TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN VÀ LỜI GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC TOÀN TẬP

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ TùngII.. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1... Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:a... Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ TùngIII.. Chứng minh BĐT dựa và

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng

II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0    

2. Chứng minh: (a b c)(a  2b2c ) 9abc ; a,b,c 02  

3. Chứng minh: 1 a 1 b 1 c       13abc với a , b , c  03

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd     4 với a , b , c , d  0 (Côsi 4 số)Côsi 4 số))

b. a b c 3 abc    3 với a , b , c  0 , (Côsi 4 số)Côsi 3 số) )

xy

x 2 Định x để y đạt GTLN

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki

2. Chứng minh: sinx cosx  2

2. Chứng minh: (a b c)(a  2b2c ) 9abc ; a,b,c 02  

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

1 4 abc1

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd     4 với a , b , c , d  0 (Côsi 4 số)Côsi 4 số))

3 thì y đạt GTNN bằng 

362

2Vậy: Khi x 30 1

2 thì y đạt GTNN bằng



30 1312

3 2

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki

()  a b2 22abcd c d 2 2 a b2 2a d2 2c b2 2c d2 2

 a d2 2c b2 2 2abcd 0   ad cb 20

2. Chứng minh: sinx cosx  2

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :

 sinx cosx 1 sinx 1 cosx  1 1 sin x cos x2 2 2  2   2

Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức

PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1. (CĐGT II 2003 dự bị)

Cho 3 số bất kì x, y, z CMR: x2xy y 2 x2xz+z2  y2yz+z2

2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3  x + y + z

9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz

Ch minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb c a log c a b log a b c 1

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi  > 1 ta luôn có: x +  – 1 ≥ x

Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức

Cho 3 số a, b, c bất kì Chứng minh các BĐT:

a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

27 (ĐH An Giang khối D 2000)

Cho các số a, b, c ≥ 0 Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì

b d.

38 (Đại học 2002 dự bị 6)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 Gọi a, b, c lần lượt là độ dài cáccạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từcác đỉnh A, B, C Chứng minh rằng:

48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2)

Chứng minh rằng nếu 0  y  x  1 thì x y y x 1

4.Đẳng thức xảy ra khi nào?

z3 + 1 + 1  33 3z  z3 + 2  3z (3)Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

3Xét hàm số f(t) = 3t + 3

t với 0 < t 

1322

3Bảng biến thiên:

t

f '(t) f(t)

0 + ∞

10

1 3

–

Từ bảng biến thiên ta suy ra: A  10 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

3Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

3.Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1

1 4y4y5

x y4x,y 0

Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10).

9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Ta có: x + y + z  33xyz  xyz  33xyz  (xyz)2  27  xyz  3 3Dấu "=" xảy ra  x = y = z = 3

Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt   

14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x3, y2 ta có:

Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c Tađược:

VT= logb c a log c a b log a b c log a b a log a b b log a b c log a b abc

Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b

Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

 Xét f(x) = x – x +  – 1 (x ≥ 0)

f(x) = (x – 1 – 1); f(x) = 0  x = 1

x

f ’(x)f(x)

+ ¥0

 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abcabc ≤ 1

 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abcabc ≤ 1

 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14

 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14

= 3(a + b +c)2 – 14 = 13Đẳng thức xảy ra  3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c  a = b = c = 1

3Đẳng thức xảy ra  x = y = z = 1

 (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0

 (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0  (a + b)(a – b)2 ≥ 0

BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng

b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥

≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

a, b, c > 0 abc = 1 

y z z x x yTheo BĐT Bunhiacopxki ta có:

63( 2 3)y

6Vậy min(x + y) = 5 2 6

6

27 (ĐH An Giang khối D 2000)

Giả sử a ≥ b ≥ 0  ac(a – b) ≥ bc(a – b)  ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:

2 = x + y + z + x + y + z ≥ 63xyz (1)

30

n = 



n k

n k

k 0

1C

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

b 1 2b

c

2 2

c 1 2c

aa

y2 + z2 – y2z – 1 ≤ 0 (4)Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 Vậy (1) đúng  (*) đúng

2RDấu “=” xảy ra    

x y4

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng

 Cách 3: 2 + 1 x. 2  y. 1

2 x 2 y ≤ x y. 4x 4y 1 (3)Dấu “=” ở (3) xảy ra 

x y4

x y4 

x f’(x) f(x)

0 minf(x)

Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăngkhi b biến thiên từ 8abc đến 48abc Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8abc)]

99ttvới t = ( xyz)  0 < t  3 2     

 Q(t)  Q 

 

1

9 = 8abc2 Vậy P  Q(t) 82

 Tìm max: y = sin5x + 3 cosx ≤ sin4x + 3 cosx (1)

Ta chứng minh: sin4x + 3 cosx ≤ 3 , x  R (2)

 3 (1 – cosx) – sin4x ≥ 0  3 (1 – cosx) – (1 – cos2x)2 ≥ 0

 (1 – cosx). 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)2  ≥ 0 (3)Theo BĐT Côsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = 1

2(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤

 Tìm min: Ta có y = sin5x + 3 cosx ≥ – sin4x + 3 cosx

Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x =  + k2

Đẳng thức xảy ra  (1), (2), (3) là các đẳng thức  x = 0.

49 (Đại học khối D 2005 dự bị 2)



S 1 (*)Đặt h = f(S) = S 3

2 2

 

y 04y 1 y  y =

13

Do đó ta có bảng biến thiên như trên

 Với y ≥ 2  f(y) ≥ 2 1 y ≥ 2 5 > 2 + 3  2

Vậy A ≥ 2 + 3 với mọi số thực x, y

Khi x = 0 và y = 1

3 thì A = 2 + 3 Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3

42

Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức