phân loại bài tập bất đẳng thức

PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨCCÁC BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG 1... PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨCBÀI 1.. SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG BIẾN ĐỔI VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐÚNG ĐÃ BIẾT, SỬ DỤNG

PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG

1. a +b2 2  2 ab   a b R ,   1. a b c    33 abc

2. a b   2 ab  a  0, b  0  2. a +b3 3  c3  3 abc

3. 1 1 4

x  y  z  x y z   z y z , , 0

( , 0) ( ) x y

xy x y  4. 3  a2 b2  c2   a b c   2

5. a3 b3 a b ab a b2  2 ( ,  0 5. a2b2c2abbcca

6. a, b > 0 ,   2

a

b b

a

6.

3 3 3

3

7.

3

3 3

a  b  a b  

7.

3

3

a b c abc      

2 2

, 2

2

, 2

a b

ab        a b R 

9. 3(ab bc ca  )a b c  2

10. 1 1 1( 1)

4

2

b c c a a b      ,a,b,c>0

2 Bất đẳng thức CAUCHY.(AM-GM)

0, 0, , 0

n

1 2   n

a a a (Điểm rơi của BĐT)

3 Bất đẳng thức BUNHIACOPXKI (3 dạng)

1. 2  2 2 2  2 2 2

1 1 2 2 n n 2 2 n 1 2 n

a x a x  a x  a a  a x x   dấu “=” xảy ra khi 1 2

1 2

a a

x x 

2. a2b2  c2d2  (a c )2(b d )2

3.Cho dãy số dương a1, a2,…an và b1, b2, bn tùy ý

a

n b

b

n a

a n

n b

a

b

a





















2 1

2 )

2 1 (

2

2

2

2

1

2

b

2

1 2

1 2

( )

a a

x x x a x a x a x

 

   

  

PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

BÀI 1

SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG BIẾN ĐỔI VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

ĐÚNG ĐÃ BIẾT, SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÚNG

Bài tập 1.Chứng minh các bất đăng thức sau: (Biến đổi tương đương)

1 a2b2c2 ab bc ca  6 a2b2 1 ab a b 

2. a2b2c2 3 2(a b c  ) 7. a2b2c2 2(ab bc ca  )

3. a4b4c2 1 2 (a ab2 a c 1) 8 a2 b2 c2 ab ac 2bc

4. a2b2c2d2e2 a b c d e(    ) 9. ab

a2 b2

1

1 1   ; với ab  1.

5 a4b4a b ab3  3

10. a a

2 2

2







Bài tập 2.Cho a, b, c, d  R Chứng minh rằng a2b2 2ab (1) Áp dụng chứng minh:

1 a4b4c4d44abcd 3. (a21)(b21)(c21) 8 abc

2. (a24)(b24)(c24)(d24) 256 abcd

Bài tập 3.Cho a, b, c  R Chứng minh: a2b2c2ab bc ca  (1) Áp dụng chứng minh

1. (a b c  )23(a2b2c2)

4 a2 b2 c2 a b c 2

2. (a b c  )2 3(ab bc ca  ) 5. a4b4c4abc a b c(   )

3. a b c ab bc ca

   nếu a b c 1  

Bài tập 4 Cho a, b  0 Chứng minh : a3b3a b b a ab a b2  2  (  ) (1) Áp dụng chứng minh

a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc

2.

a3 b3 b3 c3 c3 a3

      ; với a, b, c > 0 và abc = 1.

3.

a b b c c a

      ; với a, b, c > 0 và abc = 1.

4. 3 4(a3b3 )3 4(b3c3 )3 4(c3a3 ) 2( a b c  ) với a, b, c  0

5. 3sinA 3sinB 3sinC 3cosA 3cosB 3cosC

6. Cho x, y, z>0 thỏa mãn x + y + z = 1 Tìm GTNN:

x (y z) y (z x) z (x y) P

7. Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: a b b c c a   a b c

ab bc ca

8. Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: a b c ab bc ca 

b c a

9. Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:        

b a c b a c a b c

ab b bc c ca a

PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

10.Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:        

a b b c c a a b c

ab a bc b ca c

11.Cho a,b,c>0 Chứng minh:  3 3 3

3 3 3

2

b c c a a b

a b c

12.Cho a, b, c>0 thỏa:

2 a 2 2 b 2 2 c 2 1

a ab b b bc c c ca a  .Tìm Max S = a + b + c

13.Cho x, y, z là các biến số dương Tìm GTNN P=          

3

2 2 2

4(x y ) 4(x z ) 4(z x ) 2

14.Cho a, b, c >0 CMR:3(a3b3c3) ( a b c a  )( 2b2c2)

15.Cho a, b, c >0 CMR:9(a3b3c3) ( a b c  )3

Bài tập 5 Cho a, b, x, y  R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):

a2x2  b2y2  (a b )2(x y )2 (1)Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:

1. Cho a, b  0 thoả a b 1  Chứng minh: 1a2  1b2  5

2. Tìm GTNN của P = a b

3. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 1   Chứng minh: x y z

4. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z   3 TìmGTNN : P = 223x2  223y2  223z2

Bài tập 7.Cho a, b > 0 Chứng minh

a b a b

 (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

1. a b c1 1 1  2a b b c c a1  1  1 

 ; với a, b, c > 0.

2. a b b c c a1 1 1 2 a b c a1 1b c a b c1

3. Cho a, b, c > 0 thoả

a b c

1 1 1 4   Chứng minh:

a b c a b c a b c

2    2    2 

4. ab bc ca a b c

a b b c c a 2

 

5. Cho x, y, z > 0 thoả x2y4z12 Chứng minh: xy yz xz

x y y z z x

6. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác, p là nửa chu vi CM: p a p b p c a b c

7. Cho x, y, z >0 và 1 1 1x y z 2009Tìm GTLN: 2x y z1 x 21y z x y1 2z

Bài tập 8.Cho a, b, c > 0 Chứng minh

a b c a b c

  (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a b b c c a

2

2. Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1   Tìm GTLN của biểu thức: P = x y z

x1y1z1

PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

3. Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1   Tìm GTNN của biểu thức:P =

a2 bc b2 ac c2 ab

4. Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1   Chứng minh: a2 b2 c2 ab bc ca

1  1  1  1 30

5. Cho tam giác ABC Chứng minh:

2 cos2 2 cos2 2 cos2 5

6. Cho x, y, z d¬ng vµ x+y+z = 1.T×m min cña 1 1 1

P

7. Cho a, b, c >0 ;thoả mãn a + b + c  3 CMR a2 b2 c2 ab bc ca

8. Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x2 + y2 + z2  3 Tìm GTNN: 1 1 1

P

2

BÀI 2 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM-GM)

DẠNG 1 SỬ DỤNG ĐÁNH GIÁ TỪ TRUNG BÌNH CỘNG SANG TRUNG BÌNH NHÂN

1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) (a b b c c a )(  )(  ) 8 abc với a, b, c  0

b)  a2 b2  b2 c2  c2 a2  8 a b c2 2 2 a b c, ,

c) 3a3 + 7b3  9ab2  a, b  0

d)

2

2 2 2

1

a



  



e)

b a b



f)

1

a b b

g) (a b c a  )( 2b2c2) 9 abc với a, b, c  0

h) (1a)(1b)(1 ) 1c   3abc3với a, b, c  0

i) bc ca ab a b c

a  b  c    với a, b, c > 0

j) a2(1b2)b2(1c2)c2(1a2) 6 abc với a, b, c  0

k) ab bc ca a b c

a b b c c a 2

 

 

     

b c c a a b

3 2

   ; với a, b, c > 0.

a b c

(   )   (   )

o) Cho a, b, c > 0; a + b + c = 6 Chøng minh r»ng:

512

729 1

1 1

1









































c

a b a

2 Tìm GTNN của các biểu thức sau:

PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC a) y x x

x

18; 0 2

x2 ; 1



x

x x5 ; 0 1 1



x

x

3

21; 0

g) y x x x

x

24 4 ; 0

x

2 3

2 ; 0

3. Cho x, y, z >0 thoả mãn xyz = 1 CMR:         

1 x y 1 y z 1 z x 3 3

4. Cho ba số x, y, z >0 thỏax y z 3 Tìm GTNN P xy yz zx 3 3 3

x y z

5. Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = 1 CMR: ( 1  1)( 1 1)( 1 1)

a b c  64 HSG QB 2009

6. Chứng minh rằng với mọi x  R, ta có:        

     

