Phương pháp giải các bài toán về dãy số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ DẪY SỐ Người thực hiện: Nguyễn Trí Lợi Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Thọ Xương SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2019 MỤC LỤC TT NỘI DUNG Mở đầu TRANG 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 3 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh 2.2 nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 15 Kết luận, kiến nghị 15 3.1 Kết luận 15 3.2 Kiến nghị 15 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tốn học chiếm vị trí quan trọng chương trình học phổ thơng nói chung, bậc THCS nói riêng Dạy tốn dạy cho học sinh phương pháp suy luận khoa học mang tính logic Học tốn tức rèn luyện khả tư ứng dụng nhằm trang bị vốn kiến thức hồn chỉnh Chính việc giải toán phương tiện giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ Trong chương trình Tốn phổ thơng có nhiều dạng toán khác dành cho đối tượng học sinh giỏi Nhưng khơng phải dạng tốn mà giáo viên đưa học sinh nắm kiến thức vận dụng ngay, học sinh lớp 6,7 mức độ tiếp thu khả tư nhiều hạn chế Vì vậy, người giáo viên cần làm cho học sinh tiếp cận nhiều tốn dạng, hình thức giảng dạy theo chun đề Từ em dần trang bị hoàn chỉnh mặt kĩ năng, kĩ xảo việc giải toán Qua năm học tập giảng dạy, nhận thấy có nội dung kiến thức tương đối quan trọng là: "Dãy số", tập đưa trải dài khối lớp học Mặt khác, q trình giảng dạy tơi thấy học sinh thường ngại có tốn dãy số đến n phần tử, đơi gặp tốn phức tạp lại khơng Do tính đa dạng Tốn học thật khó để đúc kết ngun tắc, dựa vào mà tìm "chìa khóa" để giải vấn đề nêu Tơi thiết nghĩ dạng tốn khai thác triệt để, phạm vi ảnh hưởng tác dụng lớn Chính vậy, tơi mạnh dạn sưu tầm tập để trình bày chuyên đề ''Phương pháp giải toán dãy số'' dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi khối lớp -7 Trong khuôn khổ cho phép xin trình bày phạm vi khối lớp 6, Vì sở quan trọng việc hình thành sáng tạo cho học sinh học lớp cao hơn, bậc cao 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ''Phương pháp giải toán dãy số'' với mục đích định hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải dãy số định từ hình thành cách giải tổng qt Ngồi đưa cho học sinh phương pháp phân tích tốn cách nhanh chóng, đọc quy luật dãy số nhanh nhất, hợp lí Nội dung đề tài góp phần nâng cao kiến thức, tư tốn học, khả phân tích, tính tốn cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lí, phù hợp với bài, đối tượng học sinh để giúp cho giáo viên học sinh giải tốt vấn đề 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Học sinh lớp 6, trường THCS 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tham khảo tài liệu: Tìm tòi, hệ thống kiến thức thu thập - Đúc rút kinh nghiệm giảng dạy qua dự giờ, kiểm tra học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy kiểm tra nhiều đối tượng học sinh, kiểm tra nhiều lần nhiều hình thức khác - Tổng hợp phân tích thu thập NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM : Nghị Hội nghị lần thứ 8, Ban chấp hành Trung ương khóa XI đổi bản, tồn diện giáo dục đào tạo rõ: “ Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực” Trong nhà trường phổ thơng, mơn Tốn giữ vị trí quan trọng vì: + Mơn Tốn mơn học cơng cụ + Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách Như vậy, phát triển tư Tốn học nói chung tư Dãy số nói riêng góp phần quan