T ng quan v lý thuy t mã hóa ổng quan về lý thuyết mã hóa ề Tài: ết mã hóa1.1 Mã hóa Mã hóa cryptography là m t trong hai lĩnh v c thu c m t mã h c, ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã họ
Trang 1Đ Tài: ề Tài:
C S TOÁN H C C A LÝ THUY T Ơ SỞ TOÁN HỌC CỦA LÝ THUYẾT Ở TOÁN HỌC CỦA LÝ THUYẾT ỌC CỦA LÝ THUYẾT ỦA LÝ THUYẾT ẾT
M T MÃ H C ẬT MÃ HỌC ỌC CỦA LÝ THUYẾT
Trang 21 T ng quan v lý thuy t mã hóa ổng quan về lý thuyết mã hóa ề Tài: ết mã hóa
1.1 Mã hóa
Mã hóa (cryptography) là m t trong hai lĩnh v c thu c m t mã h c, ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ực thuộc mật mã học, ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ật mã học, ọc, Trong ti ng Hy L p, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che d u hay đ o l n, còn ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ấu hay đảo lộn, còn ảo lộn, còn ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học,
“Graphy” (grafik) có nghĩa là t [3] Nh v y, mã hóa là m t ngành khoa ừ [3] Như vậy, mã hóa là một ngành khoa ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ật mã học, ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học,
h c nghiên c u các thu t toán và phọc, ật mã học, ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ng th c đ đ m b o tính bí m t và ể đảm bảo tính bí mật và ảo lộn, còn ảo lộn, còn ật mã học, xác th c c a thông tin (thực thuộc mật mã học, ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ờng là dưới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ng là dư vậy, mã hóa là một ngành khoa ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn i d ng cac văn b n l u tr trên máy ảo lộn, còn ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ữ trên máy tính) Các s n ph m c a lĩnh v c nay là các h mã m t , các hàm băm, các ảo lộn, còn ực thuộc mật mã học, ệ mã mật , các hàm băm, các ật mã học,
h ch kí đi n t , các c ch phân ph i, qu n lý khóa và các giao th c m t ệ mã mật , các hàm băm, các ữ trên máy ệ mã mật , các hàm băm, các ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ối, quản lý khóa và các giao thức mật ảo lộn, còn ật mã học, mã
- Thông đi p X là b n rõ (là n i dung các thông đi p c n g i đi và c n ệ mã mật , các hàm băm, các ảo lộn, còn ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ệ mã mật , các hàm băm, các ần gửi đi và cần ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ần gửi đi và cần
đư vậy, mã hóa là một ngành khoa c b o v an toàn Nó có th là các xâu bit, các file văn b n, các file ảo lộn, còn ệ mã mật , các hàm băm, các ể đảm bảo tính bí mật và ảo lộn, còn
có c u trúc), đấu hay đảo lộn, còn ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c mã hóa v i khóa kới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy 1 t o thành văn b n mã hóa Y ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ảo lộn, còn (Ciphertext) (k t qu thu đảo lộn, còn ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c khi mã hóa b n rõ theo quy trình mã ảo lộn, còn hóa c a phư vậy, mã hóa là một ngành khoa ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ng pháp đang đư vậy, mã hóa là một ngành khoa c ch n) ọc,
- Quá trình gi i mã chuy n Y tr thành X s d ng khóa kảo lộn, còn ể đảm bảo tính bí mật và ở thành X sử dụng khóa k ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ụng khóa k 2
Các phép bi n đ i đổi được sử dụng trong mô hình truyền tin trên thuộc về ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c s d ng trong mô hình truy n tin trên thu c v ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ụng khóa k ền tin trên thuộc về ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ền tin trên thuộc về
m t h mã m t (Cryptosytem) nào đó.ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ệ mã mật , các hàm băm, các ật mã học,
1.3 Khái ni m h mã m t: ệm hệ mã mật: ệm hệ mã mật: ật:
M t h mã m t là b 5 (P, C, K, E, D) th a mãn các đi u ki n sauột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ệ mã mật , các hàm băm, các ật mã học, ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ỏa mãn các điều kiện sau ền tin trên thuộc về ệ mã mật , các hàm băm, các :
- P là không gian b n rõ: t p h u h n các b n rõ có th có.ảo lộn, còn ật mã học, ữ trên máy ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ảo lộn, còn ể đảm bảo tính bí mật và
Trang 3- C là không gian b n mã: t p h u h n các b n mã có th có.ảo lộn, còn ật mã học, ữ trên máy ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ảo lộn, còn ể đảm bảo tính bí mật và
- K: không gian các khóa t p h u h n các khóa có th có.ật mã học, ữ trên máy ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ể đảm bảo tính bí mật và
- Đ i v i m i k ối, quản lý khóa và các giao thức mật ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ỗi k ∈ K, có m t quy t c mã hóa eột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ắc mã hóa e k ∈ E, và m t quy t c ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ắc mã hóa e
gi i mã tảo lộn, còn ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ng ng dk ∈ D V i m i eới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ỗi k k : P →C và dk: C →P là nh ng ữ trên máy hàm mà dk(ek(x)) = x cho m i b n rõ x ọc, ảo lộn, còn ∈ P Hàm gi i mã dảo lộn, còn k chính là ánh x ngạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c c a hàm mã hóa ek [5]
Thư vậy, mã hóa là một ngành khoa ờng là dưới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ng thì không gian các b n rõ và không gian các b n mã là các văn ảo lộn, còn ảo lộn, còn
b n đảo lộn, còn ư vậy, mã hóa là một ngành khoa cc t o thàn t m t b ch cái A nào đó Đó có th là b ch cái ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ừ [3] Như vậy, mã hóa là một ngành khoa ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ữ trên máy ể đảm bảo tính bí mật và ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ữ trên máy
ti ng Anh, b mã ASCII, b mã Unicode ho c đ n gi n nh t là các bit 0 và 1.ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ặc đơn giản nhất là các bit 0 và 1 ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ảo lộn, còn ấu hay đảo lộn, còn Tính ch t 4 là tính ch t quan tr ng nh t c a mã hóa N i dung c a nó ấu hay đảo lộn, còn ấu hay đảo lộn, còn ọc, ấu hay đảo lộn, còn ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, nói r ng n u mã hóa b ng eằng nếu mã hóa bằng e ằng nếu mã hóa bằng e k và b n mã mã nh n đảo lộn, còn ật mã học, ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c sau đó đư vậy, mã hóa là một ngành khoa c gi i ảo lộn, còn
mã b ng hàm dằng nếu mã hóa bằng e k thì k t qu nh n đảo lộn, còn ật mã học, ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c ph i là b n rõ ban đ u x Rõ ràng ảo lộn, còn ảo lộn, còn ần gửi đi và cần trong trư vậy, mã hóa là một ngành khoa ờng là dưới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ng h p này, hàm ek(x) ph i là m t đ n ánh, n u không thì ta sẽ ảo lộn, còn ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ơng thức để đảm bảo tính bí mật và không gi i mã đảo lộn, còn ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c Vì n u t n t i xồn tại x ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn 1 và x2 sao cho y= ek(x1) = ek(x2) thì khi
nh n đật mã học, ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c b n mã y ta không bi t nó đảo lộn, còn ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c mã t xừ [3] Như vậy, mã hóa là một ngành khoa 1 hay x2
Trong m t h m t b t kỳ ta luôn có |C| ≥ |P| vì m i quy t c mã hóa là ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ệ mã mật , các hàm băm, các ật mã học, ấu hay đảo lộn, còn ỗi k ắc mã hóa e
m t đ n ánh Khi |C| = |P| thì m i hàm mã hóa là m t hoán v ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ỗi k ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ị
