Một số phương pháp giải các bài toán về modun số phức

Mục đích nghiên cứu của SKKN này là nghiên cứu các phương pháp đểhướng dẫn học sinh nhanh chóng giải quyết được bài toán về modul của số phức, đặc biệt là các bài toán về “tìm modul của

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

I MỞ ĐẦU 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1.1 Những kiến thức cơ bản: 3

2.1.2 Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số phức4 2.1.2.1 Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng: 4

2.1.2.2 Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn: 5

2.1.2.3 Quỹ tích điểm biểu diễn là elip: 6

2.1.3 Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong đó điểm biểu diễn của số phức đó là đường tròn, đường thẳng hoặc elip 6

2.1.3.1 Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (5 cách giải ) 7

2.1.3.2 Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( 5 cách giải) 9

2.1.3.3 Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn Tìm z sao cho đạt min, max 10

2.1.3.4 Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường elíp (4 cách giải) 12

2.1.4 Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó 12

2.1.5 Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức 14

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN 19

2.3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề: 20

2.4 Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy 20

III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 20

1 Kết luận 20

2 Kiến nghị 21

I M Ở Đ ẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Với việc đổi mới hình thức thi tốt nghiệp THPT và xét tuyển Đại học nhưhiện nay, môn Toán được kiểm tra đánh giá bằng hình thức thi trắc nghiệm.Mảng kiến thức về số phức trước đây vốn được học và thi khá nhẹ nhàng, nhưnghiện nay đã được khai thác khá sâu trong hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm Mộttrong những dạng toán được hỏi khá nhiều đó là các bài toán về modul của sốphức Để giải các bài toán này nhanh chóng, chính xác nhằm lựa chọn đượcphương án trả lời đúng trong đề bài, chúng ta cần hướng dẫn cho học sinh có

một tư duy linh hoạt và nhạy bén Ngoài yêu cầu đòi hỏi học sinh cần hiểu sâu

và rộng kiến thức, người thầy còn phải biết cách dạy học sinh các kĩ năng như loại trừ, thử đáp án, chọn lựa và đặc biệt là kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay

để giải quyết Đó là lí do tôi chọn đề tài này.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu của SKKN này là nghiên cứu các phương pháp đểhướng dẫn học sinh nhanh chóng giải quyết được bài toán về modul của số

phức, đặc biệt là các bài toán về “tìm modul của số phức ’’, “tìm modul lớn

nhất, nhỏ nhất của số phức ’’, “tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z’’ Để giải quyết tốt các loại toán này, ta cần vận dụng thành

thạo các kiến thức về bất đẳng thức, hình học, lượng giác, hàm số, đánhgiá Tuy nhiên phần lớn học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi vận dụng Với

thực trạng như vậy, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp giải

các bài toán về modul của số phức” Sáng kiến kinh nghiệm này chứa đựng

những kĩ năng cơ bản quan trọng mà học sinh cần phải nắm được nếu muốn tiếnđến trình độ giải quyết tốt các bài toán số phức, đồng thời chứa đựng những kĩthuật, kĩ xảo, ý tưởng vận dụng các năng lực toán học tương đối cao, phức tạptrong tư duy

1.3 Đ i t ối tượng nghiên cứu ượng nghiên cứu ng nghiên c u ứu.

Đối tượng nghiên cứu là:

* Các quỹ tích quen thuộc của điểm biểu diễn của số phức như đường thẳng, đường tròn, đường elíp

* Cách vận dụng các phương pháp như bất đẳng thức, phương pháp hình học,phương pháp hàm số lượng giác hóa, đánh giá, mối quan hệ giữa số phức và sốphức liên hợp của nó để giải quyết các bài toán về modul của số phức

* Một số phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo dùng để giải quyết một bài toán trắc nghiệm

1.4 Ph ương pháp nghiên cứu ng pháp nghiên c u ứu.

Tự giải các bài toán về số phức bằng nhiều cách, kết hợp với thực tế giảng dạy

để đúc rút nên cách thức giảng dạy phù hợp nhất

II N I DUNG ỘI DUNG S ÁNG KI N ẾN KINH NGHI M ỆM

2.1 C s lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m ơng pháp nghiên cứu ở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ận của sáng kiến kinh nghiệm ủa sáng kiến kinh nghiệm ến kinh nghiệm ệm

