sáng kiến kinh nghiệm các phương pháp và kỹ thuật giải phương trình nghiệm nguyên

Các phơng pháp và kĩ thuật giải phơng trình nghiệm nguyên i. phần mở đầu I.1. Lý do chọn đề tài: * Mục đích của giảng dạy đại số trong nhà trờng phổ thông THCS là: - Mở rộng khái niệm về số - Biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số - Hàm số - Phơng trình. " phơng trình" là 1trong 4 mục đích lớn cần đạt của việc giảng dạy đại số trong nhà trờng phổ thông THCS. Đây là một vấn đề xuyên suốt toàn cấp mang "tính kĩ thuật" có nhiều áp dụng thực tiễn, Khái niệm phơng trình đợc hiểu một cách tờng minh theo quan điểm hàm. Có thể nói t tởng của khái niệm là t tởng hàm. Nội dung của khái niệm thể hiện ở kĩ thuật tìm nghiệm tức là giải phơng trình. Giải phơng trình là thực hiện liên tiếp các phép biến đổi tơng đơng phơng trình đã cho đến một phơng trình đơn giản nhất. Vì vậy dạy phơng trình là chủ yếu làm cho học sinh nắm vững kĩ thuật giải pt (kĩ thuật tìm nghiệm) song không đợc coi nhẹ t tởng của phơng trình là khái niệm hàm số. * Trong quá trình rèn luyện kĩ năng giải các phơng trình đại số ở dạng tổng quát. Học sinh còn đợc đề cập tới việc giải các phơng trình mà yêu cầu nghiệm của phơng trình thuộc tập Z. Nên cần định hớng cho các đối tợng học sinh nói chung và học sinh khá giỏi nói riêng, những ý tởng, phơng thức tìm nghiệm nguyên của 1 phơng trình và hình thành cho học sinh những phơng pháp và kĩ thuật giải phơng trình nghiệm nguyên. * Bài toán tìm nghiệm nguyên của pt đã đợc ẩn tàng ngay từ các lớp ở bậc tiểu học cho đến chơng trình toán cấp 2 (THCS); bắt đầu từ lớp 6 việc tìm các nghiệm nguyên của 1 pt đã đợc đề cập tờng minh hơn. Có thể nói: bài toán tìm nghiệm nguyên của pt đã đợc đề cập trong chơng trình toán phổ thông nhất là đối với các đối tợng học sinh khá , giỏi. * Song việc tìm nghiệm nguyên của 1 pt ở chơng trình phổ thông đặc biệt là ở THCS cha nêu ra cụ thể về cách giải cũng nh các dạng bài tập mà thờng nêu ra trong 1bài toán tổng hợp hoặc những bài toán ở các tài liệu tham khảo. Do vậy việc giải các pt nghiệm nguyên ở các kì thi nhất là thi học sinh giỏi; thi vào các trờng chuyên, học sinh còn lúng túng cha có đợccách định hớng và kĩ thuật giải. * Thực trạng của việc dạy và học và giải pt nói chung và giải pt nghiệm nguyên nói riêng trong các lớp THCS cha có đợc 1 chơng trình cụ thể cha đợc định hớng về phơng pháp và kĩ thuật giải mà ngời dạy thờng theo một số kinh nghiệm và khai thác bài tập theo hớng chủ quan của họ nên kết quả của việc dạy giải bài tập loại này còn hạn chế * Thực tế của chơng trình và SGK không nêu ra phơng pháp giải cho phơng trình nghiệm nguyên, song thực tiễn trong bài tập, trong các đề thi có yêu cầu tìm các giá trị nguyên của nghiệm;đòi hỏi học sinh phải định hớng đợc cách giải * Thực tế của việc dạy học ở các lớp THCS ,giáo viên cha trang bị cho HS cách suy nghĩ ,cách giải về loại toán này * Căn vứ vào thực tế của chơng trình toán THCS; thực tiễn của việc dạy và học ;yêucầu của việc bồi dỡng HS khá giỏi và đặc biệt là việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của HS trong hoạt động học tập. * Với các lý do trên nên tôi có ý tởng xây dựng:Một số phơng pháp và kỹ thuật tìm nghiệm cho một số phơng trình ở chơng trình toán THCS. 1 I.2. Mục đích nghiên cứu. * Các kỹ thuật, phơng pháp tìm nghiệm nguyên. * Sự áp dụng các phơng pháp tìm nghiệm vào các dạng phơng trình nghiệm nguyên * Các bài toán có liên quan. I.3. Thời gian, địa điểm. Năm học: 2006 - 2007; 2007 - 2008. Địa điểm: Trờng THCS Mạo Khê II. I. 4. Đóng góp mới về mặt lí luận, thực tiễn. * Xây dựng đợc quan niệm, cách suy nghĩ, cách khai thác các bài toán trong tập Z. * Xây đựng đợc một số kỹ thuật và phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên trên cơ sở kiến thức,tri thức phơng pháp đã có trong chơng trình * Nêu đợc các ứng dụng của các phơng pháp giải vào các dạng phơng trình nghiệm nguyên và một số ứng dụng của việc đi tìm nghịêm nguyên với các bài toán có liên quan. * Nêu ra bài học kinh nghiệm và cách khắc phục những sai lầm cho học sinh. II. Phần Nội dung. II.1. Chơng 1: Tổng quan. * Trong chơng này chúng ta hình dung đợc: Một số khái niệm: - Giải phơng trình chứa các ẩn x; y; t trong tập Z là tìm tất cả các bộ số nguyên ( x, y , t, ) thoả mãn phơng trình đó. - Khi giải phơng trình với nghiệm nguyên do phải lợi dụng các tính chất của tập Z nên ngoài các biến đổi tơng đơng ta còn dùng đến các biến đổi mà các giá trị của ẩn mới chỉ thoả mãn điều kiện cần ( chứ cha phải điều kiện cần và đủ của nghiệm ). Trong trờng hợp này ta cần kiểm tra lại các giá trị đó bằng cách thử vào phơng trình đã cho. Vì thế việc giải một " Phơng trình nghiệm nguyên" thờng gồm hai bớc: Bớc1: Giả sử phơng trình có nghiệm nguyên ( x 0 ; y 0 ; t 0 , ) ta suy ra các ẩn phải nhận các giá trị nào đó. Bớc 2: Thử lại các giá trị đó của ẩn để kết luận tập nghiệm của phơng trình. Để đơn giản trong nhiều trờng hợp (bài toán) bớc 1 không tách riêng một cách tờng minh và các giá trị x 0 , y 0 , t 0 Vẫn đợc biểu thị bởi x, y, t Với bài toán các phép biến đổi đến t- ơng đơng ta không cần bớc hai. Một phơng trình nghiệm nguyên có thể vô nghiệm; vô số nghiệm, hữu hạn nghiệm. Trờng hợp phơng trình có vô số nghiệm nguyên . Các nghiệm nguyên của phơng trình thờng đợc biểu thị bởi công thức có chứa tham số là số nguyên. Sau đây tôi xin giới thiệu một số kĩ thuậtvà phơng pháp thờng dùng để giải các phơng trình nghiệm nguyên trong chơng trình bồi dỡng học sinh khá, giỏi. * Kỹ thuật sử dụng tính chia hết * Kỹ thuật xét số của từng vế * Kỹ thuật dùng bất đẳng thức * Sử dụng các tính chất của số chính phơng 2 Nêu ra các ứng dụng của các phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên vào 1số dạng phơng trình nghiệm nguyên Tìm điều kiện của tham số có trong phơng trình sao cho các nghiệm của pt đều là số nguyên Vận dụng các phơng pháp giải vào các bài toán có liên quan Nêu ra các bài học kinh nghiệm II.2. Chơng II: Nội dung vấn đề cần nghiên cứu II.2.1. Các Kỹ thuật và phơng pháp tìm nghiệm nguyên của phơng trình II.2.1.1. Kỹ thuật sử dụng tính chia hết. a) Phát hiện tính chia hết của 1 ẩn. * Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 3x + 17y - 159 = 0. (1) * Giải: Ta có phơng trình tơng đơng 3x + 17y = 159. Nhận thấy 159 3; 3x 3. Suy ra: 17y = 159 - 3x 17y 3. Do (17, 3) = 1 y 3. Ta đặt y = 3t (t Z) thay vào (1) có: 3x + 17.3t = 159 x + 17t = 53. x = 53 - 17t (t Z). y = 3t Thử lại: Thay x, y vào (1) thoả mãn. Vậy (1) có vô số nghiệm nguyên (x; y) đợc biểu thị bởi công thức: b) Đa về phơng trình ớc số: * Khi giải phơng trình ta đa phơng trình: f(x, y) = m (1) về dạng: f 1 (x).f 2 (y) = k. (2) (m, k Z). Ta coi (2) là phơng trình ớc số: Vế trái là tích các thừa số nguyên. * Ví dụ: Giải phơng trình trong Z: xy - y - x - 2 = 0 (*) - Trớc hết ta biến đổi phơng trình: (*) x(y - 1) - (y - 1) = 3 (y - 1)(x - 1) = 3. (đây chính là phơng trình ớc số) ta coi (y - 1); (x - 1) là các ớ của 3 vì 3 > 0 (x - 1)(y - 1) cùng dấu: Ta có: x -1 3 1 -1 -3 x 4 2 0 -2 y - 1 1 3 -3 -1 y 2 4 -2 0 c) Tách ra các giá trị nguyên: Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của pt: x(y - 2) = y + 2 Giải: Biểu thị x theo y ta có: x = 2 2 + y y . (y 2) (với y = 2 pt vô nghiệm). x = 2 4 1 2 4)2( += + yy y vì x, y nguyên (y 2) nên: y - 2 là ớc của 4. Ta có: y - 2 4; 2; 1 y 6; -2; 4; 0; 3; 1 . (x, y) (0; -2); (3; 4); (-3; 1); (-1; 0); (2; 6); (5; 3) . * Chú ý: Với ví dụ xy - y - x - 2 = 0 ta cũng làm nh trên (coi đây là cách giải 2). II.2.1.2. Xét theo số d từng vế của phơng trình: 3 * Dựa vào số d ở mỗi vế của pt khi chia cho cùng một số ta có thể kết luận đợc nghiệm của pt hoặc có thể biểu thị ẩn theo phép chia có d. a) Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Các pt sau không có nghiệm nguyên. 1) x 2 - y 2 = 1998; 2) x 2 + y 2 = 1999. ở (1): Dễ chứng minh đợc x 2 , y 2 chia cho 4 chỉ có số d là 0 hoặc 1 x 2 - y 2 chia cho 4 chỉ có số d là 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 d 2. Vậy pt đã cho vô nghiệm. ở (2): Tơng tự ta có: x 2 + y 2 chia cho 4 d: 0; 1; 2. Vế phải: 1999 chia cho 4 d 3. Vậy pt vô nghiệm. b) Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của pt: y 2 + y - 9x = 2 (*) Ta có: (*) 9x + 2 = y(y + 1). Vế trái (*) chia cho 3 d 2 nên y(y + 1) chia cho 3 d 2 Suy ra: y = 3k + 1, y + 1 = 3k + 2 (k Z) 9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2) 9x = 9k(k + 1) x = k(k + 1) * Thử lại: x = k(k + 1); y = 3k + 1 thoả mãn (*) x = k(k +1) Vậy: Nghiệm của pt là (k Z) y = 3k + 1 II.2.1.3. Dùng bất đẳng thức: a) Phơng pháp sắp thứ tự các ẩn: * Ví dụ: Tìm 3 số nguyên dơng sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng. Giải: Gọi các số nguyên cần tìm là x,y,t. Ta có: x + y + t = x y t (1) Vì x, y, t có vai trò bình đẳng trong pt nên có thể sắp thứ tự giá trị các ẩn chẳng hạn: t y x 1 x + y + t 3t hay xyt 3t xy 3 xy 1; 2; 3 Với xy=1 Tacó : x=1; y = 1 . Thay vào (1) đợc: 2+t = t (loại). Với xy =2 Ta có: x=1 ; y =2 ; Thay vào (1) đợc: t = 3 Với xy = 3 Ta có: x=1; y=3 Thay vào (1) có : t=2 (loại) vì y t Vậy 3số phải tìm là: 1; 2; 3. b) Xét từng khoảng giá trị của ẩn: * Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên dơng của pt: 3 111 =+ yx . Do vai trò bình đẳng của x và y Ta có thể giả sử x y . Hiển nhiên có : y 1 < 3 1 Suy ra: y > 3. Do x y 1 Suy ra yx 11 Nên yyx 211 3 1 += ; 3 12 y y 6. Ta xác định đợc miền giá trị của y: 4 y 6 Với y = 4 ta có: 12 1 4 1 3 11 == x x= 12 Với y = 5 Ta có 15 21 = x Suy ra x Z. Kết luận: Các nghiệm của pt là: Với y = 6 Ta có 6 11 = x Suy ra x=6. (4; 12) ; (12; 4) ; (6; 6). c) Chỉ ra một số nghiệm rồi chứng minh pt chỉ có những nghiệm đó ( hoặc chứng minh pt chỉ có nghiệm duy nhất). 4 * Ví dụ: Tìm các số tự nhiên x sao cho 2 x + 3 x = 5 x ; chia cả 2 vế cho 5 x . -Viết pt dới dạng: ( 5 2 ) x < + ( 5 3 ) x = 1 (1). Với x = 0 (1) vô nghiệm. Với x = 1 (1) thoả mãn ( x = 1 là nghiệm). Ta chứng minh cho x = 1 là 1 nghiệm duy nhất của pt đã cho. Với x 2 thì: ( 5 2 ) x < 5 2 x ) 5 2 ( +( 5 3 ) x < 1. ( 5 3 ) x < 5 3 Nên pt vô nghiệm với x 2 . Vậy p t chỉ có 1 nghiệm là x = 1. * Ta cũng có thể tìm nghiệm nguyên dơng của pt: x 1 + 2 1 x + 3 1 x = 8 7 bằng phơng pháp trên. d) Sử dụng điều kiện có nghiệm số của một pt bậc hai 2. * Ta viết pt f(x,y) = 0 dới dạng pt bậc 2 đối với 1 ẩn (chẳng hạn x) khi đó y là tham số. Điều kiện cần để pt bậc 2 có nghiệm là 0 (Để có nghiệm nguyên còn cần là số chính phơng). * Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của pt: x 2 + y 2 - xy - x - y = 0 (1) Ta biến đổi thành pt: x 2 - (y + 1) x + (y 2 - y) = 0 (2) ( Nhờ đổi tham số coi x là ẩn; y là tham số). Điều kiện cần để (2) có nghiệm là 0. (y + 1) 2 - 4 (y 2 - y) 0 - 3y 2 + 6y + 1 0. 3y 2 - 6y - 1 0 3(y - 1) 2 4 (y - 1) 2 1. Suy ra: y - 1 1 0 y 2 y 0; 1; 2 Với y = 0 thay vào (2) đợc: x 2 - x = 0 x 1 = 0; x 2 = 1. Với y = 1 thay vào (2) đợc: x 2 - 2x = 0 x 3 = 0; x 4 = 2 Với y = 2 thay vào (2) đợc: x 2 - 3x + 2 = 0 x 5 = 1; x 6 = 2 * Thử lại: Các giá trị trên thoả (1) ta có 6 nghiệm (0; 0); (1; 0); (0; 1); (2; 1); (1; 2); (2; 2). * Chú ý: ta có thể dùng cách viết (1) dới dạng "tổng các bình phơng": (x - 1) 2 + (y - 1) 2 + (x - y) 2 = 2. Song nhờ nhận xét vế trái là tổng của 3 số chính phơng có giá trị bằng 2 nên tồn tại một số bằng 0. Nếu x - 1 = 0. Cho đáp số: (1; 0); (1; 2) Nếu y - 1 = 0. Cho đáp số: (0; 1); (2; 1) Nếu x - y = 0. Cho đáp số: (0; 0); (2; 2). II.2.1.4. Sử dụng tính chất của số chính phơng. a) Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phơng. - Số chính phơng không có tận cùng bằng 2; 3; 7; 8. - Số chính phơng chia hết cho số nguyên tố k thì chia hết cho k 2 . - Số chính phơng chia cho 3 có số d là 0; 1 5 - Số chính phơng chia cho 4 có số d là 0; 1 - Số chính phơng chia cho 8 có số d là 0; 1; 4 * Ví dụ: Tìm các số nguyên x để 9x + 5 là tích của 2 số nguyên liên tiếp. Giả sử 9x + 5 = n(n + 1) với n Z. 36x + 20 = 4n 2 + 4n 36x + 21= 4n 2 + 4n + 1 3(12x + 7) = (2n + 1) 2 Nhận thấy số chính phơng (2n + 1) 2 = 3(12x + 7) (2n + 1) 2 3 nên chia hết cho 9. Mà (12x+7) không chia hết cho 3 12x+7 không chia hết cho 9 Mâu thuẫn này chứng tỏ không có x Z để 9x + 5= n(n + 1). * Chú ý: Có thể làm theo cách khác nh sau: 9x + 5 = n(n + 1) n 2 + n - (9x + 5) = 0 (*) (*) có nghiệm nguyên khi là số chính phơng (coi (*) là pt bậc hai ẩn n). Nhng = 1 + 4.(9x + 5) = 36x + 21 chia hết cho 3 nhng không chia hết cho 9. Nên không là số chính phơng. Vậy không tồn tại n Z để 9x + 5 = n(n + 1). b) Tạo ra bình phơng đúng: * Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của pt: 2x 2 + 3y 2 = 19 - 4x. (1) Ta có thể tạo ra bình phơng đúng nh sau: (1) 2x 2 + 4x + 2= 3(7 - y 2 ) 2(x + 1) 2 = 3(7 - y 2 ). (2) Suy ra: 3(7 - y 2 ) 2 (7 - y 2 ) 2 y lẻ. Do: 7 - y 2 0 y 2 = 1 khi đó (2) có dạng: x + 1 = 3 x = 2 2(x + 1) 2 = 18 (x + 1) 2 = 9 x + 1= -3 x = - 4. Từ đó có các nghiệm là: (2; 1); (2; -1); (-4; 1); (-4; -1). c) Xét các số chính phơng liên tiếp: * Ta chú ý nguyên lý sau: " ở giửa 2 số chính phơng liên tiếp không có số chính phơng nào ". Do đó với mọi a, x Z ta có: Không tồn tại x sao cho : a 2 < x 2 < (a+ 1) 2 Nếu : a 2 < x 2 < (a+2) 2 Thì : x 2 = (a+ 1) 2 Ví dụ1: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: y 2 = x 2 +x+ 1 Ta có: x 1 Nên x 2 < x 2 + x + 1 < x 2 +2 x + 1 x 2 < y 2 < (x+1) 2 Suy ra y 2 là 1 số chính phơng ở giửa 2số chính phơng liên tiếp (y 1) là vô lý. Vậy không tồn tại cặp số nguyên dơng nào thoả mãn p t Ví dụ 2: Tìm nghiệm tự nhiên của p t: x 4 + 2x 3 + 2x 2 +x + 3 = y 2 Ta có: y 2 = (x 2 + x) 2 +( x 2 + x +3) . Ta sẽ chứng minh: a 2 < y 2 < (a+2) 2 ; ( a= x 2 + x ) Thật vậy ta có: y 2 - a 2 = x 2 + x +3 = (x + 2 1 ) 2 + 4 11 > 0 Suy ra: y 2 > a 2 (1) ( a + 2 ) 2 - y 2 = = 3x 2 + 3x +1 = 3 (x + 2 1 ) 2 + 4 1 > 0 suy ra: y 2 < (a+2) 2 (2) Từ (1) và (2) ta có: a 2 < y 2 < (a+2) 2 suy ra: y 2 = (a+ 1) 2 x 4 + 2x 3 + 2x 2 +x + 3 = (x 2 + x + 1) 2 x 2 + x - 2= 0 x=1 hoặc x = -2 suy ra nghiệm của p t đã cho là: ( 1; 3 ) ; ( -2 ; 3 ) d) Sử dụng tính chất: Nếu hai số nguyên dơng, nguyên tố cùng nhau có tích là 1 số chính phơng thì mỗi số đều là số chính phơng. 