12 15 20 3 4 5

7. Cho x, y, z>0 x2 y2 z2 3

4

÷

8. Cho x y z, , >0 thoả mãn: 2 xy xz 1Tìm GTNN: P3x yz4y zx5xy z ĐS:4

9. Chox, y, z>0 thỏa: x2 y2 z2  2xy 3 (xyz). TìmGTNN 20  202.











y z x z y x P

DẠNG 2 ĐÁNH GIÁ TỪ TRUNG BÌNH NHÂN SANG TRUNG BÌNH CỘNG

1.Tìm GTLN của các biểu thức sau

a) y(x3)(5 x); 3  x 5 b) y x (6 x); 0 x 6

c) y (x 3)(5 2 ); 3x x 5

2

2

e) y (6x 3)(5 2 );x 1 x 5

x2 2; 0



2. Cho ba số thực a, b, c không âm Chứng minh : a2 bc b  2 ac c  2 ab a  3  b3 c3

3. Cho ba số thực a, b, c thoả a9,b4,c1 Chứng minh 11

12

abc

ab c bc a ca b 

4. Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y=2 Chứng minh a xy x( 2y2) 2  b x y x3 3( 3y3) 2 

5. Cho:a b c  1 Chứng minh :       8

729

abc a b b c c a   

6. x,y là các số thực thỏa : 0   x 3;0   y 4 Tìm GTLN : A  (3  x )(4  y )(2 x  3 ) y

7. Biết x,y,z,u 0 và 2x+xy+z+yzu=1, Tìm GTLN của P = x y z u2 2 2 (HSG QB 09) minP = 1

512

8. Cho a b c , , >0 tháa m·n a b c    3 CMR: a b3   1 b c3   1 c a3   1 5

9. Cho a,b,c >0 và (a+b)(b+c)(c+a)>0 CMR b2 2bc c2 c2 2ca a2 a2 2ab b2 2(ab bc ca2 2 2) 4

PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

2

xy z   yz x   zx y  

11 Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

S =

a bc  b ca  c ab

12.Cho x, y, z>0 CMR: 1 1 1 2 2 362 2 2 2

9

x  y  z   x y  y z  z x HSG QB 10-2012

DẠNG 3 ĐÁNH GIÁ MẪU SỐ

a b ab b c bc c a ca

5

2 Cho a, b, c>0 thoả mãn: ab bc ca 1   CMR: a b c

a2 b2 c2

3 2

3 Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ xyz Tìm GTLN. 2 2 2

P

x yz y zx z xy

4 Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn: a2b2c2  3

5 Cho ba số x, y, z >0 thoả x2  y2  z2  xyz Tìm GTLN 2 x 2 y 2 z

A

6 Cho a, b, c >0, abc = 1.T×m GTLN

3 2

1 3

2

1 3

2

1

2 2 2

2 2

2



















a c c

b b

a P

) ( )

( )

3 3

3

3 3

3

3

















c c

a b

b c

b a

a

(HSG QB 2010

8 Cho các số dương , , :a b c ab bc ca  3 Cmr 2 2 2

1a b c(  ) 1 b c a(  ) 1 c a b(  ) abc

2

1 2

1 2

1

2 2









10 Cho a, b, c >0 tho¶ m·n : 15 12 12 12 10 1 1 1 2007

































ca bc ab c

b

TÌM GTLN 2 2 2 2 2 2

2 2 5

1 2

2 5

1 2

2 5

1

a ca c c

bc b b

ab a

P



















11 Cho a,b,c >0 và a+b+c=1 Chứng minh 12 12 12 1

ab c  c cb  a  ac b  b  

12. Với x, y, z là những số thực dương, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = (xy)(y xyzz)(zx)

13 Cho x y z, , >0 thỏa mãn x y z   3 Tìm GTNN P= 43 43 43

(2 1 8 4 2) (2 1 8 4 2) (2 1 8 4 2)

y  y  x z  z  y x  x  z

14. Cho các số thực a,b,c>0 Chứng minh rằng:

3 2

a b c b c a c a b

bc b c ca c a ab a b

DẠNG 4 KỶ THUẬT GHÉP THÊM

PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

1. a,b,c 0 th× a b c

a

c c

b b

a











2 2 2

2. a,b,c 0th×

2

2 2

a b

c c a

b c b













4 Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn xyz  1 Cm:

2

3 x 1

z z 1

y y 1

x 2 2 2













5 Cho ba số thực a, b, c dương Chứng minh : 3 3 3 1  2 2 2

a  b b   c c   a   

6 Cho x, y, z là ba số thực dương.Chứng minh rằng:

3 3 3

x y z

yz  zx  xy   

7 Cho a,b,c >0 và abc=1 CM:

( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4

a b  b c  c a 

8 Cho a,b,c >0 và abc=1 CMR: 2 4 2 4 2 4 2

( ) ( ) ( )

b c a c a b a b c

 

9 Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5-x + 5-y +5-z = 1 Chứng minh rằng

x y z y z x z x y  5  5  5

4

10 Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P (a b c)3 (b c a)3 (c a b)3

11 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.CMR:

3

b  c   a  

12 Với a; b; c>0 thoả mãn a + b + c = 1 Tìm GTNN:

P

13 Cho a, b, c>0 thỏa abc = 1 Chứng minh rằng:

3 (1  )(1  ) (1  )(1  ) (1  )(1  )

14 Cho a, b, c>0 Chứng minh rằng: (a b c)

4

1 2 b) (a

3 c 2 a) (c

3 2

c) (b

3 a

















15 Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc =1 Tìm GTNN của:

b c a c

ab a

b c b

ca c

a b a

bc

T 2 2 2 2 2 2













16 Cho a,b,c >0 tho¶ a.b.c =1.T×m GTNN F= 3 5 2

c b

a

5

a c

b

5

3 2

c

a b +  4 4 4

4

1

c b

17 Cho các số dương x y z, , Hãy chứng minh: 4 4 4 1 3 3 3

2

x y z

y z z x  x y   

18 Cho a,b,c>0 , a2+b2+c2=3 Tìm GTNN

2 3 2 3 2 3

P

19 Cho a, b, c >0thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm GTNN:

P

a b c b c a c a b

20 Cho x, y, z >0 thoả mãn x y z 3   CMR: x y z xy yz zx

9 27

21 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1.CM: 3 3 3 1

2

y

xy yz xz yz xy xz     

PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

22 Cho a,b,c>0: a2b2c2  Tìm GTNN:1

P

b c c a a b

23.Cho 3 số dương a, b, c thoả abc = 1 Tìm Min của P = a6

b c + b6

c a + c6

a b P=32

24 Cho x,y,z>0 vµ x+y+z = 6 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøcA x3 y3 z3

DẠNG 5 GHÉP ĐỐI XỨNG

1. Chứng minh : ab bc ac

a b c

c  a  b   

bc  ac  ab   a b c 

3. Chứng minh :

3 3 3

a b c

bc  ac  ab   

a

c c

b b

a











3 3 3

2

1 abc

8

6. Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx  2xyz.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).Amax = 1 3

8 x  y z 2

7. Cho a,b,c > 0thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng ab2bc2ca2   a b c

8. Cho các số thực x, y, z thoả mãn 1, 1, 1

x y z và 3 2 1 2

3x2 2 y1z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcA(3x1)(2y1)(z1)

DẠNG 6 KỶ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG AM-GM

1. Cho a 4 Chøng minh r»ng : 1 17

4

a a

2. Cho a, b, c >0: .

4

3 c b

a    CMR: 3 a b3 b3c3 c3a 3

3. A05.Cho x, y, z là ba số thoả mãn x  y  z  0 Cm : 3  4x  3  4y  3  4z  6

4. Cho x,y,  0và x 2 y 2 1



 Tìm giá trị nhỏ nhất A  x 3  y 3

5. Cho x,y,z  0và x 2 y 2 z 2 3





 Tìm giá trị nhỏ nhất A  x 4  y 4  z 4

6. Cho a ; b ; c >0 : 2

3





b c

c b a c b

7. Cho x ; y lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n : x + y = 1 T×m GTNN cđa: ( 1 )( 2 12)

2 2

x

y y

8. Cho các số dương x,y, z và x + y + z = 1 CM:

4

9. Cho a, b, c >0 thoả mãn : a + b + c = 3

P

10.Cho a, b, c, d > 0 CMR: a

b

b c

c d

d

a a b c d

2 5

2 5

2 5

2

5 3 3 3 3

PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

11.Xét ba số a, b, c >0 thỏa mãn a2009 + b2009 + c2009 = 3 Tìm GTLN : P = a4 + b4 + c4

12.Cho x, y, z>0 Chứng minh rằng: 1 1 1 2 2 362 2 2 2

9

x  y  z   x y  y z  z x

13.Ba số thực a,b,c thỏa món hệ thức: a6  b6  c6  3 Hóy tỡm GTLN:S a  2  b2  c2

14.Cho a, b, c >0, CMR

15.(ẹH-B-2007) Cho x>0,y>0,z>0 Tỡm GTNN cuỷa:P=xx2 yz 1 

 +yy2 xz 1 

 +zz2 xy 1 

16.Cho ba số a, b, c sao cho









 1

0 , ,

abc

c b a

Tìm GTNN = a3bc 

1

ac 

b3

1

b a

c3  1

17.Cho ba số dương a, b, c thỏa món a2  b2  c2  1 Chứng minh rằng:

a b  c b c  a c a  b  HSG QB 2011

18.Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc cú chu vi bằng 3 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

3

4 1006

DẠNG 7 CAUCHY NGƯỢC DẤU

1. Cho a,b,c 0vaứ a  b  c  3Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt 2 2 2

a 1

c c 1

b b 1

a A













2

3



A

2. Cho a , b , c  0vaứ a  b  c  3.Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt 2 2 2

a 1

c 1 c 1

b 1 b 1

a 1 A

















3. Chửựng minh  soỏ dửụng a,b,c,d

2

d c b a a d

d d c

c c b

b b a

a

2 2

3 2 2

3 2 2

3 2 2

3























4. CM  soỏ dửụng a,b,c

3

2 2

3 2

2

3 2

2

a ca c

c c

bc b

b b

ab a



















5 Chứng minh với mọi số dương ; ;a b c a2 b2 c2 12 ab bc ca a b c

a b b c c a          

6 Chox y z , , 0 ,xyz=1. 4 4 4

3 CMR:

2

x  y  z  

7 Cho a, b, c, d>0 thoả món a + b + c + d = 4 CM: a b c d

b c2 c d2 d a2 a b2 2

1  1  1  1  

8 Chứng minh bất đẳng thức sau

2 2 2

2 2 2

y  z  x   y z  x

9 Cho a, b, c là 3 số dương và Chứng minh

BÀI 3 SỬ DỤNG BUNHIACOPXKI (CAUCHY – SCHWARZ)

1 1 2 2 n n 2 2 n 1 2 n

a x a x  a x  a a  a x x   dấu “=” xảy ra khi 1 2

1 2

a a

x x 

PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

2 a2b2  c2d2  (a c )2(b d )2 Cho dãy số dương a1, a2,…an và b1, b2, bn tùy ý 3

n b

b

n a

a n

n b

a

b

a





















2 1

2 )

2 1 (

2

2

2

2

1

2

2

1 2

1 2

( )

a a

x x x a x a x a x

 

   

  

1 Cho x, y, z >0 vµ x+y+z2 Chøng minh 6

x  y  z 

2 Cho a,b,>0: a2  b2  c2  1. CM

2

b c a c b a      

3 Cho 3 số thực x,y,z cĩ tổng bằng 1 Tìm GTNN của biểu thức: S  x4  y4  z4  xyz

4 Cho x,y,z>0 Tìm GTNN của biểuthức:

S

5 Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: ab bc ca abc    Chứng minh BĐT:

3

6 Cho 3 số thực dương x,y,z cĩ tích bằng 1 CM 3 1 3 1 3 1 3

.

7 Cho x y z, , là các số thực dương Tìm GTNN 2 2 2

13

P

  ĐS:40

9

8. Cho 4 số a, b, c, d > 0 thoả a + b + c + d = 1 CM: a b  b c  c d  d a  2 2

9. Với giả thiết các số thực dương a,b,c Chứng minh các bất đẳng thức sau:

b c c  aa b

a bc b  ca c  ab

d) 3 a2 3 b2 3 c2 1

a b c b c a c a b Với a+b+c =3

4

a  b  c   với a2 b2 c2  1

f)

1 3

a  b c  b  a c  c  b a 

a b a c  b c b a  c a c b 

10 Cho tam giác ABC Điểm M nằm trong tam giác Lần lượt gọi x, y, z là độ dài đường cao tương ứng

hạ từ M xuống các cạnh BC, AC, AB.Chứng minh rằng:

R

c b a z y x

2

2 2







11 Cho x y z, , >0 và x y z  1, CM 2 12 2 12 2 12 82