Theo lu t Kirchoff (1835 - 1903) (m t nguyên t c c b n trong mã hóa) ật mã học, ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ắc mã hóa e ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ảo lộn, còn thì: toàn b c ch mã/gi i mã tr khoá là không bí m t đ i v i k đ ch.ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ảo lộn, còn ừ [3] Như vậy, mã hóa là một ngành khoa ật mã học, ối, quản lý khóa và các giao thức mật ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ẻ địch ị Khi đ i phối, quản lý khóa và các giao thức mật ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ng không bi t đư vậy, mã hóa là một ngành khoa c h mã m t đang s d ng thu t toán mãệ mã mật , các hàm băm, các ật mã học, ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ụng khóa k ật mã học, hóa gì thì vi c thám mã sẽ r t khó khăn Nh ng chúng ta không th tin vào ệ mã mật , các hàm băm, các ấu hay đảo lộn, còn ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ể đảm bảo tính bí mật và
đ an toàn c a m t mã ch d a vào gi thi t không ch c ch n là đ i ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ật mã học, ỉ dựa vào giả thiết không chắc chắn là đối ực thuộc mật mã học, ảo lộn, còn ắc mã hóa e ắc mã hóa e ối, quản lý khóa và các giao thức mật
phư vậy, mã hóa là một ngành khoa ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ng không bi t thu t toán đang s d ng.ật mã học, ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ụng khóa k
Ý nghĩa c a lu t Kirchoff: s an toàn c a các h mã m t không ph i d a ật mã học, ực thuộc mật mã học, ệ mã mật , các hàm băm, các ật mã học, ảo lộn, còn ực thuộc mật mã học, vào s ph c t p c a thu t toán mã hóa s d ng.ực thuộc mật mã học, ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ật mã học, ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ụng khóa k
Trang 42 C s toán h c c a m t s thu t toán trong lĩnh v c lý thuy t mã ơ bản: ở toán học của một số thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã ọc của một số thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã ủa một số thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã ột số thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã ố thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã ật: ực lý thuyết mã ết mã hóa hóa
2.1 Mã d ch chuy n (Shift cirpher), mã th v ị Anh Thư ển (Shift cirpher), mã thế vị ết mã hóa ị Anh Thư
2.1.1 M t s c s toán h c c a mã d ch chuy n, mã th v ột số thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã ố thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã ơ bản: ở toán học của một số thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã ọc của một số thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã ủa một số thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã ị Anh Thư ển (Shift cirpher), mã thế vị ết mã hóa ị Anh Thư
a Quan h đ ng d modulo n trên t p Z các s nguyên ệm hệ mã mật: ồng dư modulo n trên tập Z các số nguyên ư ật: ố thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã :
V i m i xới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ỗi k ∈ Z, n u x= qn+r, hay x-r chia h t cho n, trong đó 0 < r < n thì
x ≡r(mod n), S nguyên n đối, quản lý khóa và các giao thức mật ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c g i là modulo c a đ ng d ọc, ồn tại x ư vậy, mã hóa là một ngành khoa
b S h c đ ng d ố thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã ọc của một số thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã ồng dư modulo n trên tập Z các số nguyên ư :
S h c đ ng d modulo n: Zối, quản lý khóa và các giao thức mật ọc, ồn tại x ư vậy, mã hóa là một ngành khoa n là t p (0, …, n-1) v i hai phép toán là + ật mã học, ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy
và ×
Vi c c ng và nhân trong Zệ mã mật , các hàm băm, các ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, n đư vậy, mã hóa là một ngành khoa c th c hi n gi ng nh c ng và nhân các ực thuộc mật mã học, ệ mã mật , các hàm băm, các ối, quản lý khóa và các giao thức mật ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học,
s nguyên ngo i tr m t đi m là các k t qu đối, quản lý khóa và các giao thức mật ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ừ [3] Như vậy, mã hóa là một ngành khoa ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ể đảm bảo tính bí mật và ảo lộn, còn ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c rút g n theo modulo n.ọc,
Ví d : 11 × 5 trong Zụng khóa k 26?
11 x 5=55; 55 =2* 26+ 3,
v y 11 x 5 = 3 trong Zật mã học, 26
Các tính ch t c a s h c đ ng d :ấu hay đảo lộn, còn ối, quản lý khóa và các giao thức mật ọc, ồn tại x ư vậy, mã hóa là một ngành khoa
1 Đóng đ i v i phép c ng: ối, quản lý khóa và các giao thức mật ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ∀ a, b ∈ Zn , a+b ∈ Zn
2 Phép c ng có tính giao hoán, t c là: ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ∀ a,b ∈ Zn , a+b= b+a
3 Phép c ng có tính k t h p, t c là: ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ∀ a, b, c ∈ Zn , (a+b)+c = a+(b+c)
4 0 là ph n t trung hòa c a phép c ng, có nghĩa là ần gửi đi và cần ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ∀ a ∈ Zn , a+0=0+a = a
5 Ph n t ngh ch đ o c a phép c ng c a ph n t b t kì (a ần gửi đi và cần ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ị ảo lộn, còn ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ần gửi đi và cần ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ấu hay đảo lộn, còn ∈ Zn ) là n-a, nghĩa là a+(n-a) = (n-a)+a= 0 v i ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ∀ a ∈ Zn
6 Đóng đ i v i phép nhân, t c là: ối, quản lý khóa và các giao thức mật ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ∀ a,b ∈ Zn, ab ∈ Zn
7 Phép nhân có tính giao hoán, nghĩa là: ∀ a,b ∈ Zn , ab = ba
Trang 58 Phép nhân có tính k t h p, nghĩa là: ∀ a, b, c ∈ Zn , (ab)c = a(cb)
9 1 là ph n t trung hòa c a phép nhân, t c là ần gửi đi và cần ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ∀a ∈ Zn, a× 1 = 1× a = a
10 Phép nhân có tính ch t phân ph i đ i v i phép c ng.ấu hay đảo lộn, còn ối, quản lý khóa và các giao thức mật ối, quản lý khóa và các giao thức mật ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học,
T c là: ∀a,b, c∈ Zn , (a+b)c = (ac)+(bc) và a(b+c) = (ab) + (ac)
Các tính ch t phép mod:ấu hay đảo lộn, còn
(a+b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
(a- b) mod n = ((a mod n) - (b mod n)) mod n
(ab) mod n = ((a mod n) (b mod n)) mod n
(a (b + c)) mod n = (((ab) mod n) + ((ac) mod n)) mod n
2.1.2 Nguyên t c mã d ch chuy n ắc mã dịch chuyển ị Anh Thư ển (Shift cirpher), mã thế vị
- Gi s không gian b n rõ P là các thông đi p t o ra t b ng ch cái ảo lộn, còn ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ảo lộn, còn ệ mã mật , các hàm băm, các ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ừ [3] Như vậy, mã hóa là một ngành khoa ảo lộn, còn ữ trên máy
A, s ph n t c a A: |A|=nối, quản lý khóa và các giao thức mật ần gửi đi và cần ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật
- Không gian b n mã C≡Pảo lộn, còn
- Đ mã hóa: đánh s th t ch cái 0 n-1ể đảm bảo tính bí mật và ối, quản lý khóa và các giao thức mật ực thuộc mật mã học, ữ trên máy
- Không gian khóa K=Zn ,
- Mã hóa: ek(x) = (x + k) mod n
- Gi i mã: dảo lộn, còn k(y) = (y – k) mod n (v i x, y ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ∈ Zn)
Ví dụng khóa k :
Nh v yư vậy, mã hóa là một ngành khoa ật mã học, : k= Z26, gi s kảo lộn, còn ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật =3 (hoàng đ La Mã Julius Caesar đã s d ng).ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ụng khóa k Xâu “ANGLES” sẽ đư vậy, mã hóa là một ngành khoa c mã hóa thành “DQJOHV”
M t s bàn lu n v tính đúng c a vi c gi i mã: ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ối, quản lý khóa và các giao thức mật ật mã học, ền tin trên thuộc về ệ mã mật , các hàm băm, các ảo lộn, còn
Không gian khóa là n nhỏ (bảng chữ tiếng anh n=26) nên có thể thám mã bằng phương pháp vét cạn các khóa
Như đã trình bày ở trên, ek : P →C
x → ek (x)= y= (x+k) mod n
Trang 6Và dk: C →P
y → dk (y)= (y-k)mod n =x
Ta ki m ch ng đi u này d a vào các c s toán h c nêu trên.ể đảm bảo tính bí mật và ền tin trên thuộc về ực thuộc mật mã học, ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ở thành X sử dụng khóa k ọc,
Ta có th ch ng minh eể đảm bảo tính bí mật và k là song ánh, và tìm ánh x ngạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c c a nó
Th t v y, ta xét phật mã học, ật mã học, ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ng trình :
(x+k) mod n =y
((x mod n) + (k mod n))mod n= y mod n
(y- (x mod n + k mod n)) = qn (q∈ Z)
y – (x+k) = qn ( do x ∈ Zm, k ∈ Zm)
(y-k) –x = qn
(y-k) mod n = x mod n
x = (y-k) mod n
∀ y ∈ Zn, phư vậy, mã hóa là một ngành khoa ơng thức để đảm bảo tính bí mật và trình có nghiệm duy nhất Do ó, eng đó, e k là song ánh và ánh xạ ngược là dk (y)=x= (y-k)mod n
2.1.3 Nguyên t c mã th v ắc mã dịch chuyển ết mã hóa ị Anh Thư :
- Gi s không gian b n rõ P là các thông đi p t o ra t b ng ch cái ảo lộn, còn ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ảo lộn, còn ệ mã mật , các hàm băm, các ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ừ [3] Như vậy, mã hóa là một ngành khoa ảo lộn, còn ữ trên máy
A, s ph n t c a A: |A|=nối, quản lý khóa và các giao thức mật ần gửi đi và cần ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật
- Không gian b n mã C≡Pảo lộn, còn
- Đ mã hóa: đánh s th t ch cái 0 n-1ể đảm bảo tính bí mật và ối, quản lý khóa và các giao thức mật ực thuộc mật mã học, ữ trên máy
- K t p các hoán v c a 26 kí hi u 0,1, ,25ật mã học, ị ệ mã mật , các hàm băm, các
- V i m i phép hoán v ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ỗi k ị π∈K , ta đ nh nghĩa:ị
eπ(x) = π(x) và dπ(y) = π-1(y) trong đó π-1là hoán v ngị ư vậy, mã hóa là một ngành khoa cc a π
Ví d : m t phép hoán v ụng khóa k ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ị π :
Trang 7X N Y A H P O G Z Q W B T
Nh v y ta cóư vậy, mã hóa là một ngành khoa ật mã học, : eπ(D)=A, eπ(J)=Q …
Hàm gi i mã là phép hoán v ngảo lộn, còn ị ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c:
Nh v y ta cóư vậy, mã hóa là một ngành khoa ật mã học, : dπ(A)=D, dπ(Q)=J …
M t s bàn lu nột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ối, quản lý khóa và các giao thức mật ật mã học, :
S các hoán v này là 26!, l n h n 4 ×10ối, quản lý khóa và các giao thức mật ị ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ơng thức để đảm bảo tính bí mật và 26 Là m t s r t l n B i v y, ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ối, quản lý khóa và các giao thức mật ấu hay đảo lộn, còn ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ở thành X sử dụng khóa k ật mã học, phép tìm khoá vét c n không th th c hi n đạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ể đảm bảo tính bí mật và ực thuộc mật mã học, ệ mã mật , các hàm băm, các ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c, th m chí b ng máy tính ật mã học, ằng nếu mã hóa bằng e Tuy nhiên, mã th v có th d dàng b thám b ng các phị ể đảm bảo tính bí mật và ễ dàng bị thám bằng các phương pháp dò ị ằng nếu mã hóa bằng e ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ng pháp dò
th theo t n su t ký t ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ần gửi đi và cần ấu hay đảo lộn, còn ực thuộc mật mã học,
L y tên c a nhà m t mã h c ngấu hay đảo lộn, còn ật mã học, ọc, ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ờng là dưới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy i Pháp Blaise de Vigenère (1523-1596)
Thông đi p s d ng b ng ch cái A Các ký t đệ mã mật , các hàm băm, các ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ụng khóa k ảo lộn, còn ữ trên máy ực thuộc mật mã học, ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c đánh s 0, 1, n-1, v i ối, quản lý khóa và các giao thức mật ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy n=|A|
- Không gian khóa K đư vậy, mã hóa là một ngành khoa c xác đ nh: V i m i s nguyên dị ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ỗi k ối, quản lý khóa và các giao thức mật ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ng M , khóa có đ dài M là m t xâu ký t có đ dài M , K=kột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ực thuộc mật mã học, ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, 1k2…kM
Trang 8- Đ mã hóa m t b n rõ P: chia P ra làm các đo n có đ dài M, ch ng ể đảm bảo tính bí mật và ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ảo lộn, còn ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ẳng
h n X=xạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn 1x2,… xM, khi đó: ek(X) = (x1+ k1,x2+ k2, …, xM+ kM) mod n
- Gi i mãảo lộn, còn : dk(Y) = (y1-k1, y2-k2, …, yM-kM) mod n
Ví d : A là b ng ch cái ti ng Anh, n=26, K=“CIPHER”, m =6ụng khóa k ảo lộn, còn ữ trên máy
B n rõ P=“THISCRYPTOSYSTEMISNOTSECURE”ảo lộn, còn
Ta có: K = 2 8 15 7 4 17,
P = 19 7 8 18 2 17 | 24 15 19 14 18 23 | 18 19 4 12 8 18 | 13 14 19 18 4
2 | 20 17 4
T đó:ừ [3] Như vậy, mã hóa là một ngành khoa
C = 21 15 23 25 6 8 | 0 23 8 21 22 14 | 20 1 19 19 12 9 | 15 22 8 25 8
19 | 22 25 19
C= “VPXZGIAXIVWOUBTTMJPWIZITWZT”
2.2.1 M t s c s toán h c cho mã Affine, RSA ột số thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã ố thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã ơ bản: ở toán học của một số thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã ọc của một số thuật toán trong lĩnh vực lý thuyết mã
S nguyên tối, quản lý khóa và các giao thức mật ối, quản lý khóa và các giao thức mật :
S nguyên t là m t s l n h n 1 ch chia h t cho 1chính nó S 2 là m t ối, quản lý khóa và các giao thức mật ối, quản lý khóa và các giao thức mật ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ối, quản lý khóa và các giao thức mật ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ỉ dựa vào giả thiết không chắc chắn là đối ối, quản lý khóa và các giao thức mật ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học,
s nguyên t đ u tiên và là s nguyên t ch n duy nh t 7, 17, 53, 73, 2521,ối, quản lý khóa và các giao thức mật ối, quản lý khóa và các giao thức mật ần gửi đi và cần ối, quản lý khóa và các giao thức mật ối, quản lý khóa và các giao thức mật ẵn duy nhất 7, 17, 53, 73, 2521, ấu hay đảo lộn, còn
2365347734339 cũng là s nguyên t S lối, quản lý khóa và các giao thức mật ối, quản lý khóa và các giao thức mật ối, quản lý khóa và các giao thức mật ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ng s nguyên t là vô t n H ối, quản lý khóa và các giao thức mật ối, quản lý khóa và các giao thức mật ật mã học, ệ mã mật , các hàm băm, các
m t mã thật mã học, ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ờng là dưới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ng s d ng s nguyên t l n c 512 bits và th m chí l n h n ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ụng khóa k ối, quản lý khóa và các giao thức mật ối, quản lý khóa và các giao thức mật ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ỡ 512 bits và thậm chí lớn hơn ật mã học, ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ơng thức để đảm bảo tính bí mật và
nh v y.ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ật mã học,
Ph n t ngh ch đ o trong m t vành:ần gửi đi và cần ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ị ảo lộn, còn ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học,
Ph n t x trong m t vành có đ n v R đần gửi đi và cần ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ị ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c g i là kh ngh ch n u t n t iọc, ảo lộn, còn ị ồn tại x ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn
ph n t xần gửi đi và cần ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ’ ∈ R sao cho xx’= x’x= 1, ph n t xần gửi đi và cần ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ’ là ph n t ngh ch đ o c a x, kí ần gửi đi và cần ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ị ảo lộn, còn
hi u là xệ mã mật , các hàm băm, các -1
Ph n t ngh ch đ o trong vành Zần gửi đi và cần ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ị ảo lộn, còn n
Trang 9Gi s a ảo lộn, còn ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ∈ Zn và t n t i b ồn tại x ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ∈ Zn sao cho a.b = (a.b) mod n = 1 Khi đó b
đư vậy, mã hóa là một ngành khoa c g i là ph n t ngh ch đ o c a a trên Zọc, ần gửi đi và cần ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ị ảo lộn, còn n và kí hi u là aệ mã mật , các hàm băm, các -1 = b
Vi c tìm ph n t ngh ch đ o c a m t s a ệ mã mật , các hàm băm, các ần gửi đi và cần ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ị ảo lộn, còn ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ối, quản lý khóa và các giao thức mật ∈Zn cho trư vậy, mã hóa là một ngành khoa ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy c th c ch t tực thuộc mật mã học, ấu hay đảo lộn, còn ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ng
đư vậy, mã hóa là một ngành khoa ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ng v i vi c tìm hai s b và k sao cho: a.b = k.n + 1 trong đó b, k ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ệ mã mật , các hàm băm, các ối, quản lý khóa và các giao thức mật ∈Zn Hay
vi t g n l i là: aọc, ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn -1 ≡ b (mod N )
Định lý về sự tồn tại của phần tử nghịch đảo Zn:
N u gcd (a, n) = 1 thì t n t i duy nh t 1 s b ồn tại x ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ấu hay đảo lộn, còn ối, quản lý khóa và các giao thức mật ∈Zn là phân t ngh ch đ o ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ị ảo lộn, còn
c a a, nghĩa là th a mãn a.b = (a.b) mod m = 1.ỏa mãn các điều kiện sau
(GCD-Greatest Common Divisor :ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy c chung l n nh t)ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ấu hay đảo lộn, còn
Hàm phi Euler:
T p các s nguyên trong Zật mã học, ối, quản lý khóa và các giao thức mật n là nguyên t cùng nhau v i n g i là Zối, quản lý khóa và các giao thức mật ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ọc, *
n
*S lối, quản lý khóa và các giao thức mật ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ng các s nguyên trong Zối, quản lý khóa và các giao thức mật n là nguyên t cùng nhau v i n ký hi u là ối, quản lý khóa và các giao thức mật ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ệ mã mật , các hàm băm, các (n) (g i là hàm phi Euler)
Ф(n) (gọi là hàm phi Euler) ọc,
Tính chất của hàm phi Euler:
- N u p là s nguyên t thì: (p)= p-1ối, quản lý khóa và các giao thức mật ối, quản lý khóa và các giao thức mật Ф(n) (gọi là hàm phi Euler)
- N u gdc(m,n)=1 thì (m.n)= (m) (n)Ф(n) (gọi là hàm phi Euler) Ф(n) (gọi là hàm phi Euler) Ф(n) (gọi là hàm phi Euler)
