Nâng cao năng lực tự học và kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông qua dạy học giải phương trình

Nhận thức rõ vấn đề đó, trong quá trình giảng dạy của mình, tôi đã có những nỗ lực nhất định trong việc triển khai hoạt động giảng dạy để đạt tới mục tiêu hình thành ở học sinh năng lực

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN TRUNG HIẾU

NÂNG CAO NĂNG LỰC TỰ HỌC VÀ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

QUA DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN HỌC)

Mã số :60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN NHỤY

HÀ NỘI - 2010

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tác giả xin được bày tỏ lòng lòng kính trọng và biết ơn sâu

sắc tới PGS.TS Nguyễn Nhụy, người thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn

và động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong trường Đại

học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy truyền thụ

cho tác giả về những kiến thức quý báu về PPDH và hết lòng giúp đỡ tác giả

trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Nam Định, Ban

Giám hiệu, các thầy, cô giáo trường Trung học Phổ thông A Hải Hậu, tỉnh Nam

Định, các thầy, cô giáo trong tổ Toán – Tin của nhà trường đã động viên tạo mọi

điều kiện cho tác giả được đi học cũng như trong quá trình thực hiện đề tài

Tác giả bày tỏ sự cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bè bạn và các bạn học

viên khóa 3, khóa 4 Cao học Lý luận và Phương pháp Dạy học trường Đại

học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã động viên, giúp đỡ tác giả trong

suốt quá trình học tập và có nhiều ý kiến quý báu giúp tác giả hoàn thành luận

văn tốt nghiệp

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn chắc chắn không thể tránh

được những thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và mong nhận được

những sự chỉ bảo, góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2010 Tác giả

Nguyễn Trung Hiếu

MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Phạm vi nghiên cứu 2

4 Mẫu khảo sát 2

5 Vấn đề nghiên cứu 3

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Phương pháp nghiên cứu 3

8 Luận cứ 3

9 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Tự học… 5

1.1.1 Về khái niệm tự học 5

1.1.2 Bồi dưỡng năng lực tự học cho HS THPT 7

1.1.3 Những nhân tố ảnh hưởng đến hoạt động tự học 8

1.2 Kỹ năng giải toán 9

1.2.1 Về khái niệm kỹ năng 9

1.2.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng cho HS trong quá trình học toán 13

1.3 Dạy học giải bài tập toán học 21

1.3.1 Vị trí và chức năng của bài tập toán học đối với sự phát triển trí tuệ của HS trong nhà trường THPT 21

1.3.2 Yêu cầu đối với lời giải… 21

1.3.3 Dạy học phương pháp tìm lời giải 22

Kết luận chương 1 23

Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC TỰ HỌC VÀ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 24

2.1 Về vấn đề phương trình ở lớp 10 THPT 24

2.1.1 Nội dung phương trình trong chương trình toán lớp 10 THPT 24

2.1.2 Vị trí và vai trò của nội dung phương trình trong chương trình

toán lớp 10 THPT 27

2.1.3 Những khó khăn và sai lầm HS thường gặp trong giải phương trình 27

2.2 Phương trình bậc nhất và bậc hai 32

2.2.1 Các kiến thức cơ bản 32

2.2.2 Hướng xây dựng bài tập vận dụng 33

2.3 Phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 58

2.3.1 Các kiến thức cơ bản 58

2.3.2 Hướng xây dựng bài tập vận dụng 58

2.4 Phương trình có chứa căn thức 71

2.4.1 Các kiến thức cơ bản 71

2.4.2 Hướng xây dựng bài tập vận dụng 72

2.5 Hệ thống bài tập vận dụng 91

Kết luận chương 2 100

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 101

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm 101

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 101

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm 101

3.2 Kế hoạch triển khai 101

3.2.1 Đối tượng thực nghiệm 101

3.2.2 Thời gian thực nghiệm 101

3.2.3 Nội dung thực nghiệm 102

3.3 Kết quả thử nghiệm sư phạm 108

3.3.1 Kết quả bài kiểm tra và kết quả giảng dạy 108

3.2.2 Kết luận về thực nghiệm sư phạm 110

Kết luận chương 3 110

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 111

1 Kết luận 111

2 Khuyến nghị 111

TÀI LIỆU THAM KHẢO 113

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nâng cao năng lực tự học để người học có thể tự học trong suốt cả cuộc đời là một trong những mục đích của toàn bộ quá trình dạy học, đối với tất cả các môn học Do vậy, mục tiêu quan trọng hàng đầu chi phối quá trình giảng dạy của mỗi giáo viên chính là làm sao để hình thành được năng lực tự học và

kỹ năng tư duy cho học sinh Nhận thức rõ vấn đề đó, trong quá trình giảng dạy của mình, tôi đã có những nỗ lực nhất định trong việc triển khai hoạt động giảng dạy để đạt tới mục tiêu hình thành ở học sinh năng lực tự học và

kỹ năng giải toán

Điều 29, luật Giáo dục (2005) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh;….; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống

xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa khoá của

sự phát triển

Trong nhà trường phổ thông môn Toán giữ một vị trí rất quan trọng và chủ đề phương trình trong chương trình lớp 10 THPT giữ một vị trí then chốt, là công cụ cho nhiều nội dung khác Phương trình ở lớp 10 THPT gồm một số loại phương trình đại số trên trường số thực, với lượng bài tập rất lớn, phong phú về cách giải và có mối liên hệ chặt chẽ Để dạy học sinh học chủ đề này, thông thường giáo viên cung cấp cho học sinh cách giải từng loại bài và chữa cho học sinh một số bài tập theo mỗi loại Nhằm làm cho học sinh nắm vững kiến thức

và có thể sử dụng linh hoạt để giải toán, đòi hỏi người giáo viên phải giúp học

sinh cách thức phân lớp các loại bài tập và các công cụ thích hợp để giải từng loại bài tập Mặt khác, để giải được nhiều bài có tính chất tổng hợp và nhìn nhận chúng trong một hệ thống logíc chặt chẽ, điều này thì đa phần học sinh chưa làm được và cần có sự trợ giúp về nhiều mặt của giáo viên

Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài: “Nâng cao năng lực tự học

và kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 10 Trung học Phổ thông qua dạy học giải phương trình” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục tiêu:

Tìm giải pháp dạy học giải bài tập về phương trình nhằm nâng cao năng lực

tự học và kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 10 Trung học Phổ thông

Đề xuất các chủ đề dạy học giải phương trình cho học sinh lớp 10 THPT theo hướng xây dựng hệ thống bài tập được phân loại theo phương pháp giải nhằm giúp học sinh tích cực tự học, nâng cao kỹ năng giải toán

5 Vấn đề nghiên cứu

Dạy học giải phương trình như thế nào để giúp học sinh nâng cao năng lực tự học và kỹ năng giải toán?