6 * Giả sử: a.b = c 2 với a, b, c N* và (a; b) = 1. Bằng lập luận phản chứng: Giả sử trong avà b có một số; chẳng hạn a chứa thừa số nguyên tố p với số mũ lẻ ; thì số b không chứa p Nên c 2 chứa p với số mũ lẻ ; trái gt c 2 là số chính phơng. * Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dơng của pt: x.y = t 2 (1) Giả sử: (x, y, t) = 1. Thật vậy, nếu bộ 3 số: (x 0 , y 0 , t 0 ) thoả mãn (1) và có ƯCLN = d. Giả sử: x 0 = dx 1 ; y 0 = dy 1 ; t 0 = dt 1 thì (x 1 ; y 1 ; t 1 ) là nghiệm của (1). Do (x, y, t) = 1 x, y, t đôi một nguyên tố cùng nhau. Vì nếu 2 trong 3 số x, y, t có ƯC = d thì số còn lại chia hết cho d. Ta có: t 2 = xy mà (x, y) = 1 nên: x = a 2 ; y = b 2 (với a, b N*) t 2 = xy = (ab) 2 t =ab. x = k a 2 Vậy: y = k b 2 (*) (k nguyên dơng tuỳ ý) t = k ab. Đảo lại: Hiển nhiên các số x, y, t có dạng (*) thoả mãn (1). Công thức (*) cho ta các nghiệm nguyên dơng của (1) e) Sử dụng tính chất: Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là 1 số chính phơng thì 1 trong 2 số nguyên liên tiếp đó bằng 0. * Giả sử: a(a + 1) = k 2 (a Z; k N). Chứng minh bằng phản chứng: Giả sử a 0 và a + 1 0 k 2 0; do k N nên k >0. Từ (1) a 2 + a = k 2 4a 2 + 4a = 4k 2 4a 2 + 4a + 1 = 4k 2 + 1 (2a + 1) 2 = 4k 2 + 1. (2) Vì k > 0 nên: 4k 2 < 4k 2 + 1 < 4k 2 + 4k + 1 Từ (2) (2k) 2 < (2a + 1) 2 < (2k + 1) 2 vô lý. Vì không có số chính phơng ở giữa 2 số chính phơng liên tiếp Vậy, nếu: a.(a + 1) = k 2 thì tồn tại a = 0 hoặc a + 1 = 0 * Chú ý: Nếu 2 số nguyên liên tiếp có tích là 1 số chính phơng thì cha kết luận đợc mỗi số là số chính phơng. Chẳng hạn: -1; 0. * Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của pt: x 2 + y 2 + xy - xy 2 = 0. (1) Đa pt về dạng: A(A +1) = B 2 ; ta có (1) x 2 + y 2 + xy = x 2 y 2 . Thêm vào hai vế (x.y) ta có (x + y) 2 = xy(xy + 1) Vì xy; (xy + 1) là 2 số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phơng nên tồn tại 1 trong 2 số bằng 0. - Nếu xy = 0; từ (1) có: x 2 + y 2 = 0 x = y = 0. - Nếu xy + 1 = 0 xy = -1. Nên (x, y) (1; -1); (-1; 1) . Thử lại: 3 cặp số: (0; 0); (1; -1); (-1; 1) đều là nghiệm của pt đã cho. II.2.2. áp dụng các phơng pháp và kĩ thuật giải vào các dạng phơng trình nghiệm nguyên II.2.2.1. Phơng trình bậc nhất 2 ẩn: ax + by = c (a; b; c Z). a) Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của pt: 11x + 18y = 120. (1). * Nhận xét: Ta có: 11x = (120 - 18y) 6 7 11x 6 x 6. Đặt x = 6k (k nguyên). Thay x = 6k vào (1). Thu gọn ta có:11k + 3y = 20 Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn (là y) theo k ta đợc: y = 3 1120 k y = 7 - 4k + 3 1k ; Đặt: 3 1k = t ( t nguyên) k = 3t + 1. Nên: y = 7 - 4( 3t + 1) + t = 3 - 11t. x = 6(3t + 1) = 18t + 6 Thay các biểu thức của x và y vào (1) pt đợc nghiệm đúng. Vậy các nghiệm nguyên của x = 18t + 6 pt (1) đợc biểu thị bởi công thức: (t nguyên) y = 3 - 11t * Chú ý: - Nếu bài toán yêu cầu tìm nghiệm nguyên dơng ( nguyên âm) của pt (1). Ta chỉ việc giải: 18t + 6 > 0 18t + 6 < 0 Hoặc: 3 - 11t > 0 3 - 11t < 0 Hoặc có thể giải cách sau: 11x + 18y = 120 Nhận xét: do y 1 11x 120 - 18. 1 = 102 x 11 102 x 9 (vì x nguyên). Vì x 6 x = 6 y = 3. - Có nhiều cách tách giá trị nguyên của biểu thức: y = 3 1120 k nh: y = 7 - 4k + 3 1k (cách 1) y = 7 - 3k + 3 21 k+ (Cách 2) y = 6 - 3k + 3 )1(2 k (Cách 3). Tuy nhiên khi giải cần chọn cách tách hợp lí b) Cách giải ph ơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c với nghiệm nguyên (a, b, c Z). - Thu gọn pt (chú ý đến tính chia hết của các ẩn) - Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn (chẳng hạn x) theo ẩn kia. - Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x. - Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của x bằng một số nguyên t 1 một pt bậc nhất hai ẩn y và t 1 . - Tiếp tục làm nh trên đến khi các ẩn đều đợc biểu thị dới dạng một đa thức với các hệ số nguyên. * Thực chất là thay giải pt: ax + by = c bởi giải các pt: a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Trong đó các hệ số a 1 ; a 2 ; ;b 1 ; b 2 ; có giá trị tuyệt đối nhỏ dần đến khi đợc một hệ số có giá trị tuyệt đối bằng 1. * Chú ý: Ngoài cách giải trên ta có thể giải pt ax + by = c bằng cách tìm 1 nghiệm riêng nh sau: Ví dụ: 11x + 18y = 120 (1). 8 Thử chọn ta đợc: x = 6; y = 3 là 1 nghiệm riêng của (1) Ta có: 11x + 18y = 120 (2) 11.6 + 18.3 = 120 (3) Trừ (2) cho (3) ta có: 11(x - 6) + 18(y - 3) = 0 11 (x - 6) = 18(3 - y) (4) (x - 6) 18 . Đặt: x - 6 = 18t ( t nguyên) Ta có: x = 6 + 18t thay vào (4) và thu gọn 11t = 3 - y y = 3 - 11t. x = 6 + 18t nghiệm: (t nguyên) y = 3 - 11t II.2.2.2. Phơng trình bậc hai có hai ẩn: a) Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của pt: 5x - 3y = 2xy - 11 - Cách giải 1: Biểu thị y theo x: (2x + 3)y = 5x + 11 dễ thấy: 2x + 3 0 (vì x Z) y = 32 5 2 32 115 + + += + + x x x x ; để y Z thì phải có: (x + 5) (2x + 3) 2(x + 5) (2x + 3) ( 2x + 3) + 7 (2x + 3) 7 (2x + 3) ( 2x + 3) là ớc của 7 2(x + 3) 1; 7 x -5; -2; -1; 2 (x, y) (-1; 6); (-2; -1); (2; 3); (-5; 2) Thử lại các cặp trên nghiệm đúng các pt đã cho. - Cách giải 2: Đa về pt ớc số: 2(5x - 3y) = (2xy - 11).2 (2x + 3)(2y - 5) = 7 b) Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của pt: x 2 + 2y 2 + 3xy - x - y + 3 = 0 (1). Đổi tham số đa về pt bậc hai (ẩn x): x 2 + (3y - 1)x + (2y 2 - y + 3) = 0 (2) (2) có nghiệm nguyên khi = (3y - 1) 2 - 4(2y 2 - y + 3) = y 2 - 2y - 11 là số chính phơng. y 2 - 2y - 11 = k 2 (3) (k N) (y - 1 + k).(y - 1 - k) = 12 Nhận xét: Vì (3) chứa k 2 k 2 0 k 0 y - 1 + k y - 1 - k (y - 1 + k) - (y - 1 - k) = 2k (y - 1 + k) và (y - 1 - k) cùng tính chẵn lẻ do tích bằng 12 nên chúng cùng chẵn. Từ đó ta có thể tìm đợc các nghiệm của pt: y 1 = 5; y 2 = 3. Với y = 5 thay vào (2) có: x 2 + 14x + 48 = 0 x 1 = -8; x 2 = - 6. Với y = -3 thay vào (2) có: x 2 - 10x + 24 = 0 x 3 = 6; x 4 = 4. * Kết luận: (x, y) (-8; 5); (-6; 5); (6; -3); (4; -3) . * Chú ý: Có thể đa pt đã cho về pt ớc số : (x+ y) (x + 2y - 1) = -3 II.2.2.3. Phơng trình bậc 3 trở lên có 2 ẩn a) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của pt: y 2 = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) (1) Ta có (1) ( x 2 + 3x ) ( x 2 + 3x +2) = y 2 Đặt t = x 2 + 3x + 1 (* ) Ta có: (t+ 1) ( t - 1) = y 2 ( t - y) ( t+ y ) = 1 Giải đợc : (y=0 ; t=1) ; (y=0 ; t=-1) Từ đó thay vào (*) Ta đợc nghiệm của (1) là : (x;y) {(0;0) ; (-1;0) ;(-2;0) ; (-3;0) } b) Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của pt: x 3 - y 3 -xy = 8 (*) 9 Ta có: (*) (x - y) 3 + 3xy (x - y) = xy + 8 . Đặt x-y = a ; xy=b Ta có pt: a 3 + 3ab = b + 8 a 3 - 8 = -b ( 3a-1) Suy ra:( a 3 - 8 ) = - b (3a - 1) (a 3 - 8) (3a - 1) 27(a 3 - 8) (3a - 1) (27a 3 - 1 - 215) (3a - 1) Do: 27a 3 - 1 = (3a) 3 - 1 3 = (3a - 1) (9a 2 + 3a + 1) (3a - 1) Nên: 215 (3a - 1) hay: 5.43 (3a - 1) Do đó: 3a - 1 1; 5; 43; 215 Vì 3a - 1 chia cho 3 d 2 [3a - 1 = (3a - 3) +2] 3a - 1 -1; 5; - 43; 215 Từ đó có a 0; 2; - 14; 72 b = a a 31 8 3 - 8; 0; - 64; - 1736 hay: a 0 2 -14 72 b -8 0 - 64 -1736 Vì: (x - y) 2 + 4xy 0 a 2 + 4b 0 Nên trong 4 trờng hợp trên chỉ có: a = 2; b = 0 x - y = 2; x.y = 0 Kết quả: (x; y) (0; - 2); (2; 0) Cách 2: Ta có pt: x 3 - y 3 = xy + 8 (1) (x - y) (x 2 + xy + y 2 ) = xy + 8 x - y . x 2 +xy + y 2 = xy + 8 Nếu x - y = 0 x = y pt vô nghiệm vì [ 0 = x 2 + 8] Pt chỉ có nghiệm trong trờng hợp x y. Do x,y Z x - y 1 x 2 +xy +y 2 xy + 8 x 2 +xy + y 2 xy + 8 (2) vì x 2 + xy + y 2 > 0 * Trờng hợp1: xy + 8 < 0 (2) trở thành: x 2 + xy + y 2 -xy - 8 (x + y) 2 - 8 (loại) * Trờng hợp2: xy + 8 0 (2) ) trở thành: x 2 +xy + y 2 xy + 8 x 2 + y 2 8 (3) x 2 0; 1; 4; ; y 2 0; 1; 4 1.Nếu x = 0 y 3 = - 8 y = - 2 2.Nếu y = 0 x 3 = 8 x = 2 3.Nếu x 0; y 0 x 2 1; 4; y 2 1; 4 Do x y nên chỉ có: x 2 = 1 Hoặc: x 2 = 4 y 2 = 4 y 2 = 1 Trong hai số x, y có một số chẵn; 1 số lẻ nên vế trái (1) lẻ ; vế phải( 1) chẵn nên không xảy ra. Vậy chỉ còn hai trờng hợp 1, 2 là nghiệm của pt. Ta có: (x; y) (0; -2); (2; 0) . Cách 3: Bạn có thể biến đổi pt đã cho 27x 3 - 27y 3 - 27xy = 216 27x 3 - 27y 3 - 1- 27xy = 215 Rồi sử dụng công thức: a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c). 2 )()()( 222 accbba ++ II.2.2.4. Phơng trình đa thức có 3 ẩn trở lên a) Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của pt: 6x + 15y + 10t = 3 Ta thấy: 10t = 3 - 6x -15y 10t 3 t 3 Đặt t = 3k ta đợc: 6x + 15y + 10.3k = 3 2x + 5y +10k = 1 2x + 5y = 1 - 10k (pt 2 ẩn,y có các hệ số nguyên tố cùng nhau) 10 [...]... II.2 Chơng II Nội dung vấn đề nghiên cứu II.2.1 Các phơng pháp và kĩ thuật tìm nghiệm nguyên của phơng trình II.2.2 áp dụng phơng pháp và kĩ thuật giải vào các dạng phơng trình nghiệm nguyên II.2.3 Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm nguyên II.2.4 Các bài toán với nghiệm nguyên II.3 Chơng III: Phơng pháp nghiên cứu - Kết quả nghiên cứu III Phần kết luận - Kiến nghịIV Tài liệu tham khảo - Phụ lục v nhận... sinhđể tích luỹ kinh nghiệm đúc rút chọn lọc thành bài học về phơng pháp về kinh nghiệm giải toán II.3.1.4 Phơng pháp thựcnghiệm giáo dục: 18 * Phân nhóm học sinh theo đơn vị lớp * Hớng dẫn học sinh làm các bài tập về giải phơng trình Trực tiếp cung cấp các phơng pháp và kĩ thuật giải phơng trình qua các bài cụ thể * Kết hợp với kiểm tra khảo sát chất lợng làm bài tập của học sinh rút kinh nghiệm cho học... động sáng tạo trong giải phơng trình và giải toán nói chung; giúp cho học sinh rèn luyện đợc nhiều kĩ năng giải toán thông qua giải một phơng trình tạo đà cho học sinh đổi mới cách học trong giai đoạn hiện nay Song vì do trình độ bản thân nên bản sáng kiến kinh nghiệm cũng không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Vì vậy, tôi kính mong sự quan tâm của hội đồng giám định sáng kiến kinh nghiệm của các. .. Phơng pháp quan sát s phạm: Điều tra, khảo sát cụ thể, việc dạy giải phơng trình các bài toán có liên quan đến giải phơng trình ở các khối lớp khác nhau trong một trờng và các trờng khác nhau Chú ý tới sai sót thờng mắc Quan sát trực tiếp việc dạy giải phơng trình và việc giải phơng trình của học sinh; thăm dò việc dạy và học giải phơng trình theo nội dung đề tài II.3.1.3 Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm: ... nào đều định hớng các thao tác: - Quan sát nhận dạng; đa pt về dạng quen thuộc (nếu cần) - Lựa chọn phơng pháp hợp lí - Giải pt và kiểm tra lời giải *Thờng xuyên ghi nhớ các kiến thức cơ bản và các kĩ năng cần thiết có tác dụng tốt cho học sinh trong khi giải pt và thực hiện các phơng pháp giải giúp cho học sinh nhìn nhận lời giải 1 cách triệt để và sáng tạo *Rèn luyện thờng xuyên các kĩ năng cơ bản... vẫn có hiệu quả tích cực và mang lại kết quả tốt trong một bài toán giải pt (Trong điều kiện có thể thực hiện đợc) 20 III Phần kết luận - kiến nghị: III.1 Kết luận: * Cung cấp cho học sinh 1 hệ thống các phơng pháp và kỹ thuật giải phơng trình nghiệm nguyên; đã tạo điều kiện cho học sinh hiểu sâu kiến thức về pt; các phép biến đổi pt, nghiệm phơng trình ; từ đó nói lên t tởng và nội dung của khái niệm... kĩ thuật giải * Ôn tập, củng cố và đào sâu các kiến thức về số học, đại số, hình học có liên quan; đồng thời giúp cho học sinh hình thành thói quen suy nghĩ định hớng tìm tòi lời giải trớc 1 bài toán đó là bài toán phơng trình Từ đó giúp học sinh có thói quen giải toán theo một trình tự khoa học * Xây dựng đợc một hệ thống phơng pháp và kĩ thuật tìm nghiệm nguyên của phơng trình Giúp cho học sinh và. .. bậc nhất hai ẩn ax + by = c (a, b, c Z) có nghiệm nguyên trong nhiều trờng hợp, ta có thể tìm đợc ngay một nghiệm của phơng trình , ta gọi đó là một nghiệm riêng Có công thức biểu thị tất cả các nghiệm của phơng trình theo nghiệm riêng nói trên Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 11x + 18y = 120 (1) Bằng cách thử chọn, ta tìm đợc x = 6; y = 3 là một nghiệm riêng của (1) Ta có: 11x + 18y = 120... thức dới dạng tích, các kĩ năng biến đổi, thực hiện các phép tính về căn thức bậc hai, căn bậc 3; Tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh hoàn thành tốt các khâu biến đổi khi giải 1 pt nghiệm nguyên *Lựa chọn phơng pháp giải hợp lí, phù hợp với 1 pt đặt ra là 1 việc làm quan trọng quyết định tới sự thành công nhanh chóng khi giải một pt * áp dụng phơng pháp giải pt nghiệm nguyên cho các dạng pt khác vẫn... m - 1 = 18 m = 19 3 abcd = 19 = 6859, loại vì tổng các chữ số không bằng 19 Đáp số: 5832 và 4913 II.2.4.2 Bài toán về chia hết và số nguyên tố a) Ví dụ: Tìm các số nguyên dơng n và các số nguyên tố p sao cho: p= n(n + 1) 1 2 * Giải: Cách 1 Với n = 1 thì p = 0, không là số nguyên tố Với n = 2 thì p = 2, là số nguyên tố Với n = 3 thì p = 5, là số nguyên tố Với n 4, ta viết p dới dạng: 2 p = n + n . phơng trình ở chơng trình toán THCS. 1 I.2. Mục đích nghiên cứu. * Các kỹ thuật, phơng pháp tìm nghiệm nguyên. * Sự áp dụng các phơng pháp tìm nghiệm vào các dạng phơng trình nghiệm nguyên . của các phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên vào 1số dạng phơng trình nghiệm nguyên Tìm điều kiện của tham số có trong phơng trình sao cho các nghiệm của pt đều là số nguyên Vận dụng các. phơng pháp giải vào các bài toán có liên quan Nêu ra các bài học kinh nghiệm II.2. Chơng II: Nội dung vấn đề cần nghiên cứu II.2.1. Các Kỹ thuật và phơng pháp tìm nghiệm nguyên của phơng trình