giao trinh co ly thuyet

CƠ LÝ THUYẾTCoù ba phaàn laø tónh hoïc, ñoäng hoïc vaø ñoäng löïc hoïcCHƯƠNG I: TĨNH HỌCBài 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC NGUYÊN LÝ TĨNH HỌC1. Những khái niệm cơ bản1.1 Vaät raén tuyeät ñoáiVật rắn tuyệt đối là vật rắn có hình dạng hình học không đổi trong khi chịu lực và được gọi tắt là vật rắn.1.2. Vật rắn cân bằngVật ở trạng thái cân bằng khi nó đứng yên hoặc chuyển động tịnh tiến thẳng đều, tức là vật chịu tác dụng bởi hệ lực cân bằng.

CƠ LÝ THUYẾT Có ba phần là tĩnh học, động học và động lực học

CHƯƠNG I: TĨNH HỌC Bài 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC NGUYÊN LÝ TĨNH

HỌC

1 Những khái niệm cơ bản

1.1 Vật rắn tuyệt đối

Vật rắn tuyệt đối là vật rắn cĩ hình dạng hình học khơng đổi trong khi chịu

Căn cứ vào vị trí của các vật người ta chia lực thành hai loại:

 Lực tác dụng với sự tiếp xúc trực tiếp giữa các vật, ví dụ người ngồi trên ghế sẽ

đè lên ghế một lực ép, ngược lại ghế cũng tác dụng lên người một lực đẩy, kết quảngười khơng bị rơi xuống – tức đã thay đổi trạng thái động học

 Lực tác dụng khơng cĩ sự tiếp xúc trực tiếp giữa các vật, ví dụ lực hút giữa tráiđất với mặt trăng, trọng lực…

Lực cĩ ba yếu tố:

 Điểm đặt

 Phương và chiều

 Trị số hay cịn gọi là cường độ, độ lớn

Đơn vị của lực là Niutơn (N)

Biểu diễn lực

Lực được biểu diễn bằng một vectơ lực, ví dụ F , Q ,P… Điểm đặt củavectơ là điểm đặt của lực; phương chiều của vectơ là phương chiều của lực; độ dàicủa vectơ biểu diễn cường độ của lực, ký hiệu F, Q, P…; giá mang vectơ gọi làđường tác dụng của lực

1.31.Hệ lực cân bằng

Hệ lực cân bằng là hệ lực mà dưới tác dụng của nĩ khơng làm thay đổi trạng

thái chuyển động của vật, nĩi cách khác là hệ lực tương đương với khơng.

1.3.2 Hai hệ lực tương đương

Hai hệ lực được gọi là tương đương khi chúng có cùng tác dụng cơ học, ký

hiệu là

) F

hiệu R, là một lực tương đương

với tác dụng của cả hệ lực đó, nghĩa

là R ~ ( F1, F2, , Fn)

1.3.4.Hai lực trực đối

Hai lực trực đối là hai lực cùng phương, cùng trị số nhưng ngược chiều

2 Các nguyên lý tỉnh học

a.Tiên đề 1 (tiên đề về hai lực cân bằng)

Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn được cân bằng làchúng phải trực đối nhau

b.Tiên đề 2 (tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng)

Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi ta thêm vào haybớt đi hai lực cân bằng nhau

Hệ quả (Định lý trượt lực)

Tác dụng của lực lên một vật rắn không thay đổi khi trượt lực trên đường tácdụng của nó

c-Tiên đề 3 (tiên đề hình bình hành lực)

Hai lực tác dụng tại một điểm thì tương đương với một lực cũng tác dụng tại

điểm đó và được biểu diễn bằng vectơ đường chéo của hình bình hành có hai cạnh

là hai lực đã cho

2

1 F F

Gọi l vật tự do khi cc di chuyển của nĩ khơng bị cc vật khc cản trở, vật tự do

cịn được gọi là vật khơng chịu lin kết

Ngược lại, vật khơng tự do khi một vài phương chuyển động của nó bị cản

trở, vật không tự do cịn được gọi là vật chịu lin kết hay l vật khảo st

Những điều kiện cản trở chuyển động của vật được gọi là lin kết, những điều

kiện đó được thể hiện bằng sự tiếp xúc trực tiếp giữa hai vật

Ví dụ: quyển sách đặt trên bàn thì quyển sch l vật khảo st v bn l vật gy linkết

Phản lực liên kết

Do tác dụng tương hỗ, vật khảo sát (vật vẽ trắng) tc dụng ln vật chịu lin kết

(vật vẽ gạch cho) một lực gọi l lực tc dụng Ngược lại, vật gây liên kết cũng tác dụng lên vật khảo sát một lực, lực đó gọi là phản lực lin kết gọi tắt l phản lực.

Phản lực có các tính chất:

 Được đặt lên vật khảo sát ở chỗ tiếp xúc với vật gây liên kết

 Cùng phương và ngược chiều với chuyển động bị cản trở của vật khảo sát

 Trị số phụ thuộc vào các lực tác dụng lên vật khảo sát

3.2 Khái niệm về liên kết

3.3 Các loại liên kết thường gặp

a.Liên kết tựa (hay dựa)

Hai vật liên kết tựa khi chúng trực tiếp tựa vào nhau Phản lực liên kết tựa cóphương vuông góc với mặt tựa, chiều đi từ vật gây liên kết hướng vào vật khảosát, ký hiệu N (h.1-5).

b.Liên kết dây mềm

Liên kết dây (h.1-6) cản trở chuyển động của vật khảo sát theo phương của

dây, trường hợp dây vòng qua vật cũng được gọi là liên kết dây

Phản lực đặt vào điểm buộc dây và hướng ra ngoài vật khảo sát theo phương

của dây, tên gọi là sức căng, ký hiệu T

c.Liên kết bản lề phẳng

Có hai loại là: bản lề di động và bản lề cố định

 Bản lề di động (h.1-7a)

Vật khảo sát (B) quay quanh trục bản lề và di chuyển song song với mặt tựa

với mặt tựa và chiều giả định.

Liên kết thanh là liên kết khi

ở đầu thanh được liên kết với

nhau bằng bản lề hoặc tựa Liên

kết thanh cản trở chuyển động của

vật khảo sát theo phương của

thanh Phản lực có phương dọc

được giả định.

e.Liên kết ngàm (h.1-9)

Liên kêt ngàm là liên kết khi

vật được nối cứng vào một vật khác Ví dụ như là hàn hay một trụ đứng đượcchôn chặt xuống nền

Trong trường hợp ngàm phẳng phản lực liên kết gồm ba thành phần: hai lựcthẳng góc với nhau, X nằm ngang, Y thẳng đứng và một ngẫu lực có mômen M,chiều giả định

X x

Chú ý:

Chiều của phản lực trong các liên kết được giả định Sau

khi tính toán, kết quả > 0 thì chiều thực tế của phản lực đúng

với chiều đã giả định còn kết quả < 0 thì ngược lại.

3.4.Giải phóng liên kết

Khi khảo sát vật rắn, ta tách vật rắn khỏi các liên kết rồi

thay bằng các phản lực tương ứng, công việc đó được gọi là

giải phóng liên kết Sau khi giải phóng liên kết, vật khảo sát

được coi là vật tự do cân bằng dưới tác dụng của hệ lực gồm

các lực đã cho và phản lực

Ví dụ

Quả cầu đồng chất có trọng lượng P được treo vào mặt

tường nhẵn thẳng đứng nhờ dây OA Hãy đặt tất cả các lực tác dụng lên quả cầu

Bài giải

Khảo sát quả cầu Các lực tác dụng lên quả cầu có:

 Trọng lực P đặt tại tâm O và hướng thẳng đứng xuống dưới

 Phản lực liên kết tựa NC của tường đặt tại C, hướng vào tâm quả cầu

 Lực căng T đặt tại O hướng về A (H.b)

Như vậy, hệ lực tác dụng lên quả cầu là (P, NC, T)

1. Người ta biểu diễn một lực có trị số 300N bằng độ dài 10mm Vậy một lực

có độ dài 18mm có trị số là bao nhiêu? ĐS: 540N

Hình ví dụ B

A

N

P O T

Hình bài 2

B

C

P A

2. Ở điểm A của giá gồm hai thanh AB và AC người ta treo vật cĩ trọng lượng

5. Xác định hệ lực tác dụng lên dầm AB, biết dầm cĩ trọng lượng P.

6. Thanh đồng chất AB trọng lượng P tựa trên mặt phẳng ngang tại điểm A.Thanh nghiêng một gĩc 60o so với phương nằm ngang Ngồi ta thanh được giữtại hai điểm C và D Hãy xác định hệ lực tác dụng lên thanh

6

Hình bài 6

A

D C

Bài 2: HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY

1 Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp hình học

1.1.Định nghĩa

Hệ lực phẳng đồng quy là hệ lực có đường tác dụng nằm trong một mặt

phẳng và đồng quy tại một điểm (h.2-1a).