6 Giả thuyết khoa học

Nếu dạy học sinh lớp 10 THPT giải phương trình theo hướng xây dựng các chủ đề kiến thức và luyện tập bằng hệ thống bài tập tương ứng thì sẽ giúp học sinh nâng cao năng lực tự học và kỹ năng giải toán

7 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu viết về vấn đề tự học, về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, nghiên cứu về phương pháp dạy học bài tập toán học, nghiên cứu về các tài liệu liên quan đến chủ đề phương trình trong chương trình toán THPT của Bộ Giáo dục và Đào tạo

Tham khảo ý kiến giáo viên, đặc biệt các giáo viên có kinh nghiệm lâu năm trong giảng dạy về các vấn đề liên quan đến việc rèn luyện kỹ năng và hướng dẫn học sinh tự học

Dự giờ, quan sát quá trình học tập của học sinh trên lớp, thái độ học tập, tiếp thu bài giảng và hiệu quả của quá trình học sinh tự học tập ở nhà để nắm tình hình học tập, rèn luyện kỹ năng và năng lực tự học của học sinh

Tổ chức dạy học thực nghiệm tại trường THPT A Hải Hậu tỉnh Nam Định, cung cấp bài tập và kiểm tra kết quả sau thực nghiệm

Thống kê và xử lý số liệu sau thực nghiệm để kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết khoa học

8 Luận cứ

Luận cứ lý thuyết:

Xây dựng hệ thống bài tập cho học sinh luyện tập để từ đó học sinh rút

ra những kiến thức, kỹ năng cần thiết và tích cực học tập dựa trên cơ sở là những kết quả nghiên cứu về Triết học, Tâm lý học, Giáo dục học

Cơ sở Triết học: “Mâu thuẫn là động lực của sự phát triển”, mâu thuẫn giữa yêu cầu nhận thức và những tri thức, kỹ năng còn hạn chế là động lực thúc đẩy nhận thức ở học sinh

Cơ sở Tâm lý học: “Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy” Khi có nhu cầu hiểu biết, có niềm say mê, hứng thú thì quá trình nhận thức có hiệu quả tăng rõ rệt

Cơ sở Giáo dục học: Sẽ có hiệu quả cao hơn khi quá trình đào tạo được biến thành quá trình tự đào tạo

Luận cứ thực tế:

Thực tế cho thấy, học sinh thường lĩnh hội tri thức không phải vì giáo viên truyền đạt cho mình một số chân lí mà giáo viên đã biết mà vì chính bản thân học sinh nảy ra nhu cầu muốn biết các tri thức đó Do vậy, dạy học phải tạo ra cho học sinh tựa hồ như phát hiện ra tri thức cần lĩnh hội

Sau khi học lý thuyết, nếu giáo viên giúp học sinh hệ thống kiến thức

đã học, xây dựng các hướng phát triển bài tập và tìm phương pháp giải từ đó cung cấp đến học sinh hệ thống bài tập tương ứng thì sẽ giúp học sinh tích cực học tập, rèn luyện kỹ năng và tạo hứng thú, niềm vui khi học sinh tự học

Việc học sinh tự giải quyết được nhiều bài toán giúp học sinh nhìn nhận vấn đề tổng quát hơn và nâng cao kỹ năng giải toán

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: xây dựng hệ thống bài tập giải phương trình nhằm nâng cao năng lực tự học và kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 10 Trung học Phổ thông

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tự học

1.1.1 Về khái niệm tự học

Để trang bị kiến thức và hiểu biết của mình trong suốt cả cuộc đời thì không có cách gì ngoài tự học Tự học là một vấn đề có tính truyền thống và tính phổ biến không chỉ ở nước ta mà còn là vấn đề của toàn thế giới Ngay từ

xa xưa, Khổng Tử đã ý thức được tầm quan trọng của việc tự học đối với mỗi

con người, ông cho rằng: “cách học quan trọng hơn học cái gì”

Cha ông ta luôn đặt tự học làm trọng, một tấm gương sáng nhất của tự học là Chủ tịnh Hồ Chí Minh Theo Người, tự học là sự nỗ lực của bản thân người học, sự làm việc của bản thân người học một cách có kế hoạch dựa trên tinh thần tự giác học tập Người cho rằng, trong học tập phải lấy tự học làm nòng cốt

Theo Rubakin: “Hãy mạnh dạn tự mình đặt ra câu hỏi rồi tự mình tìm lấy câu trả lời, đó là phương pháp tự học” Ông còn đưa ra một nguyên tắc của việc tự học là “Hãy làm tất cả những gì có thể là được và hãy cố gắng làm sao có thể làm được và hãy có gắng làm sao có thể làm được nhiều nhất”

Theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn, “Tự học là tự mình động não, suy nghĩ, sử dụng các năng lực trí tuệ (quan sát, so sánh, phân tích, tổng hợp,…)

và có khi cả cơ bắp (khi phải sử dụng công cụ) cùng các phẩm chất của mình, rồi cả động cơ, tình cảm, cả nhân sinh quan, thế giới quan (như trung thực, nhẫn nại, khách quan, có chí tiến thủ, không ngại khó ngại khổ, lòng say mê khoa học, ý muốn thi đỗ, biết biến khó khăn thành thuận lợi,…) để chiếm lĩnh một lĩnh vực hiểu biết nào đó của nhân loại, biến lĩnh vực đó thành sở hữu của mình” Tự học là một quá trình con người vượt qua hoàn cảnh và vượt

qua chính mình, nâng mình lên một trình độ cao hơn, phục vụ cho công việc thuận lợi và có hiệu quả hơn [24, tr 22]

Như vậy, để sử dụng hình thức tự học, người học chủ yếu phải tự học bằng SGK, các tài liệu học tập liên quan và kế hoạch, điều kiện, phương tiện

của mình để đạt được mục tiêu học tập Tự học nhiều khi còn là sự chủ động khai thác kinh nghiệm và tri thức của người khác để làm giàu cho vốn hiểu biết của chính bản thân mình Bản chất của nó là người học biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo

Tự học có những đặc điểm sau:

Tự học có tính độc lập cao và mang đậm màu sắc cá nhân

Tự học có quan hệ chặt chẽ với quá trình dạy học

Tự học có tính mục đích

Tự học có tính đối tượng

Tự học vận hành theo nguyên tắc gián tiếp

Tự học là một chu trình liên tục, diễn ra theo hình xoắn ốc mà ở đó điểm kết thúc của chu trình này là điểm khởi đầu của chu trình khác Sau mỗi chu trình kiến thức của người học lại được nâng lên một tầm mới

