bài giảng toán tài chính

1 Bài Giảng Môn Học : Toán Tài Chính Bộ Môn Tài Chính Ngân Hàng Giảng Viên : Huỳnh Thị Xuân Mai Lê Thị Thùy Dương Nguyễn Văn Bảy 2 CHƯƠNG I LÃI ĐƠN (SIMPLE INTEREST) PHẦN 1 – LÝ THUYẾT I. TỔNG QUAN 1.1. Lợi tức Lợi tức là một khái niệm được xem xét dưới hai góc độ khác nhau là người cho vay và người đi vay. Ở giác độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn, lợi tức là số tiền tăng thêm trên số vốn đầu tư ban đầu trong một giai đoạn thời gian nhất định. Khi nhà đầu tư đem đầu tư một khoản vốn, nhà đầu tư sẽ thu được một giá trị trong tương lai lớn hơn giá trị đã bỏ ra ban đầu và khoản chênh lệch này được gọi là lợi tức. Ở giác độ người đi vay hay người sử dụng vốn, lợi tức là số tiền mà người đi vay phải trả cho người cho vay (là người chủ sở hữu vốn) để được sử dụng vốn trong một thời gian nhất định. Trong thời gian cho vay, người cho vay có thể gặp phải những rủi ro như: người vay không trả lãi hoặc không hoàn trả vốn vay. Những rủi ro này sẽ ảnh hưởng đến mức lợi tức mà người cho vay dự kiến trong tương lai. 1.2. Lợi tức đơn Lợi tức đơn được định nghĩa là một lợi tức chỉ tính trên số vốn vay hoặc vốn gốc ban đầu trong suốt thời gian vay. Trong khái niệm này, chỉ có vốn phát sinh lợi tức. 1.3. Tỷ suất lợi tức – Lãi suất (Interest rate) Là tỷ số giữa lợi tức phải trả so với vốn vay trong một đơn vị thời gian. Đơn vị thời gian có thể là năm, quý, tháng, ngày… Lãi suất được tính bằng tỷ lệ phần trăm hoặc số lẻ thập phân. II. CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN 2.1. Lãi đơn và giá trị đạt được theo lãi đơn Đặt vấn đề: Ta đưa vào sử dụng vốn V 0 với mong muốn đạt được lãi suất là i%/năm trong thời gian n năm. Vào cuối mỗi năm ta rút lợi tức và chỉ để lại vốn. Lãi suất = Lãi phải trả trong 1 đơn vị thời gian Vốn gốc 3 - Ở cuối năm 1: · Vốn gốc: V 0 · Lợi tức của năm đầu tiên: V 0 i · Ta có: V 0 + V 0 i = V 0 (1 + i) - Ở cuối năm thứ 2: · Vốn gốc: V 0 · Lợi tức của năm thứ 2: V 0 i · Lợi tức của năm đầu tiên: V 0 i · Ta có: V 0 + 2V 0 i = V 0 (1 + 2.i) … Một cách tổng quát trong vòng n năm, giá trị đạt được theo lãi suất đơn V nĐ sẽ là: V nĐ = V 0 (1 + ni) Nếu gọi I Đ là lợi tức đạt được theo lãi đơn: I Đ = V nĐ – V 0 = V 0 (1 + n.i) – V 0 Suy ra: I Đ = V 0 .n.i Với n là thời gian cho vay (ngày, tháng, quý, năm…) Chú ý: Nếu lãi suất và thời hạn vay không cùng một đơn vị thời gian, chúng ta phải biến đổi để chúng đồng nhất về thời gian rồi mới áp dụng công thức trên. Cụ thể: - Nếu lãi suất tính theo năm còn thời hạn vay tính theo tháng: - Nếu lãi suất tính theo tháng còn thời hạn vay tính theo ngày: - Nếu lãi suất tính theo năm còn thời hạn vay tính theo ngày: Công thức này được áp dụng rộng rãi ở nhiều nước trong các nghiệp vụ về tài chính ngắn hạn và được gọi là công thức tính lãi thương mại. Nếu số ngày tính chính xác theo lịch thì ta có công thức tính lãi thông thường như sau: 12 0 inV I = 30 0 inV I = 360 0 inV I = 4 Ví dụ 1: Một người gửi ngân hàng 50 triệu đồng, lãi suất 7,2%/năm từ ngày 15/1 đến ngày 16/7. Xác định lợi tức người đó đạt được. Ta có: n = 182 ngày. Lợi tức đạt được là: 2.2. Lãi suất tương đương (Lãi suất ngang giá) Thay vì tính lãi suất i trên 1 năm, nếu tính lãi suất i’ cho mỗi kỳ thì lãi suất ngang giá i’ sẽ được xác định như sau: Ví dụ 2: Một người gửi ngân hàng 20 triệu đồng trong thời gian 42 tháng với lãi suất 9%/năm. Ta có thể xác định giá trị đạt được V nĐ theo 2 cách: Cách 1: V nĐ = 20.000.000(1 + 42/12 x 9%) = 26.300.000 đồng Cách 2: Quy đổi lãi suất i = 9%/năm sang lãi suất i’ theo tháng: Ta có: V nĐ = 20.000.000(1 + 42 x 0,75%) = 26.300.000 đồng 2.3. Áp dụng công thức tính lãi đơn Để áp dụng công thức tính lãi đơn, chúng ta xem xét ví dụ sau: Ví dụ 3: Sử dụng công thức tính lãi đơn trong các trường hợp sau: a. Ông A bỏ vốn 100 triệu đồng với lãi suất đầu tư là 12%/năm trong vòng 2 năm 3 tháng. Xác định giá trị đạt được vào cuối đợt đầu tư. 365 0 inV I = 000.820.1 360 %2,7182000.50 = ´ ´ = I đồng k i i =' (với k: số kỳ trong năm) tháng k i i /%75,0 12 %9 ' === 5 b. Với lãi suất 10%/năm cho số vốn 25 triệu đồng, nhà đầu tư B mong muốn thu được 32.125.000 đồng vào cuối đợt đầu tư. Vậy phải đầu tư trong bao lâu để đạt được giá trị như trên. c. Ông C gửi ngân hàng 60 triệu đồng trong 3 năm 4 tháng thì đạt được kết quả cuối cùng là 75.210.000 đồng. Xác định lãi suất tiền gửi. d. Với lãi suất đầu tư 14%/năm thì nhà đầu tư D phải bỏ ra số vốn đầu tư ban đầu là bao nhiêu để thu được 244 triệu đồng trong thời gian 3 năm 9 tháng. Giải a) Do n = 2 năm 3 tháng = 27 tháng. Có thể tính được giá trị đạt được V nĐ theo 2 cách: Hoặc V nĐ = 100.000.000(1 + 27/12 x 12%) = 127.000.000 đồng. Hoặc quy đổi sang lãi suất tháng: V nĐ = 100.000.000(1 + 27x 1%) = 127.000.000 đồng. b) Từ công thức: V nĐ = V 0 (1 + ni) ta có công thức biến đổi: Þ n = 2,85 năm = 2 năm 10 tháng 6 ngày Vậy phải đầu tư số vốn trong thời gian 2 năm 10 tháng 6 ngày để đạt được giá trị mong muốn. c) Từ công thức V nĐ = V 0 (1 + ni), ta cũng sẽ có công thức biến đổi: Với V nĐ = 75.210.000 đồng, V 0 = 60.000.000 đồng và n = 3 năm 4 tháng. d) Theo đề bài n = 3 năm 9 tháng = 45/12 năm, i = 14%/năm và V nĐ = 224 triệu đồng. Ta có công thức biến đổi như sau: Þ V 0 = 160.000.000 đồng tháng k i i /%1 12 %12 ' === %10 1 000.000.25 000.125.32 1/ 0 - =Þ - = n i VV n n n VV i n 1/ 0 - = Þ - =Þ 12 40 1 000.000.60 000.210.75 i i = 7,61%/năm %14 12 45 1 000.000.240 .1 00 ´+ =Þ + = V in V V n 6 Vậy phải đầu tư số vốn là 160 triệu đồng với lãi suất 14%/năm mới thu được 224 triệu đồng trong thời gian 3 năm 9 tháng. III. LÃI SUẤT TRUNG BÌNH Trong quá trình đầu tư, nhà đầu tư có thể đạt được các mức lãi suất khác nhau trong những thời gian hoàn toàn khác nhau. Do đó cần phải tìm lãi suất trung bình để xác định giá trị đạt được vào cuối thời gian đầu tư một cách nhanh chóng. Lãi suất trung bình là lãi suất thay thế cho các mức lãi suất khác nhau trong những giai đoạn khác nhau sao cho giá trị đạt được hoặc lợi tức có được không thay đổi. Giả sử có khoản vốn đầu tư V 0 được đầu tư với các lãi suất biến đổi như sau: - i 1 /kỳ trong thời gian n 1 kỳ. - i 2 /kỳ trong thời gian n 2 kỳ. ……… Tổng quát: i k /kỳ - trong thời gian n k kỳ. Ta gọi là lãi suất trung bình thì: Ví dụ 4: Một doanh nghiệp vay 100 triệu đồng theo phương pháp tính lãi đơn với các mức lãi suất thay đổi như sau: - 8% năm trong 6 tháng đầu tiên. - 9% năm trong 3 tháng tiếp theo. - 10% năm trong 4 tháng cuối cùng. Hãy xác định: a. Lãi suất trung bình của số vốn vay trên. b. Tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khi đến hạn. Giải a. Ta có Ta lập bảng sau: Lãi suất i k Thời gian vay n k n k .i k 8% 6/12 0,04 i k kk n in i å å = k kk n in i å å = 7 9% 3/12 0,0225 10% 4/12 0,0333333 Tổng cộng 13/12 0,095833 Vậy Hoặc có thể tính trực tiếp: b. Áp dụng công thức tính lãi đơn, ta có: V nĐ = 100.000.000(1+13/12x8,85%) = 109.587.500 đồng. IV. LÃI SUẤT THỰC Khi đi vay một khoản vốn, ngoài lợi tức, người đi vay còn phải trả một khoản lệ phí vay nhất định. Mặt khác, do phương thức trả lãi khác nhau (lãi có thể trả định kỳ hoặc có thể trả ngay sau khi nhận vốn) nên lãi suất mà người đi vay gánh chịu có thể sẽ cao hơn lãi suất mà người cho vay công bố. Lãi suất thực là mức chi phí thực tế mà người đi vay phải trả để sử dụng một khoản vốn vay nào đó trong thời hạn nhất định. Nếu ta gọi: - i t là lãi suất thực. - f là chi phí vay. - V 0t là vốn thực tế sử dụng. Þ V 0t = V 0 – f – I (nếu lợi tức phải trả trước ngay khi nhận vốn vay). Ta có: Ví dụ 5: Ngân hàng cho vay ngắn hạn 1 khoản tiền 200 triệu đồng với các điều kiện sau: "mi n/%85,80885,0 12 13 095833,0 === ( ) ( ) ( ) "mi n/%85,8 436 4%103%96%8 = ++ ´ + ´ + ´ = t t V fI i 0 + = 8 - Lãi suất 9,6% năm. - Phí hồ sơ: 200.000 đồng. - Các khoản chi phí khác 0,2% vốn gốc. Xác định lãi suất thực của khoản vay trên trong điều kiện sau: - Thời gian vay là 1 năm. - Thời gian vay là 4 tháng. Nếu trong hợp đồng vay quy định người đi vay phải trả trước lãi vay thì lãi suất thực tế sẽ thay đổi như thế nào? Giải v Nếu lợi tức phải trả vào cuối mỗi kỳ: - Trường hợp vay trong một năm: · Lợi tức phải trả: 200.000.000 x 9,6% = 19.200.000 đồng · Phí hồ sơ là: 200.000 đồng · Các khoản chi phí khác: 200.000.000 x 0,2% = 400.000 đồng · Tổng lệ phí và các khoản khác phải trả là: 19.800.000 đồng Ta có lãi suất thực: i t = 19.800.000/199.400.000 = 9,93%/năm. - Trường hợp vay trong 4 tháng: · Lợi tức phải trả: 200.000.000 x 4/12 x 9,6% = 6.400.000 đồng · Các khoản lệ phí vay: 600.000 đồng · Tổng lợi tức và lệ phí phải trả: 7.000.000 đồng · Vốn thực sử dụng: 199.400.000 đồng Lãi suất thực: i t = 7.000.000/199.400.000 x 12/4 = 10,53%/năm. Như thế thời gian vay càng ngắn, lãi suất thực càng tăng theo gánh nặng của các khoản chi phí cố định. v Nếu lợi tức phải trả ngay khi nhận vốn (trả trước): - Trường hợp vay trong 1 năm: · Vốn thực sử dụng:V 0t = 200.000.000 – 19.800.000 = 180.200.000 đồng · Lãi suất thực: i t = 19.800.000/180.200.000 = 10,99%/năm. - Trường hợp vay trong 4 tháng: · Vốn thực sử dụng V 0t = 200.000.000 – 7.000.000 = 193.000.000 đồng · Lãi suất thực: i t = 7.000.000/193.000.000 x 12/4 = 10,88%/năm. Nếu người đi vay phải trả lãi ngay khi nhận vốn thì thời gian vay càng dài, lãi suất thực sẽ càng tăng vì lúc đó khoản lợi tức phải trả trước lớn làm cho vốn thực sử dụng bị giảm đi. 9 PHẦN 2 – BÀI TẬP ỨNG DỤNG Bài 1: Một công ty vay ngân hàng 450.000.000 đồng từ ngày 1/8 đến ngày 12/10. Tính lợi tức mà công ty phải trả cho ngân hàng với lãi suất: - Lãi suất 9,36% năm. - Lãi suất 0,8% tháng. Giải - Lãi suất 9,36% năm n = 72 ngày. I Đ = 450.000.000 x 72 x 9,36%/360 = 8.424.000 đồng. - Lãi suất 0,8% tháng I Đ = 450.000.000 x 72 x 0,8%/30 = 8.640.000 đồng. Bài 2: Ngân hàng cho vay 1 số tiền 300 triệu đồng. Tính lãi đơn với các mức lãi suất thay đổi như sau: - 10% năm từ ½ đến 6/4. - 11% năm từ 7/4/ đến 20/6. - 10,5% năm từ 21/6 đến 28/7. - 9% năm từ 29/7 đến 15/9. Yêu cầu: a. Xác định lãi suất trung bình của khoản vốn cho vay trên. b. Tính tổng lợi tức mà Ngân hàng thu được. Giải - n 1 = 64 ngày, i 1 = 10% năm. - n 2 = 75 ngày, i 2 = 11% năm. - n 3 = 38 ngày, i 3 = 10,5% năm. - n 4 = 49 ngày, i 4 = 9% năm. Ta có: b. Từ ( ) ( ) ( ) ( ) "m n in i k kk n/%2,10 49387564 %949%5,1038%1175%1064 = +++ ´+´+´+´ == å å 360 0 inV I = 10 Suy ra Bài 3 Một người đi vay một số tiền 240 triệu đồng trong 5 tháng với lãi suất 10% năm, lệ phí vay 1 triệu đồng. Nếu lợi tức được trả ngay khi vay, hãy xác định lãi suất thực mà người đó phải chịu. Giải - Lợi tức phải trả: 240.000.000 x 10% x 5/12 = 10.000.000 đồng - Lệ phí vay: 1.000.000 đồng - Tổng lợi tức và lệ phí vay phải trả là: 11.000.000 đồng - Vốn thực sử dụng là: V 0t = 229.000.000 đồng Lãi suất thực: Bài 4 Một người vay ngân hàng 120 triệu đồng trong 8 tháng, lãi suất 8,4% năm. Chi phí vay bằng 0,5% vốn gốc. Hãy xác định lãi suất thực trong 2 trường hợp: - Lợi tức được trả khi đáo hạn. - Lợi tức được trả ngay khi nhận vốn. Giải - Lợi tức phải trả: 120.000.000 x 8,4% x 8/12 = 6.720.000 đồng - Lệ phí vay: 120.000.000 x 0,5% = 600.000 đồng v Nếu lợi tức trả khi đáo hạn: v Nếu lợi tức trả ngay khi nhận vốn: %I 000.210.19 360 %2,10226000.000.300 = ´ ´ = "mi t n/%53,11 5 12 000.000.229 000.000.11 =´= "mi t n/%2,9 8 12 000.600000.000.120 000.600000.720.6 =´ - + = ( ) "mi t n/%74,9 8 12 000.600000.720.6000.000.120 000.600000.720.6 =´ +- + = . 1 Bài Giảng Môn Học : Toán Tài Chính Bộ Môn Tài Chính Ngân Hàng Giảng Viên : Huỳnh Thị Xuân Mai Lê Thị Thùy Dương Nguyễn. được áp dụng rộng rãi ở nhiều nước trong các nghiệp vụ về tài chính ngắn hạn và được gọi là công thức tính lãi thương mại. Nếu số ngày tính chính xác theo lịch thì ta có công thức tính lãi thông. khoản lợi tức phải trả trước lớn làm cho vốn thực sử dụng bị giảm đi. 9 PHẦN 2 – BÀI TẬP ỨNG DỤNG Bài 1: Một công ty vay ngân hàng 450.000.000 đồng từ ngày 1/8 đến ngày 12/10. Tính lợi