bài giảng toán tài chính

Ở giác độ người đi vay hay người sử dụng vốn, lợi tức là số tiền mà người đi vay phải trả cho người cho vay là người chủ sở hữu vốn để được sử dụng vốn trong một thời gian nhất định.. Lợ

1

Bài Giảng Môn Học :

Toán Tài Chính

Bộ Môn Tài Chính Ngân Hàng

Giảng Viên : Huỳnh Thị Xuân Mai

Lê Thị Thùy Dương Nguyễn Văn Bảy

CHƯƠNG I LÃI ĐƠN (SIMPLE INTEREST)

PHẦN 1 – LÝ THUYẾT

I TỔNG QUAN

1.1 Lợi tức

Lợi tức là một khái niệm được xem xét dưới hai góc độ khác nhau là người cho vay

và người đi vay Ở giác độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn, lợi tức là số tiền tăng thêm trên số vốn đầu tư ban đầu trong một giai đoạn thời gian nhất định Khi nhà đầu tư đem đầu tư một khoản vốn, nhà đầu tư sẽ thu được một giá trị trong tương lai lớn hơn giá trị đã bỏ

ra ban đầu và khoản chênh lệch này được gọi là lợi tức

Ở giác độ người đi vay hay người sử dụng vốn, lợi tức là số tiền mà người đi vay phải trả cho người cho vay (là người chủ sở hữu vốn) để được sử dụng vốn trong một thời gian nhất định Trong thời gian cho vay, người cho vay có thể gặp phải những rủi ro như: người vay không trả lãi hoặc không hoàn trả vốn vay Những rủi ro này sẽ ảnh hưởng đến mức lợi tức mà người cho vay dự kiến trong tương lai

1.2 Lợi tức đơn

Lợi tức đơn được định nghĩa là một lợi tức chỉ tính trên số vốn vay hoặc vốn gốc ban đầu trong suốt thời gian vay Trong khái niệm này, chỉ có vốn phát sinh lợi tức

1.3 Tỷ suất lợi tức – Lãi suất (Interest rate)

Là tỷ số giữa lợi tức phải trả so với vốn vay trong một đơn vị thời gian

Đơn vị thời gian có thể là năm, quý, tháng, ngày…

Lãi suất được tính bằng tỷ lệ phần trăm hoặc số lẻ thập phân

II CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN

2.1 Lãi đơn và giá trị đạt được theo lãi đơn

· Lợi tức của năm thứ 2: V0i

· Lợi tức của năm đầu tiên: V0i

· Ta có: V0 + 2V0i = V0(1 + 2.i)

…

Một cách tổng quát trong vòng n năm, giá trị đạt được theo lãi suất đơn VnĐ sẽ là:

VnĐ = V0(1 + ni) Nếu gọi IĐ là lợi tức đạt được theo lãi đơn:

IĐ = VnĐ – V0 = V0(1 + n.i) – V0

Suy ra: IĐ = V0.n.i

Với n là thời gian cho vay (ngày, tháng, quý, năm…)

Chú ý:

Nếu lãi suất và thời hạn vay không cùng một đơn vị thời gian, chúng ta phải biến đổi để chúng đồng nhất về thời gian rồi mới áp dụng công thức trên

Cụ thể:

- Nếu lãi suất tính theo năm còn thời hạn vay tính theo tháng:

- Nếu lãi suất tính theo tháng còn thời hạn vay tính theo ngày:

- Nếu lãi suất tính theo năm còn thời hạn vay tính theo ngày:

Công thức này được áp dụng rộng rãi ở nhiều nước trong các nghiệp vụ về tài chính ngắn hạn và được gọi là công thức tính lãi thương mại Nếu số ngày tính chính xác theo lịch thì ta có công thức tính lãi thông thường như sau:

