ĐẶT VẤN ĐỀTrong chương trình toán học phổ thông thì phương trình nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng là một trong những kiến thức rất cơ bản và phổ biến.Phương trình vô tỷ thừơng x
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình toán học phổ thông thì phương trình nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng là một trong những kiến thức rất cơ bản và phổ biến.Phương trình vô tỷ thừơng xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi Có rất nhiều phương pháp giải phương trình Với đề tài này tôi chỉ xin được trao đổi cùng các bạn về các phương pháp giải phương trình vô tỷ một ẩn mà ở đó chứa các căn thức bậc hai là chủ yếu và mở rộng hơn là các căn bậc ba, bậc bốn, bậc năm mà giải nó chúng ta phải đưa về hệ phương trình
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 9 , tôi thấy phương trình vô tỷ là một trong những phương trình mà khi giải người làm toán phải định hướng được nên giải theo cách nào cho phù hợp và nhanh gọn Vì vậy khi học sinh giải các phương trình vô tỷ ,
để có một định hướng rõ ràng và việc tìm ra lời giải quả thật không phải là công việc đơn giản Trong khi bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi chuyển cấp, đòi hỏi người giáo viên phải tìm tòi, suy nghĩ, đọc nhiều sách tham khảo Chính vì thế tôi đã tổng hợp lại một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh như sau:
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Ở chương trình đại số 9 Học sinh đã biết áp dụng định nghĩa căn bậc hai số học ,
sử dụng hằng đẳng thức A2 = A , các phép biến đổi căn thức bậc hai để giải Tuy nhiên chưa có hệ thống phương pháp giải nên học sinh còn lúng túng
II KHẢO SÁT THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI:
Trang 2Khi chưa áp dụng đề tài, giáo viên ra bài tập giải phương trình vô tỷ, ta thấy:
* 14số em giải đúng
*
4
1
số em giải chưa đúng
* 12số em không giải được
* HS không giải được hoặc giải sai kết quả do:
+ Chưa biết cách áp dụng những kiến thức đã học vào giải phương trình như: Bình phương hai vế, phân tích đa thức thành nhân tử, bất đẳng thức
+ Chưa có phương pháp cụ thể để giải phương trình
+ Chưa nắm chắc các kiến thức liên quan, thiếu cẩn thận dẫn đến phương trình thiếu nghiệm hoặc thừa nghiệm
III ĐỀ XUẤT- GIẢI PHÁP
* Giúp HS:
+ Hình thành cho HS có kỹ năng giải phương trình vô tỷ
+ Đưa ra một số phương pháp giải cho HS khá, giỏi
IV NỘI DUNG
+ Khái niệm về phương trình vô tỷ: Ta gọi phương trình vô tỷ là phương trình chứa
ẩn trong dấu căn
=
≥
⇔
=
a x
x x
Trang 3Ta có : 3x+ 4 =x
+
=
≥
⇔
4 3
0
2 x x x
Giải x2=3x+4 ta được x=-1 ; x=4 Đối chiếu với điều kiện x≥ 0 thì nghiệm của phương trình là x=4
về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Giải :
Với điều kiện : x≥ 4 ta có :
(2) ⇔ x−4+4 x−4+4+ x−4−4 x−4+4 =4
2
4 +
−
⇔ x + ( x− 4 − 2)2 = 4
⇔ x− 4 + 2 + x− 4 − 2 = 4
4 2 4 2
4 + + − − =
−
* Nếu x− 4 − 2 ≥ 0 ⇔ x≥ 8 thì ta có : 2 x− 4 = 4 ⇔ x= 8 (thoã mãn)
* Nếu x− 4 − 2 < 0 ⇔ x< 8 thì ta có : x− 4 + 2 + 2 − x− 4 = 4 ⇔ 4 = 4 Vậy phương trình có vô số nghiệm x thoã mãn 4 ≤x≤ 8
Chú ý: HS có thể sai lầm khi kết luận nghiệm
phương trình hữu tỷ
Giải
Trang 4Điều kiện:
≥
−
≥ +
0 5 3
0 5 2
x
x
3 5 2
5
≥
⇔
≥
−
≥
x x
Ta có (3) <=> 2x+ 5 = 3x− 5 + 2 (3’)
Hai vế của (3’) không âm, bình phương hai vế của (3’) ta được:
2x+5 =3x-5 + 4 3x− 5 + 4
x
x− = −
⇔ 4 3 5 6 (3’’)
Với ĐK: 6 −x≥ 0 ⇔ x≤ 6 Hai vế của(3’’) không âm nên ta bình phương hai vế của (3’’) ta được: 16( 3x-5) =36+x2 -12x
⇔x2 - 60x+116=0 ⇔x=2 ; x=58
Đối chiếu với các điều kiện x≥35 và x≤ 6 thì nghiệm của phương trình là : x=2
Chú ý: ở cách giải này nếu không đặt điều kiện cho hai vế của phương trình đều
không âm thì sẽ dễ mắc sai lầm, bởi có sự xuất hiện của nghiệm ngoại lai Thật vậy
ở trong ví dụ này nếu cho điều kiện
3
5
≥
x rồi bình phương hai vế của (3) thì ta sẽ được 2x+5 +3x-5-2 (2x+ 5)(3x− 5) = 4 ⇔ 2 (2x+ 5)(3x− 5) = 5x− 4(3’’’)
Bình phương hai vế của phương trình (3’’’) ta được : x2 - 60x+116 =0 <=> x=2 ; x=58
Đối chiếu với các điều kiện
3
5
≥
x thì phương trình có hai nghiệm x=2 ; x=58.Mà khi thử lại ta thấy x=2 là nghiệm
tỷ đơn giản hơn
Giải
Trang 5Ta có (4) ⇔ x2 − 2x− 3 + x+ 2 = x2 + 3x+ 2 + x− 3 (4’)
Với điều kiện : x≥ 3 ta có :
(4’) ⇔ x+ 1 x− 3 + x+ 2 = x+ 1 x+ 2 + x− 3
( + 1 − 1)( + 2 − − 3)= 0
=
−
−
+
=
−
+
⇔
0 3 2
0 1
1
x x
x
−
=
+
=
+
⇔
3 2
1
1
x x
x
=
<
=
⇔
3
2
3
0
x
vậy phương trình đã cho vô nghiệm
a) Đặt ẩn phụ để có phương trình bậc hai
Giải
Ta có (5) <=> 3( x2 +2x+8)- 4= x2 + 2x+ 8
Vì x2+2x+8=(x+1)2 +7 => TXĐ : Mọi x
Dặt t= x2 + 2x+ 8 => t ≥ 7 Khi đó ta có : 3t2 - 4= t
⇔
=
−
−
⇔ 3t2 t 4 0 t = -1< 7 loại
t= 7
9
63 9
16 3
4 = < = loại
b) Đặt ẩn phụ để có phương trình hữu tỷ bậc cao
Giải
(loại) (vô lý)
Trang 6ĐK : x+1>0 <=> x≥ − 1
Đặt x+ 1 =t⇒t ≥ 0 => x+1 =t2 => x=t2-1 => x2 =t4 -2t2 +1
Khi đó ta có : t4 -2t2 +1 +t2 -1+ 12t -36=0
= + +
+
=
⇔
= + + +
−
⇔
=
− +
− +
− +
−
⇔
=
−
=
− +
− +
−
⇔
=
− +
−
⇔
0 18 3 2
2
0 18 3 2 2
0 2 18 2 3 2 2
2
0 36 18 6 3 4 2 2
0 36 12
2
3
2 3
2 3
2 2 3 3
4
2
4
t t
t
t
t t t
t
t t
t t
t t
t
t t t t t t
t
t t
t
<=> t=2 => x+1=4 => x=3>-1 Vậy nghiệm của phương trình là x=3
c) Đặt ẩn phụ để có hệ phương trình hữu tỷ đơn giản
Giải
Điều kiện: x≥ 6
Đặt a= x+ 6 ; b= x− 6 ( a, b không âm) Từ đó ta có hệ:
7 1
6
9 2 1
6
3 2 1
3 4
2 8
2
2
=
−
= +
⇔
=
−
= +
⇔
=
=
⇔
= +
=
−
⇔
=
−
=
−
x x
x x
x b
a b
a
b a b
a
b
a
(TMĐK) nên là nghiệm của phương trình
Giải
Đặt a =3 x− 1 ; b = 3 x− 3 Từ đó ta có hệ:
vô nghiệm vì t ≥ 0 ⇒t3 + 2t2 + 3t+ 18 ≥ 18 > 0
Trang 7( )
−
=
=
⇔
=
=
−
⇔
= +
−
=
−
⇔
= + +
=
−
⇔
=
−
=
−
3
3
3 2
3
3 2 2
3
3
3
3
2
0 0
2 4
3
2 4
2 2
2
b
a ab
b a ab
b a
b a b
ab a
b a b
a
b
a
hoặc
=
=
0
2
3
b
a
Nếu a=0; b=-3 2 => x=1
a=3 2 ; b=0 =>x=3
Vậy phương trình có hai nghiệm : x=1 ; x=3
Giải
