Phương pháp giải các bài toán về dãy số cho học sinh giỏi lớp 5

Trong chương trình môn Toán bậc tiểu học, việc dạy các bài toán về dãy số là một trong những dạng toán giúp học sinh rèn luyện về trí tuệ, đồng thời giúp học sinh hình thành những kỹ năn

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

Mỗi môn học ở Tiểu học đều góp phần vào việc hình thành và phát triển những cơ sở ban đầu để hình thành nhân cách mỗi con người

Trong các môn học ở tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng bởi các kiến thức, kĩ năng của môn Toán có nhiều ứng dụng trong đời sống mỗi con người và rất cần thiết cho mọi người lao động Môn Toán

là môn công cụ giúp học tập các môn học khác ở tiểu học và học tập môn Toán trung học Môn Toán còn giúp học sinh nhận biết được những mối quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế giới hiện thực Nhờ đó mà học sinh có phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt động

có hiệu quả trong đời sống

Môn Toán còn góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ,phương pháp suy luận giải quyết vấn đề, nó góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập của học sinh

Từ những yêu cầu trên, cho thấy việc giảng dạy môn Toán ở bậc tiểu học có vai tròquan trọng trong quá trình hình thành nhân cách của học sinh Trong chương trình môn Toán bậc tiểu học, việc dạy các bài toán về dãy số là một trong những dạng toán giúp học sinh rèn luyện về trí tuệ, đồng thời giúp học sinh hình thành những

kỹ năng biến đổi các phép tính, các dãy tính để hình thành được quy luật của dãy

số Nó giúp các em định hướng được cách giải để tìm ra kết quả dãy số cần tìm Chính vì vậy, việc nâng cao hiệu quả giảng dạy các dạng bài tập về dãy số để bồi dưỡng học sinh giỏi ở bậc tiểu học là một việc rất cần thiết của mỗi giáo viên để nâng cao hiệu quả học tập của học sinh

Xuất phát từ những lý do trên cùng với mong muốn nâng cao hiệu quả giảng dạy

về dãy số cho học sinh giỏi lớp 5 ở trường Tiểu học, tôi đã nghiên cứu và rút ra kinh nghiệm: "Phương pháp giải các bài toán về dãy số cho học sinh giỏi lớp 5 " Qua kinh nghiệm này, tôi xin đưa ra một vài ý kiến về phương pháp giảng dạy, nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn cho bản thân và các bạn đồng nghiệp, mongphần nào nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán nói chung và nhất là nâng cao hiệu quả giảng dạy về dãy số cho học sinh giỏi lớp 5 ở trường Tiểu học

- Nghiên cứu trong thời gian một năm học: năm học 2011 – 2012.

IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

1 - Khảo sát chất lượng dạy và học dạng bài tập về dãy số lớp 5A, 5B, 5C, 5D trường Tiểu học Phú Xá - Thành phố Thái Nguyên.

2- Tìm ra nguyên nhân dẫn đến chất lượng học dạng bài tập về dãy số chưa tốt của học sinh

3- Tìm biện pháp gây hứng thú học dạng bài tập về dãy số, nhằm nâng cao chất lượng làm dạng bài tập về dãy số cho học sinh

4- Dạy thực nghiệm trên đối tượng học sinh khá giỏi lớp 5A, 5B, 5C, 5D trường Tiểu học Phú Xá - Thành phố Thái Nguyên

5 - Thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh qua việc sử dụng phương pháp giảng dạymới

6- Tổng kết kinh nghiệm

V PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU TRA, NGHIÊN CỨU:

1 Phương pháp điều tra khảo sát

2 Phương pháp thử nghiệm

3 Phương pháp thực hành

4 Phương pháp phân tích tổng hợp

5 Phương pháp kiểm tra đánh giá

6 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

7 Phương pháp tổng két kinh nghiệm

VI KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU:

- Tháng 9: Điều tra, khảo sát chất lượng dạy và học môn Toán, giảng dạy các bài tập về dãy số trong môn Toán lớp 5

- Tháng 10: Tìm biện pháp giảng dạy thích hợp Dạy thực nghiệm

- Tháng 11, tháng 12, tháng 1, tháng 2: Dạy thực nghiệm

- Tháng 3, tháng 4: Đúc rút viết thành kinh nghiệm, sáng kiến để phổ biến rộng rãi trong trường.

- Tháng 5: Tổng kết kinh nghiệm, viết sáng kiến kinh nghiệm

PHẦN II: NỘI DUNG:

tư duy, làm quen với cách phân tích, tổng hợp Tao điều kiện cho học sinh hoạt động học tập một cách chủ động, linh hoạt, sáng tạo Từ đó học sinh mới có thể tự mình tìm tòi, phát hiện, tri thức mới, có hứng thú, tự tin trong học tập

Nhiều năm học qua, bản thân tôi được giao nhiệm vụ trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 3; 4; 5, tôi luôn luôn trăn trở đi sâu tìm hiểu những vấn đề còn vướng mắc trong giảng dạy Thực tế cho thấy khi giảng dạy có rất nhiều học sinh nắm lí thuyếtmột cách máy móc và khi vận dụng vào thực hành thì gặp nhiều lúng túng khó khăn Tôi nhận thấy trong chương trình Toán ở bậc Tiểu học, các vấn đề về dãy số,quy luật của dãy số đã trở thành một chủ đề khá quan trọng trong chương trình toán nâng cao lớp 3, lớp 4, lớp 5 Các bài toán về dãy số cũng hay xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi Toán ở bậc Tiểu học Vì thế, việc tìm ra quy luật của dãy

số, nắm được cách giải thành thạo các bài toán về dãy số là một yêu cầu cần thiết đối với tất cả các em học sinh ở cuối bậc Tiểu học, đặc biệt là đối với các em học sinh khá giỏi

Vậy dạy và học như thế nào để học sinh nắm chắc kiến thức, vận dụng kiến thức đãhọc để giải toán từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp một cách linh hoạt, chủ động? Đó là điều trăn trở của mỗi giáo viên Tiểu học nói chung và của mỗi giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng.

Từ cơ sở lý luận trên, tôi đã nghiên cứu những mặt còn tồn tại trong quá trình dạy và học dạng toán về dãy số cho học sinh giỏi lớp 5 Để tìm ra những biện pháp giảng dạy đạt được hiệu quả cao nhất trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán cho học sinh lớp 5 trường Tiểu học Phú Xá

II THỰC TRẠNG VIỆC DẠY VÀ HỌC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ Ở LỚP 5:Những năm qua, trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán ở tiểu học, tôi đã cố gắng trong việc thực hiện đổi mới phương pháp học để phát huy tối đa khả năng tư duy, óc sáng tạo của học sinh, giúp các em nâng cao kiến thức trong học tập

Đối với môn Toán ở bậc tiểu học, tôi đã nhận thấy có sự đổi mới rõ rệt về phương pháp dạy trong giờ học đó là: Học sinh đã làm việc nhiều hơn và đạt hiệu quả cao hơn Tuy nhiên việc giảng dạy các dạng toán về dãy số cho học sinh lớp 5, tôi còn thấy có những mặt thuận lợi và khó khăn sau:

1 Thuận lợi

- Các đồng chí giáo viên trong tổ có lòng yêu nghề mến trẻ, có tinh thần học hỏi, nghiên cứu tài liệu để nâng cao chất lượng giảng dạy nên việc hỗ trợ và giúp

đỡ nhau trong quá trình nghiên cứu và dạy thực nghiệm đề tài có nhiều thuận lợi

- Là những giáo viên đã giảng dạy lớp 5 nhiều năm và chuyên bồi dưỡng học sinh giỏi nên tôi nắm được đặc điểm, đặc trưng của môn Toán và khả năng tiếp thu của học sinh với dạng bài tập về dãy số cũng như các lỗi hay mắc của học sinh khi giải dạng bài tập này

2 Khó khăn:

- Dạng bài tập về dãy số thường có trong các đề kiểm tra học sinh giỏi các cấp và

có trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi, ít có trong chương trình học hàng ngày nên đối tượng nghiên cứu hẹp và ít

3 Quá trình điều tra:

3- 1 Điều tra việc giảng dạy dạng toán về dãy số ở lớp 5:

a) Hạn chế về phương pháp giảng dạy:

- Phần lớn giáo viên chưa đưa dạng bài tập này vào chương trình buổi 2 trong nămhọc mà phó mặc cho giáo viên dạy bồi dưỡng

- Nội dung dạy và học chỉ gói gọn trong các giờ học bồi dưỡng học sinh giỏi, ít được thực hành và ít vận dụng với thực tế

- Việc tạo nguồn cảm hứng, niềm yêu thích với dạng bài tập này vẫn chưa được nhiều giáo viên quan tâm

b) Hạn chế về việc vận dụng, giảng dạy dạng bài tập về dãy số của giáo viên :

- Thiếu sáng tạo khi giảng dạy dạng bài tập này Còn máy móc, khuôn mẫu, chưa vận dụng sáng tạo trong quá trình giảng dạy dạng bài tập về dãy số

- Chưa chịu tìm tòi để tìm ra cách giảng dạy tốt nhất về quy luật của dãy số

- Chưa vận dụng các kiến thức toán học trong giảng dạy dạng bài tập về dãy số để giúp học sinh phát hiện ra sự liên quan giữa các mạch kiến thức toán học

3- 2 Điều tra về việc học dạng bài tập về dãy số của học sinh lớp 5:

a) Về hứng thú khi học dạng bài tập về dãy số:

- Học sinh ít hứng thú với dạng toán dãy số

- Học sinh vận dụng giải dạng bài tập này một cách máy móc, không linh hoạt Nhiều em sợ gặp dạng toán này

- Nguyên nhân:

+ Chưa biết cách tìm ra quy luật của dãy số

+ Chưa nắm chắc phương pháp giải với mỗi dạng bài tập

+ Chưa có sự say mê, hứng thú với môn Toán

b) Về kỹ năng giải dạng bài tập về dãy số:

- Học sinh không nắm vững kiến thức cơ bản, tiếp thu bài máy móc, chỉ làm theo khuôn mẫu chứ chưa tự suy nghĩ để tự tìm cách giải.

- Học sinh chưa được rèn luyện giải nhiều về dạng bài nên khả năng nhận dạng bài tập và vận dụng phương pháp giải cho từng dạng bài tập chưa có Dẫn đến học sinhlúng túng, chán nản khi gặp loại toán này

- Kỹ năng thực hiện phép tính, trình bày bài giải còn yếu

- Vận dụng còn máy móc, chưa linh hoạt

- Nguyên nhân: Không được tiếp xúc nhiều với dạng toán này

+ Thiếu vốn kiến thức về dãy số và thứ tự thực hiện các phép tính

+ Kỹ năng biến đổi dãy số chưa tốt

+ Chưa biết cách tìm ra mối liên quan trong dãy số để phát hiện ra đặc điểm chung của dãy số đó

3- 3 Điều tra chất lượng bài làm của học sinh:

– Số bài điều tra: 3 bài

+ Bài 1: Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau:

- Số lượng điều tra: 30 em học sinh khá, giỏi lớp 5A, 5B, 5C, 5D

- Kết quả điều tra:

Tổng hợp

chất lượng

Nắm chắc kiến thức

Nhận dạng bài tập tốt

Kỹ năng thực hiện

Chưa nắm được quy

Kết quả chung bài

bài khảo sát cơ bản bài giải hợp

lý

luật bài tập giải của HS

Điểm giỏi 6 bài

Đạt 20%

7 bàiĐạt 23,3%

3 bàiĐạt 10%

5 bàiĐạt16,6%

7 bàiĐạt 23,3%

Điểm khá 10 bài

Đạt 33,4%

8 bàiĐạt 26,7%

12 bàiĐạt 40 %

9 bàiĐạt 30%

8 bàiĐạt 26,7%

Điểm trung

bình

9 bàiĐạt 30%

12 bàiĐạt 40 %

9 bàiĐạt 30%

10 bàiĐạt 33,4%

11 bàiĐạt 36,7%

Điểm yếu 5 bài

Đạt16,6%

3 bàiĐạt 10%

6 bàiĐạt 20%

6 bàiĐạt 20%

4 bàiĐạt 13,3%

III- CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIÊN:

Các giải pháp cải tiến phương pháp giảng dạy, cách giải dạng toán về dãy số cho học sinh lớp 5:

Trước thực trạng như vậy, đầu năm học 2011 – 2012, được sự đồng ý của chuyên môn, tôi đã áp dụng các giải pháp nâng cao hiệu quả dạy học dạng bài tập

về dãy số ở lớp 5A, 5B, 5C 5D, nhằm nâng cao hiệu quả dạy học, góp phần tăng tỉ

lệ học sinh khá giỏi và nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh khá giỏi, Nghiên cứu dạng bài tập về dãy số tôi đã thực hiện như sau:

1 Dạy học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, làm rõ bản chất toán học

2 Phân dạng bài tập, giúp học sinh nhận dạng các bài tập và phương pháp giải các bài tập của từng dạng

3 Hướng dẫn học sinh nắm chắc các bước giải toán

4 Giáo viên tự học, tự bồi dưỡng nâng cao kiến thức, tìm tòi phương pháp giải, phương pháp truyền đạt dễ hiểu để học sinh tiếp thu kiến thức tốt nhất

5 Dạy giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, làm rõ bản chất toán học

6 Phân dạng bài tập, giúp học sinh nhận dạng các bài tập và phương pháp giải các bài tập của từng dạng

IV CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN CỤ THỂ:

1 Giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, làm rõ bản chất toán học

Để làm được điều này thì ngay trên lớp, khi dạy dạng bài tập về dãy số, tôi đã chú trọng giúp học sinh hiểu rõ bản chất toán học, hiểu rõ ý nghĩa, bản chất của nộidung kiến thức Hướng dẫn học sinh tự tìm hiểu kiến thức bằng hiểu biết của mình dựa trên những gợi ý rồi tôi mới hướng dẫn học sinh chốt kiến thức

Lưu ý: Để củng cố vững chắc và hướng dẫn học sinh nắm sâu các kiến thức

đã học đòi hỏi người giáo viên phải tâm đắc với công việc của mình, nghiên cứu kĩquy luật của dãy số, khai thác những kiến thức cơ bản và dựa trên kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy, phát hiện những sai lầm học sinh hay mắc phải, chuẩn bị

những câu hỏi, những bài tập giúp học sinh tư duy để nhận thức sâu sắc những kiến thức trong sách.

- Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bát đầu từ số khác 1 thì số lượng các số trong dãy

số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên

2 Phân dạng bài tập, giúp học sinh nhận dạng các bài tập và phương pháp giải các bài tập của từng dạng

Các bài toán về dãy số cá thể phân ra các loại sau:

* Dãy số cách đều

- Dãy số tự nhiên

- Dãy số chẵn, lẻ

- Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số nào đó

* Dãy số không cách đều:

- Dãy số Phi bo na xi

- Dãy số có tổng (hiệu) giữa 2 số liên tiếp là một dãy số.

- Dãy số thập phân, phân số

3 Hướng dẫn học sinh nắm chắc các bước giải toán :

Cách giải các dạng toán về dãy số :

* Dạng 1 : Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước dãy số :

- Trước hết cần xác định lại quy luật của dãy số

+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng ( hoặc trừ) với một số tự nhiên a

+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân ( hoặc chia)với một số tự nhiên q khác 0

+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng trước nó

+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng số hạng đứng trước nó cộng với một số tự nhiên d rồi cộng với thứ tự của số hạng ấy

+ Số hạng bằng số hạng đứng trước nó nhân với số thứ tự

+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trước

+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trướctrừ đi 1

* Ví dụ 1 :Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau :

Dãy số trên được lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ 3 trở đi, mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng liền trước nó.

Vậy dãy số được viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144…

* Ví dụ 2 Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau:

Vậy dãy số được viết như sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169…

* Ví dụ 3 : Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau:

a)…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 : Biết mỗi dãy số có 10 số hạng

b) , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110: Biết mỗi dãy số có 10 số hạng

Vậy số hạng đầu tiên của dãy số là : 1 x 11 = 11.

* Ví dụ 4 : Tìm các số hạng còn thiếu trong dãy số sau :

Từ đó ta suy ra quy luật của dãy số đó : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) trở

đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trước

Vậy các số hạng còn thiếu trong dãy số là :

Quy luật của dãy số đó là : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trước trừ đi 1.

Vậy các số hạng còn thiếu trong dãy số là :

23 x 3 - 1 = 68 ; 68 x 3 – 1 = 203 ; 203 x 3 – 1 = 608 (đúng)

Vậy dãy số còn thiếu 2 số là : 68 và 203

* Ví dụ 5 : Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng

Khi giảng dạy dạng toán này, cần lưu ý : Trước hết cần xác định quy luật của dãy

số là dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ ? Từ đó giúp học sinh có thể điền được các số vào dãy đã cho

Dạng 2 : Xác định số A có thuộc dãy số đã cho hay không ?

* Cách giải dạng toán này :

- Xác định quy luật của dãy.

- Kiểm tra số A có thỏa mãn quy luật đó hay không

* Ví dụ 1 : Cho dãy số : 2, 4, 6, 8,……

Nêu quy tắc viết dãy số

Số 85 có phải là số hạng của dãy số đó không ?

* Ví dụ 2 Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,……

- Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên?

Số 2012 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?

* Giải:

- Ta thấy: 8 – 5 = 3 11 – 8 = 3

Dãy số trên được viết theo quy luật sau : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) bằng

số hạng đứng liền trước nó cộng với 3

Vậy 3 số tiếp theo của dãy số là : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26

Số 2012 có thuộc dãy số trên vì kể từ số hạng thứ 2 của dãy và số 2012 đều chia cho 3 dư 2

* Ví dụ 3: Em hãy cho biết :

a) Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,… hay không?

b) Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11, hay không ?

c) Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24, không ? Tại sao ?

* Giải :

a) Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy số đã cho vì :

- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60

- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho 5b) Số 2002 không thuộc dãy 2, 5, 8, 11, vì mọi số hạng của dãy đều chia cho 3 dư

2, mà 2002 thì chia cho 3 dư 1

c) Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24, vì :

- Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân với 2, nên các số hạng ( kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn, mà 798 chia cho 2 = 399 lại là số lẻ

- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 3, mà 1000 không chia hết cho 3

- Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) đều chẵn, mà 9999 lại là số lẻ

- Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2

* Giải: Nhận xét: Đây là dãy số cách đều nhau 3 đơn vị

Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996, số bé nhất là 49 do đó 1999 không phải là

số hạng của dãy số đã cho

Mỗi số hạng của dãy số đã cho là số chia cho 3 dư 1 Do đó số 100 vf số 1900laf sốhạng của dãy số đó

Các số 123, 456, 789, 1995 đều chia hết cho 3 nên các số đó không phải là số hạng của dãy số đã cho

Dạng 3: Tìm số hạng của dãy

* Cách giải dạng bài tập này:

- Sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách ( Toán trồng cây), ta có công thức sau:

Số các số hạng của dãy = số khoảng cách + 1

Quy luật của dãy là: Số hạng đứng trước ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy số thì số

đó bằng tổng bấy nhiêu số tự nhiên liên tiếp ( bắt đầu từ 1) thì được tính theo công thức:

Ví dụ :

* Ví dụ 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992

a) Dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

b) Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 2002 là số nào?

Dựa vào công thức sau:

( Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1