Tự học có các mức độ như sau :

Mức độ 1: Có SGK và có GV giáp mặt một số tiết trong ngày, trong tuần GV và HS nhìn mặt nhau và có thể trao đổi thông tin bằng lời nói trực tiếp, chữ viết trực tiếp ngay trên bảng, trên giấy, bằng ánh mắt, nét mặt, cử chỉ Bằng hình thức thông tin trực tiếp không qua máy móc, HS học giáp mặt với GV trên lớp và về nhà tự học có hướng dẫn Đây là mức độ tự học đơn giản nhất

Mức độ 2: Có SGK và có GV ở xa hướng dẫn bằng tài liệu hoặc các phương tiện viễn thông khác Hướng dẫn tự học chủ yếu là hướng dẫn tư duy, hướng dẫn tự phê bình trong quá trình chiếm lĩnh kiến thức Đây là tự học có hướng dẫn

Mức độ 3: Có SGK rồi người học tự đọc lấy mà rút ra kiến thức, kinh nghiệm về tư duy HS phải tự mình vận dụng nội lực của bản thân để giải quyết công việc học tập Đây là tự học ở mức độ cao nhất

Tóm lại, tự học là hoạt động của cá nhân người học Xác định điều này

để ta thấy rõ hơn vai trò chủ động của người học Dạy học dù có hay đến đâu

cũng không thể thay thế được việc tự học của HS GV giỏi chính là người biết hướng dẫn cho HS học chứ không phải làm hộ HS Tự học cũng là công việc khó khăn, phải trải qua nhiều mức độ, nhiều đòi hỏi Phấn đấu đạt được mức

độ tự học cao nhất là mục tiêu cần đạt tới của người học

1.1.2 Bồi dưỡng năng lực tự học cho HS THPT

Bồi dưỡng năng lực tư học cho HS là việc làm rất cần thiết trong điều kiện hiện nay Thời gian tự học là lúc HS có điều kiện tự nghiền ngẫm vấn đề học tập theo một yêu cầu, phong cách riêng và với tốc độ thích hợp Điều đó không những giúp HS nắm vấn đề một cách chắc chắn và bền vững, bồi dưỡng phương pháp học tập và kỹ năng vận dụng tri thức, mà còn là dịp tốt

để HS rèn luyện ý chí và năng lực hoạt động sáng tạo Đó cũng là điều không

ai có thể cung cấp đươc cho HS nếu các em không thông qua hoạt động của chính bản thân mình Năng lực tự học là phẩm chất cần thiết cho sự phát triển

và thành đạt lâu dài của mỗi con người

Để tự học có hiệu quả, cần cần hướng dẫn HS các thao tác sau:

1.1.2.1 Chuẩn bị cho hoạt động tự học

Xác định nhu cầu và động cơ, kích thích hứng thú học tập Việc làm đầu tiên để có hoạt động tự học là người học phải làm sao tự kích thích, động viên mình, làm cho tự cảm thấy cần thiết và hứng thú bắt tay vào việc học, qua việc xác định ý nghĩa quan trọng của vấn đề nghiên cứu, tinh thần trách nhiệm với công việc, qua cảm giác hứng thú với nội dung vấn đề và phương pháp làm việc

Xác định mục đích và nhiệm vụ tự học Trong trường hợp HS tự học dưới sự hướng dẫn của GV thì công việc này thực chất là cụ thể hóa những bài tập, nhiệm vụ mà GV giao Nhìn chung để việc tự học có hiệu quả, mục đích nhiệm vụ tự học phải có tính chất thiết thực, vừa sức có tính định hướng cao và cố gắng tập trung dứt điểm từng vấn đề trong từng thời kì nhất định

Xây dựng kế hoạch Việc tự học chỉ thực sự hiệu quả khi người học xác định đúng trọng tâm công việc: học cái gì là chính, cái gì là quan trọng nhất,

có tác dụng trực tiếp đến mục đích Bởi vì nội dung phải học thì nhiều mà sức lực và thời gian thì có hạn, nếu việc học dàn trải, phân tán quá thì việc học sẽ không có hiệu quả

1.1.2.2 Tự lực nắm nội dung học tập

Đây là giai đoạn quan trọng nhất và chiếm nhiều thời gian nhất và là giai đoạn quyết định khối lượng kiến thức, kỹ năng tích lũy được cũng như sự phát triển của con người, nghĩa là quyết định sự thành công của tự học Giai đoạn này gồm nhiều công việc:

Nghiên cứu tài liệu,sách giáo khoa

1.1.2.3 Kiểm tra và đánh giá

Kết quả tự học phải được kiểm tra và đánh giá Người học cần được kiểm tra đánh giá lại các kết quả học được theo mục đích đã đề ra Ngoài ra người học cũng cần có kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá để điều tự điều chỉnh và làm cho quá trình tự học ở chu trình sau hiệu quả cao hơn

1.1.3 Những nhân tố ảnh hưởng đến hoạt động tự học

Có nhiều nhân tố ảnh hưởng đến hoạt động tự học của người học Phải điều khiển, phối hợp những nhân tố ấy trong quá trình tổ chức tự học mới đạt được chất lượng và hiệu quả mong muốn Sau đây là những nhân tố chính:

Bản thân người học phải chú ý đến động lực học tập, tố chất, năng khiếu bẩm sinh, trình độ lí luận và trải nghiệm thực tiễn, kỹ năng tự học, phẩm chất, ý chí, cảm xúc…

GV, cha mẹ, bạn bè và xã hội GV ảnh hưởng trực tiếp và quan trọng đến quá trình tự học qua nội dung, phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức dạy học Ngoài ra, thái độ và mối quan hệ GV, HS sẽ có ảnh hưởng

nhiều đến chất lượng dạy học nói chung cũng như chất lượng tự học Cha mẹ, anh em trong gia đình, họ hàng…là nguồn động viên tinh thần quí giá và liên tục, đồng thời cũng là nơi kiểm tra, đánh giá chặt chẽ và nghiêm khắc, là nguồn cung cấp tài chính và phương tiện cho người học Bạn bè, nhất là các nhóm nhỏ có tác động rất quan trọng trong việc trao đổi, tranh luận, giúp đỡ nhau trong học tập nhằm vượt qua những khó khăn, làm nảy nở các tư tưởng, khoa học mới, phát triển lòng yêu khoa học và củng cố niềm tin ở bản thân và cộng đồng

Các điều kiện vật chất và tinh thần như: sách vở, thời gian, tài chính, môi trường đạo đức lành mạnh của gia đình, nhà trường và xã hội là những nhân tố rất quan trọng

Tất cả những nhân tố trên cần được xem xét dưới một dạng tổng thể khi giải quyết vấn đề tự học và phải phát hiện kịp thời những lỗ hổng, những điểm yếu để bổ sung, khắc phục nhằm tạo ra một sự phát triển hài hòa cân đối Đồng thời phải tìm được điểm chính yếu nhằm tạo ra động lực để thúc đẩy quá trình tự học.[23, tr 13-14]

1.2 Kỹ năng giải toán

1.2.1 Về khái niệm kỹ năng

Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [11, tr.131]

Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các

dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[18, tr.149]

Từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[25, tr.426]

Theo G Pôlya: “Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn

có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp G Pôlya đã khẳng định rằng trong Toán học , kỹ năng là giải các bài toán , thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được ”.[10 tr.386]

Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm

vụ mới Trong thực tế dạy học, HS thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp ) vào giải quyết các bài tập cụ thể

HS thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn có giữa kiến thức và đối tượng Sở dĩ như vậy là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở nên kém linh hoạt, không gắn liền cơ sở của kỹ năng

Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định

Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành động, để hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra thu được thông tin mới) Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức (hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho

Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hưởng của các yếu tố sau:

a) Nội dung bản chất của vấn đề được yêu cầu giải quyết bị che khuất bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch hướng tư duy

Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, HS không chỉ nhìn thấy, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm toàn bộ những yếu tố có mặt trong bài toán

Ví dụ 2 Giải phương trình

       

Cần phải quan sát, phân tích tất cả các số hạng có mặt trong phương trình,

từ đó mới phát hiện được mối quan hệ bản chất có mặt trong bài toán đó là:

b) Khả năng khái quát, mở rộng ảnh hưởng không nhỏ đến việc hình thành kỹ năng

Ví dụ 3 Khi HS giải phương trình 2

HS giải bằng phương pháp biến đổi hệ quả sẽ gặp nhiều khó khăn và nếu HS

có khả năng khái quát tốt sẽ nhận thấy cần phải giải bằng phương pháp biến đổi tương đương để tránh phải tìm điều kiện xác định phức tạp

c) Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng Khi HS hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp họ dễ dàng hình thành kỹ năng, còn ngược lại sẽ cản trở việc học tập Thói quen tâm lý cũng là một trở ngại thường gặp trong học tập Nguyên nhân chủ yếu hình thành thói quen tâm lý đó là tư duy của con người có tính phương hướng Một loại kiến thức hoặc phương pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tượng sâu làm cho HS không bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen tư duy cũ để mở ra một hướng suy nghĩ mới

Ngoài ra một nguyên nhân nữa cũng ảnh hưởng đến hình thành thói quen tâm lý đó là nhận thức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bài toán cụ thể

21

1 2 2

x2

1.2.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng cho HS trong quá trình học toán

Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở cho các mục đích khác

Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều

này đã được nhiều tác giả đề cập như:“ Suy nghĩ tức là hành động” ( J Piaget), “Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” ( Kant), “ Học để hành, học và hành phải đi đôi” (Hồ Chí Minh)

Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu HS chỉ biết học thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập

Theo GS Nguyễn Cảnh Toàn dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính cách cho HS Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp HS hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời rèn luyện cho

HS các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ Từ đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho HS

Sự hình thành kỹ năng đó là một quá trình xác định dẫn tới việc nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể

Có thể dạy cho HS kỹ năng bằng những con đường khác nhau như:

Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho HS vốn tri thức

cần thiết thì yêu cầu HS vận dụng tri thức đó để giải các bài toán liên quan theo mức độ tăng dần

Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định

hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó

Con đường thứ ba: Dạy HS các hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc

vận dụng tri thức

Việc hình thành và rèn luyện cho HS cần được tiến hành trên các bình diện khác nhau

Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán, thể hiện rõ dưới dạng giải bài tập toán

Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác như Vật lý, Hoá học, Sinh hoc…

Kỹ năng vận dụng vào thực tiễn đời sống

Có thể nói, bài tập toán chính là môi trường để rèn luyện kỹ năng giải

toán Do đó, để rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS, GV cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán) Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho HS cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:

a) Cần hướng cho HS biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hướng cho HS biết cách phân tích đặc điểm bài toán

Để ý rằng trong phương trình có nhóm ẩn  2 

x 2x nên ta đặt tx2 2x, phương trình trở thành

x 2xx x2 , x 2x 3 x 1 x 3 Vậy giải phương trình x3 x 2 x x 1    5 như thế nào?

x x2 x 2x, x3 x 1 x 2x3, đặt 2

tx 2x

và giải như phương trình trên

GV: Nêu cách giải phương trình x 1 x  2 x 3 x 420?

Cứ như vậy ta đã khái quát cho HS cách giải dạng bài tập trên

c) Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức

Ví dụ 7 Giải và biện luận phương trình 4 2 2

2 2

Ví dụ 8 Giải phương trình  2  2   2  2 

x  x 1 x 3x 1  2x  x 2 x 3x 1Thông thường ta sẽ phân tích các tích và đưa về phương trình đa thức để giải

và cách làm này thường là rất khó khăn Để ý rằng ở mỗi nhân tử trong phương trình trên đều có số hạng đầu và cuối giống nhau, điều đó gợi ý cho ta cách giải phương trình như sau

Do x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia 2 vế của phương trình cho

Kỹ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh Trước hết

là kỹ năng nắm một khái niệm Cần phải luyện tập cho HS hiểu được các dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi của khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước Từ đó HS có thể hiểu được quan hệ giữa các khái niệm

Tiếp theo là HS cần nắm vững định lí: phân biệt được phần giả thiết và phần kết luận, có thể nêu cách phát biểu khác của định lí, hiểu được mối quan

hệ logic giữa các định lí

Một khía cạnh khác của kỹ năng nhận thức trong môn toán là kỹ năng

áp dụng thành thạo mỗi quy tắc, trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh

máy móc Cần chú ý lựa chọn các ví dụ, khai thác các ví dụ, những bài toán

có cách giải quyết linh hoạt, đơn giản hơn là áp dụng quy tắc tổng quát

Ví dụ 9 Khi giải phương trình     2

x 1 2 x  x 1 , có HS khai triển các biểu thức để đưa về phương trình bậc hai dạng tổng quát để áp dụng công thức tính nghiệm mà không để ý thấy đặc điểm riêng của phương trình này có thể đưa về phương trình tích x 1 2x 3 0 để suy ra được nghiệm Những bài tập như thế có tác dụng rất tốt trong việc khắc phục tính ỳ của tư duy và rèn luyện tính linh hoạt của trí tuệ

1.2.2.2 Kỹ năng thực hành

Kỹ năng thực hành bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán, kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn, kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế

Hoạt động giải toán có thể xem là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học đối với mỗi HS, nó là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích của việc dạy học môn toán Kỹ năng vận dụng các tri thức một cách có hiệu quả vào hoạt động giải toán của HS được huấn luyện trong quá trình họ tìm tòi lời giải của bài toán Quá trình này thường được tiến hành theo bốn bước: tìm hiểu nội dung bài toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện chương trình giải, kiểm tra và nghiên cứu lời giải tìm được

Trong hoạt động giải toán cũng cần rèn luyện cho HS kỹ năng chuyển

từ tư duy thuận sang tư duy nghịch Cũng như rèn cho HS kỹ năng biến đổi xuôi chiều, ngược chiều và biến đổi song song

Kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tế của đời sống được cho trong bài toán hoặc nảy sinh trong thực tế nhằm tạo điều kiện cho HS biết vận dụng những kiến thức trong nhà trường vào cuộc sống, góp phần gây hứng thú học tập, giúp HS nắm được thực chất nội dung vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học một cách hình thức Để làm điều này, cần chọn các bài toán có nội dung thực tế của khoa học, kỹ thuật, của các môn học khác (nhất là Vật lí)

và thực tế hàng ngày quen thuộc với HS Đồng thời nên phát biểu một số bài

toán không phải dưới dạng thuần tuý toán học mà dưới dạng vấn đề thực tế cần giải quyết

Để tạo điều kiện vận dụng tri thức vào thực tế còn phải có kỹ năng thực hành cần thiết cho đời sống như là đo đạc, vẽ hình, tính toán Trong thực tế, ở bất kì lĩnh vực nào cũng cần đòi hỏi kỹ năng tính toán: tính đúng, tính nhanh, tính hợp lí, cùng với các đức tính cẩn thận, chu đáo, kiên nhẫn Do vậy, cũng cần thiết có nhiều bài toán đòi hỏi tính toán, bài giải cũng không thể dừng lại

ở mức độ “phương hướng” mà ngại làm các các phép tính cụ thể để đi đến kết quả cuối cùng Khi giải quyết vấn đề, có đi sâu vào những chi tiết, những tính toán cụ thể mới sáng tỏ nhiều khía cạnh, có khi giúp ta điều chỉnh cả phương hướng nữa Cũng cần khuyến khích HS tìm tòi các phương hướng, các cách tính toán khác nhau và biết chọn phương án hợp lí nhất, rèn luyện khả năng ước chừng và sử dụng máy tính cầm tay để bước đầu kiểm tra kết quả

1.2.2.3 Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức

Việc rèn luyện kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi HS phải có

kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực bản thân, nhằm phấn đấu đạt được mục đích đặt ra trong từng giai đoạn Đối với HS yếu, phải tạo điều kiện để các em học tập với tốc độ chậm, học kỹ, nắm được những kiến thức cơ bản, làm được những bài tập tối thiểu, thường xuyên ôn tập, củng cố kiến thức đã học và chuẩn bị cho việc tiếp thu kiến thức mới…từ

đó nâng dần yêu cầu để các em vươn lên Đối với những HS có khả năng học tập toán thì trước hết cần phát triển ở các em hứng thú học môn này, dần dần hướng dẫn làm thêm những bài toán hay, toán khó, đọc sách tham khảo để mở rộng thêm kiến thức phương pháp…Mặt khác, lại phải đòi hỏi ở những HS này học

kỹ lí thuyết để nắm vững kiến thức cơ bản, làm thật đầy đủ kiến thức cơ bản mà

GV đã đề ra, để tránh những sai lầm thường gặp ở những HS khá, giỏi toán là coi nhẹ việc học tập lí thuyết, tính toán lúng túng, hay nhầm lẫn…Đồng thời, nên khuyến khích các em này vận dụng toán học vào thực tiễn phù hợp với trình độ bản thân thông qua các hoạt động thực hành toán học

1.2.2.4 Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá

Thông thường ta hay quan tâm tới kết quả kiểm tra từ phía thầy đối với trò, từ đó thầy có cơ sở để điều chỉnh cách dạy mà chưa quan tâm đến việc HS

tự đánh giá Trong khi đó, hoạt động học của HS là quá trình tự vận động để chiếm lĩnh tri thức lại có vai trò quyết định chất lượng đào tạo của nhà trường

Vì thế, người học không chỉ thụ động tiếp thu sự điều chỉnh để đạt kết quả mong muốn Do vậy, HS phải có kỹ năng tự kiểm tra đánh giá để làm căn cứ cho sự tự điều chỉnh Đây là sự thể hiện mối quan hệ ngược bên trong của quá trình dạy học

Để rèn luyện kỹ năng này, trước hết phải xác định rõ mục tiêu học tập của từng giai đoạn, từng phần kiến thức của chương trình đối với bản thân mình Căn cứ vào sự kiểm tra của GV và nhất là căn cứ vào sự đánh giá của bản thân thông qua việc học lí thuyết, việc giải từng bài tập để tự đánh giá việc nắm vững khái niệm, định lí, khả năng vận dụng tri thức vào việc giải từng dạng bài tập, từ đó thấy được chỗ còn yếu, chỗ còn thiếu sót của bản thân về những mặt nào đó mà đề ra hướng khắc phục: hỏi GV, nhờ bạn bè giảng giải hộ …Một khi HS có khả năng tự kiểm tra, đánh giá và biết tự điều chỉnh thì kết quả học tập sẽ được nâng nên [13, tr 171-177]

Trong quá trình dạy học môn toán, một trong những vấn đề quan trọng hàng đầu là phải hướng dẫn và rèn luyện cho HS kỹ năng học tập môn này Nhưng điều quyết định chất lượng dạy học là khả năng tự rèn luyện những kỹ năng này của HS Chính từ trong quá trình dạy học, trên cơ sở nội dung chương trình được cụ thể hóa từ sách giáo khoa, bài giảng của GV mang lại và trên cơ sở hiểu được các kỹ năng học tập cần phải rèn luyện, mỗi HS mới tìm được cho mình cách học cụ thể phù hợp với điều kiện và hoàn cảnh riêng, từ đó xây dựng được phương pháp học tập hiệu quả mang đậm bản sắc cá nhân

Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho HS

1.3 Dạy học giải bài tập toán học

1.3.1 Vị trí và chức năng của bài tập toán học đối với sự phát triển trí tuệ của HS trong nhà trường THPT

Hoạt động học toán trong nhà trường phổ thông chủ yếu là hình thức giải toán Các bài toán ở trường phổ thông cũng là phương tiện hiệu quả giúp

HS nắm vững tri thức, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng Toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện tốt để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức dạy HS giải bài tập toán hiệu quả có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán

Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho HS những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học Với chức năng giáo dục, bài tập hình thành cho HS thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

Với chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của HS, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của

tư duy khoa học

Với chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS

Trong thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý nói đến việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh và công khai Hiệu quả dạy học toán học ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng

có thể có của một bài tập mà người viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị Người GV chỉ có thể khám phá và thực hiện được những dụng ý đó bằng năng lực sư phạm và trình độ nghệ thuật dạy học của mình

1.3.2 Yêu cầu đối với lời giải

1.3.2.1 Lời giải không có sai lầm

Lời giải không có những sai sót về mặt kiến thức toán học, về kí hiệu, hình vẽ kể cả có sai lầm về ngôn ngữ diễn đạt

1.3.2.2 Lập luận phải có căn cứ chính xác

Yêu cầu này có nghĩa là trong từng bước biến đổi phải có cơ sở lí luận, phải dựa vào các định lí, định nghĩa, quy tắc, công thức…đã học, đặc biệt là phải thỏa mãn các điều kiện trong giả thiết của bài toán

1.3.2.3 Lời giải phải đầy đủ

Điều kiện này có nghĩa là không được bỏ sót trường hợp, một chi tiết nào

Nó cũng có nghĩa là lời giải vừa không thừa, vừa không thiếu

1.3.3 Dạy học phương pháp tìm lời giải

Trong môn toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải Đối với bài toán ấy, hãy cố gắng hướng dẫn HS cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải Đây là cơ hội rất tốt cho GV trang bị cho

HS một số tri thức phương pháp – phương pháp giải toán, phương pháp toán học hóa – nhằm rèn luyện và phát triển ở HS năng lực tư duy khoa học Biết

đề ra cho HS đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo và linh hoạt bảng gợi ý của J.Pôlya là thể hiện kinh nghiệm và năng lực sư phạm của người GV trong quá trình dạy học giải bài tập toán Đó là những lời khuyên của người có kinh nghiệm giải toán chứ không phải là những bản chỉ dẫn có tính chất thuật toán Tiếp thu những lời khuyên này, mỗi người có thể thực hiện khác nhau cả cách thức lẫn thời gian, để đi đến kết quả và có thể có người không đi đến được kết quả Điều đó nói lên tính chất khó khăn phức tạp của việc truyền đạt phương pháp và kinh nghiệm giải toán chứ không hề phủ nhận vai trò quan trọng của việc này Không có thuật toán tổng quát nào để giải mọi bài toán Chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học giải một số bài toán

cụ thể mà dần dần truyền cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật

trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán “Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh” (Pôlya 1975)

Phương pháp tìm tòi lời giải của Pôlya thường được tiến hành theo 4 bước: Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài toán Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài và có mong muốn giải được bài toán đó Vì thế người GV

cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò, hứng thú của HS đối với bài toán phải giải Phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể để bước đầu hiểu được toàn bộ vấn đề phải giải quyết, tránh vội vàng đi vào các chi tiết Tiếp theo là phân tích bài toán: cái gì đã biết? cái gì phải tìm? Có mối liên hệ nào giữa cái

đã biết với cái phải tìm?

Bước 2: Xây dựng chương trình giải Ở bước này, phải chú ý phân tích bài toán thành nhiều bài toán đơn giản hơn, huy động kiến thức có liên quan đến những khái niệm, những quan hệ trong đề toán, rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán, mò mẫm, dự đoán, xét các trường hợp đặc biệt…

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải Cần phải luyện tập cho HS thói quen kiểm tra lại lời giải bài toán, xem xét có sai lầm thiếu sót gì không, nhất

là các bài toán có đặt điều kiện hay bài toán đòi hỏi biện luận Đồng thời cũng nâng dần yêu cầu đi sâu lời giải, khai thác lời giải Việc làm này cần yêu cầu

HS tiến hành thường xuyên Chẳng hạn, khi tìm được nghiệm của một phương trình cần lưu ý HS phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra hoặc thay vào phương trình đã cho để kiểm tra kết quả.[13, tr 206-212]

Kết luận chương 1

Trong chương này ta đã là rõ các khái niệm tự học, kỹ năng và các yếu

tố ảnh hưởng đến quá trình tự học, quá trình phát triển kỹ năng của HS Làm

rõ vị trí vai trò, chức năng của bài tập toán học đối với sự phát triển trí tuệ của

HS trong nhà trường THPT và các vấn đề trong quá trình dạy học giải bài tập Điều này thể hiện mối tương quan của bài tập toán học với việc tự học và phát triển kỹ năng giải toán trong quá trình học tập của HS

Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC TỰ HỌC VÀ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày về các loại phương trình ở lớp

10 THPT, bao gồm các kiến thức cơ bản theo sách giáo khoa, các hướng khai thác bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán, hệ thống bài tập áp dụng nhằm giúp HS nâng cao năng lực tự học và kỹ năng giải toán

2.1 Về vấn đề phương trình ở lớp 10 THPT

2.1.1 Chủ đề phương trình trong chương trình toán lớp 10 THPT

Chương trình Toán THPT được cụ thể hóa qua 2 bộ sách giáo khoa: Sách Cơ bản và Sách Nâng cao Theo chuẩn Kiến thức – Kỹ năng chương trình THPT môn Toán, chủ đề phương trình bao gồm:

Đại cương về phương trình

Khái niệm phương trình Nghiệm của phương trình Nghiệm gần đúng của phương trình Phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương phương trình

Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Giải và biện luận phương trình ax + b = 0

Giải và biện luận phương trình ax2

+ bx + c = 0 Ứng dụng định lí

Vi-ét Tìm nghiệm gần đúng của một phương trình bậc hai Phương trình quy về bậc nhất, bậc hai

Trong đó, khác với một số SGK trước đây khái niệm phương trình theo

SGK Đại số 10 Cơ bản phát biểu: “Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến

có dạng: f x( )g x( )(1)

Trong đó ( ) f x và g x( ) là những biểu thức của x Ta gọi f x là vế ( )

trái, g x( ) là vế phải của phương trình (1)

Nếu có số thực x0 sao cho f x 0 g x 0 là mệnh đề đúng thì x 0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1) Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm)

Nếu không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng)”

SGK Đại số 10 Nâng cao định nghĩa: “Cho hai hàm số y = f(x) và y =g(x)

có tập xác định lần lượt là D f và D g Đặt DD f D g , mệnh đề chứa biến

“ f x( ) g x( )” được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình Số x 0 thuộc D gọi là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nếu “f(x 0 ) = g(x 0 )” là mệnh đề đúng”