Theo hệ quả của tiên đề 2,

Giả sử có hai lực F1 và F2 đồng qui tại O Theo tiên đề 3, hợp lực R là

đường chéo của hình bình hành lực (h.2-2):

(2-1)

Các trường hợp đặc biệt

 Hai lực cùng phương, cùng chiều (h.2-3a), ta có  = 0, nên R = F1 + F2

 Hai lực cùng phương, ngược chiều (h.2-3b), ta có  = 180o, nên R = F1 - F2

 Hai lực vuông góc nhau (h.2-3c), ta có  = 90o, nên R = 2

2 2

R sin

F sin

F

o 2

1.2.2.Qui tắc tam giác lực

Ta cĩ thể xác định hợp lực R bằng cách: từ mút A của lực F1 đặt lực '

2

Fsong song, cùng chiều và cĩ cùng trị số với lực F2 Rõ ràng hợp lực R cĩ gốc đặt

tại O, mút trùng với mút C của lực '

Ở trên ta đã xét trường hợp các lực phẳng đồng quy tác dụng lên vật Trong

kỹ thuật, nhiều khi các chi tiết chịu tải trọng là những lực đồng quy khơng nằm

trong cùng một mặt phẳng như lực cắt gọt khi tiện (h.2-7).

Trong mặt phẳng chứa lực R và trục Z: R là hợp lực của các lực Fvà Fz

z

F F

R

8 Hình 2-7



R' a)

Về trị số R = 2

z

F 

Trong mặt phẳng ngang, lực F cĩ thể phân tích thành hai lực thành phần Fx

hướng theo trục chi tiết, thành phần Fy hướng theo bán kính vuơng gĩc với trục:

Từ các biểu thức trên cho ta cơng thức tính

lực cắt R theo quy tắc hình hộp lực (h.2-7a):

z y

1 F F

R  

Về trị số R1 = 2

z 2

Theo tiên đề tương tác, dao sẽ tác dụng lên chi tiết lực R' cĩ trị số bằng lực

R, hướng ngược lại và đặt vào chi tiết Lực R' cũng được phân tích thành các

lực thành phần theo quy tắc hình hộp lực

1.3.Hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui

Cĩ hai phương pháp để tìm hợp lực của hệ lực

phẳng đồng quy, đĩ là phương pháp đa giác lực (cịn gọi

là phương pháp hình học) và phương pháp giải tích (cịn

gọi là phương pháp chiếu).

Ở đây ta chỉ nghiên cứu hệ lực bằng phương pháp

giải tích.

1.4.Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy

Muốn hệ lực phẳng đồng qui cân bằng thì trị số của hợp lực R phải bằng

không Khi đó đa giác lực tự đóng kín, nghĩa là đa giác lực có mút của lực cuối

cùng trùng với gốc của lực đầu

Ta có kết luận: “Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng đồng qui cân

bằng là đa giác lực tự đóng kín”.

2 Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng giải tích

X



x y

2.1.Chiếu một lực lên trục tọa độ

Gọi hình chiếu của lực F lên hai trục

cos F X

(2-1)

Hình chiếu lấy dấu (+) khi chiều từ điểm chiếu của gốc đến điểm chiếu củamút cùng chiều (+) với trục, lấy dấu (-) trong trường hợp ngược lại

Đặc biệt

 Nếu F vuông góc, chẳnng hạn với trục Ox thì X = 0 và Y =  F

 Nếu F song song, chẳng hạn với trục Ox thì X =  F còn Y = 0

Ngược lại, khi biết hình chiếu X, Y của lực F trên hai trục vuông góc Oxy,

ta hoàn toàn xác định được nó:

2.2.Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích

Cho hệ lực phẳng đồng qui (F1, F2 … Fn) có hình chiếu tương ứng trêncác trục của hệ tọa độ vuông góc là (X1, X2,…, Xn) và (Y1, Y2,…, Yn) (h.2-9)

Y R

X X X

X R

n 2

1 y

n 2

1 x

Chọn hệ trục xOy như hình vẽ Hình chiếu của hợp lực lên các trục là:

R x = X = F 1 + F 2 cos50 - F 3 cos 60 -F 4 cos20

1 , 138 R

Vì (  X )2 và (  Y )2 là những số dương cho nên

điều kiện cân bằng là

0 X

(2-8Vậy: “điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng quy cân bằng là tổng hìnhchiếu của các lực lên hai trục tọa độ đều phải bằng khơng”

Hệ phương trình cân bằng này dùng để giải các bài toán cân bằng dưới tácdụng của hệ lực phẳng đồng quy.

Ví dụ

Ong trụ đồng chất có trọng lượng P = 60N đặt trên máng ABC hoàn toànnhẵn và vuông góc ở B Mặt BC của máng hợp với mặt nằm ngang góc  = 60.Hãy xác định các phản lực của máng lên ống ở hai điểm tiếp xúc D và E

Bài giải

Trọng lượng P của ống trụ có phương thẳng đứng, hướng về tâm của trái đất

và có trị số P = mg = 6.10 = 60N Mặt khác, ống trụ tựa trên hai mặt nghiêng tạicác điểm tiếp xúc D và E nên có các phản lực tương ứng ND, NE, các phản lựcnày vuông góc với các mặt nghiêng BD và BE Như vậy, ống trụ được cân bằngdưới tác dụng của ba lực đồng quy tại O: (P,ND, NE)

Ta có thể giải bài toán này theo hai phương pháp: hình học và giải tích

a)Phương pháp hình học

Vì hệ lực (P,ND, NE) cân bằng nên tam giác lực của hệ tự đóng kín Ta dựngtam giác lực đó bằng cách: từ một điểm I bất kỳ vẽ vectơ lực P, từ gốc I và mút Kcủa P kẻ các đường thẳng song song với ND, NE, chúng cắt nhau tại L Tam giácIKL chính là tam giác lực cần dựng Trên tam giác lực, đi theo chiều của P ta xácđịnh được chiều của ND và NE Độ dài mỗi cạnh của tam giác lực biểu thị trị sốcủa các lực tương ứng Từ đó, ta có:

cách giải một bài toán hệ lực phẳng

đồng quy gồm các bước sau:

Bước 1: Phân tích bài toán

Bước 2: Lập phương trình cân bằng (ở đây chỉ trình bày phương pháp giải tích vì

đó là phương pháp thường gặp nhất)

 Chọn hệ trục tọa độ vuông góc thích hợp với bài toán, có thể chọn tùy ý saocho bài toán được giải đơn giản nhất (các trục song song hoặc vuông góc vớinhiều lực của hệ nhất)

 Viết phương trình cân bằng

 Giải bài toán và nhận định kết quả (cần thử lại hoặc liên hệ với đầu bài xem kếtquả có phù hợp không)

Trường hợp giải ra

lực có trị số âm, cần đổi

chiều ngược lại

Chương 3: Hệ lực phẳng song song - ngẫu lực – Momen của một lực

đối với một điểm.

Giả sử cĩ hai lực F1 và F2 song song cùng chiều đặt tại hai điểm A và Bcủa vật, ta cần phải tìm hợp lực R của chúng (h.2-10) Ở đây, ta khơng chứng

mình mà hỉ nêu kết luận:

Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực, cĩ:

 Phương song song và cùng chiều với hai lực đã cho;

F AB

P x

O O

Theo cơng thức hợp lực của hai lực song song

cùng chiều, ta cĩ: ABP  FxB

14

9 x 7 P

F x

1.3.Hợp lực của hai lực song song ngược chiều

Giả sử cĩ hai lực F1 và F2 song song ngược chiều đặt ở A và B (F1 > F2)

F AB

Hai lực song song ngược chiều cĩ F1 =

30kN, F2 =20kN, AB = 0,2m Hãy xác định hợp lực của 2 lực ấy

Trường hợp đặc biệt của hai lực song song ngược chiều là có trị số bằngnhau Trong truờng hợp này hệ không có hợp lực, vì R = F1 - F2 = 0 (h.2-12a).

Nhưng hệ cũng không cân bằng

Trong thực tế, hệ như vậy sẽ gây cho vật quay và được gọi là ngẫu lực.

Vậy: Ngẫu lực là hệ hai lực song song ngược chiều, có trị số bằng nhau nhưng không cùng đường tác dụng.

Ngẫu lực gồm hai lực F1, F2 được ký hiệu (F1, F2), khoảng cách giữa hai

đường tác dụng gọi là cánh tay đòn, ký hiệu d.

Ta có thể trượt các lực để cho đoạn nối hai điểm đặt đúng là cánh tay đòn và

từ đây ta qui ước vẽ ngẫu lực như vậy (h.2-12b).

Ngẫu lực đươc xác định bởi ba yếu tố:

- Mặt phẳng tác dụng: là mặt phẳng chứa các lực của ngẫu lực;

quanh ngẫu lực theo chiều của lực), ký hiệu bằng mũi tên vòng.Chiều quay làdương khi vật quay ngược chiều kim đồng hồ và âm khi thuận chiều kim đồng hồ

(h.2-12c).

trong đó: F - trị số của lực còn d - cánh tay đòn

Đơn vị của mômen là Niutơn-mét (Nm)

2 Biểu diễn một ngẫu lực

 Tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi ta dời ngẫu lực trong mặt phẳngtác dụng của nó

 Có thể biến đổi lực và cánh tay đòn của ngẫu lực, miễn là bảo đảm trị sốmômen và chiều quay của nó

Đặc biệt khi cho nhiều ngẫu lực, ta có thể biến đổi để cho chúng có cùng

chung cánh tay đòn Từ các tính chất trên có thể rút ra:

16

Hình 2-12

d A

a)

b)

d +

c) F

F

Tác dụng của ngẫu lực trên một mặt phẳng hoàn toàn được đặc trưng bằng chiều quay và trị số mômen của nó Do đó, có thể biểu diễn ngẫu lực bằng chiều

quay và trị số mômen của nó (h.2-13).

2.3 Hệ ngẫu lực phẳng và điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng

Người ta chứng minh được rằng: “Hợp các ngẫu lực phẳng được một ngẫulực – gọi là ngẫu lực tổng hợp - cùng nằm trong mặt phẳng đó, có mômen bằngtổng mômen của các ngẫu lực thuộc hệ”

Nếu hệ có n ngẫu lực thành phần, thì:

M = m 1 + m 2 +…+ m n = m 13)

(2-Ví dụ

Hệ ngẫu lực phẳng gồm các ngẫu lực có momen: m 1 = 100Nm, m 2 = 80Nm, m 3 = 250Nm và m 4 = -200Nm Xác định momen của ngẫu lực tổng hợp.Nếu ngẫu lực tổng hợp có cánh tay đòn là 2m thì trị số của lực phải là bao nhiêu?

-Bài giải

Ngẫu lực tổng hợp có trị

số momen là:

m m m

m

Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng

Muốn hệ ngẫu lực cân bằng thì ngẫu lực tổng hợp của nó phải cân bằng,nghĩa là M = 0 Mà M = m, nên điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phải

là:

m = 0 14)

(2-Vậy: Điều kiện để hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là tổng mômen của các ngẫu

lực thuộc hệ phải bằng không.

Hình 2-13

d

F

m=Fxd F

Hình ví dụ 2-7

Điều kiện cân bằng này dùng để giải các bài toán vật rắn cân bằng dưới tácdụng của hệ ngẫu lực phẳng.

Theo điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực, ta có:

1 Trình bày cách tìm hình chiếu của một lực trên hệ trục tọa độ vuông góc

2 Trình bày cách tìm hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui theo phương phápgiải tích

3 Viết công thức tính hình chiếu hợp lực của hệ phẳng đồng qui

4 Phát biểu điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng qui theo phương phápgiải tích

5 Phương, chiều, trị số và điểm đặc của hợp lực hai lực song song cùng chiềuđược xác định như thế nào?

6 Ngẫu lực là gì? Vì sao nói ngẫu lực không tương đương với một lực?

7 Nêu tính chất của ngẫu lực, từ đó suy ra cách biểu diễn nó trên hình vẽ

BÀI TẬP

1. Cho hai lực đồng qui tại O là (F1,F2) với F1 = F2 Cần phải đặt vào điểm Omột lực F3 như thế nào để hệ lực (F1,F2,F3) cân bằng

18

Trả lời: F3 nằm trên đường phân giác của góc (F1,F2) về bên trái và F1 =

F2 = F3

2. Thanh đồng chất AB trọng lượng P1 = 200N được treo bằng các dây song song

AE và BD Vật nặng có khối lượng Q = 80kg được treo vào điểm C của thanh

AB Xác định lực kéo của vật lên 2 dây, biết AC = 30cm, BC = 50cm

P C

Giả sử vật rắn chịu tác dụng của một lực F, vật cĩ thể quay quanh điểm O

cố định (h.3-1) Tác dụng quay mà lực F đã gây cho vật khơng những phụ thuộc

vào trị số của lực mà cịn vào khoảng cách từ điểm O đến đường tác dụng của lực.Cịn chiều quay mà lực gây ra cho vật cĩ thể là ngược hoặc thuận chiều kim đồng

hồ Đại lượng đặc trưng cho tác dụng mà lực gây ra cho vật quay quanh điểm Ođược gọi là mơmen của lực đối với một điểm và ta cĩ định nghĩa:

cường độ của lực với cánh tay địn của lực đối với điểm đĩ

mo( F) =  Fd (3-1)

khoảng cách từ tâm quay tơi đường tác dụng của lực

Lấy dấu + (hoặc -) tùy theo chiều quay của lực

F quanh tâm O là ngược chiều (hay thuận chiều kim

đồng hồ) Đơn vị của mơmen là Nm

Trị số mơmen bằng hai lần diện tích tam giác do

lực và điểm O tạo thành:

) F (

mo  = 2SOAB (3-2)

Chú ý:

Khi đường tác dụng của lực F đi qua tâm O thì mo( F) bằng khơng, vì d =0

Ví dụ

Xác định momen của các lực F1 và F2

đối với các điểm A và B Biết F1 =10kN, F2 =

12kN,  =30, AC = CD = DB = 2m

Bài giải

) F

(

mA 1 = -F1 AI = -F1 AC sin

=-10.2.sin 30 = -10(kNm)

) F

(

mA 2 =F2.AD = -12.4 = - 48(kNm)

) F

(

mB 1 = F1.BK = F1.CBsin = 10.4 1/2 =20(kNm)