- N u n = p1e1 p2e2…pkek là phân tích ra th a s nguyên t c a n thì:ừ [3] Như vậy, mã hóa là một ngành khoa ối, quản lý khóa và các giao thức mật ối, quản lý khóa và các giao thức mật (n)= n
Ф(n) (gọi là hàm phi Euler) (1− 1
P 1)(1− 1
P 2)…(1− 1
Pk)
Đ nh lý ị Fermat nh :ỏa mãn các điều kiện sau
ap-1 mod p = 1
Trong đó p là s nguyên t và a là s nguyên b t kỳ khác b i c a p.ối, quản lý khóa và các giao thức mật ối, quản lý khóa và các giao thức mật ối, quản lý khóa và các giao thức mật ấu hay đảo lộn, còn ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học,
Hay v i m i s nguyên t p và s nguyên a không là b i c a p, ta luôn cóới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ọc, ối, quản lý khóa và các giao thức mật ối, quản lý khóa và các giao thức mật ối, quản lý khóa và các giao thức mật ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học,
ap ≡a (mod p)
Hay: N u gdc (a,p)=1Thì aΦ (p) (p) ≡ 1 (mod n)
Trang 10 Thu t toán Euclide m r ng:ật mã học, ở thành X sử dụng khóa k ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học,
Vào: hai s nguyên không âm a, bối, quản lý khóa và các giao thức mật
Ra: d= gcd (a,b) và các s nguyên x, y th a mãn ax+by=dối, quản lý khóa và các giao thức mật ỏa mãn các điều kiện sau
Thu t toán:ật mã học,
(1) N u b=0 thì đ t d=aặc đơn giản nhất là các bit 0 và 1 ; x=1 ; y=0 và return (d,x,y)
(2) Đ t xặc đơn giản nhất là các bit 0 và 1 2 =1 ; x1 =0 ; y2 =0 ; y1 =1
(3) Ch ng nào b>0 thì còn làmừ [3] Như vậy, mã hóa là một ngành khoa :
(3.1) q=a div b ; r = a- qb ; x= x2- qx1 ; y= y2- qy1
(3.2) a=b ; b=r ; x2 = x1 ; x1 =x ; y2 = y1 ; y1 =y;
(4) Đ t d=aặc đơn giản nhất là các bit 0 và 1 ; x= x2 ; y= y2 và return (d,x,y)
S d ng thu t toán Euclide tính các ngh ch đ o trong Zử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ụng khóa k ật mã học, ị ảo lộn, còn n:
Gi s có a ảo lộn, còn ử, các cơ chế phân phối, quản lý khóa và các giao thức mật ∈ Zn v i gcd (a,n)=1, ta c n tìm aới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy ần gửi đi và cần -1 (mod n)
Ta có : a a-1 mod n= 1
=> a a-1 = k.n +1 (v i k =0,1,2, ) ới dạng cac văn bản lưu trữ trên máy
=> a a-1 – k.n =1
V y ta có th áp d ng thu t toán Euclide m r ng đ tính ngh ch đ o trongật mã học, ể đảm bảo tính bí mật và ụng khóa k ật mã học, ở thành X sử dụng khóa k ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ể đảm bảo tính bí mật và ị ảo lộn, còn
Zn b ng cách tìm các s nguyên x và y sao cho ax+ny=d trong đó d=gcd ằng nếu mã hóa bằng e ối, quản lý khóa và các giao thức mật (a,n)
N u d>1 thì a-1 (mod n) không t n t i Ngồn tại x ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c l i x là giá tr c n tìm.ạp, “Crypto” (krypte) có nghĩa là che dấu hay đảo lộn, còn ị ần gửi đi và cần
Đ nh lý ph n d trung hoa: ị ần gửi đi và cần ư vậy, mã hóa là một ngành khoa
Đ nh lý ph n d Trung Hoa là m t đ nh lí quan tr ng c a s h c đị ần gửi đi và cần ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ị ọc, ối, quản lý khóa và các giao thức mật ọc, ư vậy, mã hóa là một ngành khoa c các nhà toán h c Trung Qu c khám p á ra vào th k th nh t Đ nh lý ọc, ối, quản lý khóa và các giao thức mật h́á ra vào thế kỷ thứ nhất Định lý ỷ thứ nhất Định lý ấu hay đảo lộn, còn ị phát bi u nh sau: ể đảm bảo tính bí mật và ư vậy, mã hóa là một ngành khoa
N u d1, d2, …, dk là các s nguyên đôi m t nguyên t cùng nhau và ối, quản lý khóa và các giao thức mật ột trong hai lĩnh vực thuộc mật mã học, ối, quản lý khóa và các giao thức mật n=d1d2…dk thì h phệ mã mật , các hàm băm, các ư vậy, mã hóa là một ngành khoa ơng thức để đảm bảo tính bí mật và ng trình đ ng d : ồn tại x ư vậy, mã hóa là một ngành khoa