Cả hai cách định nghĩa phương trình dựa vào mệnh đề chứa biến đã làm cho khái niệm này trở nên chặt chẽ, phù hợp với nhận thức của HS và thống nhất trong toàn nội dung chương trình

Trước đây khi cho phương trình thường gắn với tập xác định, dù phương trình đó có tập xác định là  cũng phải ghi rõ nhưng theo tinh thần SGK mới, cụ thể SGK 10 Nâng cao đã hướng dẫn HS đến việc làm đơn giản

là chỉ cần nêu điều kiện để ẩn số thuộc D, gọi là điều kiện xác định (hay điều kiện) của phương trình Trong trường hợp f(x) và g(x) là những biểu thức thì điều kiện của phương trình không chỉ gồm các điều kiện để hai biểu thức f(x)

và g(x) có nghĩa, mà có thể còn gồm cả những điều kiện được áp đặt cho ẩn trong quá trình giải (như x là số nguyên, xa, x0 )

Với việc đưa ra khái niệm phương trình dựa vào mệnh đề chứa biến đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ, chặt chẽ định lý về phép biến đổi tương đương

Khi dạy học chủ đề phương trình GV cần làm rõ sự khác nhau giữa các định lý về phép biến đổi tương đương phương trình với các định lý về phép biến đổi hệ quả Nhiều HS do không nắm vững nội dung kiến thức này đã dẫn đến sai lầm trong suy luận, đưa đến lời giải không đúng

Về thời lượng: Theo Phân phối chương trình [26, tr.1-3]

Tên bài SGK Nâng cao SGK Cơ bản

1 Đại cương về phương

Dạng II: Phương trình có thể quy về bậc nhất, bậc hai một ẩn

Dạng III: Phương trình không mẫu mực, phương trình này thường không thể giải theo các cách giải truyền thống mà phải khéo léo biến đổi, sử dụng các tính chất đặc biệt

Với thời lượng và nội dung như vậy, trong quá trình lên lớp, ngoài việc truyền đạt các kiến thức, kỹ năng cơ bản, GV cần rèn luyện cho HS biết hệ thống hóa về các dạng, loại và các phương pháp giải phương trình Mỗi dạng bài có một cách giải riêng, cũng có khi một bài có nhiều cách giải do đó GV phải hệ thống và giúp HS chỉ ra cách giải tối ưu Đồng thời cung cấp cho HS một hệ thống bài tập có chọn lọc để vận dụng những kiến thức đã được học tự

Phương trình có tham số Giải biện luận phương

mình giải quyết Đây là cách dạy cho HS cách tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề, bước đầu rèn luyện tư duy sáng tạo HS có cái nhìn tổng thể về kiến thức trong chương trình, các dạng bài tập thường gặp Ở mỗi dạng bài tập biết hình thành và hệ thống các phương pháp giải, đồng thời qua cách giải bài tập này mở rộng ra các bài tập mới hình thành phương pháp tự học mang màu sắc cá nhân

2.1.2 Vị trí và vai trò của nội dung phương trình trong chương trình toán lớp 10 THPT

Nội dung kiến thức về phương trình ở lớp 10 THPT là rất quan trọng cho sự phát triển của mỗi HS không những trong quá trình học toán ở bậc phổ

thông mà còn “là cơ sở để giải các phương trình liên quan đến các hàm số sơ cấp”[1, tr.189], “thuộc về nhóm các kiến thức cơ bản cần thiết nhất trong giáo dục Toán học phổ thông”[20, tr.3]

Trong các kì thi môn Toán ở bậc THPT và kì thi Tuyển sinh vào các trường Đại học – Cao đẳng, chủ đề phương trình luôn chiếm một vị trí đáng kể

Các hoạt động chủ yếu với chủ đề này là giải bài tập về phương trình xoay quanh phương trình bậc nhất và bậc hai do đó nó mang một số chức năng sau:

Củng cố và hoàn thiện kỹ năng giải phương trình bậc nhất và bậc hai đã được làm quen từ chương trình THCS

Phát triển năng lực tư duy, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học qua các thao tác trí tuệ như là: quy lạ về quen, khái quát hóa, tương tự hóa

Bài tập về phương trình có nhiều ứng dụng thực tế, mang lại niềm vui, hứng thú trong học tập, tạo thế giới quan khoa học

Bài tập về phương trình cũng là phương tiện để đánh giá mức độ, khả năng độc lập trong giải toán và trình độ phát triển của HS [1, tr.102]

2.1.3 Những khó khăn và sai lầm HS thường gặp trong giải phương trình

Khó khăn và sai lầm trong quá trình học tập là một trong những nguyên nhân chính hạn chế việc tự học GV cần phải chỉ ra những sai lầm trong lời

giải của HS và quan trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến

sai lầm đó và đề ra biện pháp giúp HS khắc phục, bởi vì "con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình" [10, tr.204]

Sau đây ta sẽ phân tích một số khó khăn, sai lầm của HS khi giải phương trình và được minh họa bởi một số ví dụ điển hình

a) Khó khăn và sai lầm đầu tiên HS hay gặp phải là các vấn đề liên quan đến điều kiện của phương trình

Với cách trình bày như SGK đã hướng dẫn, trong bài làm HS không nhất thiết phải viết tập xác định (điều kiện có nghĩa) tách rời với các điều kiện khác (điều kiện có nghiệm) dẫn đến HS mới tiếp cận với phương trình thường lúng túng ngay từ bước đầu của bài làm và có thể dẫn đến sai lầm Do đó, trong bài dạy GV nên giải thích cụ thể từng điều kiện để HS làm quen dần

Ví dụ 1 Khi giải phương trình dạng f x  g x , GV hay viết

Và giải thích cho HS tại sao điều kiện f x 0 đã được thỏa mãn

b) Một khó khăn học sinh hay gặp đó là vấn đề ngôn ngữ, cách diễn đạt của

đề bài Chẳng hạn, đối với phương trình bậc hai, yêu cầu của bài toán là có 2 nghiệm được hiểu là có 2 nghiệm phân biệt hoặc có nghiệm kép Nhiều bài toán

có cách đặt vấn đề lắt léo cũng gây cho học sinh khó khăn trong việc định hướng tìm lời giải Để giúp HS khắc phục khó khăn này, GV cần giúp HS phân tích kĩ

đề bài để bài để không bị hiểu sai giả thiết, yêu cầu của bài toán

Ví dụ 2 Khi giải bài toán: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có tích 2

Làm như vậy là sai vì không tìm điều kiện tồn tại nghiệm trước khi xét tích của 2 nghiệm và giá trị nhỏ nhất của P được xét trên điều kiện có 2 nghiệm của phương trình

c) Một sai lầm phổ biến của HS nữa là lỗi logic trong quá trình làm bài Đây

là một lỗi rất đa dạng, để khắc phục nó GV phải là người gương mẫu trong việc trình bày bài làm chi tiết, logic và thường xuyên nhắc nhở để HS tránh các sai lầm

Kết luận x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Nhưng có thể thấy ngay x = 0 không là nghiệm của phương trình Vậy sai ở đâu?

Do bước thế lần thứ 2 biểu thức 31 x  31 x  1 nên phép biến đổi là hệ quả và do đó nghiệm tìm được phải thử lại Vậy phải kết luận là phương trình

vô nghiệm.(vấn đề này sẽ được trình bày rõ trong mục 2.4.2.1)

d) Trong các phương pháp giải phương trình thì phương pháp đặt ẩn phụ là một trong những phương pháp quan trọng nhất Xung quanh phương pháp này

HS cũng gặp không ít khó khăn và sai lầm

Khi đặt ẩn phụ, thông thường ta được một phương trình mới của ẩn phụ HS thường cho rằng phương trình đã cho và phương trình mới là tương đương Điều đó hoàn toàn không đúng vì theo định nghĩa hai phương trình tương đương là có cùng tập nghiệm

Rõ ràng (*) và (**) không là tương đương

Một vấn đề khác về ẩn phụ là điều kiện của ẩn phụ HS thường rất khó khăn khi không hiểu có phải tìm điều kiện đầy đủ cho ẩn phụ hay không và đôi khi là cả việc không biết cách tìm điều kiện cho ẩn phụ (vì có thể nó vượt quá khả năng của HS lớp 10) Trong vấn đề này, GV cần giải thích để HS

hiểu rõ mục đích của đặt ẩn phụ Đối với phương trình không chứa tham số, ta

có thể tìm điều kiện cho ẩn phụ hoặc không cần ràng buộc thêm điều kiện cho

ẩn phụ, chẳng hạn trong ví dụ 4 ở trên 2

t  x 2x3 thì điều kiện của t trong phương trình (**) là t 0 hoặc t0 hoặc t 2 hoặc t đều có thể chấp nhận được Tuy nhiên nếu tìm điều kiện đầy đủ của ẩn phụ (là hàm của ẩn chính) thì lời giải có thể sẽ ngắn gọn hơn Trong trường hợp phương trình có tham số thì việc tìm điều kiện của ẩn phụ là bắt buộc và đó cũng là yêu cầu đối với phương trình mới Vì thế, GV cũng cần hướng dẫn HS cách tìm điều kiện đầy đủ của ẩn phụ và khi nào phải tìm điều kiện đầy đủ

Ví dụ 5 Khi cho HS giải bài toán

Cho phương trình x 2 x 2 2 x2 4 2x m 0 (*) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm

GV cần hướng dẫn để HS trình bày như sau:

Điều kiện: x2, khi đó x 2 0, x 2 2  t 2  x 2

Phương trình (*) có nghiệm x2 khi phương trình (**) có nghiệm t2

Từ đó đi tìm m thỏa mãn điều kiện của t ở phương trình (**)

Ví dụ 6 Khi giải phương trình

 thì ta không nên yêu cầu HS tìm điều kiện

đầy đủ t theo x vì việc này là khá khó khăn đối với HS lớp 10

e) Khó khăn lớn nhất khi HS giải phương trình là chủ đề này có nhiều dạng bài, nhiều phương pháp giải Đây thực sự là khó khăn đối với cả GV trong quá trình giảng dạy Trước yêu cầu đề bài HS thường lúng túng, không biết phải tiếp cận từ góc độ nào, thao tác gì để tìm lời giải Để giúp đỡ HS trong khó khăn này, GV cần gợi ý để HS tìm được sự liên hệ với các dạng bài đã biết cách giải từ trước đó, hay tìm các sự liên hệ đặc biệt từ giả thiết để HS thấy quen thuộc hơn và dễ hiểu vấn đề hơn

Ví dụ 7 Chứng minh rằng với m > 2 phương trình sau vô nghiệm

x y xy2x m 0 (*)

GV có thể gợi ý như sau: Phương trình (*) là phương trình bậc hai có 2 ẩn mà

ta chỉ có công thức để giải phương trình bậc hai 1 ẩn nên ta xem (*) như là phương trình bậc hai của x, như thế y và m là tham số Khi đó phương trình

x  2y xy  m 0

Có   x 3y2 4y 4 4m là biểu thức mà ta phải xét dấu

Do x là tam thức bậc 2 của y nên dấu của nó phụ thuộc vào dấu của

Một cách khác GV có thể gợi ý để HS giải bài toán trên là đưa biểu thức vế trái về dạng

    để suy ra phương trình vô nghiệm

Sau đây ta sẽ xét cụ thể từng loại phương trình

2.2 Phương trình bậc nhất và bậc hai

2.2.1 Các kiến thức cơ bản

Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0

Nếu a 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x b

a

 Nếu a = 0 và b 0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x

Giải và biện luận phương trình bậc hai dựa vào biệt thức Delta

ax bx c 0 a0 có  b2 4ac

Nếu  0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu  0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x b

2.2.2 Hướng xây dựng bài tập vận dụng

2.2.2.1 Giải phương trình bậc nhất và bậc hai

Hầu hết HS đều sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình bậc nhất, bậc hai không có tham số và loại bài tập này HS đã được rèn luyện kỹ từ THCS Tuy nhiên, việc nắm vững cách giải theo công thức nghiệm vẫn là cần thiết Nhờ đó HS hiểu rõ bản chất của việc giải phương trình loại này Vì vậy, cần cho HS rèn luyện qua các dạng bài tập sau:

a) Giải và biện luận phương trình bậc nhất bằng công thức giải

Ví dụ 1 Giải và biện luận phương trình sau theo m

m = 1: phương trình nghiệm đúng với mọi x

c) Phương trình đưa về bậc hai qua một vài bước biến đổi

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau

1) 2x3 3 2) x 1 2x 5 0 3) x4  3x 1

Trong dạng bài này ta không cần đưa về dạng phương trình bậc hai chuẩn để

sử dụng công thức mà biến đổi trực tiếp để được kết quả

d) Phương trình có hệ số phức tạp mà khó có thể sử dụng máy tính để được nghiệm chính xác, HS buộc phải sử dụng công thức nghiệm để giải

Ví dụ 4 Giải phương trình sau

23x  3 1 x  2 0e) Phương trình có hệ số đặc biệt

f) Phương trình dạng bậc hai có chứa tham số

Ví dụ 6 Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m