trọng vào hình thành phẩm chất, lực người Việt Nam thời đại 2.2 THỰC TRẠNG VÂN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, thấy thực trạng vấn đề cần quan tâm là: Nội dung dạy học sinh giỏi chưa bảo đảm tính logíc, giáo viên nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy hay chọn để dạy cho học sinh chưa phân dạng, loại mạch kiến thức, phương pháp giải toán nâng cao chưa hợp lí, có phương pháp chưa phù hợp với điều kiện tâm lí lực tiếp thu học sinh; phía chun mơn chưa có tài liệu đạo cụ thể nội dung phương pháp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán để giáo viên lấy làm sở Học sinh chưa có phương pháp tư logic để giải dạng tốn nhanh Chính để bước nâng cao chất lượng học sinh giỏi mà trực tiếp giảng dạy, đưa nội dung đề tài ''Phương pháp giải toán dãy số'' Bài toán dãy số thường có thi học kì, thi học sinh giỏi 6, 7; chí có thi học sinh giỏi lớp 9, thi vào 10 Học sinh phải sử dụng nhiều kiến thức, kỹ thường học sinh giỏi thực Từ thực trạng dẫn đến: - Học sinh thường ngại học, nhìn thấy tốn dãy số rắc rối học sinh không - Các tài liệu có nhiều, viết dàn trãi vấn đề, có tài liệu viết dành chuyên đề dãy số 2.3 GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Các tốn trình bày chun đề phân hai dạng chính: - Dạng thứ nhất: Dãy số với số hạng số nguyên cách không cách - Dạng thứ hai: Dãy số với số phân số Sau số tập phân thành thể loại, phân thành hai dạng trên: Toán số nguyên 1.1 Dãy số mà số hạng cách Bài Tính tổng A = + + + + 98 + 99 Nhận xét: Nếu học sinh có sáng tạo thấy tổng: A = + (2 + + + + 98 + 99) Ta thấy tổng ngoặc gồm 98 số hạng, chia thành cặp ta có 49 cặp nên tổng là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, A = + 4949 = 4950 Chú ý: Tổng A gồm 99 số hạng, ta chia số hạng thành cặp (mỗi cặp có số hạng 49 cặp dư số hạng, cặp thứ 49 gồm số hạng nào? số hạng dư bao nhiêu?), đến học sinh bị vướng mắc Ta tính tổng B theo cách khác sau: Cách 2: A = + + + + 97 + 98 + 99 + A = 99 + 98 + + + + 2A = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100 2A = 100.99 � A = 50.99 = 4950 Bài Tính B = + + + + 997 + 999 Giải Cách 1: Từ đến 1000 có 500 số chẵn 500 số lẻ nên tổng có 500 số lẻ Áp dụng ta có B = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng có 250 cặp số) Cách 2: Ta thấy: = 2.1 - = 2.2 - = 2.3 - 999= 2.50 - Quan sát vế phải, thừa số thứ theo thứ tự từ xuống ta xác định số số hạng dãy số B 500 số hạng Áp dụng cách ta có: B = + + + 997 + 999 + B = 999 + 997 + + + 2B = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000 2B = 1000.500 � C = 1000.250 = 250.000 Qua ví dụ trên, ta rút cách tổng quát sau: Cho dãy số cách u1, u2, u3, un (*), khoảng cách hai số hạng liên tiếp dãy d, số số hạng dãy (*) là: n  un  u1  (1) d số số hạng=(số hạng cuối- số hạng đầu): khoảng cách cộng thêm Tổng số hạng dãy (*) Sn  n(u1  un ) (2) Đặc biệt từ cơng thức (1) ta tính số hạng thứ n dãy (*) : un = u1 + (n - 1)d Hoặc u1 = d = S1 = + + + + n  n(n  1) 1.2 Dãy số mà số hạng khơng cách Bài Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) Giải Cách 1: Ta thấy số hạng tổng tích hai số tự nhiên liên tiếp, đó: Gọi a1 = 1.2 � 3a1 = 1.2.3 � 3a1= 1.2.3 - 0.1.2 a2 = 2.3 � 3a2 = 2.3.3 � 3a2= 2.3.4 - 1.2.3 a3 = 3.4 � 3a3 = 3.3.4 � 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 ………………… a n-1 = (n - 1)n � 3an-1 =3(n - 1)n � 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n 1)n an = n(n + 1) � 3an = 3n(n + 1) � 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) Cộng vế hai đẳng thức ta có: 3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)  1.2  2.3   n(n  1) = n(n + 1)(n + 2) � A = n( n  1)(n  2) Cách 2: Ta có 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) � A= n( n  1)(n  2) Tổng qt hố ta có: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1) Trong k = 1; 2; 3; … Ta dễ dàng chứng minh công thức sau: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) Bài Tính D = 12 + 22 + 32 + … + n2 Nhận xét: Các số hạng tích hai số tự nhiên liên tiếp, tích hai số tự nhiên giống Do ta chuyển dạng tập 1, ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) +…+ n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + … + n2 ) + (1 + + + … + n) Mặt khác theo tập ta có: n(n  1)(n  2) n(n  1) + + + … + n = n( n  1)(n  2) n( n  1) n(n  1)(2n  1) � D = + 22 + 32 + … + n = = A= 1.3 Một số tập dạng khác Bài So sánh A B, biết A = + + 22 + 23 + … + 250 B=2 Giải Cách 1: Ta thấy: A = + + 22 + 23 + … + 250 (1) 50 51 � 2A = + + + … + + (2) Trừ vế (2) cho (1), ta có: 2A - A = + 22 + 23 + … + 250 + 251 - (1 + + 22 + 23 + … + 250)= 251 - Hay A = 251 - Vậy: A< B Cách 2: Ta có: A = + + 22 + 23 + … + 250 = + 2(1 + + 22 + 23 + … + 249) = + 2(A - 250) = + 2A - 251 � A = 251 - Vậy: A< B Bài Tính giá trị biểu thức : S = +3 + 32 + 33 + … + 32000 (1) Giải Cách 1: Áp dụng cách làm 1: Ta có: 3S = + 32 + 33 + … + 32001 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta được: 3S - 2S = (3 + 32 + 33 + … + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000) Hay: 2S = 2001 -1 � S= 32001  Cách 2: Tương tự cách 1: Ta có: S = + 3(1 +3 + 32 + 33 + … + 31999) = + 3(S - 32000) = + 3S - 32001 � 2S = 32001 - � S = 32001  Tổng qt hố ta có: Sn = + q + q + q + … + q n Khi ta có: Cách 1: qSn = q + q2 + q3 + … + qn+1 (1) (2) Trừ vế (2) cho (1), ta có: (q - 1)S = q n+1 -1 � S= Cách 2: Sn = + q(1 + q + q2 + q3 + … + qn-1) = + q(Sn - qn) = + qSn - qn+1 � qSn - Sn = qn+1 - Hay: Sn(q - 1) = q n+1 q n 1  � -1 S= q 1 q n 1  q 1 Bài Tính giá trị biểu thức S = + 2.6 + 3.62 + 4.63 + … + 100.699 Giải (1) Ta có: 6S = + 2.62 + 3.63 + … + 99.699 + 100.6100 (2) Trừ vế (2) cho (1), ta được: 5S = (6 - 2.6) + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) +…+ (99.699 - 100.699) +100.6100 - = 100.6100 - - (6 + 62 + 63 + … + 699) (*) Đặt: S' = + 62 + 63 + … + 699 � 6S' = 62 + 63 + … + 699 + 6100 6100  6100  499.6100  thay vào (*) ta có: 5S = 100.6100 - = 5 100 499.6  � S= 25 � S' = Bài 4: Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; Hỏi chữ số thứ 673 chữ số nào? Giải Ta thấy: Từ đến 99 có: + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu ta thiếu số chữ số dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, chữ số thữ 673 phải nằm dãy số có chữ số Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số Như từ đến 260 có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đề chữ số thứ 673 chữ số số 261 Bài 5: Tìm x, biết: x + (x+1) + (x+2)+ + (x+ 2010)= 2029099 Giải: Ta có: 2011x + (1+2+ + 2010) = 2029099 2011x + = 2029099 2011x = 8044 � x =4 Tốn phân số Loại tốn tìm tổng dãy số viết theo quy luật, thường có phân số đầu số cụ thể phân số sau cho dạng tổng quát Để làm dạng toán ta cần nhận xét, so sánh tử số mẫu số, tử (hay mẫu) với nhau, phân số cụ thể tổng quát để tìm cách viết phân số tìm cách giải Để làm dạng tốn ta dùng phương pháp khử liên tiếp số hạng Bài 1: Tính tổng sau: S= 1 1     1.2 2.3 3.4 100.101 * Hướng dẫn cách tìm lời giải: Bài tốn có tổng phân số có tử mẫu phân số là: 1.2; 2.3; 3.4; ;100.101 Như mẫu phân số tích số tự nhiên liên tiếp Cách giải toán biến đổi phân số cho thành hiệu phân số, biến dãy tính cộng thành dãy tính cộng trừ Chẳng hạn: 1 1 1 1   ; … ;  = 1 ; = 1.2 2.3 100.101 100 101 Mục đích ta triệt tiêu số hạng đối Giải: 1 1     1.2 2.3 3.4 100.101  1 100 1   1   1       =               1   3    100 101  101 101 S= +) Bài toán tổng quát: 1 1 Tính tổng: S = 1.2  2.3  3.4   n(n  1) 1 1  1 1 1  1 n 1                 2  3  4  n n 1 n 1 n 1 1 1 Bài 2: Tính tổng: P =     1.3 3.5 5.7 99.101  =  * Phương pháp tìm lời giải: Ta thấy P tổng phân số có tử 1, mẫu phân số tích chữ số lẻ liên tiếp đơn vị, để giải vấn đề ta phải nhân tử mẫu vế phải với 2, thực bên ngoặc đơn giản Do ta viết phân số hiệu phân số, phân số bị trừ có tử mẫu thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử mẫu thừa số thứ Giải: 2 2     ) 1.3 3.5 5.7 99.101 1 1 1 1 = (         ) 3 5 99 101 P= ( = ( 1- ) = Bài 3: Tính tổng 100 số hạng dãy sau: 1 1 ; ; ; ; 66 176 336 [1] * Phương pháp tìm lời giải: Ta thấy số hạng dãy số có tử mẫu là: 6; 66; 176; 336; Vậy trước hết ta phải viết mẫu thành tích số phải tìm số hạng thứ 100 dãy Ta nhận thấy: = 1.6 66 = 11.6 176 = 11.16 336 = 16.21 Ta thấy mẫu phân số có quy luật là: + Tích hai số có số tận số tận + Trong thừa số mẫu số có thừa số thừa số lại đơn vị Vậy mẫu số số thứ n dãy số có dạng: (5n-4)(5n+1) => Mẫu số thứ 100 dãy số: (5.100-4)(5.100+1) = 496.501 Ta cần tính tổng A= 1 1     1.6 6.11 11.16 496.501 Tương tự ta tách phân số thành hiệu phân số, ta nhận 1 1 1  => (  )  1.6 1.6 1 1 Tương tự   => (  11 6.11 1 1    => ( 496 501 496.501 496 thấy :  1 ) 11 6.11 1 ) 501 496.501 Từ ta tính tổng A cách dễ dàng Giải: 1 1      66 176 336 2484966 1 1     = 1.6 6.11 11.16 496.501 1 1 1 1 1 1  ) = (  ) + (  ) + (  ) +…+ ( 6 11 11 16 496 501 1  1 1 1  = 1        496 501  6 11 11 16  500 100 1 = = 1  =  501  501 501 A= +) Bài toán tổng quát: 1 1 A = 1.6  6.11  11 16   (5n  4)(5n  1) 1 1 1 1  ) (  ) + (  ) +…+ ( (5n  (5n  1) 6 11  5n 1 n = = 1  =  5n   5 n  n  1 1     Bài 4: Tính tổng B= 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 = [2] * Hướng dẫn: Ta thấy phân số tổng B có tử mẫu phân số tích số tự nhiên liên tiếp Ta viết số hạng tổng thành hiệu hai số cho số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau Ta tách phân số bị trừ có tử mẫu số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử mẫu gồm có số tự nhiên liên tiếp sau ( có số trùng nhau) 1 1 1        1.2 2.3 1.2.3  1.2 2.3  1.2.3 1 1 1        … 23 3.4 2.3.4  2.3 3.4  2.3.4 1 1 1        37.38 38.39 37.38.39  37.38 38.39  37.38.39 1 Tổng quát ta áp dụng: n(n  1)  (n  1)( n  2)  n(n  1)(n  2) Ta thấy: Giải: 1 1     1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 1 1  1 1  1 1    +   +…+   =    1.2 2.3   2.3 3.4   37.38 38.39  1 1 1 1        =    2 3 37.38 38.39  1 1  11  =    =    1.2 38.39   38.39  741  1 740 370 185 = = = = 38.39 38.39 741 741 B= +) Bài toán tổng quát:  1 1 1       = n(n  1)(n  2)  (n  1).(n  2)  1.2.3 2.3.4 3.4.5  (n  1).(n  2)   (n  1).(n  2)  =  = 4(n  1).(n  2)  2(n  1).(n  2)  B=   Bài 5: Tính tích C = 1       .1     1   21   28  36   1326  *) Hướng dẫn cách tìm lời giải: Thực phép tính ngoặc tích sau: 20 27 35 1325 21 28 36 1326 Các phân số có tử nhỏ mẫu đơn vị, mẫu số chưa viết theo quy luật Mẫu phân số viết là: 3.7; 4.7; 4.9 Các thừa số có lặp lại chưa theo quy luật Nhận thấy thừa số lặp lại thừa số tích khơng có mối liên hệ với Vậy có có tích 6.7; 7.8; 8.9 thừa số mẫu phân số viết theo quy luật định, dãy hai thừa số số tự nhiên liên tiếp số Để có ta phải nhân tử mẫu phân số với ta được: 10 40 54 70 5.8 6.9 7.10 hay ta viết là: 42 56 72 6.7 7.8 8.9 Đến ta thấy tử phân số có thừa số đơn vị Nhân tử mẫu phân số cuối với 2, dựa vào nhận xét tử mẫu phân số đầu, ta có : 2650 50.53  2652 51.52 Như tích cho viết thành : 5.8 6.9 7.10 50.53 … 6.7 7.8 8.9 51.52 Đến thừa số viết trước tử mẫu dãy tích tử mẫu phân số thứ nhất, thừa số viết sau tử mẫu dãy tích tử mẫu phân số thứ Từ ta có kết tốn Giải       .1     1    21   28  36   1326  20 27 35 1325 = 21 28 36 1326 5.8 6.9 7.10 50.53 = … 6.7 7.8 8.9 51.52 5.6.7 50 8.9.10 53 = 6.7.8 51 7.8.9 52 53 265 =  51 357 C = 1  Bài Ta viế phân số sau: 1990 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Số đứng vị trí phân số trên? 1 2 3 1930 Giải Số thứ dãy số có tổng tử số mẫu số 2, hai số có tổng tử số mẫu số 3, ba số có tổng tử mẫu số Lại quan sát tiếp ta thấy: Kể từ phân số đầu, cách phân số đến mẫu số 2, cách phân số đến mẫu số 3, … phân số 1990 đứng vị trí thứ 1930 1930 nhóm số có tổng tử mẫu số 1990 + 1930 = 3920 Số số đứng trước nhóm + + + … + 3918 = 1959.3919 Vì nhóm có tổng tử mẫu số 3920 gồm 3919 số nên nhóm đứng trước nhóm gòm 3918 số Vậy số 1990 đứng vị trí n = 1959.3919 + 1930 = 7679251 1930 Bài 7: Tìm số tự nhiên x , biết rằng: 1 2      21 28 36 x( x  1) 11 Hướng dẫn cách tìm lời giải: Trước hết ta xét phân số x( x  1) ta nhận thấy phân số có tử 2, có mẫu tích số liên tiếp, nên viết:  1 2.   = x( x  1)  x x 1 Vấn đề đặt ta biến đổi phân số: 1 ; ; ; dạng phân số 21 28 36 có tử mẫu tích số tự nhiên liên tiếp không? Để có tử cho phân số trên, ta cần áp dụng tính chất phân số, cụ thể là: 1.2 1.2 1.2       ; ; ; 21 2.3.7 6.7 28 2.4.7 7.8 36 4.9.2 8.9 Như vế trái đẳng thức gồm phân số có dạng tử mẫu tích số tự nhiên liên tiếp Cần tính tổng phân số vế trái để đưa tốn dạng tìm x đơn giản mà ta biết Giải: 1 2 Ta viết: 21  28  36   x( x  1)  sau: + + + + 2( - ) = + + + + 2( - ) = 2( - + - + - + + - ) = - = => x = 17 Bài 8: Chứng minh rằng: 1 1 a+c < b+d c  d 1 1 Từ ta có điều phải chứng minh: + + + + < 100 1 1 1 1 < =  ; < =  2 1.2 2.3 1 1 1 1 =  ; =  < < 3.4 99.100 99 100 100 1 1 1 1 Vậy: + + + + < + + + + 99.100 100 1.2 2.3 3.4 12 1 1 1 1 1 1  +  +  + +  + + + + < 2 3 99 100 100 1 1 99  = Vậy < A < Như vậy, phần ta giải số tập dãy số dạng phân số Tuy nhiên tập nhìn chung khơng đơn giản Vì để áp dụng có hiệu cần linh hoạt việc biến đổi theo hướng sau: - Nếu mẫu tích cách biến đổi thành hiệu phân số, từ ta rút gọn biểu thức tính giá trị - Đối với tập chứng minh ta áp dụng cách làm tính giá trị dãy số, từ ta biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng quen thuộc IV HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tính: A= + 7+ 11+ + 99 Tính: B = 22 + 52 + 82 + + (3n - 1)2 Tính: D = + 74 + 77 + 710 + … + 73001 Tính: E = + 83 + 85 + … + 8801 Thực phép tính: - - - - - 2- Cho dãy số: 1; 2; 3; … Hỏi chữ số thứ 2015 chữ số nào? 1 1     5.6 6.7 7.8 24.25 2 5 52     Tính: B = 1.6 6.11 11.16 26.31 3 3    � � �  Tính C=  2.10 4.15 6.20 8.25 198.500 1 1    � � �   =    HD:   10 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 10 100 Tính: A = = 703 1000 13 10 Chứng minh rằng: S = 1 1      2 200 HD: S= (1+ + + + )< (1+1- + - + + - )= - < 11 Chứng tỏ rằng: - + - + - < 12 Chứng minh  100 - 1       99       100  100 13 Tìm x, biết rằng: 1 1 101 + + +…+ x( x  3) = 5.8 8.11 11 14 1540 ĐS: x = 305 14 Tìm số tự nhiên x , biết rằng: 1 1998      10 x( x  1) 2000 ĐS: x = 1999 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đem áp dụng phương pháp 11 học sinh có lực học khá, giỏi mơn tốn lớp cách cho 11 học sinh làm số tập Kết cụ thể: a) Trước dạy phương pháp dãy số Số hs không làm Số hs làm 01 Số hs làm từ 02 bài tập tập tập trở lên SL % SL % SL % 81,8 9,1 9,1 b) Sau dạy phương pháp dãy số Số hs không làm tập SL % 27,27 Số hs làm 01 Số hs làm từ 02 tập tập trở lên SL % SL % 54,54 18,19 Khi áp dụng đề tài trực tiếp vào công tác giảng dạy, nhận thấy học sinh có tiến sau: - Các em nắm cách đầy đủ có hệ thống bước toán dãy số 14 - Phần lớn em khơng bối rối gặp dãy số Các em tự tin giải tốt toán dãy số có khả trình bày giải cách rõ ràng mạch lạc - Khả tư học sinh tốt hơn, linh hoạt hơn, sáng tạo - Cả 11 học sinh hứng thú với phương pháp này, em tỏ tự tin với tốn dãy số hồn thành tốt tập giao nhà sau KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Trên số tốn dãy số, vấn đề tương đối khó học sinh khối lớp 6,7 Tuy nhiên trình giảng dạy, sau cho em tiếp xúc, giải tập cách có hệ thống tập chuyên đề em khơng gặp phải khó khăn việc vận dụng kiến thức để giải toán Nhất việc giải tập thể loại mức độ cao Ở bậc học sau, sở vững để em làm chủ kiến thức phần dãy số 3.2 Kiến nghị: Qua trình giảng dạy trao đổi với đồng nghiệp, nghĩ việc phổ biến chuyên đề góp phần trang bị thêm cho em mảng kiến thức tương đối quan trọng bậc học, tạo suy luận mang tính logíc, tổng qt hố tốn (một vấn đề quan trọng việc học tốn) Hình thành lực sáng tạo, phát triển tư duy, không ngừng thúc đẩy việc tạo nên toán mới, tạo nên suy nghĩ theo chiều hướng khác có lợi việc tìm lời giải toán Trên số toán số kinh nghiệm việc góp phần bồi dưỡng kiến thức Toán học cho em học sinh Tuy nhiên trình nghiên cứu, sưu tầm trình bày không tránh khỏi nhiều hạn chế, mong đóng góp đồng nghiệp nhiều độc giả, xin chân thành cảm ơn! Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 20 tháng năm 2019 Người viết 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO: Nâng cao phát triển toán – Nhà xuất giáo dục Nâng cao phát triển toán – Nhà xuất giáo dục 16 DANH MỤC Các SKKN tham gia T T TÊN ĐỀ TÀI Hiệu công tác GVCN hướng dẫn, theo dõi học sinh lớp học nhà Vận dụng phương pháp phân tích lên, giúp học sinh lớp chứng minh hai đoạn thẳng ( Tiết 33 – Hình học 7) CẤP XẾP LOẠI Phòng giáo dục C Phòng giáo dục C GHI CHÚ 17 18 ... nhất: Dãy số với số hạng số nguyên cách không cách - Dạng thứ hai: Dãy số với số phân số Sau số tập phân thành thể loại, phân thành hai dạng trên: Toán số nguyên 1.1 Dãy số mà số hạng cách Bài. .. CỨU ' 'Phương pháp giải tốn dãy số' ' với mục đích định hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải dãy số định từ hình thành cách giải tổng qt Ngồi đưa cho học sinh phương pháp phân... rút cách tổng quát sau: Cho dãy số cách u1, u2, u3, un (*), khoảng cách hai số hạng liên tiếp dãy d, số số hạng dãy (*) là: n  un  u1  (1) d số số hạng= (số hạng cuối- số hạng đầu): khoảng cách