Phép suy luận Toán Học dạy Bất đẳng thức cho lớp 10 Chuyên đề cho 12Toán "Sử dụng phép suy luận Toán học để dạy học sinh chứng minh bất đẳng thức" I- Lý chọn đề tài: 1- Chúng ta cố gắng ngày hoàn thiện phơng pháp dạy học có hiệu cao Đó phơng pháp phát huy tích cực học sinh, dạy học lấy học sinh làm trung tâm Chính tập nhỏ ngời thầy giáo cần biết giúp cho học sinh biết khai thác khía cạnh nhỏ, phát triễn thành nhiều toán khác mang ý nghĩa tích cực 2- Việc suy nghĩ lao động nghiêm túc để thiết kế cho tiết lên lớp không cho phép thầy nói, hỏi tuỳ tiện Do buộc học sinh phải suy nghĩ, phải làm việc, phải hoạt động cách tích cực tự giác mang tính chất sáng tạo - sử dụng mức loại câu hỏi mà toàn thể học sinh việc trả lời đồng thanh: có, không, đúng, sai Mà cần phải có hệ thống câu hỏi có tính chất khai thác phát triễn cách logíc từ có định phải theo hớng nào? phơng pháp nào? đâu giải nh nào? 3- Một lý cần biết đại đa số học sinh cha quen kết hợp công cụ toán học để giải toán, học đai số biết đại số, học hình học hay lợng giác biết hình học hay lợng giác nh bất đẳng thức bất đẳng thức không phối hợp phát triển đợc với tính cách có hệ thống - thói quen kết hợp nhìn nhận dới nhiều góc độ dẫn tới nhiều hạn chế phơng pháp, lúng túng trớc nhiều toán mà đáng cách giải khó Vì vậy! để học sinh đợc suy nghĩ, đợc làm việc phải mục đích cao trình dạy học; mà đặc biệt học sinh biết tìm tòi đầy đủ khía cạnh toán; phát triển toán cách có trình tự, có khoa học thích nghi với xu phát triển Chính chọn đề tài " Sử dụng phép suy luận Toán học để dạy học sinh chứng minh bất đẳng thức " II- Nội dung: 1) Xuất phát từ tập sách giáo khoa hớng dần học sinh tập phân tích theo hớng: - Chứng minh gì? - Xuất phát từ đâu? - Chứng minh nh nào? - Sau khai thác toán theo hớng toán thay đổi kiện hay từ nội dung toán có thay đổi không? Hãy nêu lên toán - Ngoài phơng pháp ta đa phơng pháp khác toán, giáo viên hớng dẫn phơng pháp t cho học sinh - Phải đòi hỏi học sinh tự phân tích nội dung toán để xây dựng đợc cho phải tìm, từ tìm đờng lối giải toán Từ đa hớng phát triển toán hay mở rộng toán Từ toán đơn giản biết phân tích, tổng hợp cho toán đầy thú vị Sau số toán có đợc cách khai thách bất đẳng thức thông dụng sau: 1/ a2+b2 2ab; a,b R (1) a+b ab Tạ Quốc Khánh, tổ Toán, Trờng THPT Chuyên Quảng Bình Phép suy luận Toán Học dạy Bất đẳng thức cho lớp 10 Chuyên đề cho 12Toán 2/ a+b ab 3/ a+b+c abc a,bR+ a,b,cR (2) (3) * Từ (1) có hai bất đẳng thức tơng tự: b2+c2 2bc; c2+a2 2ca Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế ta có: Bài toán 1: Với a,b,c R Chứng minh rằng: a2+b2+c2 ab+bc+ca Từ (2) ta có bất đẳng thức tơng tự: b + c bc ; c + a ca b + c bc ; c + a ca ; Nhân ba đẳng thức vế theo vế ta có: Bài toán 2: Cho a, b, c 0.Chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc * Từ toán 1, ta thay a 1/a; thay b 1/b, c 1/c (a.b.c0) ta có: Bài toán3: Chứng minh rằng: 1 a+b+ c a,b,c0 + + a b2 c abc * Mặt khác từ (1) suy ra: 2a2+2b2 a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2+b2 Tơng tự: ( a + b) Cũng từ ta lại có: a2 + c2 a + b2 ( a + b) ; (a,b0) 2 (a + c); b + c (b + c ) 2 Tạ Quốc Khánh, tổ Toán, Trờng THPT Chuyên Quảng Bình Phép suy luận Toán Học dạy Bất đẳng thức cho lớp 10 Chuyên đề cho 12Toán Bài toán 4: Cho a,b,c Chứng minh rằng: a + b2 + b2 + c2 + c + a a Lại có: 1+a2 2a, aR + a2 a b c ; ; 2 1+ a 1+ b + c2 (a + b + c) 2 Dẫn đến: Bài toán 5: Với a,b,cR, ta có: a b c + + 2 1+ a 1+ b 1+ c ab a +b a +b Lại viết lại công thức (2) dới dạng: (a+b)2 4ab Tơng tự: bc bb++cc ca c+a bc b+c bc ; ; ;; b+c bb++cc 44 c + a Nên có: a+b+c ab bc caab a +bcb + c ca ; + + a + c + b + c + c + a a+b b+c c+a (a,b,c>0) Lại thử "Xâm nhập" vào biểu thức a3+b3 xem sao? Ta có: a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b) Suy ra: a3+b3+abc ab(a+b+c) Hay Tơng tự: 1 a + b + abc ab(a + b + c) b + c + abc Từ ta có: 1 ; 3 bc(a + b + c) c + a + abc ca(a + b + c) 1 1 + + 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Bằng cách biến đổi hợp lý, ta thu đợc: Bài toán 6: Cho a,b,c>0 ta có: a/ b/ ab bc ca a+b+c + + a +b b+c c+a 1 1 + + 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc abc Công thức (3) ta có:a+b+c 333abc Tơng tự ta có đẳng thức cho ba số dơng: 1 ; ; a b c Tạ Quốc Khánh, tổ Toán, Trờng THPT Chuyên Quảng Bình Phép suy luận Toán Học dạy Bất đẳng thức cho lớp 10 Chuyên đề cho 12Toán 1` 1 1 Nên có: (a + b + c)( + + ) + + 33 a b c a b c abc Nếu thay a a+b, thay b b+c, thay c c+a ta có: 1 + + ) a+b b+c c+a a b c + + ) b+c c+a a+b (a + b + c)( Từ ta đợc: Bài toán 7: Với a,b,c>0 ta có: a b c a/ (a + b + c)( + + ) b/ a b c + + ) b+c c+a a+b Lại nhân hai vế bất đẳng thức 7b) với a+b+c>0 ta có: a2 b2 c2 + + + (a + b + c) (a + b + c ) b+c c+a a+b Và đợc: Bài toán 8: Cho a,b,c>0 ta có: a2 b2 c2 + + (a + b + c) b+c c+a a+b Nếu cho a+b+c = "ngụy trang" bởi:b+c = a-1; c+a = b-1; a+b = c-1 ta có toán sau: Bài toán 9: Cho ba số dơng a,b,c cho:a+b+c=1 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + a b c Nh cần thay đổi chút liệu, ta có kết đẹp Trong sách đại số lớp 10, phần tập ta có toán: 3(a2+b2+c2) (a+b+c)2; a,b,cR ta suy đợc: (a + b + c)2 > 0; 2(a + b + c ) Với a2+b2+c20 Vì toán 7b) ta có: Bài toán 10: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng: a b c (a + b + c) + + b + c c + a a + b 2( a + b + c ) Việc khai thác toán đơn giản phép biến đổi thích hợp trình giảng dạy "chất men" kích thích hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo học sinh Đồng thời giúp học sinh biét suy luận tìm lời giải khoa học hợp lý, thể đợc thông minh sáng tạo Cho học sinh phát nguồn gốc toán sau: Bài toán 1: Cho ba số không âm x,y,z thoả mản:x+y+z=1 Tìm giá trị lớn của: A=xy+yz+zx Bài toán 2: Cho ba só x,y,z thoả mản: (x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=1 Tìm giá trị lớn : B= x + y + 3z Tạ Quốc Khánh, tổ Toán, Trờng THPT Chuyên Quảng Bình Phép suy luận Toán Học dạy Bất đẳng thức cho lớp 10 Chuyên đề cho 12Toán Bài toán 3: Cho hai số thoả mãn: { 0x3 y4 Tìm giá trị lớn của: C = (3-x)(4-y)(2x+3y) III- Tính thực tiễn đề tài: - Đề tài giúp cho học sinh phát huy đợc trí lực học sinh cách tích cực tự giác - Thực đợc trình tìm toán nhận biết đợc xuất toán phải xuất phát từ toán quen thuộc đợc mở rộng hay khái quát lên - Học sinh bớc đầu làm quen đợc phơng pháp luận khoa học - Tự nghiên cứu khoa học cách tinh tế hợp lí nh có hiệu - Trên sở số suy luận toán học có lí mà học sinh biết tổng hợp phân tích vấn đề khái quát hoá hay cụ thể hoá vấn đề - Biết kết hợp phơng pháp luận để giải toán nghiên cứu toán học Đề tài không dừng lại tập bất đẳng thức mà phát triển nhiều phân môn khác đợc áp dụng cho nhiều đối tợng đặc biệt đối tợng học sinh thích tìm tòi sáng tạo Trong trình làm đề tài tránh khỏi sơ suất thiếu sót mong cấp có thẩm quyền nh bạn đọc góp ý để bổ sung cho đề tài đợc tốt có hiệu cao Đồng Hới, ngày 05 tháng năm 2012 Ngời viết đề tài Tạ Quốc Khánh ý Kiến tổ chuyên môn ý kiến hội đồng khoa học trờng tHPT Chuyên quảng bình Tạ Quốc Khánh, tổ Toán, Trờng THPT Chuyên Quảng Bình .. .Phép suy luận Toán Học dạy Bất đẳng thức cho lớp 10 Chuyên đề cho 1 2Toán 2/ a+b ab 3/ a+b+c abc a,bR+ a,b,cR (2) (3) * Từ (1) có hai bất đẳng thức tơng tự: b2+c2 2bc; c2+a2 2ca Cộng ba bất. .. hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo học sinh Đồng thời giúp học sinh biét suy luận tìm lời giải khoa học hợp lý, thể đợc thông minh sáng tạo Cho học sinh phát nguồn gốc toán sau: Bài toán 1: Cho... Khánh, tổ Toán, Trờng THPT Chuyên Quảng Bình Phép suy luận Toán Học dạy Bất đẳng thức cho lớp 10 Chuyên đề cho 1 2Toán Bài toán 4: Cho a,b,c Chứng minh rằng: a + b2 + b2 + c2 + c + a a Lại có: