phân loại bài tập bất đẳng thức

PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG Hai biến số Ba biến số 1. ( ) 2 2 a +b 2 ,ab a b R≥ ∀ ∈ 1. 3 3a b c abc+ + ≥ 2. 2a b ab+ ≥ ( ) 0, 0a b≥ ≥ 2. 3 3 3 a +b 3c abc+ ≥ 3. 1 1 4 x y x y + ≥ + , 0x y > 3. 1 1 1 9 x y z x y z + + ≥ + + , , 0z y z > 4. 2 1 4 ( , 0) ( ) x y xy x y ≥ > + 4. ( ) ( ) 2 2 2 2 3 a b c a b c≥+ + + + 5. 3 3 2 2 ( , 0a b a b ab a b+ ≥ + ≥ 5. cabcabcba ++≥++ 222 6. a, b > 0 , 2≥+ a b b a 6. 3 3 3 3 a b c abc + + ≤ 7. 3 3 3 2 2 a b a b+ +   ≥  ÷   7. 3 3 a b c abc + +   ≤  ÷   8. ( ) 2 2 , 2 a b ab a b R + ≤ ∀ ∈ 8. ab bc ac a b c+ + ≤ + + 9. ( ) 2 , 2 a b ab a b R +   ≤ ∀ ∈  ÷   9. ( ) 2 3( )ab bc ca a b c+ + ≤ + + 10. 1 1 1 1 ( ) 4x y x y ≤ + + 10. 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + ,a,b,c>0 2. Bất đẳng thức CAUCHY.(AM-GM) Cho 1 2 n 1 2 1 2 a +a + +a 0, 0, , 0 . n ≥ ≥ ≥ ⇒ ≥ n n n a a a a a a . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 = = = n a a a (Điểm rơi của BĐT) 3. Bất đẳng thức BUNHIACOPXKI (3 dạng) 1. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 . n n n n a x a x a x a a a x x + + + ≤ + + + + + + dấu “=” xảy ra khi 1 2 1 2 a a x x = = 2. 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + + . 3.Cho dãy số dương a 1 , a 2 ,…a n và b 1 , b 2 , b n tùy ý a. n bbb n aaa n b n a b a b a +++ +++ ≥+++ 21 2 ) 21 ( 2 2 2 2 1 2 1 b. 2 1 21 2 1 2 1 1 2 2 ( ) n n n n n a a a aa a x x x a x a x a x + + + + + ≥ + + + Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU 1 PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC BÀI 1. SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG BIẾN ĐỔI VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐÚNG ĐÃ BIẾT, SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÚNG Bài tập 1.Chứng minh các bất đăng thức sau: (Biến đổi tương đương) 1. a b c ab bc ca 2 2 2 + + ≥ + + 6. a b ab a b 2 2 1+ + ≥ + + 2. a b c a b c 2 2 2 3 2( )+ + + ≥ + + 7. a b c ab bc ca 2 2 2 2( )+ + ≥ + − 3. a b c a ab a c 4 4 2 2 1 2 ( 1)+ + + ≥ − + + 8. a b c ab ac bc 2 2 2 2 4 + + ≥ − + 4. a b c d e a b c d e 2 2 2 2 2 ( )+ + + + ≥ + + + 9. ab a b 2 2 1 1 2 1 1 1 + ≥ + + + ; với ab ≥ 1. 5. a b a b ab 4 4 3 3 + ≥ + 10. a a 2 2 3 2 2 + > + Bài tập 2.Cho a, b, c, d ∈ R. Chứng minh rằng a b ab 2 2 2+ ≥ (1). Áp dụng chứng minh: 1. a b c d abcd 4 4 4 4 4+ + + ≥ 3. a b c abc 2 2 2 ( 1)( 1)( 1) 8+ + + ≥ 2. a b c d abcd 2 2 2 2 ( 4)( 4)( 4)( 4) 256+ + + + ≥ Bài tập 3.Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh: a b c ab bc ca 2 2 2 + + ≥ + + (1). Áp dụng chứng minh 1. a b c a b c 2 2 2 2 ( ) 3( )+ + ≤ + + 4. a b c a b c 2 2 2 2 3 3   + + + + ≥  ÷   2. a b c ab bc ca 2 ( ) 3( )+ + ≥ + + 5. a b c abc a b c 4 4 4 ( )+ + ≥ + + 3. a b c ab bc ca 3 3 + + + + ≥ với a,b,c>0 6. a b c abc 4 4 4 + + ≥ nếu a b c 1+ + = Bài tập 4. Cho a, b ≥ 0 . Chứng minh : a b a b b a ab a b 3 3 2 2 ( )+ ≥ + = + (1). Áp dụng chứng minh 1. abc a b abc b c abc c a abc 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 + + ≤ + + + + + + ; với a, b, c > 0. 2. a b b c c a 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + + + + + ; với a, b, c > 0 và abc = 1. 3. a b b c c a 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + + + + + ; với a, b, c > 0 và abc = 1. 4. + + + + + ≥ + + 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4( ) 4( ) 4( ) 2( )a b b c c a a b c với a, b, c ≥ 0 . 5. A B C A B C 3 3 3 3 3 3 sin sin sin cos cos cos 2 2 2 + + ≤ + + (A,B,C là ba góc của một tam giác) 6. Cho x, y, z>0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN: 2 2 2 x (y z) y (z x) z (x y) P yz zx xz + + + = + + (ĐH07) 7. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: + + + + + ≥ + + a b b c c a a b c ab bc ca 3 3 3 3 3 3 2 2 2 8. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: + + ≥ + + a b c ab bc ca b c a 3 3 3 9. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: − − − + + ≤ + + + + + b a c b a c a b c ab b bc c ca a 3 3 3 3 3 3 2 2 2 5 5 5 3 3 3 Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU 2 PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 10.Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: − − − + + ≤ + + + + + a b b c c a a b c ab a bc b ca c 3 3 3 3 3 3 2 2 2 41 41 41 5( ) 7 7 7 11.Cho a,b,c>0. Chứng minh: ( ) 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 2 b c c a a b a b c a b c a b c + + +     + + + + ≥ + +  ÷  ÷     12.Cho a, b, c>0 thỏa: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 a b c a ab b b bc c c ca a + + = + + + + + + .Tìm Max S = a + b + c 13.Cho x, y, z là các biến số dương. Tìm GTNN P=    ÷ + + + + + + + +  ÷   3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 x y z 4(x y ) 4(x z ) 4(z x ) 2 y z x 14.Cho a, b, c >0 CMR: a b c a b c a b c 3 3 3 2 2 2 3( ) ( )( )+ + ≥ + + + + 15.Cho a, b, c >0 CMR: a b c a b c 3 3 3 3 9( ) ( )+ + ≥ + + Bài tập 5. Cho a, b, x, y ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): a x b y a b x y 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )+ + + ≥ + + + (1)Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. Cho a, b ≥ 0 thoả a b 1+ = . Chứng minh: a b 2 2 1 1 5+ + + ≥ . 2. Tìm GTNN của P = a b b a 2 2 2 2 1 1 + + + . 3. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 1+ + = . Chứng minh: x y z x y z 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82+ + + + + ≥ . 4. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 3+ + = . TìmGTNN : P = x y z 2 2 2 223 223 223+ + + + + . Bài tập 7.Cho a, b > 0. Chứng minh a b a b 1 1 4 + ≥ + (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: 1. a b c a b b c c a 1 1 1 1 1 1 2   + + ≥ + +  ÷ + + +   ; với a, b, c > 0. 2. a b b c c a a b c a b c a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2   + + ≥ + +  ÷ + + + + + + + + +   với a, b, c > 0. 3. Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1 1 1 4+ + = . Chứng minh: a b c a b c a b c 1 1 1 1 2 2 2 + + ≤ + + + + + + 4. ab bc ca a b c a b b c c a 2 + + + + ≤ + + + ; với a, b, c > 0. 5. Cho x, y, z > 0 thoả x y z2 4 12+ + = . Chứng minh: xy yz xz x y y z z x 2 8 4 6 2 2 4 4 + + ≤ + + + . 6. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác, p là nửa chu vi. CM: p a p b p c a b c 1 1 1 1 1 1 2   + + ≥ + +  ÷ − − −   7. Cho x, y, z >0 và 1 1 1 2009 x y z + + = Tìm GTLN: 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + + + + + + + ĐH07 Bài tập 8.Cho a, b, c > 0. Chứng minh a b c a b c 1 1 1 9 + + ≥ + + (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: 1. a b c a b c a b b c c a 2 2 2 1 1 1 3 ( ) ( ) 2   + + + + ≥ + +  ÷ + + +   Với a, b, c > 0 Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU 3 PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 2. Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1+ + = . Tìm GTLN của biểu thức: P = x y z x y z1 1 1 + + + + + . 3. Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + ≤ . Tìm GTNN của biểu thức:P = a bc b ac c ab 2 2 2 1 1 1 2 2 2 + + + + + . 4. Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + = . Chứng minh: ab bc ca a b c 2 2 2 1 1 1 1 30+ + + ≥ + + 5. Cho tam giác ABC. Chứng minh: A B C 1 1 1 6 2 cos2 2 cos2 2 cos2 5 + + ≥ + + − . 6. Cho x, y, z d¬ng vµ x+y+z = 1.T×m min cña 1 1 1 1 1 1 P x y z = + + + + + 7. Cho a, b, c >0 ;thoả mãn a + b + c ≤ 3. CMR ab bc ca a b c 2 2 2 1 2009 670+ ≥ + + + + 8. Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 3. Tìm GTNN: 1 1 1 1 1 1 P xy yz zx = + + + + + P min = 3 2 BÀI 2. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM-GM) DẠNG 1. SỬ DỤNG ĐÁNH GIÁ TỪ TRUNG BÌNH CỘNG SANG TRUNG BÌNH NHÂN 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b b c c a abc( )( )( ) 8+ + + ≥ với a, b, c ≥ 0 b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ,8 a b ca b b c c a a b c ∀+ + + ≥ c) 3a 3 + 7b 3 ≥ 9ab 2 ∀ a, b ≥ 0 d) 2 2 2 2 1 a a R a + ≥ ∀ ∈ + e) ( ) 1 3 0a a b b a b + ≥ ∀ > > − f) ( ) ( ) 2 4 3 0 1 a a b a b b + ≥ ∀ > > − + g) a b c a b c abc 2 2 2 ( )( ) 9+ + + + ≥ với a, b, c ≥ 0 h) ( ) a b c abc 3 3 (1 )(1 )(1 ) 1+ + + ≥ + với a, b, c ≥ 0 i) bc ca ab a b c a b c + + ≥ + + với a, b, c > 0 j) a b b c c a abc 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) 6+ + + + + ≥ với a, b, c ≥ 0 k) ab bc ca a b c a b b c c a 2 + + + + ≤ + + + ; với a, b, c > 0. l) 3 1 1 1 1 1 1 2 1 a b c a b c abc + +       + + + ≥ +  ÷ ÷ ÷  ÷       với a, b, c > 0. m) a b c b c c a a b 3 2 + + ≥ + + + ; với a, b, c > 0. n) a b c a b c a b c 3 3 3 2 1 1 1 ( ) ( )   + + + + ≥ + +  ÷   o) Cho a, b, c > 0; a + b + c = 6. Chøng minh r»ng: 512 72911 1 1 1 333 ≥       +       +       + c a ba Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU 4 PHN LOI BI TP BT NG THC 2. Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau: a) x y x x 18 ; 0 2 = + > b) x y x x 2 ; 1 2 1 = + > c) x y x x 3 1 ; 1 2 1 = + > + d) x y x x x 5 ; 0 1 1 = + < < e) x y x x 5 1 ; 3 2 1 2 = + > f) x y x x 3 2 1 ; 0 + = > g) x x y x x 2 4 4 ; 0 + + = > h) y x x x 2 3 2 ; 0= + > 3. Cho x, y, z >0 tho món xyz = 1. CMR: + + + + + + + + 3 3 3 3 3 3 1 x y 1 y z 1 z x 3 3 xy yz zx H 05 4. Cho ba s x, y, z >0 tha 3x y z+ + = . Tỡm GTNN 3 3 3 P xy yz zx x y z = + + + + + Pmin =12 5. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR: ( )( )( )1 1 1 1 1 1 + + + a b c 64 HSG QB 2009 6. Chng minh rng vi mi x R, ta cú: + + + + ữ ữ ữ x x x x x x 12 15 20 3 4 5 5 4 3 H 05 7. Cho x, y, z>0 2 2 2 3 x y z 4 + + Ê . Tỡm GTNN: 3 3 3 1 1 1 1 P 4(x y)(y z)(z x) 2 x y z ổ ử ữ ỗ ữ = + + + + + + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 8. Cho , ,x y z >0 tho món: 2 1xy xz+ = Tỡm GTNN: 3 4 5yz zx xy P x y z = + + S:4 9. Cho zyx ,, >0 tha: ).(32 222 zyxxyzyx ++=+++ TỡmGTNN . 2 2020 + + + +++= yzx zyxP DNG 2. NH GI T TRUNG BèNH NHN SANG TRUNG BèNH CNG 1.Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau a) y x x x( 3)(5 ); 3 5= + b) y x x x(6 ); 0 6= c) y x x x 5 ( 3)(5 2 ); 3 2 = + d) y x x x 5 (2 5)(5 ); 5 2 = + e) y x x x 1 5 (6 3)(5 2 ); 2 2 = + f) x y x x 2 ; 0 2 = > + 2. Cho ba s thc a, b, c khụng õm . Chng minh : 2 2 2 3 3 3 a bc b ac c ab a b c+ + + + 3. Cho ba s thc a, b, c tho 9, 4, 1a b c . Chng minh 11 1 9 4 12 abc ab c bc a ca b + + 4. Cho x,y >0 tha món: x+y=2. Chng minh a. 2 2 ( ) 2xy x y+ b. 3 3 3 3 ( ) 2x y x y+ 5. Cho: 1a b c+ + = . Chng minh : ( ) ( ) ( ) 8 729 abc a b b c c a+ + + 6. x,y l cỏc s thc tha : 0 3;0 4x y . Tỡm GTLN : (3 )(4 )(2 3 )A x y x y= + 7. Bit x,y,z,u 0 v 2x+xy+z+yzu=1, Tỡm GTLN ca P = 2 2 2 x y z u (HSG QB 09). minP = 1 512 8. Cho , ,a b c >0 thỏa mãn 3a b c + + = . CMR: 3 3 3 1 1 1 5a b b c c a+ + + + + 9. Cho a,b,c >0 v (a+b)(b+c)(c+a)>0. CMR 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 b bc c c ca a a ab b ab bc ca a bc b ca c ab a b c + + + + + + + + + + + + + T Toỏn tin - THPT NINHCHAU 5 PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 10. Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1. CMR: 3 2 xy yz zx xy z yz x zx y + + ≤ + + + 11. Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = 3 3 3 bc ca ab a bc b ca c ab + + + + + 12. Cho x, y, z>0. CMR: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 36 9x y z x y y z z x + + ≥ + + + . HSG QB 10-2012 DẠNG 3. ĐÁNH GIÁ MẪU SỐ 1. Cho ba số thực dương a, b, c . CMR + + ≥ + + + + + + + + a b c a b c a b ab b c bc c a ca 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 5 3 8 14 3 8 14 3 8 14 2. Cho a, b, c>0 thoả mãn: ab bc ca 1 + + = . CMR: a b c a b c 2 2 2 3 2 1 1 1 + + ≤ + + + 3. Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ xyz . Tìm GTLN. 2 2 2 1 1 1 2 2 2 P x yz y zx z xy = + + + + + 4. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn: 2 2 2 a b c 3 + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c P . b c bc c a ac a b ab = + + + + + + + + 5. Cho ba số x, y, z >0 thoả 2 2 2 .x y z xyz+ + = Tìm GTLN 2 2 2 x y z A x yz y xz z xy = + + + + + . 6. Cho a, b, c >0, abc = 1.T×m GTLN 32 1 32 1 32 1 222222 ++ + ++ + ++ = accbba P 7. Cho a,b,c 0≥ CMR: 1 )()()( 33 3 33 3 33 3 ≥ ++ + ++ + ++ abc c cab b cba a (HSG QB 2010 8. Cho các số dương , , : 3.a b c ab bc ca+ + = Cmr 2 2 2 1 1 1 1 . 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )a b c b c a c a b abc + + ≤ + + + + + + 9. CMR: 9 2 1 2 1 2 1 222 ≥ + + + + + bacacbbca Víi a + b + c ≥ 1, a, b, c > 0 10. Cho a, b, c >0 tho¶ m·n : 2007 111 10 111 15 222 +       ++=       ++ cabcab cba . TÌM GTLN 222222 225 1 225 1 225 1 acaccbcbbaba P ++ + ++ + ++ = 11. Cho a,b,c >0 và a+b+c=1. Chứng minh 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ab bc ac ab c c cb a ac b b + + ≥ + + + + + + + + 12. Với x, y, z là những số thực dương, hãy tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: M = ))()(( xzzyyx xyz +++ 13. Cho , ,x y z >0 thỏa mãn 3x y z+ + = . Tìm GTNN P= 3 3 3 4 4 4 (2 1 8 4 2) (2 1 8 4 2) (2 1 8 4 2) x y z y y x z z y x x z + + + + − + + − + + − . 14. Cho các số thực a,b,c>0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 2. ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b bc b c ca c a ab a b + + + + + ≥ + + + Tổ Tốn – tin - THPT NINHCHAU 6 PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG 4. KỶ THUẬT GHÉP THÊM 1. 0,, >∀ cba th× cba a c c b b a ++≥++ 222 2. 0,, >∀ cba th× 2 222 cba ab c ca b cb a ++ ≥ + + + + + 3. Cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá trị nhỏ nhất: 222 zyxA ++= 4. Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn 1xyz = . Cm: 2 3 x1 z z1 y y1 x 222 ≥ + + + + + 5. Cho ba số thực a, b, c dương . Chứng minh : ( ) 3 3 3 2 2 2 1 2 2 2 3 a b c a b c a b b c c a + + ≥ + + + + + 6. Cho x, y, z là ba số thực dương.Chứng minh rằng: 3 3 3 x y z x y z yz zx xy + + ≥ + + 7. Cho a,b,c >0 và abc=1. CM: 3 3 3 3 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4 a b c a b b c c a + + ≥ + + + + + + 8. Cho a,b,c >0 và abc=1 CMR: 4 4 4 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b c a b c b c a c a b a b c + + + + ≥ + + + 9. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5 -x + 5 -y +5 -z = 1 .Chứng minh rằng + + + + + + + + 25 25 25 25 5 5 5 5 5 x y z x y z y z x z x y ≥ + + 5 5 5 4 x y z 10. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 (a b c) (b c a) (c a b) P 3c 3a 3b + - + - + - = + + . 11. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.CMR: 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 4 a b c b c a + + ≥ + + + . 12. Với a; b; c>0 thoả mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN: 3 3 3 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) = + + − − − a b c P a b c 13. Cho a, b, c>0 thỏa abc = 1. Chứng minh rằng: 3 3 3 4 4 4 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) + + ≥ + + + + + + a b c b c c a a b 14. Cho a, b, c>0 . Chứng minh rằng: c)b(a 4 1 2 b)(a 3 c 2 a)(c 3 b 2 c)(b 3 a ++≥ + + + + + 15. Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc =1. Tìm GTNN của: bcac ab abcb ca caba bc T 222222 + + + + + = 16. Cho a,b,c >0 tho¶ a.b.c =1.T×m GTNN F= 23 5 cb a + + 23 5 ac b + + 5 3 2 c a b+ + ( ) 444 4 1 cba ++ 17. Cho các số dương , ,x y z . Hãy chứng minh: ( ) 4 4 4 3 3 3 1 . 2 x y z x y z y z z x x y + + ≥ + + + + + 18. Cho a,b,c>0 , a 2 +b 2 +c 2 =3. Tìm GTNN 3 3 3 2 2 2 3 3 3 a b c P b c a = + + + + + 19. Cho a, b, c >0thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm GTNN: 2 2 2 b b c c a a P a b c b c a c a b = + + + + + + + + Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU 7 PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 20. Cho x, y, z >0 thoả mãn x y z 3+ + = . CMR: x y z xy yz zx y z x 3 3 3 3 3 3 1 2 ( ) 9 27 8 8 8 + + ≥ + + + + + + 21. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1.CM: 3 3 3 1 2 y x z xy yz xz yz xy xz + + ≥ + + + . 22. Cho a,b,c>0: 2 2 2 1a b c+ + = .Tìm GTNN: 3 3 3 2 3 2 3 2 3 a b c P b c c a a b = + + + + + 23. Cho 3 số dương a, b, c thoả abc = 1. Tìm Min của P = 6 a b c+ + 6 b c a+ + 6 c a b+ P= 3 2 24. Cho x,y,z>0 vµ x+y+z = 6. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc 3 3 3 x y z A y z z x x y = + + + + + DẠNG 5. GHÉP ĐỐI XỨNG 1. Chứng minh : ab bc ac a b c c a b + + ≥ + + 2. Chứng minh : 1 1 1a b c bc ac ab a b c + + ≥ + + 3. Chứng minh : 3 3 3 a b c a b c bc ac ab + + ≥ + + 4. Chứng minh cabcab a c c b b a ++≥++ 333 5. Cho a,b,c >0 tho¶ m·n + + ≥ + + + 1 1 1 2 1 a 1 b 1 c , CMR ≤ 1 abc 8 6. Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx ≥ 2xyz.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).A max = 1 3 8 2 x y z⇔ = = = 7. Cho a,b,c > 0thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng 2 2 2 ab bc ca a b c+ + ≥ + + 8. Cho các số thực x, y, z thoả mãn 1 1 , , 1 3 2 x y z> > > và 3 2 1 2 3 2 2 1x y z + + ≥ + + .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (3 1)(2 1)( 1)A x y z= − − − . DẠNG 6. KỶ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG AM-GM 1. Cho 4a ≥ . Chøng minh r»ng : 1 17 4 a a + ≥ 2. Cho a, b, c >0: . 4 3 cba =++ CMR: .3a3cc3bb3a 333 ≤+++++ 3. A05.Cho x, y, z là ba số thoả mãn 0zyx =++ . Cm : 6434343 zyx ≥+++++ 4. Cho 0,, >yx và 1yx 22 =+ .Tìm giá trò nhỏ nhất 33 yxA += 5. Cho 0,, >zyx và 3zyx 222 =++ Tìm giá trò nhỏ nhất 444 zyxA ++= 6. Cho a ; b ; c >0 : 2 3 ≤++ cba T×m GTNN cđa: . 111 cba cba +++++ 7. Cho x ; y lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n : x + y = 1 . T×m GTNN cđa: ) 1 )( 1 ( 2 2 2 2 x y y x ++ Tổ Tốn – tin - THPT NINHCHAU 8 PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 8. Cho các số dương x,y, z và x + y + z = 1. CM: 4 4 4 1 1 1 1 1 1 768 x y z       + + + + + ≥  ÷  ÷  ÷       9. Cho a, b, c >0 thoả mãn : a + b + c = 3 4 . Tìm GTNN: 3 3 3 1 1 1 3 3 3 = + + + + + P a b b c c a . 10. Cho a, b, c, d > 0. CMR: a b b c c d d a a b c d 2 5 2 5 2 5 2 5 3 3 3 3 1 1 1 1 + + + ≥ + + + 11. XÐt ba sè a, b, c >0 tháa m·n a 2009 + b 2009 + c 2009 = 3. T×m GTLN : P = a 4 + b 4 + c 4 12. Cho x, y, z>0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 36 9x y z x y y z z x + + ≥ + + + 13. Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: 6 6 6 3a b c+ + = . Hãy tìm GTLN: 2 2 2 S a b c= + + 14. Cho a, b, c >0, CMR 2 2 2 3 3 3 3 a b c 3 2 b c c a a b 2       + + ≥  ÷  ÷  ÷ + + +       15. (ĐH-B-2007)Cho x>0,y>0,z>0 . Tìm GTNN của:P= x 1 x 2 yz   +  ÷   + y 1 y 2 xz   +  ÷   + z 1 z 2 xy   +  ÷   . 16. Cho ba sè a, b, c sao cho    = > 1 0,, abc cba . T×m GTNN = ( ) + + cba 3 1 ( ) + + cab 3 1 ( ) abc + 3 1 17. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2 1a b c+ + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 . 1 . 1 . 1 1a b c b c a c a b + − + + − + + − ≤ HSG QB 2011 18. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 2012 2012 2012 3 4 1006 P a b c abc = + + + DẠNG 7. CAUCHY NGƯỢC DẤU 1. Cho 0,, >cba và 3cba =++ Tìm giá trò nhỏ nhất 222 a1 c c1 b b1 a A + + + + + = 2 3 ≥A 2. Cho 0c,b,a > và 3cba =++ .Tìm giá trò nhỏ nhất 222 a1 c1 c1 b1 b1 a1 A + + + + + + + + = 3A ≥ 3. Chứng minh ∀ số dương cba ,, , d 2 dcba ad d dc c cb b ba a 22 3 22 3 22 3 22 3 +++ ≥ + + + + + + + 4. CM ∀ số dương cba ,, 3 22 3 22 3 22 3 cba acac c cbcb b baba a ++ ≥ ++ + ++ + ++ 5. Chứng minh với mọi số dương ; ;a b c ( ) 2 2 2 1 2 a b c ab bc ca a b c a b b c c a + + + + + ≥ + + + + + 6. Cho , , 0 ,xyz=1.x y z > 4 4 4 2 2 2 3 CMR: 2 1 1 1 x y y z z x x y z + + ≥ + + + 7. Cho a, b, c, d>0 thoả mãn a + b + c + d = 4. CM: a b c d b c c d d a a b 2 2 2 2 2 1 1 1 1 + + + ≥ + + + + 8. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x y z x + + ≥ + + 9. Cho a, b, c là 3 số dương và . Chứng minh Tổ Tốn – tin - THPT NINHCHAU 9 PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC BÀI 3. SỬ DỤNG BUNHIACOPXKI (CAUCHY – SCHWARZ) 1. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 . n n n n a x a x a x a a a x x + + + ≤ + + + + + + dấu “=” xảy ra khi 1 2 1 2 a a x x = = 2. 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + + . Cho dãy số dương a 1 , a 2 ,…a n và b 1 , b 2 , b n tùy ý 3. n bbb n aaa n b n a b a b a +++ +++ ≥+++ 21 2 ) 21 ( 2 2 2 2 1 2 1 c. 2 1 21 2 1 2 1 1 2 2 ( ) n n n n n a a a aa a x x x a x a x a x + + + + + ≥ + + + 1. Cho x, y, z >0 vµ x+y+z 2≤ . Chøng minh 6 2 1 2 1 2 1 7 x y z x y z + + ≤ + + + 2. Cho a,b,>0: 2 2 2 1.a b c+ + ≥ CM 3 3 3 1 2 a b c b c a c b a + + ≥ + + + 3. Cho 3 số thực x,y,z có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức: 4 4 4 .S x y z xyz= + + − 4. Cho x,y,z>0 Tìm GTNN của biểuthức: 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 x y z S x yz y yx z yx = + + + + + 5. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: .ab bc ca abc+ + = Chứng minh BĐT: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 b a c b a c ab cb ac + + + + + ≥ 6. Cho 3 số thực dương x,y,z có tích bằng 1. CM 3 3 3 1 1 1 3 . ( ) ( ) ( ) 2x y z y x z z y x + + ≥ + + + 7. Cho , ,x y z là các số thực dương. Tìm GTNN 2 2 2 3 3 3 2 2 2 13 3( ) x y y z z x xyz P z x y xy yz zx = + + + + + ĐS: 40 9 8. Cho 4 soá a, b, c, d > 0 thoaû a + b + c + d = 1. CM: + + + + + + +a b b c c d d a ≤ 2 2 9. Với giả thiết các số thực dương a,b,c. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 1 2 2 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + b) 1 2 2 2 a b c a bc b ca c ab + + ≥ + + + c) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a b b c c a + + + + ≥ + + + d) 3 2 3 2 3 2 1 a b c a b c b c a c a b + + ≤ + + + + + + Với a+b+c =3 e) 2 2 2 3 4 1 1 1 bc ca ab a b c + + ≤ + + + với 2 2 2 1a b c+ + = f) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) a b c a b c b a c c b a + + ≤ + + + + + + g) 2 2 2 1 (2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 ) 3 a b c a b a c b c b a c a c b + + ≤ + + + + + + Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU 10 . NINHCHAU 1 PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC BÀI 1. SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG BIẾN ĐỔI VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐÚNG ĐÃ BIẾT, SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÚNG Bài tập 1.Chứng minh các bất đăng thức sau:. PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG Hai biến số Ba biến số 1. ( ) 2 2 a +b 2 ,ab a b R≥ ∀ ∈ 1. 3 3a. + ,a,b,c>0 2. Bất đẳng thức CAUCHY.(AM-GM) Cho 1 2 n 1 2 1 2 a +a + +a 0, 0, , 0 . n ≥ ≥ ≥ ⇒ ≥ n n n a a a a a a . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 = = = n a a a (Điểm rơi của BĐT) 3. Bất đẳng thức