Bất dẳng thức Côsi

3. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA 3. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG TRUNG BÌNH CỌNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN BÌNH CỌNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN a. a. Âäúi våïi hai s äú khäng ám Âäúi våïi hai s äú khäng ám H A B O C D Cho HA = a, HB =b. Tính OD và HC theo a Cho HA = a, HB =b. Tính OD và HC theo a và b. So sánh OD và CH và b. So sánh OD và CH OD = OD = a b+ 2 CH = CH = ab Ta có :OD ≥ CH Ta có :OD ≥ CH ⇔ ⇔ a b+ 2 ab ≥ ≥ Định lí Định lí : với mọi a ≥ 0, b≥ 0 ta có: : với mọi a ≥ 0, b≥ 0 ta có: a b ab + ≥ 2 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b Ví dụ 1 Ví dụ 1 : : Cho a, b ,c Cho a, b ,c ∈ ∈ R R + + • Chứng minh: Chứng minh: Ví dụ 2 Ví dụ 2 : cho 3 số không âm a, b, c. : cho 3 số không âm a, b, c. Chứng minh: (a+b)(ab+1) ≥ 4ab Chứng minh: (a+b)(ab+1) ≥ 4ab a b b c a c c a b + + + + + ≥ 6 Hệ quả Hệ quả : : Cho a, b Cho a, b ∈ ∈ R R + + • Nếu a+b = k không đổi thì ab lớn nhất Nếu a+b = k không đổi thì ab lớn nhất ⇔ ⇔ a = b a = b • Nếu a.b = k không đổi thì a+b nhỏ nhất Nếu a.b = k không đổi thì a+b nhỏ nhất ⇔ ⇔ a = b a = b Ứng dụng Ứng dụng : : • Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. hình vuông có diện tích lớn nhất. • Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. Ví dụ 1 Ví dụ 1 : : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y= (x+2)(3-x) trên đoạn [-2; 3] y= (x+2)(3-x) trên đoạn [-2; 3] Ví dụ 2 Ví dụ 2 : : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y x x = + − 4 1 với x >1 với x >1 Ta có Ta có : : y x x = − + + − 4 1 1 1 X-1 > 0 và X-1 > 0 và x − 4 1 > 0 > 0 ∀ ∀ x >1 x >1 Áp dụng BĐT Côsi ta có: Áp dụng BĐT Côsi ta có: x x − + ≥ = − 2 1 2 4 4 1 ⇒ ⇒ y ≥ 5 y ≥ 5 Vậy Miny = 5 khi x = 3 Vậy Miny = 5 khi x = 3 Dấu = xẩy ra Dấu = xẩy ra ⇔ ⇔ (x-1) (x-1) 2 2 = 4 = 4 ⇒ ⇒ x= 3 x= 3 b. b. Âäúi våïi ba s äú khäng ám Âäúi våïi ba s äú khäng ám Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có: Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có: a b c abc + + ≥ 3 3 Đẳng thức xẩy ra Đẳng thức xẩy ra ⇔ ⇔ a = b = c a = b = c Ví dụ Ví dụ : : Cho a, b ,c Cho a, b ,c ∈ ∈ R R +. +. Ch Ch ứng minh: ứng minh: (a b c) a b c   + + + + ≥  ÷   1 1 1 9 • Nếu a+b+c = k không đổi thì abc lớn nhất Nếu a+b+c = k không đổi thì abc lớn nhất ⇔ ⇔ a=b=c a=b=c • Nếu a.b.c= k không đổi thì a+b+c nhỏ nhất Nếu a.b.c= k không đổi thì a+b+c nhỏ nhất ⇔ ⇔ a=b=c a=b=c Hệ quả Hệ quả : : Củng cố Củng cố • Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân Cho 2 số: Cho 2 số: a b ab + ≥ 2 Đẳng thức xẩy ra Đẳng thức xẩy ra ⇔ ⇔ a = b a = b Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có: Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có: a b c abc + + ≥ 3 3 Đẳng thức xẩy ra Đẳng thức xẩy ra ⇔ ⇔ a = b = c a = b = c Cho 3 số: Cho 3 số: • Ứng dụng để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số Ứng dụng để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số . Củng cố • Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân Cho 2 số: Cho 2 số: a b ab + ≥ 2 Đẳng thức xẩy. 3. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA 3. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG TRUNG BÌNH CỌNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN BÌNH CỌNG