12

0n i V

I Đ =

30

0n i V

I Đ =

360

0n i V

I Đ =

2.2 Lãi suất tương đương (Lãi suất ngang giá)

Thay vì tính lãi suất i trên 1 năm, nếu tính lãi suất i’ cho mỗi kỳ thì lãi suất ngang giá i’ sẽ được xác định như sau:

Ví dụ 2:

Một người gửi ngân hàng 20 triệu đồng trong thời gian 42 tháng với lãi suất

9%/năm Ta có thể xác định giá trị đạt được VnĐ theo 2 cách:

Cách 1: VnĐ = 20.000.000(1 + 42/12 x 9%) = 26.300.000 đồng

Cách 2: Quy đổi lãi suất i = 9%/năm sang lãi suất i’ theo tháng:

Ta có: VnĐ = 20.000.000(1 + 42 x 0,75%) = 26.300.000 đồng

2.3 Áp dụng công thức tính lãi đơn

Để áp dụng công thức tính lãi đơn, chúng ta xem xét ví dụ sau:

Ví dụ 3:

Sử dụng công thức tính lãi đơn trong các trường hợp sau:

a Ông A bỏ vốn 100 triệu đồng với lãi suất đầu tư là 12%/năm trong vòng 2 năm

3 tháng Xác định giá trị đạt được vào cuối đợt đầu tư

365

0n i V

I Đ =

000.820.1360

%2,7182000

i

12

%9

5

b Với lãi suất 10%/năm cho số vốn 25 triệu đồng, nhà đầu tư B mong muốn thu được 32.125.000 đồng vào cuối đợt đầu tư Vậy phải đầu tư trong bao lâu để đạt được giá trị như trên

c Ông C gửi ngân hàng 60 triệu đồng trong 3 năm 4 tháng thì đạt được kết quả cuối cùng là 75.210.000 đồng Xác định lãi suất tiền gửi

d Với lãi suất đầu tư 14%/năm thì nhà đầu tư D phải bỏ ra số vốn đầu tư ban đầu là bao nhiêu để thu được 244 triệu đồng trong thời gian 3 năm 9 tháng

b) Từ công thức: VnĐ = V0(1 + ni) ta có công thức biến đổi:

Þ n = 2,85 năm = 2 năm 10 tháng 6 ngày

Vậy phải đầu tư số vốn trong thời gian 2 năm 10 tháng 6 ngày để đạt được giá trị mong muốn

c) Từ công thức VnĐ = V0(1 + ni), ta cũng sẽ có công thức biến đổi:

Với VnĐ = 75.210.000 đồng, V0 = 60.000.000 đồng và n = 3 năm 4 tháng

d) Theo đề bài n = 3 năm 9 tháng = 45/12 năm, i = 14%/năm và VnĐ = 224 triệu đồng

Ta có công thức biến đổi như sau:

Þ V0 = 160.000.000 đồng

tháng k

i

12

%12

%10

1000.000.25

000.125.321

-=Þ

i

V V

n

V V

i= nĐ/ 0-1

Þ

-=Þ

1240

1000.000.60

000.210.75

%1412

451

000.000.240

0

´+

=Þ+

i n V

Vậy phải đầu tư số vốn là 160 triệu đồng với lãi suất 14%/năm mới thu được 224 triệu đồng trong thời gian 3 năm 9 tháng

III LÃI SUẤT TRUNG BÌNH

Trong quá trình đầu tư, nhà đầu tư có thể đạt được các mức lãi suất khác nhau trong những thời gian hoàn toàn khác nhau Do đó cần phải tìm lãi suất trung bình để xác định giá trị đạt được vào cuối thời gian đầu tư một cách nhanh chóng

Lãi suất trung bình là lãi suất thay thế cho các mức lãi suất khác nhau trong những giai đoạn khác nhau sao cho giá trị đạt được hoặc lợi tức có được không thay đổi

Giả sử có khoản vốn đầu tư V0 được đầu tư với các lãi suất biến đổi như sau:

- i1/kỳ trong thời gian n1 kỳ

- i2/kỳ trong thời gian n2 kỳ

………

Tổng quát: ik/kỳ - trong thời gian nk kỳ

Ta gọi là lãi suất trung bình thì:

Ví dụ 4:

Một doanh nghiệp vay 100 triệu đồng theo phương pháp tính lãi đơn với các mức lãi suất thay đổi như sau:

- 8% năm trong 6 tháng đầu tiên

- 9% năm trong 3 tháng tiếp theo

- 10% năm trong 4 tháng cuối cùng

Hãy xác định:

a Lãi suất trung bình của số vốn vay trên

b Tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khi đến hạn

n

i n i

n

i n i

å å

=

IV LÃI SUẤT THỰC

Khi đi vay một khoản vốn, ngoài lợi tức, người đi vay còn phải trả một khoản lệ phí vay nhất định Mặt khác, do phương thức trả lãi khác nhau (lãi có thể trả định kỳ hoặc có thể trả ngay sau khi nhận vốn) nên lãi suất mà người đi vay gánh chịu có thể sẽ cao hơn lãi suất mà người cho vay công bố

Lãi suất thực là mức chi phí thực tế mà người đi vay phải trả để sử dụng một khoản vốn vay nào đó trong thời hạn nhất định

095833,

4

%103

%96

%

++

´+

´+

´

=

t t

V

f I i

0

+

=

- Lãi suất 9,6% năm

- Phí hồ sơ: 200.000 đồng

- Các khoản chi phí khác 0,2% vốn gốc

Xác định lãi suất thực của khoản vay trên trong điều kiện sau:

- Thời gian vay là 1 năm

- Thời gian vay là 4 tháng

Nếu trong hợp đồng vay quy định người đi vay phải trả trước lãi vay thì lãi suất thực tế sẽ thay đổi như thế nào?

Giải

v Nếu lợi tức phải trả vào cuối mỗi kỳ:

- Trường hợp vay trong một năm:

· Lợi tức phải trả: 200.000.000 x 9,6% = 19.200.000 đồng

· Các khoản chi phí khác: 200.000.000 x 0,2% = 400.000 đồng

· Tổng lệ phí và các khoản khác phải trả là: 19.800.000 đồng

Ta có lãi suất thực: it = 19.800.000/199.400.000 = 9,93%/năm

- Trường hợp vay trong 4 tháng:

· Lợi tức phải trả: 200.000.000 x 4/12 x 9,6% = 6.400.000 đồng

· Tổng lợi tức và lệ phí phải trả: 7.000.000 đồng

Lãi suất thực: it = 7.000.000/199.400.000 x 12/4 = 10,53%/năm

Như thế thời gian vay càng ngắn, lãi suất thực càng tăng theo gánh nặng của các khoản chi phí cố định

v Nếu lợi tức phải trả ngay khi nhận vốn (trả trước):

- Trường hợp vay trong 1 năm:

· Vốn thực sử dụng:V0t = 200.000.000 – 19.800.000 = 180.200.000 đồng

· Lãi suất thực: it = 19.800.000/180.200.000 = 10,99%/năm

- Trường hợp vay trong 4 tháng:

· Vốn thực sử dụng V0t = 200.000.000 – 7.000.000 = 193.000.000 đồng

· Lãi suất thực: it = 7.000.000/193.000.000 x 12/4 = 10,88%/năm

Nếu người đi vay phải trả lãi ngay khi nhận vốn thì thời gian vay càng dài, lãi suất thực sẽ càng tăng vì lúc đó khoản lợi tức phải trả trước lớn làm cho vốn thực sử dụng bị giảm đi

a Xác định lãi suất trung bình của khoản vốn cho vay trên

b Tính tổng lợi tức mà Ngân hàng thu được

i

k

k k

n/

%2,1049

387564

%949

%5,1038

%1175

%10

+++

´+

´+

´+

0n i V

I Đ =

Suy ra

Bài 3

Một người đi vay một số tiền 240 triệu đồng trong 5 tháng với lãi suất 10% năm, lệ phí vay 1 triệu đồng Nếu lợi tức được trả ngay khi vay, hãy xác định lãi suất thực mà người đó phải chịu

- Lợi tức được trả khi đáo hạn

- Lợi tức được trả ngay khi nhận vốn

Giải

- Lợi tức phải trả: 120.000.000 x 8,4% x 8/12 = 6.720.000 đồng

v Nếu lợi tức trả khi đáo hạn:

v Nếu lợi tức trả ngay khi nhận vốn:

đ

360

%2,10226000.000

000.000

000.600000.720

000.600000.720

+-

+

=

11

CHƯƠNG II LÃI KÉP (COMPOUND INTEREST)

PHẦN 1 – LÝ THUYẾT

I KHÁI NIỆM

Lãi kép là lãi kỳ này được nhập vào vốn để tính lãi kỳ sau Trong khái niệm này, chẳng những vốn phát sinh lợi tức mà bản thân lợi tức cũng phát sinh lợi tức Như vậy, lãi kép phản ảnh giá trị theo thời gian của tiền tệ cho cả phần vốn gốc và tiền lãi phát sinh

Thuật ngữ lãi kép cũng đồng nghĩa với các thuật ngữ như lãi gộp vốn, lãi ghép vốn hoặc lãi nhập vốn

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH LÃI KÉP

2.1 Công thức

Trong khái niệm lãi kép, các khoản lợi tức phát sinh từ hoạt động đầu tư mỗi kỳ được tính gộp vào vốn ban đầu và bản thân nó lại tiếp tục phát sinh lợi tức trong suốt thời gian đầu tư

Nếu đem đầu tư một khoản vốn V0 trong n kỳ với lãi suất i hàng năm, ở cuối kỳ thứ nhất ta có:

2.2 Lãi suất tương đương (ngang giá) và lãi suất tỷ lệ

Lãi suất tỷ lệ (i l )

Khi lãi suất công bố ở đơn vị thời gian là năm nhưng kỳ ghép lãi có đơn vị thời gian khác với năm (quý, tháng, ngày…), để tính lợi tức đạt được, người ta phải quy đổi lãi suất i sang lãi suất tỷ lệ il

Công thức:

Với m là số kỳ trong năm

Ví dụ 1

Ông A gửi ngân hàng số tiền 70 triệu đồng, lãi suất 7,6% năm, lãi gộp vốn 3 tháng

1 lần Xác định giá trị đạt được cả vốn lẫn lãi sau khi gửi được 2 năm

n = 2 năm = 8 quý

Suy ra Vn = 70.000.000(1 + 1,9%)8 = 81.375.000 đồng

Lãi suất tương đương (i’)

Lãi suất tương đương được hiểu là một mức lãi suất mà với bất kỳ kỳ ghép lãi dài hay ngắn thì lợi tức đạt được vẫn không thay đổi

Nếu ta đem gửi một khoản tiền V0 trong thời gian 1 năm với lãi suất i% năm và kỳ ghép lãi mỗi năm 1 lần, giá trị đạt được sau khi gửi được 1 năm là:

Vn = V0(1 + i) Cùng với khoản tiền gửi trên, nhưng nếu kỳ ghép lãi khác với 1 năm, giả sử là mỗi quý ghép lãi một lần, ta gọi i’ là lãi suất quý tương đương với lãi suất năm i

Do một năm có 4 quý nên giá trị đạt được sau khi gửi được 1 năm sẽ là:

V0(1 + i’)4Theo định nghĩa về lãi suất tương đương, ta có:

V0(1 + i) = V0(1 + i’)4Suy ra (ch ỉ lấy nghiệm i’ dương)

Một cách tổng quát nếu gọi m là số kỳ ghép lãi trong năm, ta có công thức tính lãi suất tương đương trong lãi kép:

%6,

i

11'=m +i-

i

13

a Ông A gửi ngân hàng 100 triệu đồng trong 3 năm 6 tháng, lãi suất 6% năm, lãi gộp vốn 3 tháng 1 lần Xác định giá trị đạt được (cả vốn và lợi tức) khi rút tiền

b Công ty B muốn có một số tiền vốn 1.200 triệu đồng sau 5 năm bằng cách đầu

tư 720 triệu đồng ở hiện tại Tỷ suất lợi tức hàng năm do hoạt động đầu tư mang lại là bao nhiêu?

c Doanh nghiệp C muốn thu được 280 triệu đồng bằng cách đầu tư ở hiện tại 170 triệu đồng, tỷ suất sinh lợi 13% năm Xác định thời gian đầu tư

d Ông D vay ngân hàng một số vốn, lãi suất 9,6% năm, lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần Tổng số tiền ông D phải trả sau 4 năm 3 tháng là 536.258.000 đồng Xác định

Ta có công thức nội suy:

Với điều kiện khoảng cách giữa i1 và i2 không lớn quá 1%, giá trị của i tính theo công thức nội suy sẽ tương đối chính xác

( )1 1

0 0

-=Þ

=

V

V i V

V i

ăm

000.000.720

000.000.200.1

s s

s s i i i i

-+

-=

Áp dụng công thức nội suy trên, ta có:

- 8% năm trong thời gian 3 năm đầu tiên

- 8,5% năm trong thời gian 3 năm tiếp theo

- 9% năm trong thời gian 4 năm cuối cùng

Hãy xác định:

a Giá trị đạt được vào cuối năm thứ 10

b Lãi suất trung bình của các khoản vốn đầu tư trên

Giải

a Sử dụng công thức tính lãi kép Vn = V0(1 + i)n, ta có:

Giá trị đạt được vào cuối năm thứ 3 là:

V3 = V0(1 + 8%)3Giá trị đạt được vào cuối năm thứ 6 là:

V6 = V3(1 + 8,5%)3 = V0(1 + 8%)3(1 + 8,5%)3Giá trị đạt được vào cuối năm thứ 10 là:

61051,1685058,

1

61051,1666667,

1

%10

%11

%

-

-+

=

( ) ( )

i V

V n

V

V i

n n

n

+

=Þ

=+Þ

1log

1log

%131log

000.000.170

000.000.280log

n 360.000.000

%8,41

000.258.5361

+

=+

=Þ+

=

15

V10 = V6(1 + i)4 = V0(1 + 8%)3(1 + 8,5%)3(1 + 9%)4Thay V0 = 500.000.000 ta có V10 = 1.135.629.000 đồng

Vậy với khoản vốn đầu tư ban đầu là 500.000.000 đồng, ta sẽ đạt được

i1, i2,…, ik là lãi suất ở giai đoạn 1, 2,…, k

n1, n2,…, nk là thời gian đầu tư ở giai đoạn 1, 2,…, k

i

i

( )

ăm i

i

n

%55,81271258,

2

271258,

2000.000.500

000.629.135.11

10

10

=-

=

Þ

=

=+

%55,8

V = + + + 3 1 +

3 1 2 2 1 1 1 1 0 Và

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n k

k i n i n i n i n

+ +

+ +

= +

1 1

3 3 1 2 2 1 1 1 1

k i

n i

n i n i

a Thời gian vay là 3 năm

b Thời gian vay là 1 năm

400.000.000 – (400.000.000 x 0,5%) = 398.000.000 đồng

Ta có lãi suất thực mà người đi vay phải gánh chịu:

V0 = 398.000.000(1 + it)6 = 436.810.000 đồng

Một cách tổng quát ta có:

Với Vn là số tiền phải trả khi đáo hạn

f là chi phí vay vốn khác (lệ phí vay, chi phí phát hành…)

Nhận xét:

000.000

398

000.904

509

%22,41281166

398

000.810

-=n n t

f V V i

17

Thời gian đi vay càng ngắn, lãi suất thực it càng cao do gánh nặng của khoản lệ phí vay cố định

V SO SÁNH GIỮA LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP

Xem xét 2 công thức tính giá trị đạt được theo lãi đơn và lãi kép:

a Thời gian đầu tư là 1 năm

b Thời gian đầu tư là 3 năm

c Thời gian đầu tư là 6 tháng

Ngân hàng cho vay một khoản vốn 800 triệu đồng trong 4 năm, lãi gộp vốn 3 tháng

1 lần Khi đáo hạn, ngân hàng thu được cả vốn lẫn lãi là 1.200 triệu đồng Xác định lãi suất cho vay

-=Þ

=

V

V i V

V i

ăm

200.1

400.2

19

Tính lãi suất tương đương với các lãi suất sau:

a Lãi suất 6 tháng tương đương với lãi suất năm 12%

b Lãi suất 3 tháng tương đương với lãi suất năm là 13%

c Lãi suất 3 tháng tương đương với lãi suất 6 tháng là 6%

d Lãi suất năm tương đương với lãi suất 6 tháng là 5%

e Lãi suất năm tương đương với lãi suất 3 tháng là 3%

d i’năm = (1 + 5%)2 – 1 = 10,25% năm

e i’năm = (1 + 3%)4 – 1 = 12,55% năm

Bài 4

Ngân hàng cho vay một khoản vốn 360 triệu đồng, tính lãi kép với lãi suất thay đổi như sau:

- 7% năm trong 3 năm đầu tiên

- 7,4% năm trong 3 năm tiếp theo

- 7,7% năm trong 2 năm tiếp theo

- 8% năm trong 2 năm cuối cùng

Yêu cầu:

a Tính giá trị đạt được vào cuối năm thứ 10

b Tính lãi suất trung bình để giá trị đạt được không đổi

tháng6

%83,51

%121'6 tháng= + - =

i

tháng3

%1,31

%131

%96,21

%61'3 tháng= + - =

i

( ) ( ) ( ) ( )i n i n i n i k n k V

n

V = 01 + 1 11 + 2 2 1 + 3 3 1 +

1 1

3 3 1 2 2 1 1 1 1

i = nç æ + ÷ ç æ + ÷ ç æ + ÷ ç æ + ÷n k

-k i

n i

n i n i

CHƯƠNG III CHUỖI TIỀN TỆ (ANNUITIES)

PHẦN 1 – LÝ THUYẾT

I KHÁI NIỆM

Chuỗi tiền tệ là một loạt các khoản tiền phát sinh định kỳ theo những khoảng cách thời gian bằng nhau Các khoản tiền phát sinh theo khoảng cách đều nhau về thời gian (được gọi là kỳ khoản) nên chuỗi tiền tệ cũng được gọi là chuỗi kỳ khoản

Một chuỗi tiền tệ hình thành khi đã xác định được:

- Số kỳ phát sinh (số lượng kỳ khoản) : n

- Số tiền phát sinh mỗi kỳ (thu hoặc chi) : a

- Lãi suất tính cho mỗi kỳ : i

- Độ dài của kỳ: khoảng cách thời gian cố định giữa 2 kỳ trả (có thể là năm, quý, tháng…)

Chuỗi tiền tệ được thực hiện với mục đích tạo ra một khoản vốn hoặc trả dần một khoản nợ

Có thể có một số loại chuỗi tiền tệ sau:

- Chuỗi tiền tệ cố định (constant annuities): số tiền phát sinh trong mỗi kỳ bằng

nhau

- Chuỗi tiền tệ biến đổi (variable annuities): số tiền phát sinh trong mỗi kỳ không

bằng nhau

- Chuỗi tiền tệ có thời hạn: số kỳ phát sinh là hữu hạn

- Chuỗi tiền tệ không kỳ hạn: số kỳ phát sinh là vô hạn

Sơ đồ của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ:

ăm

n

%46,71053256,2

10