BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỌNG VĂ TRUNG BÌNH NHĐN a... • Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Trang 13 BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỌNG VĂ TRUNG BÌNH NHĐN
a Đối v ới hai s ố không âm
H
O
C D
Cho HA = a, HB =b Tính OD vă HC theo a
vă b So sânh OD vă CH
OD = a b +
2
CH = ab
Ta có :OD ≥ CH ⇔ a b +
2 ≥ ab
Định lí: với mọi a ≥ 0, b≥ 0 ta có:
a b
ab
+ ≥
2
Đẳng thức xẩy ra khi vă chỉ khi a = b
Trang 2Ví dụ 1: Cho a, b ,c∈ R+
• Chứng minh:
Ví dụ 2: cho 3 số không âm a, b, c
Chứng minh: (a+b)(ab+1) ≥ 4ab
a b b c a c
+ + + + + ≥ 6
Hệ quả: Cho a, b ∈ R+
• Nếu a+b = k không đổi thì ab lớn nhất ⇔ a = b
• Nếu a.b = k không đổi thì a+b nhỏ nhất ⇔ a = b Ứng dụng:
• Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi,
hình vuông có diện tích lớn nhất
• Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện
tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất
Trang 3Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
y= (x+2)(3-x) trên đoạn [-2; 3]
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
y x
x
= +
−
4
1 với x >1
Ta có: y x
x
−
4
1
X-1 > 0 và
4
1 > 0 ∀x >1
Áp dụng BĐT Côsi ta có: x
x
−
2
1
⇒y ≥ 5
Vậy Miny = 5 khi x = 3
Dấu = xẩy ra ⇔ (x-1)2 = 4 ⇒ x= 3
Trang 4b Đối v ới ba s ố không âm
Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có:
a b c
abc
3
Đẳng thức xẩy ra ⇔ a = b = c
Ví dụ : Cho a, b ,c∈ R+ Chứng minh:
(a b c)
a b c
1 1 1
9
• Nếu a+b+c = k không đổi thì abc lớn nhất ⇔ a=b=c
• Nếu a.b.c= k không đổi thì a+b+c nhỏ nhất ⇔ a=b=c
Hệ quả:
Trang 5Củng cố
• Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân
Cho 2 số:
a b
ab
+ ≥
2
Đẳng thức xẩy ra ⇔ a = b Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có:
Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có:
a b c
abc
3
Đẳng thức xẩy ra ⇔ a = b = c Cho 3 số:
•Ứng dụng để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số
