3 ≥0→ với a + b ≥ 2 Thì: a4 + b4 ≥ a3 + b3 Trái với giả thiết Vậy a + b < 2
Bài toán 13
Cho a,b,c là 3 số dơng Chứng minh :
2
3
≥ +
+ +
+
c c a
b
c
b
a
Giải:
Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b Khi đó:
2
z y x
c
b
a + + = + +
2 2 2
z y x c
z y x b
z y x a
− +
=
+
−
=
+ +
−
=
Cho nên
2
3 3 2 2 2 2 1
3 2
1
1 1
1 2 1
2 2
2
=
− + +
≥
≥
−
+ +
+ +
+
=
=
− + + +
− + + +
−
=
= +
+ +
+ +
z
y y
z z
x x
z y
x x y
z
y z
x y
z y
x x
z x y
z
z y x y
z y x x
z y x
b a
c a
c
b c
b a
(áp dụng BĐT CÔ SI ) Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Hay a = b = c
Bài toán 14
Cho u,v là các số dơng và u+v=1 chứng minh rằng
2
25 1
≥
+ +
+
v
v u
u
Giải
Đặt a = u + 1 và b=v+ 1 Ta có a > 0, b > 0
Trang 12Và
2
2
+a b <
2
2
a + (1)
4 4
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
b a b
a b
ab a
b a b
áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
4
25 2
4 1 2
1
1
2
1 1 2
1
1 1
1 2
1
2
2 2
2 2
2 2
2
2
=
+
≥
+
=
=
≥
+ +
+
=
+
uv
v u v u v
v u
u v
v u
u b
a
vì uv≤
2
1 2
2
=
+u v
do đó 1 ≥4
uv ) Dấu đẳng thức xảy ra khi : u = v =
2
1
bài toán:15
Cho a.b 0≠ Chứng minh rằng:
0 4 3
2
2
2
2
≥ +
+
−
+
a
b b
a a
b
b
a
Giải : Đặt x =
a
b b
a + ta có : 2 2
2 2
2
a
b b
a x
2
2
2
−
=
a
b
b
a
Bất đẳng thức trở thành:
x2 −2−3x+4≥0
0 2 3
( −1)( −2) ≥0
Nếu ab< 0Thì ta có
0
a
ab b
a2 + 2 ≥−2
⇒ Chia cả hai vế cho ab ta đợc
2
2
2
−
≤
+
ab
b
a
Vậy x≤−2 Trong cả hai trờng hợp thì (x−1)(x−2)≥0
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b
Trang 13c) Kết quả thực hiện
1)Kết quả chung
Sau khi học sinh đợc thực hành '' Sáng kiến đổi biến để chứng minh bất đẳng thức có
điều kiện ''đa số các học sinh khá giỏi không những học sinh nắm vững cách đặt ẩn phụ
mà còn biết vận dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt qua đó giải đợc các dạng toán nh :
-Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của một biểu thức biết điều kiện tham số
-Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ,đẳng thức có điều kiện
-Sáng tao ra bất đảng thức mới
Qua kết quả của các bài toán trên đã giúp cho học sinh cũng nh giáo viên có phơng pháp giải mới cho các bất đẳng thức có điều kiện ,đó chính là một dạng toán khó và từ trớc tới nay cha có cách giải tổng quát
2)Kết quả cụ thể:
Kiểm tra 20 em học sin khá ,giỏi lớp 8 theo ba đợt có đề bài lần lợt nh sau
Đề 1
a)cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 ≥ 3 1
b)cho x + y + z =3 Tìm GTLN của C =xy + yz + zx
Đề 2
b) Cho a + b + c + d = 3 Chứng minh rằng a2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥
4 9
b)Cho a + b = 1tìm GTNN của M = a3 + b 3 + ab
Đề 3
Cho x + y = 3 và x ≤ 1.chứng minh rằng:
a)2x2 + y2 ≥ 6
b) xy ≤ 2
c) x3 + y3 - 6x2 - 3y2 + 9 ≥0
Kết quả thực hiện nh sau :
Trang 143 0 0 8 40 5 25 7 35 20 100
Kiểm Tra 20 học sinh khá giỏi lớp 9 theo 3 đợt với đề bài thứ tự nh sau:
Đề 1:
a)Cho3x + y = 1 chứng minh rằng x2 + y2 ≥
10 1
b)Cho x + y = 3 và y≥2 Chứng minh rằng2x2 + y2 ≥ 3x
Đề 2:
a) Cho x + y = c + d = 1 Chứng minh rằng ac− bd < 1
b)Cho a + b + c + d ≥ 2 Chứng minh rằng a+b+c+d≥1
Đề 3
a) Cho a2 + b2 ≤ 2 chứng minh rằng a + b ≤ 2
b) Cho a + b ≥ 2 Chứng minh rằng a4 +b4 ≥a3+b3
Kết quả cụ thể nh sau
Nhận xét: Kết quả trên tôi thu đợc từ việc kiểm tra hai đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện của trờng sau khi các em đợc làm quen và trực tiếp các em thực hành sáng kiến “ Đổi biến để chứng minh Bất đẳng thức có điều kiện”
Sau khi thu đợc kết quả có thể nhận thấy phơng pháp giải toán ử trên không khó đố với học sinh khá giỏi ,mà điều cần lu ý ở đây là cách đặt ẩn phụ một cách hợp lý thì lời giải mới ngắn gọn
KếT LUậN Và KIếN NGHị
A)ý nghĩa ,tác dụng của đề tài:
Nh đã trình bày ở phần đặt vấn đề tôi viết đề tài này chỉ nhằm một mục tiêu đơn giản
là giúp cho giải toán “Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện “ có thêm một cách giải mới vừa đơn giản dễ nhớ và hiệu quả
Trang 15Qua đề tài giúp cho bản thân tôi cũng nh các thầy co giáo và học sinh thấy đợc mọi vấn đề đều có hớng giải quyết , nếu nh ta biết đơn giản hoá các vấn đề phức tạp B.) Kiến nghị , đề xuất h ớng nghiên cứu
Qua thực tế áp dụng đề tài tôi xin lu ý các đồng chí khi vận dụng đề tài trên đây cần :
- Dạy cho học sinh nắm chắc các đẳng thức , các bất đẳng thức cơ bản
- Đặt ẩn phụ hợp trên cơ sở điều kiện đề toán có lời giải chứng minh ngắn gọn nhất cho bài toán
- Mở rộng phơng pháp cho các dạng toán khác nh các bất đẳng thức khó , các bài giải phơng trình , các bài giải hệ phơng trình có đều kiện kèm theo
- Từ kết quả đúc rút kinh nghiệm từ bản thân tôi xin kiến nghị
- Đối với hội đồng khoa học cấp trờng , cấp huyện cần xem xét phơng pháp mà tôi trình bầy trong đề tài này để có những nhận xét , đánh giá những u nhợc điểm của đề tài , và hớng chỉ đạo trong thời gian tới Tôi hy vọng đề tài sẽ đóng góp một phần trong công tác nghiên cứu khoa học và áp dụng vào giảng dạy ở nhà trờng
Các tài liệu tham khảo
1) Tạp trí toán học tuổi trẻ tháng 1/2002 (Hội toán học Việt Nam)