2.1.1 Nh ng ki n th c c b n ững kiến thức cơ bản ến kinh nghiệm ứu ơng pháp nghiên cứu ản :

2.2.1.1 Một số phức là một biểu thức có dạng x  yi, trong đó , và i là

số thoả mãn i2   1 Ký hiệu số phức đó là z và viết zxyi

* i được gọi là đơn vị ảo

* x được gọi là phần thực, kí hiệu là Re(z)

* y được gọi là phần ảo, kí hiệu là Im(z)

y y x x

2.2.1.3 Biểu diễn hình học của số phức.

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x; y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi

2.2.1.4 Modul của số phức: Cho số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x;

y), khi đó ta định nghĩa modul của số phức z là khoảng cách OM

2.1.2.1 Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng:

Ta xét một ví dụ mẫu như sau:

Ví dụ 1 : Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn

Giải:

Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y , ta có

(3x + 1)2 + (3y – 1)2 = (-3x + 2)2 + (3y + 3)2  18x – 24y – 11 = 0

Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0

Nhận xét: Đây là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với

học sinh trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và chính xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng trên dưới 20 giây.

Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng nếu số

phức z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

|m' + a' + b'i|

|m' + a' + b'i|

Mà m = m’ hoặc m = - m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đườngthẳng

2.1.2.2 Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn:

Ta xét 2 ví dụ mẫu như sau:

Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn

Giải: Dễ thấy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(a; b), bán kính R

Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn

Giải:

Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y , ta có

CALC X = i

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn:

Nhận xét: Cũng như dạng toán có quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng, đây

cũng là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với học sinh trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và chính xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng trên dưới 20 giây.

Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng với số

phức z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

|m' + a' + b'i|

|m' + a' + b'i|

Mà m m’ và m -m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường tròn

2.1.2.3 Quỹ tích điểm biểu diễn là elip :

Ta thường gặp bài toán:

F 2

F1

c -c

b

Tìm quỹ tích điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn

với a > c > 0

Giải: Gọi F1(-c; 0), F2(c; 0) Từ điều kiện bài toán, ta có MF1 + MF2 = 2a Dựavào định nghĩa của elip, ta dễ dàng nhận thấy quỹ tích của M là elip có phươngtrình :

2.1.3 Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong đó điểm biểu diễn của số phức đó là đường tròn, đường thẳng hoặc elip.

Phương pháp chung:

Bước 1 Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện, đây

cũng là quá trình tìm biểu thức liên hệ giữa phần thực và phần ảo của số phức z

2.1.3.1 Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (5

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (d): x y 4  0

Cách 1: (Hình học) Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn z thì

) ( min

z    , ta được M(-2; 2) z  2  2i

Cách 2 (Phân tích thành tổng bình phương) Ta có

 4  2 2  2  2 8 2 2 2

y

x           

i z

y x z

y x z y

x2  2  8   2  2  2 2  min  2 2      2    2  2

Cách 5:( Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)

Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím

Nhận thấy nhỏ nhất là = tại x = -2, nên y = 2

hay z = -2 + 2i

Ví dụ 5: Tìm modul nhỏ nhất của số phức z – 3 + 2i Biết số phức z thỏa mãn

điều kiện

Giải:

Tập hợp các điểm M(x; y) biểu diễn của z là đường thẳng: x - y + 2 = 0

Cách 1: (Hình học) Ta thấy nhỏ nhất có giá trị là khoảng cách từđiểm I(3; -2) đến đường thẳng x – y + 2 = 0 và bằng

Cách 2 (Phân tích thành tổng bình phương) Ta có

=

Xét hàm số là hàm bậc 2 có a > 0 nên hàm số đạt min

Cách 4: (Dùng BĐT Bunhiacopxki)

 3 ( 2 )) 2 2( 3 ) 2 ( 2 ) 2(

49 7 ) 2 ( ) 3 ( 0

3  



Cách 5: (Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)

Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím

Nhận thấy nhỏ nhất là = tại x = -2

Giải: Giả sử điểm M(x; y) biểu diễn số phức z=x+yi Khi đó tập hợp điểm M là

đường tròn I(2;4), bán kính R  5, có phương trình: 2 2

5 4

y y x x y

x y

Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) thì OA OM  OB Hay 5 z  3 5

Vậy: min 5 1 1 2 max 3 5 3 3 6

OH AH

5 5 2

OK BK

OB

OI

2 5 5 2

5 2 4

Giải: Chúng ta có thể giải bằng 5 phương pháp đã nêu trên, ở đây tôi chọn

phương pháp hình học để trình bày lời giải

Ta có

 Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z1 là

đường tròn tâm I(-5; 0), bán kính R = 5

 Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z1 là

Hướng giải: Ngoài 5 phương pháp trên, ta còn có thể áp dụng tính chất sau:

Đặt T = , khi đó ta có

Chứng minh: Gọi M là điểm biểu diễn của z, -A là

điểm biểu diễn của số phức –A, -B là điểm biểu diễn

của số phức –B Khi đó M thuộc đường tròn tâm là –

-5

A I

Nhận xét: Từ dạng toán trên ta có ngay cách giải dạng toán sau: Cho số phức z

min, max

, ta xem , Đặt T = , ta quay về dạng toán trên

Ví dụ 12: Tìm số phức z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

Biết số phức z thoả mãn điều kiện: z  1 z 1 4 

Giải: Ta thấy tập hợp các điểm M là elip có phương trình là: 2 2 1

y x OM

Vậy : zmin  3  z  3i zmax  2  z  2

Cách 2:(Đánh giá) Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z 1

3 4

2 2





 x y

Khi đó: 4 2

3 4

4 4 4 4

2 2 2

3 4

3 3 3 3

2 2 2

2 2 2 2

Từ đó, ta được 3 z  2 Vậy: zmin  3 z  3i zmax 2 z 2

Cách 3: (Lượng giác hóa) Đặt x 2 sint, y  3 cost , t0 ; 2 

Ta có: OM2 x2 y2  4 sin 2t 3 cos 2t 3  sin 2t

Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó

Với mỗi số phức z, ngoài một số mối quan hệ quen thuộc ta nêu thêm một số quan hệ sau với số phức liên hợp của nó:





 z là số thực

 z là số thuần ảo

Ví dụ 13: Cho số phức z thỏa mãn là số thuần ảo Tìm

Giải: là số thuần ảo

Ví dụ 14: Cho số phức z thỏa mãn và i.z + 4 là số thuần ảo, tìm z?

Giải: Do i.z + 4 là số thuần ảo nên

Vậy z =

Ví dụ 15: Cho số phức z thỏa mãn tìm phần thực của

Giải: Ta có

 Giá trị lớn nhất của là , đạt được tại z = (

 Giá trị nhỏ nhất của là , đạt được tại z = (

2.1.5 Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức

Trong phần này tôi đưa ra một số bài toán trắc nghiệm để minh họa cho tính linh hoạt và đa dạng của tư duy nhằm chọn được đáp án đúng.

Hướng dẫn: Theo ví dụ 18 phía trên thì ta có đáp án D

Cách khác: Ta chọn 3 số a, b, c thỏa mãn 2 điều kiện trên, có thể nhận thấy các

nghiệm phức của phương trình z3 – 1 = 0 ( hoặc z3 + 1 = 0) sẽ thỏa mãn đủ 2điều kiện đó Thay các nghiệm vào biểu thức a2 + b2 + c2 và bấm máy tính , ta sẽ

có kết quả bằng 0

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn = Tìmgiá trị nhỏ nhất của với w = z – 2 + 2i

Hướng dẫn:

=

 Với (1), ta có

 Với (2), ta có đường thẳng chứa các điểm biểu diễn của z có phương trình

là Do đó có giá trị nhỏ nhất bằng với khoảng cách từ điểm(2; -2) đến đường thẳng nên

Cách 2: Chọn z = -3 thay vào ta có ngay kết quả

Bài 5: Cho 2 số phức a và b thỏa mãn a + b = 8 + 6i và

1 Tính

2 Tìm GTLN của M =

Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M và m lần lượt là GTLN và

f(x) lớn nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên

f(x) nhỏ nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên

Nhân 2 giá trị này ta được đáp án A

Hướng dẫn: Ở bài này do bậc của z khá cao nên ta khéo léo giảm bậc của z

bằng biến đổi sau:

= = 4x2 - 2 + 1

Dùng máy tính cầm tay , ta thấy

Bài 10: Cho số phức z thỏa mãn Tìm GTNN của biểu thức

A Pmin = 1 ` B Pmin = 2 C Pmin = 3 D Pmin = 4

Bài 12: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thỏa mãn

sao cho biểu thức P = đạt GTNN.Tìm phần thực của z

A Re(z) = B Re(z) = C Re(z) = D Re(z) =

Hướng dẫn: Tập hợp các điểm biểu diễn của z là parabol: y = (x – 2)2, khi đó

Bài 13: Giả sử z z1 , 2 là các số phức khác không, thỏa mãn 2 2

z z

  Khẳng định nào sau đây đúng

Bài 15: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn và

Kí hiệu z1, z2 là hai số phức thuộc S và là những số phức cómodul lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất Tính giá trị của biểu thức P =

Hướng dẫn:

Tập hợp các điểm biểu diễn của z thỏa mãn

là phần bên ngoài (kể cả biên) của đường tròn tâm I1(0;

1) bán kính R1 = 3

Tập hợp các điểm biểu diễn của z thỏa mãn

là phần bên trong (kể cả biên) đườngtròn tâm I2(2; 2) bán kính R1 = 5

Theo hình vẽ ta nhận thấy

 z1 có modul nhỏ nhất nên điểm biểu diễn của z1 là B(0; -2) hay z1 = -2i

 z2 có modul lớn nhất nên điểm biểu diễn của z1 là

2.2 Th c tr ng c a v n đ tr ực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN ạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN ủa sáng kiến kinh nghiệm ấn đề trước khi thực hiện SKKN ề trước khi thực hiện SKKN ước khi thực hiện SKKN c khi th c hi n SKKN ực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN ệm

Tháng 3/2017, trước khi thực hiện việc giảng dạy các phương pháp này tại

lớp 12A1, tôi đã cho học sinh thử làm một đề trắc nghiệm với nội dung sau:

đường nào sau đây:

A Đường thẳng B Đường tròn C.Đường parabol D Đường elip

modul nhỏ nhất có dạng a + bi, khi đó a + b bằng:

A Trục hoành C Đường phân giác y = x

B Trục tung D Đường phân giác y = x

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn

của các số phức z z z1 , , 2 3 biết z1 z2 z3 Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A B C D

Kết quả thống kê thu được như sau

2.3 Các gi i pháp đã th c hi n đ gi i quy t v n đ ản ực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN ệm ể giải quyết vấn đề ản ến kinh nghiệm ấn đề trước khi thực hiện SKKN ề trước khi thực hiện SKKN:

 Tổ chức cho học sinh học theo nhóm đối tượng, phân chia thành các nhóm có trình độ tương đương để thiết kế giáo án phù hợp

 Đối với các nhóm học sinh khá giỏi thì hướng dẫn, gợi ý để các em tìm ra được nhiều cách giải nhất, sau đó giáo viên bổ sung và tổng hợp

 Thực hiện trắc nghiệm khách quan để kiểm tra, đánh giá và điều chỉnh phương pháp học của học sinh cũng như điều chỉnh nội dung bài giảng, phương pháp dạy của giáo viên

2.4 Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy

Sau khi giảng dạy các kĩ năng và phương pháp trên tại lớp 12A1, cũngkiểm tra với 1 đề bài có độ khó tương tự như đề bài đã nêu ở phần 1 thì kết quảthực sự khả quan hơn nhiều, nó thể hiện qua thống kê sau:

SKKN được viết ra qua nhiều suy ngẫm, đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản

thân nên nó mang tính thực tiễn cao Ta có thể thấy rằng còn có thể mở rộngphạm vi nghiên cứu của SKKN hơn nữa Nhưng do sự hạn chế về số lượng trangviết của một SKKN, nên tôi chưa thể truyền tải hết những kinh nghiệm còn ấp ủ,thai nghén trong đó Tuy vậy, bài viết nhỏ này cũng thể hiện được tương đốinhiều những điều cần thiết nhất