) F

d

A B

Chương 4: Hệ lực phẳng bất kỳ

1 Định nghĩa

2 Định lý dời lực song song

- Định lý VARINHÔNG

Mômen của hợp lực của một hệ lực phẳng đối với điểm O bất kỳ nằm trên

mặt phẳng bằng tổng mômen của các lực thành phần đối với điểm đó (không

chứng minh định lý)

mo( R)   mo( F) (3-3)

Định lý Varinhông được dùng để xác định đường tác dụng hợp lực của hệlực phẳng song song, lấy mômen của một lực đối với một điểm bằng cách phânlực đó làm hai thành phần…

Vì đòn có thể quay quanh điểm tựa, nên nó chỉ cân

bằng khi hợp lực của các lực tác dụng lên nó đi qua điểm

tựa, tức:

mo( R)  0

mà mo( R)   mo( F)

Vì vậy, đòn cân bằng khi:  mo( F)  0

Vậy: Điều kiện cần và đủ để một đòn được cân bằng

là tổng đại số mômen của các lực tác dụng lên đòn đối với

điểm tựa bằng không.

Ví dụ

Để nâng vật nặng P thì phải đặt vào tay quay của tời (hình 3-2) một lực F

bằng bao nhiêu? Biết trống của tời có bán kính r = 0,15m, tay đòn l = 0,5m, P =1000N, bỏ qua ma sát tại gối đỡ

Bài giải

Xét sự cân bằng của tời, theo điều kiện cân bằng của đòn , ta có:

0 ) F (

mo 

   mo( P)  mo( F)  P r  F l  0

5 , 0

15 , 0 1000 l

r P

0 thì điều kiện đó vẫn chưa đủ để cho vật rắn cân bằng:

Vì điều kiện này chỉ mới chứng tỏ vật không tịnh tiến,

nhưng vật có thể quay Đặc trưng cho khả năng quay là

mômen của các lực đối với một điểm O bất kỳ trên vật:

Cho nên muốn cho hệ lực phẳng được cân bằng thì ngoài điều kiện R = 0,phải có thêm điều kiện:

M O = mO( F1) + mO( F2) +…+ mO( Fn) = 0

chính Ta có điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng

0 ' R

0 Y

0 X

o



(3-6)Vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng hình chiếucủa các lực lên hai trục tọa độ vuông góc và tổng mômen của các lực đối với mộtđiểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng các lực đều phải bằng không

Phương trình cân bằng này dùng để giải các bài toán vật rắn cân bằng dưới

Thay lực phân bố đều trên đoạn EB bằng lực

tập trung Q = qa =8.12 = 16kN đặt ở giữa đoạn

C

F

 m

Y = 0 + YA - Fsin - Q = 0 (2)

) F

5 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song

Hệ lực phẳng song song là trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng, nên từ điềukiện cân bằng của hệ hệ lực phẳng bất kỳ ta suy ra điều kiện cân bằng của hệ lựcphẳng song song

Chọn hệ trục Oxy có Ox vuông góc với đường tác dụng của các lực (h.3-4)

Khi đó X = 0, nên từ điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ ta suy ra điềukiện cân bằng của hệ lực phẳng song song là:

Ví dụ 3-4

Xác định phản lực ở hai gối A và B cho dầm

Bài giải

Lực phân bố đều q có hợp lực: R = AC.q = 2.4 =8kN đặt tại điểm giữa đoạn AC,

có phương thẳng đứng Phản lực NA , NB có phương song song với R Như vậy,dầm được cân bằng dưới tác dụng của hệ lực (NA , NB,R) và ta có phương trình:

0 N N R

Y    A B

0 4 N 1 R ) F

Chương 5: MA SÁT

Có hai dạng ma sát thường gặp: ma sát trượt và ma sát lăn

1.Ma sát trượt (h.3-5)

1.1-Định nghĩa

Lực ma sát trượt là lực cản lại khuynh hướng trượt của vật, ký hiệu là Fms

Ma sát trượt thường gặp ở phanh hảm, ổ trượt, ổ lăn…Nguyên nhân chínhcủa ma sát trượt là do mặt tiếp xúc không tuyệt đối nhẵn

1.2- Định luật ma sát trượt

- Từ thực nghiệm (thí nghiệm Culông nghiên cứu ở Vật lý), người ta rút ra được

các định luật về ma sát trượt sau đây:

 Lực ma sát trượt tiếp tuyến với mặt tiếp xúc (cùng phương), ngược chiều vớikhuynh hướng trượt của vật và có trị số nằm trong giới hạn từ 0 đến Fmax

0  Fms  Fmax trong đó: Fmax là lực ma sát trượt lớn nhất

Khi vật không có khuynh hướng trượt thì Fms = 0 còn khi vật chớm trượt thì:

Fms = Fmax

 Lực ma sát trượt lớn nhất tỉ lệ với phản lực pháp tuyến N:

Fmax = fN trong đó: N là trị số phản lực pháp tuyến, f là hệ số

 Hệ số ma sát trượt (f ) phụ thuộc vào bản chất các vật (đồng, thép, gỗ….), trạngthái bề mặt (trơn, nhám….) mà không phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc.

Xét con lăn trọng lượng P đặt trên mặt nằm ngang không tuyệt đối cứng

(h.3-6) Tác dụng vào con lăn một lực nằm ngang Q có độ cao h Con lăn cânbằng dưới tác dụng của hệ ba lực (Q , R, P) Phân tích R thành hai thành phần

N và F Từ các phương trình cân bằng, ta có:

X = Q – F = 0

Y = N – P = 0

Giải hệ phương trình, ta được N = P và F = Q

Ta có ngẫu lực (F,Q ) có mômen Q.h làm cho vật có khuynh hướng lăn,ngẫu lực (P,N ) có mômen N.d cản lại sự lăn của vật được gọi là ngẫu lực ma sátlăn

Từ thực nghiệm, ta có các định luật ma sát lăn:

 Ngẫu lực ma sát lăn có giới hạn từ 0 đến mmax:

0  mms  mmax (3-10)

 Trị số mômen của ma sát lăn lớn nhất tỉ lệ với phản lực pháp tuyến N:

mmax = kN (3-11)

k được gọi là hệ số ma sát lăn, đo bằng đơn vị độ dài

2.3 Điều kiện cân bằng

Điều kiện cân bằng không trượt,

không lăn của vật là trị số của lực

ma sát thực tế phải nhỏ hơn hoặc

bằng trị số của lực ma sát lớn nhất.

O Q

P

) fN ( F F

max ms

max ms

12)

(3-Ví dụ 3-5

Muốn hãm cho bánh xe không quay dưới tác dụng của ngẫu lực có trị sốmomen m = 100Nm người ta tác dụng hai lực trực đối Q vào hai má hãm Hãytính trị số nhỏ nhất Q để bánh xe không quay Biết hệ số ma sát giữa má hãm vớibánh xe là f = 0,25 và đường kính bánh xe là d = 0,5m

Bài giải

Bánh xe cân bằng dưới tác dụng của các lực: Hai lực Q; hai lực Fms; phảnlực ở ổ trục Ro; trọng lực của bánh xe P và ngẫu lực m :

(2Q; 2Fms;Ro; P; m)

Đây là hệ lực phẳng bất kỳ, có thể viết đầy đủ 3 phương trình cân bằng dạng

1 nhưng vì chỉ cần tìm Q nên ta chỉ viết phương trình mômen:

Con lăn hình trụ đường kính d = 60cm,

khối lượng 300kg lăn đều trên mặt phẳng

ngang nhờ một lực theo hướng của tay đẩy OA Cho biết chiều dài OA = 1,5m, độcao của điểm A là h = 1,05m Xác định lực Q cần thiết để con lăn lăn đều, biết hệ

số ma sát lăn giữa con lăn và mặt phẳng nằm ngang là k = 0,5cm

Q 1

3-5

O Q

sin = 0 , 5

5 , 1

3 , 0 05 , 1 AO

 Q1 thẳng đứng, đẩy con lăn

 Q2 nằm ngang, cùng với trọng lượng P gây ra phản lực pháp tuyến N ( N = P+ Q2)

3000 5 , 0 sin

k cos r

2 Phát biểu và viết biểu thức của định lý Varinhông

3 Phát biểu, viết phương trình cân bằng của hệ lực phẳng

4 Phát biểu, viết phương trình cân bằng của hệ lực song song

5 Định nghĩa ma sát trượt, cho ví dụ

6 Phát biểu các định luật ma sát trượt

7 Ma sát lăn là gì? Cho ví dụ

8 Phát biểu các định luật ma sát lăn

BÀI TẬP

1. Hãy xác định tổng đại số mômen của các lực đặt vào xà AC đối với hai gối đỡ

A và B Cho F1 = 438N, F2 = 146N, F3 = 292N Các dữ kiện khác theo hình vẽ ĐS:

Nm 703 ) F ( m

; Nm 2701

2. Tìm mơmen của các lực F1 và F2 đối với tâm O Biết F1 = F2 = 320N, OA

= 0,4m,  = 30o

ĐS: mo( F1)   128 Nm ; mo( F2)  64 Nm

3 Một vật cĩ trọng lượng P = 500N đặt trên mặt nằm ngang Hệ số ma sát trượtgiữa vật và mặt nằm ngang là f = 0,6 Tính trị số nhỏ nhất của lực Q để vật bắt đầutrượt

ĐS: 257,3N

4 Trục hình trụ trọng lượng Q bán kính R quay được nhờ vật nặng quấn vào nĩbằng dây Biết trọng lượng vật P, bán kính ngõng trục r = R/2, hệ số ma sát ởngõng trục f = 0,05 Tỉ số trọng lượng Q và P là bao nhiêu để trục quay đều?

ĐS: P/Q = 39

5 Thang AB dài 4m, đầu A tựa trên mặt đất, đầu B tựa trên tường cao tại điểm D

và lập với tường gĩc =30o Thang được giữ ở vị trí trên nhờ dây AE nằm trênmặt đất

Xác định phản lực tác dụng lên thang tại các điểm A và D, sức căng T củadây Biết trọng lương thang P = 200N và đặt tại điểm C chính giữa thang, chiềucao của tường h =3m

ĐS: NA=175N; ND = 57,7N; T =50N

6 Thanh AB dài 2m, đầu A ngàm chặt vào tường, đầu B chiụ tác dụng một lực F

= 3kN hợp với thanh AB gĩc  = 60o Xác định phản lực của thanh AB tại ngàm ĐS: XA=1,5kN; YA= 2,6kN; mA =5,2kNm

7. Dầm CD đặt trên hai gối đỡ A và B, chịu tác dụng của ngẫu lực cĩ mơmen m

=8kNm, lực cĩ trị số Q = 20kN và lực phân bố đều q = 20kN/m Xác định phảnlực tại các gối đỡ Cho a = 0,8m

 =30O

D Q

Hình bài 7

Chương 6: Hệ lực không gian

1.2 Hình chiếu một lực lên ba trục tọa độ

1.3 Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian đồng quy

1.3.1 Hệ lực đồng quy

rNếu chọn tâm thu gọn là điểm đồng quy O thì mô men chính M o sẽ bằngkhông do đó 3 phương trình mô men luôn luôn tự nghiệm Vậy phương trình cân bằng của hệ lực đồng quy chỉ còn

Rx = ồXi = 0

i=1n

Ry = ồYi =0

i=1n

Rz = ồZi = 0

i=1

1.3.2 Hệ ngẫu lực

r

Khi thu gọn hệ ngẫu lực về một tâm ta thấy ngay véc tơ chính R 0 = 0 điều

đó có nghĩa các phương trình hình chiếu luôn luôn tự nghiệm Phương trình cân

bằng của hệ ngẫu lực chỉ còn lại ba phương trình mô men sau:

32

Mx = ồmx( F i) = ồmix = 0,

2 Hệ lực không gian bất kỳ

2.1 Định nghĩa

2.3 Momen của một lực đối với một trục

2.4 Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian bất kỳ

2.4.1 Điều kiện cân bằng

Điều kiện cân bằng của hệ lực bất kỳ trong không gian là véc tơ chính và

mô men chính của nó khi thu gọn về một tâm bất kỳ đều bằng không

Rx = ồXi = 0, Ry = ồYi =0, Rz = ồZi = 0

Mx = ồmx( F i) = 0, My = ồmy( F i) = 0, Mz = ồmz( F i) = 0 (2-6)

i=

dụ Cột điện OA chôn thẳng đứng trên mặt đất và đ−ợc giữ bởi hai

sợi dây AB và AD hợp với cột điện một góc a = 300 (xem hình 2-8a) Góc giữamặt phẳng AOD và mặt phẳng AOB là j = 600 Tại đầu A của cột điện có hainhánh dây điện mắc song song với trục ox và oy Các nhánh dây này có lực kéo

là P1 và P2 nh− hình vẽ Cho biết P1 = P2 = P = 100kN

Xác định lực tác dụng dọc trong cột điện và trong các dây căng AD, AB

Bài giải :

Chọn vật khảo sát là đầu A của cột điện

rLiên kết đặt lên đầu A là hai sợi dây P 1

AB, AD và phần cột điện còn lại

dụng của các lực P1, P2 và các phản lực R1R2 x D

F1 P1 P2 R1 R2 R3x1

y1

z1

0-P0

-P00

0R1sina-R1cosa

R2sinasinjR2sinacosj-R2cosa

00R3r

R 3 Điều kiện để đầu A cân bằng là hệ 5 lực tác dụng lên nó cân bằng Ta có:

( P 1, P 2, R 1, R 2 , R 3) ∼ 0 Hệ lực này đồng quy tại A do đó phương trình

cân bằng thiết lập theo phương trình (2.7)

Để tránh nhầm lẫn ta lập bảng (2-1) hình chiếu các lực lên 3 trục của hệtọa độ oxyz như sau:

Phương trình cân bằng viết được:

ồXi =- P + R2sinasinj = 0; (a)

ồYi = - P + R1sina + R2sinacosj = 0 ( b)

ồZi = -R1cosa - R2cosa + R3 = 0 (c)

Hệ 3 phương trình trên chứa 3 ẩn số R1, R2, R3 nên bài toán là tĩnh định.Giải hệ phương trình trên được: