day cac dang toan ve phan so cho hoc sinh gioi lop 4

- Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 4, hơn thế nữa trong các kì thi học sinh giỏi hiện nay thì các bài toán về phân số luôn xuất hiện.. Chính vì vậy tôi đã đi sâu tìm tòi và

DẠY CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở

LỚP 4

A Phần mở đầu:

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Tôi được BGH nhà trường phân công dạy khối lớp 4 được 3 năm liền Qua nhiều lần trăn trở về chất lượng của học sinh ở môn Toán cùng với việc kết hợp rút kinh nghiệm trong các tiết học và tình hình học tập trên lớp của học sinh qua các năm học, phần mà học sinh khối lớp 4 vướng phải nhiều nhất ở môn toán là mạch kiến thức về phân số Vì thế tôi cần nghiên cứu tìm giải pháp giúp học sinh học tốt mạch kiến thức này nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh

về môn toán

- Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 4, hơn thế nữa trong các kì thi

học sinh giỏi hiện nay thì các bài toán về phân số luôn xuất hiện Vì thế , việc giải thành thạo các bài toán về phân số là một yêu cầu khó đối với tất cả các em học sinh, đặc biệt là đối với học sinh khá giỏi

Chính vì vậy tôi đã đi sâu tìm tòi và nghiên cứu cách dạy các bài toán về phân số

để bồi dưỡng cho những học sinh khá và giỏi toán ở lớp 4, nhằm giúp các em có kiến thức một cách hệ thống các dạng toán về phân số, giúp các em tháo gỡ khó khăn khi gặp các bài toán về phân số trong các đề thi học sinh giỏi Tôi xin trình bày một số kinh nghiệm hướng dẫn, bồi dưỡng học sinh, đặc biệt là học sinh giỏi giải các dạng bài toán về phân số nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu về “ Dạy các dạng toán về phân số cho học sinh giỏi toán lớp 4”

từ đó đưa ra những kiến nghị cụ thể nhằm giúp việc giảng dạy đội tuyển đạt kết quả cao

III KẾT QUẢ CẦN ĐẠT ĐƯỢC

- Nâng cao chất lượng học sinh giỏi ở lớp 4 tạo nền tảng cho các em học tốt toán ở lớp 5 và các lớp trên

IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Đội tuyển học sinh giỏi toán 4

Người Thực hiện: Bựi Văn Quyền 2

Phương phỏp dạy học mụn Toỏn ở Tiểu học

3.2 Đối tượng nghiờn cứu

Dạy học phõn số ở lớp 4

3 Giả thuyết khoa học

Chất lượng dạy học phần phõn số ở lớp 4 sẽ được nõng cao nếu như trong quỏ trỡnh dạy học giỏo viờn biết cỏch dạy một cỏch hợp lý

4 Nhiệm vụ nghiờn cứu

4.1 Tỡm cơ sở lý luận của vấn đề nghiờn cứu

4.2 Điều tra thực trạng dạy học phần phõn số của mộ số giỏo viờn và học

sinh ở một số trường Tiểu học

4.3 Đề xuất cỏch dạy phõn số ở lớp 4

5 Giới hạn phạm vi nghiờn cứu

Phần phõn số của mụn Toỏn ở lớp 4

6 Phương phỏp nghiờn cứu

Để hoàn thành sỏng kiến này tụi đó sử dụng cỏc phương phỏp:

+ Phương phỏp nghiờn cứu tài liệu

+ Phương phỏp điều tra khảo sỏt

+ Phân số đặc biệt: Trong quá trình hình thành các phân số sự mở rộng tập

số tự nhiên đều đ-ợc coi là một phân số ( Hay mỗi số tự nhiên có thể coi là phân

số đặc biệt mà mẫu số là 1)

+ Rút gọn phân số: Là cách đ-a về một phân số đại diện

+ Quy đồng các phân số: là cách tìm phân số mới bằng phân số đại diện Việc quy đồng, rút gọn phân số thực chất là tiền đề để đ-a về cách so sánh các phân số ( hay thứ tự sắp xếp các phân số )