Ta thấy với x=0 thì giá trị vế trái= 0(0 − 1)+ 0(0 − 2) = 0
Giá trị vế phải = 2(0 − 3) = 0 => x=0 là nghiệm
Giả sử phương trình có nghiệm x>0 Tiến hành chia hai vế của (9) cho x ta có
3 2 2
1 + − = −
Mà (x− 1) > (x− 3) ⇒ x− 2 > x− 3 ⇒ x− 1 + x− 2 > 2 x− 3 ⇒(9’) vô nghiệm=> phương trình (9) không có nghiệm x>0
Giả sử phương trình có nghiệm x<0 Tiến hành chia hai vế của (9) cho −x ta có
x x
x+ − = −
Mà 1 −x < 3 −x => 2 −x < 3 −x ⇒ 1 −x + 2 −x < 2 3 −x⇒(9’’) vô nghiệm => phương trình (9) không có nghiệm x<0
Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không giao nhau, khi đó phương trình vô nghiệm
Trang 8Ví dụ 10: Giải phương trình : x− x+ 1 = x− 3
Giải
0 3
0 1
0
≥
⇔
≥
−
≥
+
≥
x x
x
x
Khi đó ta có : x < x+ 1 => giá trị của vế trái nhận giá trị âm Mà x− 3 ≥ 0=> giá trị vế phải lại không âm Do đó phương trình đã cho vô nghiệm
b) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không giao nhau tại cùng một giá trị Khi đó phương trình có nghiệm tại chính giá trị đó của ẩn
Giải
Ta có : x2 + 2x+ 2 = (x+ 1)2 + 1 ≥ 1 Dấu “=” xảy ra⇔x=-1
( 1) 4 4 3
7
6
3x+ x+ = x+ 2 + ≥ Dấu “=” xảy ra⇔x=-1
=> Giá trị vế trái ≥ 1 + 4 = 3.Dấu “=” xảy ra⇔x=-1
Mà 2- 2x- x2 =-(x2 +2x+1)+3=- (x+1)2 +3≤ − 3 Dấu “=” xảy ra⇔x=-1
Vì thế x=-1 là nghiệm của phương trình đã cho
c) Sử dụng dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức:
2
4 + − =
x
Giải
2
4 > − >
không âm ta có:
4 2 2
4 2 2 2
4
=
−
−
≥
−
+
x
áp dụng a+b≥ ∀a,b≥ 0 Dấu “=” xảy ra ⇔a=b
Trang 9Ta có 2
2
4 + −
2 2
4 = −
−
x
⇔ (x− 2)2 = 4
2
4 2 2 2
4 2
2
−
≥
− +
−
⇔
−
=
x
4 2 2
4 2
2
−
⇔
−
=
x
(x− 2)2 = 4 ⇔ x= 6 > 2(TM) Vậy nghiệm của phương trình là x=6
Bài 1 : x2 + 5x+ 1 = 2x− 1
Bài 2: x+ 2 − 4 x− 2 + x+ 7 − 6 x− 2 = 1
Bài 3: x2 +3x+2 -5 x2 + 3x+ 8 = 0( Đề thi HSG huyện năm học :2003-2004)
Bài 4: x+ x− 2 = 2 x− 1( Đề thi tốt nghiệp THCS năm học :2002-2003)
Bài 5 : ( x+ 1 + 1)(x+ 1 + 3 x− 3)= 4x (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10-2006)
Bài 6 : 2x+ 3 + 5 − 8x = 4x+ 7
Bài 7 : 4 x+ 8 − 4 x− 8 = 2
Bài 8 : x2 +3x+1=(x+3) x2 + 1
Qua quá trình ôn tập cho HS lớp 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã mạnh dạn đưa
đề tài này áp dụng vào việc giảng dạy Tôi thấy học sinh rất say mê giải bài tập với các dạng trên.Có nhiều bài toán khó các em đã cùng nhau tháo gỡ, có khoảng 60% học sinh tiếp thu tốt đề tài này
C KẾT LUẬN
Trang 10Qua việc tổng hợp một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh lớp 9 Tôi đưa ra giảng dạy cho học sinh giỏi và ôn tập cho học sinh chuẩn bị cho kỳ thi chuyển cấp Khi có kỹ năng giải phương trình vô tỷ bằng các phương pháp trên, thì các em cũng phát hiện rất nhanh đối với việc giải phương trình vô tỷ không mẫu mực khác
Trong quá trình tham khảo, chọn lọc và viết, chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự góp ý trao đổi của các bậc thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp
để vấn đề trên được hoàn thiện hơn