giáo trình cơ lý thuyết - Trường ĐH Bách khoa Hồ Chí Minh

PHẦN I TĨNH HỌC VẬT RẮN Tĩnh học là phần đầu của cơ học lý thuyết khảo sát sự cân bằng của vật thể chịu tác dụng của lực Hai vấn đề chính được giải quyết trong tĩnh học là thu gọn hệ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Vũ Duy Cường

GIÁO TRÌNH

CƠ LÝ THUYẾT

(Tái bản lần thứ nhất)

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA

TP HỒ CHÍ MINH - 2002

MỤC LỤC

PHẦN I TĨNH HỌC VẬT RẮN

Chương 2 THU GỌN HỆ LỰC PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG

6.1 Khảo sát động học điểm bằng phương pháp vector

8.4 Các ví dụ 86

Chương 10 MỞ ĐẦU ĐỘNG LỰC HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

10.2 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

12.1 Các định lý chuyển động khối tâm - động lượng

Chương 14 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC

15.1 Định nghĩa, đặc điểm của hiện tượng va chạm

15.2 Các định lý tổng quát của động lực học

LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình này được biên soạn nhằm phục vụ sinh viên ngành cơ khí và xây

dựng Tuy nhiên, sinh viên, kỹ sư các ngành khác muốn tìm hiểu những kiến thức

cơ bản của cơ học có thể dùng tài liệu này tham khảo

Để đáp ứng yêu cầu trên, tác giả đã mạnh dạn đưa ra một số thay đổi

trong phần trình bày nội dung và một số vấn đề đáng chú ý sau:

1- Phần tĩnh học

Lý thuyết được xây dựng lấy định lý tương đương cơ bản làm trung tâm

Các bài toán cân bằng có kể đến hai loại ma sát (trượt, lăn) chỉ có thể

đánh giá chính xác ở trạng thái cân bằng Nếu vật đã khởi động không thể sử

dụng điều kiện cân bằng tĩnh

2- Động lực học

Nguyên lý D ’ ALEMBERT được trình bày trước để có thể giải quyết đầy đủ

các yêu cầu về động lực của cơ hệ, xác định được miền giới hạn của các tham số

phù hợp với trạng thái chuyển động của cơ hệ ngay từ đầu, tránh sự ngộ nhận

các kết quả tính toán

3- Để tạo điều kiện thuận lợi cho người đọc, giáo trình dành khoảng 60%

nội dung cho các ví dụ và bài tập tự làm Trong đó có một số bài tập tổng hợp

xuyên suốt nội dung của môn học

Để hoàn thành giáo trình này, tác giả đã nhận được sự hỗ trợ nhiệt tình

của các đồng nghiệp Nguyễn Quốc Việt, Vũ Công Hòa, Nguyễn Đắc Thiện trong

việc đánh máy bản thảo Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này

Những suy nghĩ trên đây hoàn toàn dựa vào chủ quan của tác giả nên

không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận được sự đóng góp của các

đồng nghiệp và bạn đọc nhằm giúp tác giả xây dựng giáo trình ngày càng

hoàn thiện

Mọi ý kiến xin gởi về: Bộ môn Cơ Kỹ thuật - Trường Đại học Bách khoa -

Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh - 268 Lý Thường Kiệt, F14, Q10

Thạc sĩ VŨ DUY CƯỜNG

PHẦN I

TĨNH HỌC VẬT RẮN

Tĩnh học là phần đầu của cơ học lý thuyết khảo sát sự cân bằng của vật thể chịu tác dụng của lực

Hai vấn đề chính được giải quyết trong tĩnh học là thu gọn hệ lực và điều kiện cân bằng của hệ lực

Nhờ phương pháp trừu tượng hóa và mô hình hóa chúng ta xây dựng các khái niệm cơ bản và những tiên đề làm cơ sở để giải quyết các vấn đề đặt ra Những khái niệm cơ bản nêu ra những mô hình cơ bản nhất của các đối tượng khảo sát

Những tiên đề nêu lên những chân lý khách quan dễ nhận thấy, và những quan hệ đầu tiên giữa các mô hình cơ bản

Tất cả các đánh giá, kết luận có được sau này đều phải được chứng minh chặt chẽ từ hệ tiên đề

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

Nội dung

- Các mô hình cơ bản và hệ tiên đề

- Khái niệm về liên kết, phản lực liên kết

- Các mô hình phản lực liên kết

Yêu cầu

- Hiểu và nhớ các khái niệm cơ bản, hệ tiên đề tĩnh học

- Nắm vững các mô hình phản lực liên kết, nguyên tắc chung để biểu diễn các phản lực liên kết

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1 Vật rắn tuyệt đối

Vật rắn tuyệt đối là vật thể không bị biến dạng trong mọi trường hợp chịu lực

Vật rắn tuyệt đối chính là vật thể đàn hồi được lý tưởng hóa bỏ qua biến dạng

Trong thực tế nếu biến dạng của vật có ảnh hưởng không đáng kể trong tính toán, vật khảo sát được xem là vật rắn tuyệt đối

Chất điểm là vật rắn tuyệt đối đặc biệt Từ đây về sau, nếu không có lưu

ý gì, vật khảo sát được hiểu là vật rắn tuyệt đối

2 Trạng thái cân bằng

Vật rắn được gọi là cân bằng đối với một hệ quy chiếu nếu nó đứng yên hay chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu đó

Hệ quy chiếu là một vật rắn được chọn làm chuẩn để quan sát, đánh giá

vị trí của vật khảo sát Trong giáo trình này, hệ quy chiếu được chọn là hệ quy chiếu quán tính

d A

F //

F F O

I (Δ)

Hình 1.2

Lực tập trung là lực biểu diễn cho tương tác cơ học thông qua một vùng rất bé, xem như một điểm (A) Người ta nói lực F đặt tại A

Lực phân bố biểu diễn cho tác động cơ học thông qua một miền

4 Một số định nghĩa khác

1- Mômen của lực đối với tâm

Mômen của lực F đặt tại A đối với tâm O là

đại lượng vector đặt tại O:

F r F OA ) F (

mro = × = r× (1.1) Biểu diễn: cho rr = rr(x,y,z); F = F ( X , Y , Z )

(1.1) ⇔ mro( F ) = ( Z y − Y z ) ri + ( X z − Z xrj + ( Y x − X y ) kr (1.2)

) F

(

mro - vuông góc với mặt phẳng chứa O và F, mro (F = d.F

) F

(

mro = 0 khi giá của F qua O (và tất nhiên cả khi F = 0)

2- Mômen của lực đối với trục (Δ)

Phân tích F = F ⊥ + F // (Fr⊥vuông góc trục Δ, F // song song trục Δ) Mômen của Fr đối với trục Δ là lượng đại số

d- là khoảng cách từ trục A đến giá của F ⊥

- Lấy dấu cộng nếu nhìn từ đỉnh trục Δ thấy F ⊥ có xu thế quay

- Lấy dấu trừ nếu có xu thế quay ngược lại mΔ( F ) = 0 khi F song song trục Δ hay giá F cắt trục Δ

Trong tài liệu này chúng ta quy ước các đại lượng mômen qua các chữ M,

M, m

Định lý liên hệ

Hình chiếu mômen của lực F đối với tâm O ∈ (Δ) bằng mômen của F

d r

O

Hình 1.1

1.2 HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

1 Tiên đề 1 (cặp lực cân bằng)

Hệ hai lực cân bằng khi và chỉ khi chúng cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau, cùng cường độ

, F ( F') ≡ 0 ⇔

3 Tiên đề hình bình hành lực

Hai lực cùng đặt tại một điểm tương đương với

một lực đặt tại điểm đó được biểu diễn bằng vector

đường chéo hình bình hành có hai cạnh là hai lực

thành phần (F A , F ' A) ≡ R A

4 Tiên đề lực tương tác

Lực tác dụng và phản tác dụng giữa hai vật là hai lực lần lượt đặt lên mỗi vật tương tác chúng cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau, cùng cường độ

5 Tiên đề hóa rắn

Vật biến dạng đang cân bằng hóa rắn lại vẫn cân bằng (điều ngược lại không đúng)

6 Tiên đề giải phóng liên kết, vật gây liên kết, vật chịu liên kết

1- Vật không tự do, vật tự do

- Vật không tự do là vật không thể di chuyển tùy ý trong lân cận bé từ vị trí đang xét

- Vật tự do là vật có thể dịch chuyển tùy ý về mọi hướng trong lân cận bé từ vị trí đang xét

2- Vật chịu liên kết, vật gây liên kết

Vật khảo sát (S) được quy ước là vật chịu liên kết, các vật thể khác tương tác cơ học với S được gọi là các vật gây liên kết, chúng có vai trò cản trở chuyển động hay xu hướng chuyển động của S là vật không tự do

3- Tiên đề giải phóng liên kết

Vật không tự do có thể xem là tự do nếu ta thay thế các vật gây liên kết bằng các phản lực liên kết

7 Một số hệ quả và mô hình phản lực liên kết

Hệ quả trượt lực: Với vật rắn tuyệt đối

lực là đại lượng vector trượt

Chứng minh Cho ( F A ), tại điểm B tùy ý trên

giá của F A chúng ta đặt hệ lực cân bằng

0)

F

,

F

( B ,B ≡ có tính chất F B chính là F A

trượt về điểm B

)

F

0 B

A , F , F ) F F

4 42 1

r v

r

≡

≡

: điều phải chứng minh

1.3 MỘT SỐ MÔ HÌNH PHẢN LỰC LIÊN KẾT THƯỜNG GẶP

• Tính chất của phản lực liên kết

Theo tiên đề 6, phản lực liên kết phải thay thế được vai trò cản trở chuyển động hay xu hướng chuyển động của vật gây liên kết đặt vào vật khảo sát S, do đó chúng phụ thuộc hai yếu tố:

- Khả năng chuyển động của vật khảo sát (do lực hoạt động tác động vào S) được biểu hiện qua cường độ của phản lực (luôn luôn là ẩn số)

- Tính chất cản trở chuyển động hay xu hướng chuyển động của vật gây liên kết (đặt vào vật khảo sát) được biểu hiện qua phương (chiều) của phản lực Dựa vào các đánh giá này chúng ta sẽ biểu diễn các thành phần phản lực của một số mô hình liên kết thường gặp trong kỹ thuật

• Các mô hình phản lực liên kết

1- Phản lực liên kết tựa một chiều (không ma sát)

Vật khảo sát tựa trên bề mặt của vật gây liên kết, mặt tựa chỉ có khả năng cản trở chuyển động và xu hướng chuyển động của vật khảo sát theo phương pháp tuyến chúng tại điểm tiếp xúc Phản lực đặt vào vật tại tiếp điểm hướng theo pháp tuyến ngoài của mặt tựa

i

N - trong H.1.6a; N A- trong H.1.6b

- Phản lực có phương chiều xác định, cần tìm cường độ

- Một số mô hình liên kết tựa trong kỹ thuật:

2- Liên kết bản lề trụ (khớp bản lề)

Loại liên kết gồm hai ống trụ lồng vào nhau, vật khảo sát không có xu hướng quay quanh trục vuông góc với trục bản lề Để đơn giản, chúng ta xem mô hình phẳng, hình tròn trong và vòng tròn ngoài tựa lên nhau, không cho đi ra khỏi nhau Phản lực luôn luôn đi qua tâm O (chung) nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục bản lề, trượt về O, phản lực được biểu diễn qua hai thành phần vuông góc (Rx,Ry)

Chiều của chúng được chọn một cách chủ quan, có thể không đúng như thực tế

- Mô hình kỹ thuật:

- Mô hình kỹ thuật kết hợp:

Phản lực trong mô hình thứ 3 của H.1.10 là loại tựa hai chiều, chiều phản lực chưa biết cụ thể Hai mô hình đầu là phản lực tựa một chiều

3- Liên kết bản lề cầu (khớp cầu)

Hai quả cầu lồng vào nhau, có thể quay tương đối với nhau nhưng hai tâm luôn trùng nhau Do không cản quay quanh bất cứ trục nào nên vector mômen phản lực đối với tâm O bằng không, còn vector chính phản lực luôn đi qua tâm

O được phân làm ba thành phần vuông góc R ( Rx, Ry, Rz) Liên kết đưa vào bài toán ba ẩn số

Mô hình trong kỹ thuật (H.1.11b)

4- Liên kết gối đỡ

Đây là liên kết kết hợp liên kết tựa và bản lề trụ (H.1.12)

Phản lực gồm ba thành phần Ax, Ay, Az (có một trục là trục bản lề trụ) Liên kết đưa vào bài toán ba ẩn số

5- Liên kết ngàm

Vật khảo sát chịu liên kết ngàm khi bị vật gây liên kết giữ chặt không cho thực hiện bất cứ chuyển động nào Ví dụ: cột trụ chôn chặt vào lòng đất, đầu dầm cắm chặt vào tường, hai phần của một vật rắn

- Ngàm phẳng: (H.1.13a)

Trường hợp vật khảo sát chỉ có xu thế chuyển động trong mặt phẳng (Oxy) Các thành phần phản lực liên kết phải cản trở (dịch chuyển theo hai phương x, y quay quanh trục z) Phản lực thu về tâm A gồm 3 thành phần:

)A

- Ngàm không gian: (H.113b)

Vật khảo sát có xu thế chuyển động trong không gian, lý luận như trên phản lực thu về A có: R A ( Ax , Ay , Az)và M A ( M x , M y , M z ) gồm sáu thành phần chưa có chiều cụ thể

6- Liên kết dây

Dây mềm, căng nên chỉ cản trở xu hướng chuyển động của vật dọc theo dây (làm dây đứt) Phản lực đặt tại điểm dây bắt đầu tiếp xúc với vật khảo sát, có chiều hướng vào vật gây liên kết

7- Liên kết thanh

Vật khảo sát chỉ có hai liên kết mềm (tựa, bản lề), không chịu lực tác động với giá không đi qua hai điểm liên kết này được gọi là liên kết thanh Phản lực liên kết là hai lực cùng cường độ, ngược chiều đặt tại các điểm liên kết nằm trên giá chứa hai điểm liên kết

Các phản lực liên kết thanh: S A , S B , S C , S D

8- Các liên kết phức tạp

Yêu cầu

Nắm vững điều kiện tương đương cơ bản của hai hệ lực, các điều kiện

cân bằng của hệ lực Biết cách áp dụng giải bài toán cân bằng của vật rắn, hệ vật rắn

2.1 HAI ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CỦA HỆ LỰC

1 Vector chính của hệ lực

1- Định nghĩa: vector chính của hệ lực là vector tự do (R,) bằng tổng các vector lực thuộc hệ: R Σ,= F k (2.1)

2- Phương pháp xác định

Hình học: vector đóng kín đa giác lực

(X', Y', Z') X' F ky

R ⇔ = Σ ; Y ' = Σ Fky; Z ' = Σ Fkz (2.2)

2 Vector mômen chính của hệ lực đối với một tâm

1- Định nghĩa: vector mômen chính của hệ lực đối với tâm O (M o) của hệ lực bằng tổng các vector mômen của lực thuộc hệ lấy cùng đối với tâm đó:

2- Phương pháp xác định

Dùng (1.2) chúng ta nhận được:

k ) y X x (Y j ) x Z z X ( i z Y y Z (

M o = Σ k k − k k r + Σ k k − k k r+ Σ k k − k k (2.4) trong đó: lực F(Xk ,Yk ,Zk) - bán kính điểm đặt lực thứ k là rrk(xk, yk, zk)

3- Tính bất biến của R,và M o qua các phép biến đổi tương đương

• '

R

F 1 F 2

FnR’

Với tiên đề 3:

- Xét hai lực F1,F2 và hợp lực F 12 như H.2.1

12 2

FFF

FFFF

⇒ M obất biến trong phép biến đổi tiên đề 3

2.2 ĐỊNH LÝ TƯƠNG ĐƯƠNG CƠ BẢN

0 2 0

2 1 i

2

M M

' R ' R ) P (

Chứng minh Trước hết ta chứng minh:

0 0 1

, , 2

M M

R R ) P

, ,

M M

R

, ,

M M

R

Xét hệ ϕ1(Fk)và ϕ2(Pi) Chúng ta lấy điểm O và hai điểm A, B (A, O, B không thẳng hàng), phân tích các lực F k ≡ ( F k O , F kA , F kB ), các thành phần tương đương đi qua O, A, B

⇒ hệ ϕ1(Fk) ≡ ba hệ lực đồng quy: ϕ1(FkO); ϕ2(FkA); ϕ3(FkB)

Dễ dàng nhận được:

;oF)F( kO

1 ≡

ϕ ϕ2(FkA) ≡ FA; ϕ3(FkB) ≡ FB

⇒ ϕ1(Fk) ≡ (FO,FA,FB)

Gọi OE là giao tuyến của hai mặt

phẳng (O,FA) và (O,FB) Trên OE lấy

điểm I và phân tích các lực F A theo

các phương AO và AI, F B theo các

phương BO và BI Tiếp tục trượt các lực

về O và I rồi lấy các hợp lực (tiên đề

3)

⇒ ϕ1(Fk)≡(FO,FA,FB) ≡(F*O,F1)

tương tự ta có:

ϕ2(Pi)≡(PO,PA,PB)≡(P*O,FH)

(H thuộc giao tuyến OG, có thể khác OE)

Cuối cùng, lấy điểm L thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (O,FI) và )

1 ≡ϕ

⇒tương tự ta có: ϕ2(Pi)≡(PO*,PL)

Dùng các điều kiện:

A

FA

FL

Hình 2.2

1 Vector mômen ngẫu lực

1- Xét hệ hai lực: (F,F,) cùng phương, ngược chiều, cùng cường độ nhưng khác giá tác dụng Do R,= 0, M O ≠ 0, nên (F,F,) không tương đương một lực, đây là một hệ lực tối giản đặc biệt, được gọi là ngẫu

Chúng ta sẽ chứng tỏ mômen chính của ngẫu không phụ thuộc tâm lấy mômen:

)F(m)F(m

MO = rO + rO ,

=OA×F+OB×F,

=OA×F+OA×F, +AB×F,

=OA×(F+F,)+AB×F, = AB×F, (đpcm)

2- Hai ngẫu: (F,F,) và (F1,F,1) có vector

mômen chính bằng nhau sẽ tương đương nhau (vì

)

R, = Chứng tỏ vector mômen chính của ngẫu là vector tự do, hoàn toàn đặc trưng cho một ngẫu, được gọi ngắn gọn là vector mômen của ngẫu

2 Định lý thu gọn

Hệ lực ϕ1(Fk), khi thu gọn về một tâm O, tương đương với một lực bằng vector chính của hệ lực R,và một ngẫu bằng vector mômen chính của hệ lấy cùng với tâm O đó:

)F( k

ϕ ≡ ( R,o , M o )

với: R,o = ΣFk và: Mo = Σmro(FK)

Chứng minh Với O tuỳ ý xác định chúng ta chỉ cần chứng minh tại đó hệ lực

gồm hai thành phần: lực R bằng vector chính và một ngẫu có mômen chính bằng mômen chính của hệ lực đối với cùng tâm đó Hệ lực này tương đương với hệ lực ban đầu do vector chính và vector mômen chính đối với tâm O của chúng bằng nhau

3 Các trường hợp đặc biệt

4 2 1

r r r

r

Hợp lực của những hệ lực đặc biệt

- Hệ lực song song: (F k// OZ)

Nếu R, ≠ 0r sẽ có hợp lực: ϕ(Fk) ≡ R Δ

- Hệ lực phẳng: (Fk ∈Oxy)

Nếu R, ≠ 0r ⇒ϕ(Fk)≡ RΔ (có hợp lực) do ta lấy điểm A ∈ Oxy làm tâm thu gọn: ⇒ M A ⊥ Oxy ⇒ M A ⊥ R

- Hợp lực của hệ lực phẳng song song

Cho hệ lực phân bố như H.2.4 Xét phân tố Δxk, hệ lực phân bố trên độ

dài này tương đương một lực F k:

k ' k

xdx)

x(qR

MdM

d

O (2.5)

trong đó: ΔO- là trục qua O và vuông góc mặt phẳng lực

- Hệ lực phân bố đều (H.2.5)

Hợp lực: R1; R = qo.l;

2

ll

q 2

lqOI

o

2 o

q)x(

Hình 2.4

Nhận xét: Các hợp lực có cường độ bằng diện tích phân bố, đi qua trọng tâm

của biểu đồ diện tích

2- R, =0, Mo ≠ 0 ⇔ ϕ(Fk) ≡ ngẫu tổng hợp (Q ,Q,) có mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm O

Chú ý: Khi R, = 0, ϕ ( F k ) ≡ ngẫu (Q ,Q,) nên mômen chính của hệ không phụ thuộc tâm lấy mômen

3-R, = 0, Mo ≠ 0⇔ ϕ(Fk) ≡ 0 (2.8)

Chứng minh Do hệ lực cân bằng (F,F,) có R,= 0 và mômen chính đối với tâm bất kỳ O Mo =0

4 Hệ ba lực cân bằng

Hệ ba lực cân bằng thì đồng phẳng Nếu các lực song song với nhau thì còn phải đồng quy

Chứng minh Xét hệ ba lực (F1,F2,F3) ⇔ R =0 và MA = 0 (tâm A tùy ý) Có thể xảy ra các trường hợp:

F//

)F,F(phẳngmặt

⇒ (F1,F2,F3) ≡(R12,F3) ≡0

Chứng tỏ F 3 cùng giá với R 12 ⇒ F 3 // F 2 // F 1 và đồng phẳng

• F 1 không song song với F 2

Chọn điểm A tùy ý cố định thuộc giá của F 3 làm tâm lấy mômen chính:

Hai vector mômen này đặt tại A mà có tổng bằng 0 ⇒ ít nhất chúng cùng phương ⇔ hai mặt phẳng (F1,A) và (F2,A) trùng nhau, tức (F1,F2,A)đồng phẳng

Do A tùy ý nên suy ra ( F 1 , F 2 , F 3 )phải thuộc cùng một mặt phẳng Gọi giao điểm của F1,F2 là I, để chứng minh ba lực đồng quy chúng ta sử dụng:

)F(m)F(m

M1 = r1 1 + r1 2 + mr1(F3) = 0+ 0+ mr1(F3) = 0 ⇒F3

phải đi qua I (do F3 ≠0).Vậy (F1,F2,F3)đồng quy phẳng

2.4 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC

Từ (2.8) chúng ta nhận được những điều kiện cân bằng của hệ lực:

1 Hệ lực tổng quát (không gian)

=

=Σ

=

=Σ

=

=Σ

=

=Σ

=

=Σ

=

0)F(mM

0)F(mM

0)F(mM

0FR

0FR

0FR

k z oz

k y oy

k x ox

z k

, Z

y k , y kx ,

⇔ ϕ

≡

∑

∑

0 ) F ( m

0 ) F ( m

0 F )

F ( 0

k y

k x

z k

k (2.10)

Do ba phương trình còn lại tự thỏa mãn

3 Hệ lực đồng quy ϕ ( F ok ), các lực đi qua O

=Σ

=Σ

⇔ϕ

≡

0F

0F

0F)

F(0

kz ky

kx

k (2.11)

Do: MO = ΣmrO(Fk) =0 tự thỏa mãn

4 Hệ lực phẳng ϕ(Fk),∀Fk ∈Oxy

Với điểm A tùy ý thuộc mặt phẳng lực Oxy

kFdkF(m)F(

A

Hình 2.7

Vector mômen của các lực này đều cùng phương nên ta có thể quy ước thay thế m A ( F k )bởi giá trị đại số:

) F (

=Σ

=Σ

0M)F(m

0

F

A k A ky x k

(2.13) với A tùy ý thuộc mặt phẳng lực

Điều kiện này hiển nhiên do (2.12):

0R

=

= Σ

=

= Σ

0 ) F ( m M

0 ) F ( m M

0 F

k B B

k A A

x k

mB ,A =

⇒ r

Điều này chứng tỏ:

- Hoặc R'A có giá đi qua B:

⇒R,x =ΣFkx ≠0 mâu thuẫn điều kiện đầu tiên

- Hoặc R'A = 0kết hợp M A = 0 ta có điều phải chứng minh

=

= Σ

=

= Σ

=

0 ) F ( m M

0 ) F ( m M

0 ) F ( m M

k C C

k B B

k A A

(2.15)

Sử dụng phương pháp chứng minh trên: nếu R'A ≠0 thì R,phải có giá chứa đoạn AB và AC, do A, B, C, không thẳng hàng nên không thể xảy ra trường hợp trên Vậy R, =0, ta có điều phải chứng minh

2.5 BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN

1 Mô hình bài toán

Một vật rắn không tự do (chịu liên kết) chịu tác dụng của lực (lực hoạt động) đang cân bằng

Những yêu cầu được đặt ra là:

- Xác định các phản lực liên kết

- Tìm điều kiện cân bằng

Tức tìm các yêu cầu của lực hoạt động và các yếu tố hình học để vật khảo sát được cân bằng

2 Phương pháp giải

1- Chọn vật khảo sát: xem xét kỹ mô hình bài toán (hình vẽ), chúng ta chọn vật

rắn nào (có thể là chất điểm) chịu tác động của tất cả các lực hoạt động

2- Đặt lực: lực ở đây bao gồm các lực hoạt động và phản lực liên kết

Xem xét kỹ mô hình vật khảo sát, xác định đầy đủ các liên kết, so sánh với các mô hình mẫu để thay thế hết các liên kết bằng các phản lực tương ứng

3- Lập phương trình cân bằng

- Phân tích các lực đặt vào vật khảo sát (kể cả phản lực) theo ba phương của trục toạ độ

- Lập các phương trình cân bằng từ điều kiện cân bằng của hệ lực (kể cả các phản lực):

=Σ

=Σ

0F

0F

0F

z k

y k

x k

0)F(mM

0)F(mM

k z oz

k y oy

k x ox

- Với lưu ý các ngẫu tồn tại trong hệ lực đặt vào vật không xuất hiện trong các phương trình hình chiếu đảm bảo vector chính bằng không

Chú ý: Nếu F ⊥ Δ ⇒ mΔ( F ) = ± Fd

trong đó: d - là đoạn vuông góc chung giữa Δ và F

Dùng (1.4) và (2.4) chúng nhận được:

;0)zFyF(

Mox = Σ kz k − ky k = Moy = Σ(Fkzzk −Fkyxk =0

Ở đây: (xk, yk, zk) - là toạ độ điểm đặt của lực F k

- Trường hợp hệ lực phẳng (Fk ∈Oxy) dùng (2.12) lập phương trình cân bằng ngẫu lực

3 Đánh giá bài toán

1- Nếu số phương trình cân bằng độc lập được (r) bằng ẩn số (s) (số thành

phần phản lực), bài toán có nghiệm duy nhất (được gọi là bài toán tĩnh định)

2- Nếu r > s có khả năng xảy ra:

- Sẽ dư ra một số phương trình (= r – s) không chứa ẩn số (phản lực) Đây chính là các điều kiện ràng buộc các lực hoạt động và những đại lượng hình học trong bài toán Những điều kiện này được gọi là điều kiện cân bằng

- Trong hệ phương trình lập được tồn tại các phương trình mâu thuẫn với nhau Chúng ta xem xét lại mô hình bài toán:

+ Đặt phản lực đúng chưa?

+ Mô hình bài toán có tồn tại trong thực tế không?

3- Nếu r < s: Bài toán thuộc loại siêu tĩnh, chúng sẽ được giải quyết trong môn

học sau

4 Giải phương trình và biện luận

Theo nguyên tắc:

- Phản lực tựa một chiều và sức căng dây luôn luôn dương

- Các phản lực khác có chiều đúng như đã chọn nếu kết quả dương Ngược chiều đã chọn nếu kết quả âm

(10)

Q (9)

Ví dụ 2.2 Tấm chữ nhật ABCD với: AB = b; BC = a, trọng lượng Q, được giữ

nằm ngang nhờ dây CE và các liên kết như hình vẽ 2.10a Xác định phản lực A,

B và sức căng dây T?

Giải • Chọn vật khảo sát: tấm ABCD

• Đặt lực: Các phản lực và trọng lượng Q được biểu diễn như trên

H.2.10 Tấm ABCD cân bằng dưới tác dụng của hệ lực:

0)T,B,B,A,A,A,Q()F

ϕhay chi tiết hơn: ϕ(Fk)≡(Q,Ax,Ay,Az,Bx,Bz,Tx,Ty,Tz)≡0

Trong H.2.11:

2

T60cosT

2

3 30 cos T

Txy = o =

= α = T sin α

2

3 sin T

2

3cos

T

Ty xyvới: tgα =

b a

• Phương trình cân bằng (hệ lực không gian)

0 sin T 2

3 B A

Σ (1)

0 cos T 2

3 A

Σ (2)

0Q2

TBA

b)F(m

0T2

1bbBQ2

b

z + =+

−

⇔ (4)

0aTQ2

a)F(m

0T2

aQ2

⇔ (5)

0 bB ) F ( m

M oz = Σ z k = − x = (6) (do T cắt trục z ⇒ mz(T)=0)

• Giải sáu ẩn từ hệ sáu phương trình chúng ta nhận được:

3 T cosα = 0 Suy ra T = 0 sẽ mâu thuẫn với các phương trình còn lại Sai lầm ở chỗ tấm ABCD không đứng yên tại vị trí đó mà sẽ chuyển động dọc theo trục y sang bên trái

Ví dụ 2.3 Xét bài toán ở mô hình 8 (H.2.9) Trục quay cân bằng như hình vẽ,

bán kính trống lớn là R, trục (nhỏ) là r, các khoảng cách cần thiết cho như hình vẽ Tìm điều kiện của mômen M để trục cân bằng và tính phản lực tại A, B? (bỏ qua trọng lượng trục)

Giải • Vật khảo sát: Trục quay

• Đặt lực: Tại A, B đều là các bản lề trụ nên hệ lực đặt vào vật khảo sát biểu diễn như H.2.12:

ϕ ( F k ) ≡ ( Q , A z , B x , B z , ngM ) ≡ 0

• Phương trình cân bằng:

x k

F

Σ = A +x Bx = 0 (1)

z k

F

Σ = Az + Bz −Q = 0 (2)

z k

x ( F ) aQ ( a b ) B

Σ = 0 (3)

M Q R ) F (

Σ = 0 (4)

x k

z ( F ) ( a b ) B

Σ = 0 (5) (Σ Fky = 0 tự thỏa mãn)

• Giải: Đây là hệ năm phương trình với bốn ẩn số phản lực Phương trình không chứa phản lực M = RQ chính là điều kiện cân bằng (nếu M ≠ RQ trục sẽ quay)

Với M này ta giải được:

Ax = Bx = 0; Az =

ba

b+ Q; Bz =

ba

a+ Q

Ví dụ 2.4 Thanh gấp khúc ABCD có ABC thuộc mặt phẳng ngang, BCD thuộc

mặt phẳng đứng (H.2.13a) Khớp cầu tại D, ổ quay tại A (xem như bản lề trụ) Chịu lực như hình vẽ Cho AB = a, BC = b, CD = c Tìm phản lực tại A, D khi

thanh cân bằng?

Giải • Vật khảo sát: Thanh gấp khúc ABCD

• Đặt lực: Các lực hoạt động ngẫu m1, m2, m3 (biểu diễn tương ứng là vector mômen nằm dọc theo các phương như H.2.13b, đứng ở đỉnh các vector thấy các ngẫu quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ), các phản lực liên kết

z y x

• Phương trình cân bằng:

x x

k D

Σ = 0 (1)

y y y

k A D

Σ = 0 (2)

z z z

không chứa ẩn (phản lực), đấy chính là điều

kiện cân bằng

Các thành phần Dy, Dz có chiều

ngược chiều đã chọn

- Trường hợp ổ quay tại A có độ dài

nhất định: phản lực A có thêm hai thành

phần cản quay quanh trục y và z là

.

m

,

mrAy rAz Bài toán thuộc loại siêu tĩnh (có bảy ẩn số phản lực)

Ví dụ 2.5 Một trụ tròn trọng lượng Q (bán kính R) đặt trong hố móng (độ rộng

l) được biểu diễn mô hình phẳng như H.2.15a Xác định phản lực tại A, B?

Giải • Vật khảo sát: Trụ tròn tâm O

• Đặt lực: Tại A và B là các liên kết tựa (một chiều), các phản lực đều đi qua tâm O và có chiều như H.2.15b

Hệ lực ϕ(Fk) ≡ ( Q , N A , N B ) ≡ 0đồng quy phẳng

• Phương trình cân bằng: (lập được hai phương trình cân bằng):

0cosNN

Fkx = A − B α =Σ

0 sin N Q

B

α

y

x O

x

My

Mz

Hình 2.14

• Giải hệ phương trình:

;gcotQ

α

= sin

⇒

−

= α

R

R cos ar R

R

Chú ý: Với hệ ba lực phẳng đồng quy cân bằng ta có thể dùng điều kiện

đóng kín tam giác lực

Ví dụ 2.6 Cho dầm AB có liên kết và chịu lực như H.2.16a (ngẫu M và lực F

đều thuộc mặt phẳng xy) Biết AI = a, BI = 2a Xác định phản lực tại A, B

Giải • Vật khảo sát: Dầm AB

• Đặt lực: Tại A liên kết bản lề trụ, tại B liên kết tựa một chiều chống lún xuống phía dưới Hệ lực nhận được:

)F( k

ϕ ≡ F , ngẫu M, A x , A y , B y ) ≡ 0

• Phương trình cân bằng:

2

FA

060cosFA

0 F 2

3 B A 0 B 60 sin F A

y y

0F2

3aaB3M0dFaB3M)F(m

3

3 a

3 a

BY A

Hình 2.16 Hình 2.16

Ví dụ 2.7 Cho khung ABCD có liên kết và chịu lực như H.2.17a Tính phản lực

tại A và B? Biết AC = BD =

2

CD = 1 m; F = 100 KN; q = 20 KN/m

Giải • Vật khảo sát: Khung ABCD

• Đặt lực: Tại A tương ứng liên kết bản lề trụ, tại B tựa hai chiều, hệ lực phân bố (rq) được thay tương đương bởi Q = 2q = 40 KN đặt tại I như H.2.17b ⇒

• Phương trình cân bằng:

0FA

Fkx = x + =

Σ (1)

0 B Q A

2.7 BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA HỆ VẬT RẮN

Chúng ta có thể lập điều kiện cân bằng của hệ vật rắn theo hai phương pháp:

Phương pháp tách vật: Thiết lập điều kiện cân bằng của mỗi vật rắn thuộc hệ

Phương pháp hóa rắn: Thiết lập điều kiện cân bằng của toàn hệ rắn và từng phần của hệ hóa rắn (có thể một vật, hai vật,… ∈hệ) sao cho số phương trình lập được đủ giải quyết các yêu cầu của bài toán

Chúng ta chứng tỏ hệ n vật rắn dù cân bằng dùng phương pháp nào (cũng tương đương), điều kiện cân bằng của n hệ lực cân bằng tương ứng đặt vào mỗi vật rắn thuộc hệ

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh cho hệ hai vật S1, S2 Nếu nhiều vật rắn chỉ cần hóa rắn S1, S2 và ta chứng minh tương tự

Hóa rắn S1, S2 hệ lực tác động vào cả hai vật: ϕ(F(k1),F(k2))

với: F(k1)- là các lực ngoài đặt vào S1

F(k2)- là các lực ngoài đặt vào S2 (loại lực này thường được kí hiệu là Fek) Để đơn giản ta giả sử giữa S1 và S2 có một liên kết (nếu thêm liên kết ta đặt thêm lực tương tác)

Tách riêng S1 Hệ lực tác động vào S1 là: ϕ1(F(k1),F21)

trong đó: F 21 - là lực tương tác của S2 tác động vào S1

Tách riêng S2 Hệ lực tác động vào S2 là: ϕ2(F(k2),F12)

trong đó: F 12 - là lực tương tác của S1 tác động vào S2, dĩ nhiên:

R, = ,1 + ,2 M A = M 1 A + M 2 A

có nghĩa là chỉ hai trong ba hệ lực trên cân bằng thì hệ lực còn lại buộc phải cân bằng

2.8 CÁC VÍ DỤ BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC VẬT RẮN

Ví dụ 2.8 Hai bánh xe hình nón O và O’ ăn khớp răng ở C, chịu các ngẫu M, M’

như H.2.18a, bán kính tương ứng của các bánh răng là r, r’ Bánh xe O’ tác động vào bánh xe O lực R nghiêng với phương CO góc α và mặt phẳng chứa (R,

CO) nghiêng với mặt phẳng chứa bánh xe O (Cyz) góc β Cho O’A = a Xác định liên hệ giữa M, M’ để cơ hệ cân bằng? Tìm phản lực tại A

Giải Đây là cơ hệ hai vật rắn cân bằng chịu lực tác động của hệ lực không

gian, số phương trình cân bằng được thiết lập là 12 = 6 × 2 Xem xét mô hình tại các liên kết B, C, D đã có sáu ẩn, còn tại A (độ dài của ống trụ phải đủ lớn)

chỉ không cản trở quay quanh trục Z2 ⇒ A x , A y , A z , ngẫu M Ax , M Ay (tổng cộng có 11 ẩn phản lực) Chúng ta sẽ tìm được một phương trình là điều kiện liên hệ giữa M và M’

Dưới đây ta dùng phương pháp tách vật:

=

βα

=

α

=

cos.sinRR

sin.sinRR

cosRR

c y

c x

c z

• Phương trình cân bằng:

Nếu phải giải hết tất cả các ẩn, chúng ta lập đầy

đủ sáu phương trình cân bằng (với hệ trục B x1 y1 z1), nhưng do yêu cầu của bài toán không cần xác định các phản lực tại B, D nên ta chỉ cần lập một phương trình mômen đối với trục x1 để tránh năm ẩn ở B, D

0r.cos.sinRM0r.RM)F(

(do Rx // B x1, Rz cắt B x1) ⇒

β α

=

cos sin r

M

• Xét bánh răng O’ cân bằng (kể cả trục)

• Đặt lực: Hệ lực biểu diễn trên H.2.20b) với chú ý R,c là phản lực đặt tại

C của bánh răng O’ ngược chiều với R c , (R,c = R c)

) R ( m ) F (

Σ

0Mcos.sinR

⇔ (4)

0M

)R(m)R(m)F(

m 2 k = 2 ,x + y2 ,z + Ay2 =Σ

0 M

cos R r sin sin R a

0 ) R ( m M ) F (

Σ

0 cos sin R r M

⇔ (6)

• Giải hệ năm phương trình đầu ta được:

Ax = tg ;r

;r

aM

β

− β

cos r M r tg r

Đấy chính là điều kiện cân bằng

Ví dụ 2.9 Cơ hệ có liên kết và chịu lực như H.2.20a Biết:

P1 = 10 KN; P2 = 20 KN; M = 35 KNm; q = 2 KN/m

AB = 2BC= 2CE = ED = 2m Tính phản lực tại A, B, C

Giải Cơ hệ hai vật rắn phẳng cân bằng Chúng ta dùng phương pháp tách vật

Σ = MA − 2 Ay + 1 Q = 0 (3) Trong hệ ba phương trình này có năm ẩn, chúng ta phải lập thêm phương

E M

) F (

Σ = − M + 1 By + 2 P2 = 0 (6) Giải hệ sáu phương trình:

Ax = 20 + 5 3; Ay = 9; MA = 14

Bx = 20 + 5 3; By = -5; C = 0; (đơn vị KN và KNm)

Nhận xét: Tại C không có phản lực ⇒ có thể bỏ gối C

Ví dụ 2.10 Cho cơ cấu 4 thanh ABCD (C, D cố định), xác định độ lớn của R để

cơ cấu cân bằng ở vị trí đang xét Xác định ứng lực trong các thanh Biết Q = 10

KN, tại A, B, C, D đều là các khớp bản lề

Giải Đây là loại cơ cấu đặc biệt, các thanh đều chịu liên kết thanh (trừ CD)

nên có ba ứng lực trong ba thanh Ta chỉ cần xét sự cân bằng của hai nút A, B sẽ lập được bốn phương trình cân bằng từ hai hệ lực đồng quy để giải ra ba ứng lực và một điều kiện cân bằng (H.2.21b)

• Xét nút A cân bằng có hệ lực: ϕ1( F k ) ≡ ( Q , S 1 , S 2 ) ≡ 0

Phương trình cân bằng:

(ta giả thiết các thanh đều chịu kéo ⇒ các S i có chiều như H 2.21b)

0S

22Q

Σ (1)

0S2

2S

3S

Fkx1 = − 2 − =

Σ (3)

02

RS

2Q2S3

2

3

210

S3 =− (đơn vị KN, m)

Chú ý: Nếu ứng lực tương ứng dương ( > 0) thanh chịu kéo, ứng lực tương

ứng âm ( < 0) thanh chịu nén (đổi chiều)

45o 30o

60o

D C

A

Hình 2.21

Ví dụ 2.11 Ngẫu M đặt vào tay quay OA quay được quanh O, con chạy A có

thể trượt dọc CB Cho biết góc C) = 30o; CB = 3R; OA = R, tìm Q để cơ cấu cân bằng tại vị trí đang xét (H.2.22a) Xác định phản lực tại O,C?

Giải Cơ cấu gồm ba vật rắn: tay quay OA, con chạy A, thanh CB

Do không cần tính phản lực giữa chốt bản lề tại A của tay quay và con chạy chúng ta hóa rắn, xét OA (bao gồm cả con chạy) cân bằng

Vật I:

• Xét hóa rắn OA và con chạy A cân bằng

• Đặt lực: Khi bỏ liên kết giữa thanh CB và con chạy A là liên kết tựa (hai chiều) chúng ta được hệ lực ϕ1( F k ) ≡ ( ngM , O x , O y , N A ) ≡ O ( N A ⊥ BC )

• Phương trình cân bằng:

= = 0 (2)

y k

Q 60 sin R 3 RN 2 ) F (

A k

M B Q x

x M

Oy

Hình 2.22

• Giải hệ ba phương trình

;R33

M8

R 3 3

M Q R 3 M

M8

Q = cơ cấu cân bằng, các thành phần phản lực có giá trị như đã định (với Ox và Cy đổi chiều)

Ví dụ 2.12 Cho cơ cấu chịu lực và có liên kết như H.2.23a, các bán kính tương

ứng R1 = 2.r1 = 2.R; OA = a = 1,5R Hai bánh răng ăn khớp tại I có độ lớn góc răng là 2ϕ

Tìm điều kiện của P để cơ cấu cân bằng, xác định phản lực tại O, O1 và lực ăn khớp răng

Giải Cơ cấu hai vật rắn cân bằng (tách vật)

Vật I:

• Xét bánh răng O cân bằng

Do xu thế quay của bánh xe O và O1, phản lực tựa tại mặt răng I có xu thế cản trở sự quay của các bánh răng ⇒ hai răng tiếp xúc ở các mặt phía trên của đường trục OO1 (H.2.23 b,c, d)

Hình 2.23

• Giải: Ox = −1,5Ftgϕ; Oy =Q –2,5F;

ϕ

= cos F 5 , 1

1 k 1

Chương 3

CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT

3.1 BÀI TOÁN ĐÒN PHẲNG

Trong các ví dụ 2.11, 2.12 có những vật rắn thuộc cơ cấu chỉ có thể quay quanh một trục cố định khi các lực ngoài không thỏa mãn một yêu cầu nào đó Nếu chú ý đến tính chất này của chúng, ta có thể tìm điều kiện cân bằng một cách nhanh chóng hơn

1 Định nghĩa đòn phẳng

Vật rắn có thể quay quanh một trục cố định qua O chịu tác dụng của hệ lực nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục quay được gọi là đòn phẳng:

ví dụ các bánh răng O, O1 trong ví dụ 5, thanh CB trong ví dụ 4 là những đòn phẳng

2 Điều kiện cân bằng của đòn

Hệ lực tác động vào đòn gồm cả phản lực ổ trục Phương cân bằng không chứa phản lực ổ trục (Δo) chỉ có thể là: ΣmΔo(F)= 0 Đây chính là điều kiện cân bằng của đòn phẳng (xem lại ví dụ 2.11 và 2.12)

3.2 BÀI TOÁN GIÀN

1 Giàn phẳng

1- Định nghĩa: Giàn phẳng là cấu trúc cứng làm bằng các thanh thẳng liên kết

với nhau bằng các khớp bản lề trụ ở hai đầu Những thanh này đều cùng nằm trong một mặt phẳng Các điểm liên kết của giàn được gọi là nút, tất cả tải

trọng ngoài tác động lên giàn chỉ đặt tại các nút

2- Giàn tĩnh định: Do các thanh chỉ liên kết tại hai đầu mút, các thanh phải

được liên kết theo hình tam giác, không có thanh thừa

Gọi số thanh của giàn là k, số nút là n Ba thanh đầu tiên sẽ tạo thành một tam giác có ba nút, muốn tạo thêm một nút mới cần thêm hai thanh Vậy mối liên hệ giữa số nút và số thanh là k = 2n – 3 Nếu số thanh ít hơn, giàn sẽ không cứng Nếu số thanh nhiều hơn, giàn sẽ siêu tĩnh

3- Tính giàn bằng phương pháp tách nút

Trước hết ta xét giàn hóa rắn cân bằng để xác định các phản lực gối, sau đó xét cân bằng của các nút Do mỗi nút của giàn chịu tác dụng của hệ lực đồng quy phẳng, chỉ có hai phương trình cân bằng độc lập, chúng ta xuất phát từ nút

có hai ứng lực ẩn và giải được ngay các ẩn này Sau đó cứ tiếp tục như vậy cho đến khi xác định hết các ứng lực ẩn trong giàn

Ví dụ 3.1 Cho giàn chịu lực (F 1 , F 2 , F 3 , F 4) như H.3.1

Xác định ứng lực của các thanh

Giải • Xác định phản lực tại gối A, B

- Xét giàn hóa rắn cân bằng, hệ lực tác động như H.3.2:

≡

ϕ ( F k ) ( F 1 , F 2 , F 3 , F 4 , A , B x , B y ) ≡ 0

Phương trình cân bằng:

0 B 60 cos F 60 cos F

4 o 3

Σ

0 B 60 sin F 60 sin F F F A

4 o 3

2 1

Σ

0F2

3aaF5,1aF2aA2)F(

Σ rGiải được: 1 2 F3

4

3 F 4

3 F

2

F2

3 4

5 1

kx = + =

Σ

0 60 sin S F A

5 1

- Xét nút C (H.3.4): Hai ẩn là S 4 , S 6

Hệ lực: ϕ2(Fk) ≡(F2,S,5,S4,S6) ≡0

Phương trình cân bằng:

0 30 cos S S 60 cos F

6 4 o 2

Σ

0 30 sin S 30 cos F S

6 o 2

F

2

3 S 2

Fkx = − 4 + 3 =Σ

0 S F

Chỉ còn một ẩn S 2(do chúng ta đã sử dụng

hệ hóa rắn nên nếu xét tách hết các vật cân bằng

sẽ tồn tại các phương trình phụ thuộc Có thể sử

dụng các phương trình này để kiểm tra kết quả)

Hệ lực: ϕ4(Fk)≡(F4,Bx,By,S,3,S2)≡0

Phương trình cân bằng:

0 S 30 cos S 60 cos F B

3 o 4

3

Nhận xét:

- Các thanh 1, 6, 2, có ứng lực > 0 ⇒ chịu kéo

- Các thanh 3, 4, 5, 7 có ứng lực < 0 ⇒ chịu nén

4- Tính giàn bằng phương pháp mặt cắt (Ritơ)

Phương pháp này thường dùng khi chỉ cần tính ứng lực trong một số thanh cần thiết

Chúng ta cắt tưởng tượng giàn làm hai phần sao cho lát cắt đi qua các thanh cần tính ứng lực (nhiều nhất là ba thanh chưa biết ứng lực), sau đó xét cân

F2C

S5

S6

Hình 3.6

bằng của một phần thích hợp Lập các phương trình cân bằng thích hợp nhất để giải ra các ứng lực cần thiết

Ví dụ 3.2 Xét lại ví dụ trước, ở đây yêu cầu:

3aA2

aF2

a )F(

Σ

0F2

aS2

aaAaF )F(

Σ

0S23aaF5,1aA2aF2 )F(

F

4 = − − S =6 F3b) Cắt tưởng tượng giàn bởi mặt cắt n-n đi qua ba thanh 4, 7, 2 (H.3.9)

c) Xét phần bên phải cân bằng:

D m