+ So sánh các phân số: So sánh phân số với 1, cùng mẫu số, khác mẫu số Hình thành các b-ớc cần thực hiện để so sánh các yếu tố, ngoài ra từ cách đó có thể coi cách so sánh bằng việc chuyển về các phân số có các tử số bằng nhau ( gọi là quy đồng tử số ) đ-ợc coi là hệ quả của quy tắc quy đồng mẫu số Ngoài ra còn

có cách khác có thể sử dụng một phân số khác ( phân số trung gian ) Sử dụng

phân số trung gian (ngầm công nhận tính chất bắc cầu) Cách sử dụng phần bù: dựa trên nhận xét nếu số bị trừ không thay đổi mà số trừ tăng lên hay giảm đi thì hiệu số giảm đi hoặc tăng lên Nhận xét này cũng đ-ợc sử dụng nh- là mở rộng trong phép trừ

VD: So sánh:

2005

2

và 2007

2 suy ra

2005

2 >

2007 2

Suy ra :

1-2005

2 < 1- 2007 2

Việc biểu diễn các phân số trên tia số ( mẫu số nhỏ) Việc so sánh các phân

số một mặt bảo toàn đ-ợc tính chất thứ tự của các số tự nhiên Dựa hai số tự nhiên liên tiếp không có một số tự nhiên nào cả Tính chất rời rạc của số tự nhiên

đã đ-ợc xoá sổ giữa các phân số có tính tru mật ( tính dày đặc) giữa hai phân số bao giờ cũng có ít nhất một phân số xen giữa bằng cách chỉ ra rằng phân số:

c a

- Việc vận dụng cỏc tớnh chất của phõn số, cỏc qui tắc tớnh chậm

- Cỏc tớnh chất của cỏc phộp tớnh về phõn số trừu tượng nhiều học sinh khú nhận biết, mối quan hệ giữa cỏc thành phần trong cỏc phộp tớnh về phõn số nhiều học sinh khụng phỏt hiện được do khả năng quan sỏt chưa nhanh

Thực tế số em giải được và đỳng bài tập này rất ớt, phần nhiều giải sai hoặc bỏ giấy trắng, nhiều em giải dài dũng chưa nhanh Tỡm hiểu nguyờn nhõn

Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 4

thấy rằng các em không biết quan sát, so sánh, các phân số trong tổng, không phân tích được qui luật có trong dãy phân số đó để tính nhanh

Từ thực trạng, tôi rất băn khoăn và trăn trở, làm thế nào để học sinh giái bài toán về phân số tốt hơn Chúng tôi đã nghiên cứu, tìm tòi và áp dụng một số phương pháp hướng dẫn học sinh khá giỏi giải các bài toán về phân số

2 Về giáo viên

- Phương pháp dạy các bài toán về phân số còn chưa phù hợp với nhận thức và trình độ của học sinh, không gây được hứng thú và sự say mê học toán của các em

III BIỆN PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Trong quá trình bồi dưỡng nội dung về phân số cho học sinh giỏi toán ở lớp 4, tôi chia làm các dạng bài như sau:

a Bài toán cấu tạo số

b so sánh phân số

c dạng bài tập viết thêm các phân số ở giữa 2 phân số cho sẵn

d dạng bài tập viết phân số dưới dạng tổng các phân số

Các bài toán về phân số có thể phân ra thành mấy dạng cơ bản:

– Các bài toán về cấu tạo phân số (tìm một phân số khi biết mối quan

hệ giữa tử số và mẫu số của phân số đó)

– Các bài toán về so sánh phân số (bao gồm rút gọn phân số và sắp xếp các phân số theo thứ tự cho trước)

Các bài toán về rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về phân số (tính giá trị biểu thức bằng cách hợp lí nhất, tìm thành phần chưa biết của phép tính,

– Giải toán có văn về phân số (bao gồm các bài toán có lời văn với các số liệu cho trong đề bài là phân số)

DẠNG CÁC BÀI TOÁN VỀ CẤU TẠO PHÂN SỐ

Khi giải các bài toán có dạng này, ta có thể đưa về dạng toán có văn điển hình (tìm hai số khi biết tổng và tỉ, hiệu và tỉ, tổng và hiệu) hoặc dùng phương pháp thử chọn Ngoài ra, có thể bổ sung thêm một số tính chất sau:

Tính chất 1: Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng

một số tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu của phân số đó không thay đổi

Tính chất 2: Khi bớt đi ở tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự

nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu của phân số đó không thay đổi

Tính chất 3: Khi thêm vào (hoặc bớt đi) ở tử số, đồng thời bớt đi (hoặc

thêm vào) mẫu số của một phân số cùng một số tự nhiên thì tổng của tử

số và mẫu số của phân số đó không thay đổi

Ví dụ :

Tổng của tử số và mẫu số của một phân số nhỏ hơn 1 bằng 10 Nếu chia

cả tử và mẫu cho 2 ta được phân số tối giản Tìm phân số đó

Giải: Ta có bảng phân tích 10 thành tổng của các cặp số sau:

Các phân số nhỏ hơn 1 có tổng của tử và mẫu bằng 10 là:

Bằng phương pháp thử chọn, ta nhận được hai phân số cần tìm là và

:

VD : Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 315 Tử

số lớn hơn mẫu số 6 đơn vị Tìm phân số đó

Giải: Ta có bảng phân tích số 315 thành tích của các cặp số sau

Cá

c phâ

Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 6

Bằng phương pháp thử chọn, ta nhận được phân số cần tìm là

Cách giải tổng quát dạng: Bớt tử và thêm vào mẫu cùng một sô tự nhiên

Bước 1: Tìm tổng tử sô và mẫu số phân số đã cho

Bước 2: Nêu lưu ý: Khi bớt ở tử số và thêm vào mẫu số cùng một số tự nhiên thì

tổng trên không thay đổi

Bước 3: Vẽ sơ đồ tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 4: Tìm tử số của phân số mới ( hoặc mẫu số của phân số mới)

Bước 5: Tìm số cần tìm

VD Cho phân số

19

7 Hỏi phải thêm vào tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên là

bao nhiêu để được phân số bằng phân số

3

2

Hướng dẫn học sinh giải

Khi thêm váo tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa mẫu số và tử

số có thay đổi không? ( Không thay đổi)

- Để được phân số bằng phân số

3

2, vậy tử số có mấy phần bằng nhau và mẫu số

có mấy phần như thế? ( Tử số có 2 phần bằng nhau và mẫu số có 3 phần như thế)

Bài giải:

Hiệu mẫu số và tử số của phân số

19

7là:

19  7  12

?

Khi thêm vào tử số và mẫu số của phân số cùng một sô tự nhiên thì hiệu trên không thay đổi

Thêm vào tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên

Bước1: Tìm hiệu của mẫu số và tử số cảu ohân số đã cho

Bước 2: Nêu ý: Khi thêm vào mẫu số và tử sô cùng một số tự nhiên thì hiệu gứi

tử số và mẫu số khong thay đổi

Bước 3: Vẽ sơ đồ, tìm hiệu số phần bằng nhau

Bước 4: Tìm tử số của phân số mới , hoặc mẫu số của phân số mới

Bước 5: Tìm số cần tìm

VD Cho phân số

24

19 Hỏi phải bớt ở tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên là bao

nhiêu để được phân số bằng phân số

2

1 Hướng dẫn học sinh giải cách 1: -

Khi bớt ở tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên thì hoiêụ giữa tử số và mẫu số

có thay đổi không? ( không thay đổi)

- Để được phân số bằng phân số

24  19  5

Khi bớt ở tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên thì hiệu trên không thay đổi

Tử số phân số mới: 5

Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 8

Mẫu số phân số mới:

Bước1: Tìm hiệu giữa mẫu số và tử số đã cho

Bước2: Lưu ý: Khi bớt ở tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên thì hiệu trên

không thay đổi

Bước3: Vẽ sơ đồ, tìm hiệu số phần bằng nhau

Bước4: Tìm tử số phân số mới hoặc mẫu số phân số mới

Bước5: Tìm số cần tìm

Hướng dẫn học sinh giải (cách2)

Giả sử gọi số cần tìm là a thì ta được phân số có dạng như thế nào?

 

a a

24 2

24

2 19

( Quy đồng mẫu số hai phân số)

19 a 2  24 a ( hai phân số bằng nhau có tử số bằng nhau

mu số không thay đổi

+ Dạng toán cùng thêm vào tử số và mẫu số một số tự nhiên hoặc dạng toán cùng bớt ở tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa mẫu số và tử số không thay đổi

41 57

40



VD Cho phân số

37

25 Tìm một số tự nhiên c sao cho đêm mẫu số của phân số

đã cho trừ đi c và giữ nguyên tử số thì được phân số bằng phân số

6 5

Hướng dẫn học sinh giải cách 1:

- Đem mẫu số của phân số trừ đi c và giữ nguyên tử số ta được phân số có dạng t như thế nào? ( Có dạng

c

 37

25)

- Phân số trên bằng phân số nào? (9 Bằng phân số

6

5)

3 So sánh qua phân số trung gian

+ Dấu hiệu: TS1 > TS2, MS1 < MS2 và ngược lại ( PSTG

HD: - So sánh phân số bằng cách so sánh phần bù với đơn vị của phân số

- Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó

- Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ

hơn và ngược lại

,

57  55 55  55

Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 10

Bước 1: (Tìm phần bù)

Ta có : 1

2001

1 2001

1

 nên

2002

2001 2001

2000



* Chú ý: Đặt A = Mẫu 1 - tử 1

B = mẫu 2 - tử 2

Cách so sánh phần bù được dùng khi A = B Nếu trong trường hợp A B

ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới

có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số bằng nhau:

Ví dụ 2: So sánh:

2000

2001

và 2001 2002

HD: - So sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn với đơn vị của phân số:

- Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1

- Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn

2001  

2001

1 1 2001

1

2001

2002 2000

2001



Chú ý: Đặt C = tử 1 - mẫu 1

D = tử 2 - mẫu 2

Cách so sánh phần hơn được dùng khi C = D Nếu trong trường hợp C

D ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân

số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau

5.So sánh qua phần hơn ( Dấu hiệu: TS1 – MS1 = TS2 – MS2 hoặc hai hiệu gấp nhau một số lần)

VD1

6 Đưa về hỗn số để so sánh phần nguyên hoặc phần phân số

7 Đảo ngược các phân số để so sánh

35 29 25

7 12

4 17

C DẠNG BÀI TẬP VIẾT THÊM CÁC PHÂN SỐ Ở GIỮA 2 PHÂN SỐ CHO SẴN

Tìm n phân số nằm giữa hai PS :

Hướng giải:

Đưa 2 phân số về 2 phân số có cùng Tử số (hoặc mẫu số.)

Tìm các phân số bằng cách lấy tử số và Mẫu số của 2 PS có cùng tử số ( hoặc mẫu số) vừa tìm nhân với ( n+1)

VD1: Tìm 3 phân số nằm giữa 2 phân số

Ta có

Vì

Nên

Vậy 3 phân số cần tìm là:

D DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHÂN SỐ DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC PHÂN SỐ

VD1; Phân tích PS , thành tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau

Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 12

15

17  5  85

1 29

17  5  29 1233 3039345

b

+ Lấy MS chia TS: 17 : 4 = 4(dư 1)

Ta tìm số hạng đầu tiên là 1 : ( 4+1)= (TS là 1, MS = Thương + 1)

2 + 11

16 + 13

19 ; b

1997

1995 x1993

1990

x 1994

1997

x 1995

1993

x 995 997

HD : Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng , phép nhân phân

2 + 11

16 + 13

19 = 

2 5

16 11

19 13

22 + 13

26 = 1 + 2 + 2= 5

1997

x 1995

1993

x 995

1995

995

997 1995

1993 1993

997

1997 2

995 995

997 1994

1990 995

997 1995

x x x

x x

Dạng: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau

gấp mẫu số của phân số liền trước 2 lần

1 16

1 8

1 4

1 2

1 4

1 8

1

8

1 4

1 4

1 2

1 2

1 1

A =

64

1 32

1

8

1 4

1 4

1 2

1 2

1

A = 1 -

64 1

A =

64

63 64

1 64

1 16

1 8

1 4

1 2

Dạng : Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số

liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần (n > 1)

1 16

1 8

1 4

1 2 1

=

64

2 32

2 16

2 8

2 4

2 2

1 8

1 4

1 2

1 8

1 4

1 2

1 16

1 8

1 4

1 2 1

A x (2 - 1) =

32

1 16

1 8

1 4

1 2

1

64

1 32

1 16

1 8

1 4

1 2

A =

64

63 64

1 64

64





Dạng : Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2

thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau:

Giải

A =

6 5

5 6 5 4

4 5 4 3

3 4 3 2

2 3

x x

x x

5 6 5

6 5 4

4 5 4

5 4 3

3 4 3

4 3 2

2 3 2

3

x x

x x

x x

1 5

1 4

1 4

1 3

1 3

1 2

2 6

1 6

3 6

1 2

Người Thực hiện: Bùi Văn Quyền 14

a b

a b

a

b

a b

1 3 2

5

B =

14 11

3 11

8

3 8 5

3 5 2

3

x x

11 14 11 8

8 11 8 5

5 8 5 2

2 5

x x

x x

11 14

11

14 11

8

8 11 8

11 8 5

5 8 5

8 5 2

2 5 2

5

x x

x x

x x

1 11

1 8

1 8

1 5

1 5

1 2

6 14

1 14

7 14

1 2

1994 1992

1993 1991

1992 1990

Dạng : Tính tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số này có quan hệ

về tỉ số với mẫu số của phân số kia

Giải

=

997

995 1993

1994 1992

1993 1991

1992 1990

1994 1990

1994 

=

997

995 995

997

 = 1

G TOÁN ĐỐ VỀ PHÂN SỐ

Nắm chắc kiến thức về:

Tìm một số biết giá trị một phân số của nó;

Tìm số M , biết của nó bằng c Vậy M = c :

-Tìm giá trị phân số của một số cho trước

của số M = M x

VD: Nam đọc quyển sách trong ba ngày Ngày thứ nhất đọc số

trang Ngày thứ hai đọc số trang còn lại Ngày thứ ba đọc nốt 36 trang còn lại Hỏi quyển sách dày bao nhiêu trang?

1 2 1

1 4 1

5 5

  12

20



PS chỉ số trang còn lại sau khi đọc ngày thứ nhất ( số trang sách)

Phân số chỉ số trang sách đọc ngày thứ hai: ( số trang sách)

Phân số chỉ 36 trang là: ( số trang sách)

Quyển sách dày số trang là ( trang)

VD: Một trang trại có 166 con dê, bò và trâu Người ta bán số con trâu,

sốcon bò, số dê thì số con còn lại của mỗi loại bằng nhau Lúc đầu mỗi loại

có bao nhiêu con

Hướng giải: - Tìm PS chỉ số con còn lại của mỗi loại

- Đưa các phân số đó về cùng tử số

- Mẫu số của các phân số chính là tỉ số của số con mỗi loại

- Đưa bài toán về dạng tổng- tỉ

c Phân số chỉ số trâu còn lại là ( số trâu )ỉ â u còn lại là

Phân số chỉ số bò còn lại là ( Số bò)

u) Phân số chỉ số dê còn lạ là ( số dê)

Tỉ số giữa số trâu, số bò, số dê lúc đầu lần lượt là: 15,48,20

Hướng giải:

- Xác định đại lượng không đổi ( Số HS cả lớp)

- Lập tỉ số giữa các đại lượng đã cho với đại lượng không đổi

VD3: Số học sinh khá của lớp 5A là số học sinh còn lại của lớp Nếu tính cả 4

em học sinh giỏi thì số học sinh khá giỏi của lớp bằng số học sinh còn lại

Tính số học sinh khá của lớp

Hướng giải:

- Xác định đại lượng không đổi ( Số HS cả lớp)

- Lập tỉ số giữa các đại lượng đã cho với đại lượng không đổi